初中数学知识点分类总结

初中数学知识点分类总结

线

1、基本概念

图形直线射线线段

端点个数无一个两个

表示法直线/;直线射线48线段A；线段4伏民4)

AB(BA)

作法叙述作直线AB；作射线作线段A；作线段

作直线力ABAB；连接力

延长叙述不能延长反向延长延长线段AB；反向

射线相延长线段BA

2、直线的性质

经过两点有一条直线，并且只有一条直线。

简单地：两点确定一条直线。

3、画一条线段等于已知线段

(1)度量法

(2)用尺规作图法

4、线段的大小比较方法

(1)度量法

(2)叠合法

5、线段的中点(二等分点)、三等分点、四等分点等

定义：把一条线段平均分成两条相等线段的点。

图形：

B

AM

符号：若点M是线段AH的中点，则

48=24M=28M。

6、线段的性质

两点的所有连线中，线段最短。

简单地：两点之间，线段最短。

7、两点的距离连接两点的线段长度叫做两点的距离。

8、点与直线的位置关系

(1)点在直线上

(2)点在直线外.

①过两点有且只有一条直线

②两点之间线段最短

③过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

⑤平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线

平行

⑥如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行

⑦定理:线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相

等

⑧逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的

垂直平分线上

⑨线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点

的集合

等边三角形

1、推论：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°

2、推论：三个角都相等的三角形是等边三角形

3、推论：有一个角等于60。的等腰三角形是等边三角形

等腰三角形

1、等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等(即

等边对等角)

2、推论1:等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边

3、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互

相重合

4、等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，

那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)

角

1、角：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角。

2、角的表示法(四种)：用三个字母及角的符号””表示。中间

的字母表示顶点，其他两个字母分别表示角的两边上的店；当

顶点处只有一个角时，可用表示顶点的这个字母来表示该角；

用一个数字表示一个角；用一个希腊字母表示一个角。

3、角的分类

锐角直角钝角平角周角

范围0<Zp<90°Zp=90°90°<Zp<180°4=180。/(3=360。

4、角的比较方法

(1)度量法

(2)叠合法

5、画一^角等于已知角

(1)借助三角尺能画出15。的倍数的角，在0~180。之间共能画

出11个角。

(2)借助量角器能画出给定度数的角。

(3)用尺规作图法。

6、角的平线线

定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射

线叫做角的平分线。

7、互余、互补

⑴若Nl+N2=90。，则N1与N2互为余角.其中N1是N2的余

角，N2是N1的余角.

(2)若Nl+N2=180。，则N1与N2互为补角.其中N1是N2的

补角，N2是N1的补角.

(3)余(补)角的性质：等角的补(余)角相等.

8、方向角

(1)正方向

⑵北(南)偏东(西)方向

(3)东(西)北(南)方向

①同角或等角的补角相等

②同角或等角的余角相等

③同位角相等，两直线平行

④内错角相等，两直线平行

⑤同旁内角互补，两直线平行

⑥两直线平行，同位角相等

⑦两直线平行，内错角相等

⑧两直线平行，同旁内角互补

⑨定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

⑩定理2到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分

线上

⑪角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

三角形

1定理三角形两边的和大于第三边

2推论三角形两边的差小于第三边

3三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180。

4推论1直角三角形的两个锐角互余

5推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

6推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

7全等三角形的对应边、对应角相等

8边角边公理(S4S)有两边和它们的夹角对应相等的两个三

角形全等

9角边角公理(/S4)有两角和它们的夹边对应相等的两个三

角形全等

10推论(44S)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三

角形全等

11边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等

12斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的

两个直角三角形全等

13直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

14在直角三角形中，如果一个锐角等于30。那么它所对的直

角边等于斜边的一半

15勾股定理直角三角形两直角边/、8的平方和、等于斜边

C的平方，即/+中=。2

16勾股定理的逆定理如果三角形的三边长力、B、u有关系

A2+B2=c2,那么这个三角形是直角三角形

平行四边形

1平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等

2平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等

3推论夹在两条平行线间的平行线段相等

4平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分

5平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行

四边形

6平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行

四边形

7平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四

边形

8平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行

四边形

9矩形性质定理1矩形的四个角都是直角

多边形

1定理1关于某条直线对称的两个图形是全等形

2定理2如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应

点连线的垂直平分线

3定理3两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或

延长线相交，那么交点在对称轴上

4逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平

分，那么这两个图形关于这条直线对称

5定理四边形的内角和等于360。

6四边形的外角和等于360。

7多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)xl80。

8推论任意多边的外角和等于360。

分式

1、设/、8表示两个整式。如果外中含有字母，式子J就叫

n

做分式。注意分母8的值不能为零，否则分式没有意义。

分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。如果分子分母有

公因式，要进行约分化简。

2、分式的基本性质

3.分式的运算（分式的运算法则与分数的运算法则类似）

异分母相加，先通分）；

ndnet

hdbd

acadad.

bdbcbe1

4.零指数AQ=\（J#0）

5.负整数指数。j"（4W0,p为正整数）

注意正整数孱的运算性质

v=L"(/，0)

(ab)n=anbn

可以推广到整数指数塞，也就是上述等式中的m、n可以是0

或负整数.

正比例反比例一次函数

第一象限（+,+）,第二象限（-，+）第三象限（-、-）第四象

限（+,-我轴上的点的纵坐标等于0,反过来，纵坐标等于0

的点都在X轴上，y轴上的点的横坐标等于0,反过来，横坐

标等于0的点都在y轴上，

若点在第一、三象限角平分线上，它的横坐标等于纵坐标，若

点在第二，四象限角平分线上，它的横坐标与纵坐标互为相反

数；

若两个点关于x轴对称，横坐标相等，纵坐标互为相反数；若

两个点关于y轴对称，纵坐标相等，横坐标互为相反数；

若两个点关于原点对称，横坐标、纵坐标都是互为相反数。

1s一次函数，正比例函数的定义

（1）如果y=kx+8（k,8为常数,且厚0）,那么y叫做x的一次函数。

⑵当8二0时，一次函数y=kx+8即为y=h（k，0）。这时，y叫

做x的正比例函数。

注:正比例函数是特殊的一次函数,一次函数包含正比例函数。

2、正比例函数的图象与性质

⑴正比例函数y=kx（k#0）的图象是过（0,0）（1,k）的一条直线。

（2）当k>0时=丫随x的增大而增大=直线y=kx经过一、三象

限=从左到右直线上升。

当k<0时=丫随x的增大而减少。直线y二kx经过二、四象限

=从左到右直线下降。

3、一次函数的图象与性质

(1)一次函数y=kx+8(®0)的图象是过(0,0)的一条直

线。

注：(0⑻是直线与y轴交点坐标，(-，,0)是直线与x轴交点

坐标。

(2)当k>0时oy随x的增大而增大o直线y=kx+/?(kM)是上

升的

⑶当k<0时oy随x的增大而减少。直线y=kx+8(k#))是

下降的

4、一次函数丫=心+6("0,kB为常数)中k、B的符号对图

象的影响

(l)k>0,皮>00直线经过一、二、三象限

(2)k>0,800直线经过一、三、四象限

(3)k<0,皮>00直线经过一、二、四象限

(4)k<0,8<0=直线经过二、三、四象限

5、对一次函数y=kx+8的系数k,8的理解。

(1)k(kWO)相同，8不同时的所有直线平行，即直线

4:y=〃iX+61l：y=klx+81；直线4：，=&x+&(ki,k2均不为零,ki,

Bl.k2,及为常数)：:：十仪小与乙重合

(2)k(k，0)不同，B相同时的所有直线恒过y轴上一定点(0,8),

例如：直线y=2x+3,y=-2r+3,y=gx+3均交于y轴一点(0,3)

6、直线的平移：

所谓平移，就是将一条直线向左、向右(或向上，向下)平行移

动，平移得到的直线k不变，直线沿y轴平移多少个单位，可

由公式|以-及|得到，其中丛,改是两直线与y轴交点的

纵坐标，直线沿X轴平移多少个单位，可由公式I求

得，其中X1，X2是由两直线与X轴交点的横坐标。

7、直线y=kx+3(kH0)与方程、不等式的联系

(1)一条直线y=kx+5(kM)就是一个关于y的二元一次方程

(2)求两直线4：尸3+4出尸。),《卜外+勾⑸工。)的交点,就是

解关于此y的方程组

(3)若y>0贝IJkx+8X)。若y<0,则kx+8<0

(4)一元一次不等式，yEkx+店y2(yi,y2都是已知数，且yi〈y2)

的解集就是直线y=kx+8上满足yi<y<y2那条线段所对应的自

变量的取值范围。

(5)一元一次不等式kx+BSyo(或kx+/>yo)(yo为已知数)的解集

就是直线y=kx+8上满足yWy()(或yNyo)那条射线所对应的自变

量的取范围。

8、确定正比例函数与一次函数的解析式应具备的条件

(1)由于比例函数y=kx(k邦)中只有一个待定系数k,故只要一

个条件(如一对苍y的值或一个点)就可求得k的值。

(2)一次函数y=h+8中有两个待定系数k,B,需要两个独立

的条件确定两个关于k,犷的方程，求得k,/的值，这两个

条件通常是两个点，或两对x,y的值。

9、反比例函数

(1)反比例函数及其图象

如果k?k是常数，"0),那么，y是x的反比例函数。

反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，可用描点法画出

反比例函数的图象。

(2)反比例函数的性质

当k>0时，图象的两个分支分别在一、三象限内，在每个象

限内，y随x的增大而减小；

当k<0时，图象的两个分支分别在二、四象限内，在每个象

限内，y随x的增大而增大。

⑶由于比例函数广*k是常数，厚0)中只有一个待定系数k,

故只要一个条件(如一对x,y的值或一个点)就可求得k的值。

三边对应成比例，三个角对应相等的两个三角形叫做相似三角

形。

二元一次方程组

1.二元一次方程：含有两个未知数，并且含未知数项的次数

是1,这样的方程是二元一次方程。

注意：一般说二元一次方程有无数个解

2.二元一次方程组：两个二元一次方程联立在一起是二元一

次方程组。

3.二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程，左

右两边都相等的两个未知数的值，叫二元一次方程组的解。

注意：一般说二元一次方程组只有唯一解(即公共解)。

4.二元一次方程组的解法：

(1)代入消元法；

(2)加减消元法；

（3）注意：判断如何解简单是关键.

5.一次方程组的应用：

（1）对于一个应用题设出的未知数越多，列方程组可能容易一

些，但解方程组可能比较麻烦，反之则“难列易解”；

（2）对于方程组，若方程个数与未知数个数相等时，一般可求

出未知数的值；

（3）对于方程组，若方程个数比未知数个数少一个时，一般求

不出未知数的值，但总可以求出任何两个未知数的关系。

一元一次不等式（组）

1.不等式：用不等号把两个代数式连接

起来的式子叫不等式。

2.不等式的基本性质：

不等式的基本性质1:不等式两边都加上（或减去）同一个数或

同一个整式，不等号的方向不变；

不等式的基本性质2:不等式两边都乘以（或除以）同一个正数,

不等号的方向不变；

不等式的基本性质3:不等式两边都乘以（或除以）同一个负数,

不等号的方向要改变。

3.不等式的解集：能使不等式成立的未知数的值，叫做这个

不等式的解；不等式所有解的集合，叫做这个不等式的解集。

4.一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的次数

是1,系数不等于零的不等式，叫做一元一次不等式；它的标

准形式是Ax+/>0或Ax+8<0,（4声0）。

5.一元一次不等式的解法：一元一次不等式的解法与解一元

一次方程的解法类似，但一定要注意不等式性质3的应用；

注意：在数轴上表示不等式的解集时，要注意空圈和实点。

6.一元一次不等式组：含有相同未知数的几个一元一次不等

式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组；

、、eaaa<0

注忌：>0<=>—>0<=>或

/工冏b[/;>0b<0'

,a

ab<0<=>—>0<=>{或；

b[A<0[b>0

一、[a>m

crZ>=0<=>6/=0或人=0；<。4=

[a<m

7.一元一次不等式组的解集与解法：所有这些一元一次不等

式解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集；解一

元一次不等式时,应分别求出这个不等式组中各个不等式的解

集，再利用数轴确定这个不等式组的解集。

8.一元一次不等式组的解集的四种类型:设QB

不等式组的解集是Q/不等式组的解

集是

1-1一

b&b"

不等式组的解集是“/‘，,・不等式组的解

x<b

集是空集

'.一-一1..1

baba

9.几个重要的判断：'+“；°|。丫、》是正数，

x*v>0J

x+"°]ox、娓负数f>°]ox、阴号且正数绝对叱

xv>0xy<0

x+"0]ox、.避号口负数绝对值方

整式的乘除

1.同底数帚的乘法：/,底数不变，指数相加。

2.帚的乘方与积的乘方：(4n)』4nn,底数不变，指数相乘；

(43)n=即次，积的乘方等于各因式乘方的积。

3.单项式的乘法：系数相乘，相同字母相乘，只在一个因式

中含有的字母，连同指数写在积里。

4.单项式与多项式的乘法：m(/+8+c)=m/+mB+mc,用单项

式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

5.多项式的乘法：(4+8>(c+d)=/c+4d+8c+8d,先用多项式的

每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

6.乘法公式：

(1)平方差公式：(/+外)(，-8)=42_",两个数的和与这两个数的

差的积等于这两个数的平方差；

(2)完全平方公式：

①(4+8)2=4+248+产，两个数和的平方，等于它们的平方和，

加上它们的积的2倍；

②(4㈤2=却_248+外,两个数差的平方，等于它们的平方和，

减去它们的积的2倍；

③(/+B-cf=A2+B2+C2+2AB-2Ac-2Bc,略。

7.酉己方:

⑴若二次三项式N+px+q是完全平方式，则有关系式：(5=夕；

(2)二次三项式4r2+8X+C经过配方，总可以变为/f(x-h)2+k的

形式，利用4(x-h)2+k

①可以判断47+8x+c值的符号；

②当x=h时，可求出力N+8x+c的最大(或最小)值k。

⑶注意：x'+-V=x+--2

XIX,

8.同底数孱的除法：4%即=却5,底数不变，指数相减。

9.零指数与负指数公式：

⑴/=(.)；「』,(.)注意：o。，0-2无意义;

(2)有了负指数，可用科学记数法记录小于1的数，例如：

0.0000201=2.01xIO-5.

10.单项式除以单项式：系数相除，相同字母相除，只在被除

式中含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式。

11.多项式除以单项式：先用多项式的每一项除以单项式，再

把所得的商相加。

12.多项式除以多项式：先因式分解后约分或竖式相除；

注意：被除式-余式=除式商式。

13.整式混合运算：先乘方，后乘除，最后加戒，有括号先算

括号内。线段、角、相交线与平行线

几何概念：(要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题)

一、基本概念：

直线、射线、线段、角、直角、平角、周角、锐角、钝角、互

为补角、互为余角、邻补角、两点间的距离、相交线、平行线、

垂线段、垂足、对顶角、延长线与反向延长线、同位角、内错

角、同旁内角、点到直线的距离、平行线间的距离、命题、真

命题、假命题、定义、公理、定理、推论、证明.

二、定理：

1.直线公理：过两点有且只有一条直线.

2.线段公理：两点之间线段最短.

3.有关垂线的定理：

(1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

(2)直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短.

4.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线

平行.

三、公式：

直角=90。，平角=180。，周角=360。，1。=60',1'=60".

四、常识：

1.定义有双向性，定理没有.

2.直线不能延长；射线不能正向延长，但能反向延长；线段能

双向延长.

3.命题可以写为“如果....那么......”的形式，“如果……”

是命题的条件，“那么.....”是命题的结论.

4.几何画图要画一般图形，以免给题目附加没有的条件，造成

误解.

5.数射线、线段、角的个数时，应该按顺序数，或分类数.

6.几何论证题可以运用“分析综合法”、“方程分析法”、“代入分

析法”、“图形观察法”四种方法分析.

8.比例尺：比例尺1:m中，1表示图上距离，m表示实际距离，

若图上1厘米，表示实际距离m厘米.

9.几何题的证明要用“论证法”，论证要求规范、严密、有依据；

证明的依据是学过的定义、公理、定理和推论。

有理数的基础知识

1、三个重要的定义：

⑴正数：像1、2.5、这样大于0的数叫做正数；

(2)负数：在正数前面加上七'号，表示比0小的数叫做负数；

(3)0即不是正数也不是负数.

2、有理数的分类：

(1)按定义分类：

正整数

/桀数J0

负整数

有理数J

{正分数

负分数

⑵按性质符号分类：

正整数

r正有理数.

、正分数

有理数)0

>仇整数

{负分数

3、数轴

数轴有三要素：原点、正方向、单位长度。

画一条水平直线，在直线上取一点表示0(叫做原点)，选取某

一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得

到数轴.在数轴上的所表示的数，右边的数总比左边的数大，

所以正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数.

4、相反数

如果两个数只有符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相

反数。0的相反数是0,互为相反的两上数，在数轴上位于原

点的两则，并且与原点的距离相等。

5、绝对值

(1)绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示该数

的点与原点的距离。

⑵绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；0的绝对

值是0；一个负数的绝对值是它的相反数，可用字母力表示如

下：「a(四

a-<0(a~O)

j-a(a<0)

(3)两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

有理数的运算

1、有理数的加法

(1)有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把

绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大数的

符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反的两个

数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数.

(2)有理数加法的运算律：

加法的交换律：A+B-B+A；

加法的结合律：(4+8)+c=%+(8+c)

用加法的运算律进行简便运算的基本思路是:先把互为相反数

的数相加；把同分母的分数先相加；把符号相同的数先相加；

把相加得整数的数先相加.

2、有理数的减法

(1)有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数.

(2)有理数减法常见的错误：顾此失彼，没有顾到结果的符号,

仍用小学计算的习惯，不把减法变加法；只改变运算符号，不

改变减数的符号，没有把减数变成相反数.

(3)有理数加减混合运算步骤：先把减法变成加法，再按有理

数加法法则进行运算；

3、有理数的乘法

⑴有理数乘法的法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得

负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0o

⑵有理数乘法的运算律：

交换律：AB=BA；

结合律：(AB)c=A(Bc)；

交换律：A(B+c)=AB+Ac.

(3)倒数的定义：乘积是1的两个有理数互为倒数，即45=1,

那么4和8互为倒数；倒数也可以看成是把分子分母的位置

颠倒过来。

4、有理数的除法

有理数的除法法则：除以一个数，等于乘上这个数的倒数，0

不能做除数这个法则可以把除法转化为乘法；

除法法则也可以看成是：两个数相除，同号得正，异号得负，

并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数都等于0。

5、有理数的乘法

(1)有理数的乘法的定义：求几个相同因数力的运算叫做乘方,

乘方是一种运算，是几个相同的因数的特殊乘法运算，记做

其中/叫做底数，表示相同的因数，n叫做指数，表示相

同因数的个数，它所表示的意义是n个力相乘,不是n乘以4

乘方的结果叫做塞。

(2)正数的任何次方都是正数，负数的偶数次方是正数，负数

的奇数次方是负数。

6、有理数的混合运算

(1)进行有理数混合运算的关建是熟练掌握加、减、乘、除、

乘方的运算法则、运算律及运算顺序。比较复杂的混合运算，

一般可先根据题中的加减运算，把算式分成几段，计算时，先

从每段的乘方开始，按顺序运算，有括号先算括号里的，同时

要注意灵活运用运算律简化运算。

(2)进行有理数的混合运算时，应注意：

一是要注意运算顺序，先算高一级的运算，再算低一级的运算；

二是要注意观察，灵活运用运算律进行简便运算，以提高运算

速度及运算能力。

方程

1、方程的概念：

(1)含有未知数的等式叫方程。

(2)在一个方程中，只含有一个未知数,并且未知数的指数是1.

系数不为0,这样的方程叫一元一次方程。

2、等式的基本性质：

(I)等式两边同时加上(或减去)同一个代数式，所得结果仍是等

式。若4=8,贝Ij4+c=B+c或4一c=B—c。

(2)等式两边同时乘以(或除以)同一个数(除数不能为0),所得

结果仍是等式。若力=8,贝1JAc=8c或，/c=夕/c。

(3)对称性：等式的左右两边交换位置，结果仍是等式.若/=从

贝B=A。

(4)传递性：如果/=用且片c,那么/=c,这一性质叫等量代换。

解方程

1、移项的有关概念：

把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，叫

做移项。

这个法则是根据等式的性质1推出来的，是解方程的依据。要

明白移项就是根据解方程变形的需要，把某一项从方程的左边

移到右边或从右边移到左边，移动的项一定要变号。

2、解一元一次方程的步骤：

(1)去分母等式的性质2

注意拿这个最小公倍数乘遍方程的每一项，切记不可漏乘某一

项，分母是小数的，要先利用分数的性质，把分母化为整数,

若分子是代数式，则必加括号

(2)去括号、去括号法则、乘法分配律严格执行去括号的法

则，若是数乘括号，切记不漏乘括号内的项，减号后去括号,

括号内各项的符号一定要变号。

(3)移项、等式的性质1

越过』”的叫移项，属移项者必变号；未移项的项不变号，注

意不遗漏,移项时把含未知数的项移在左边，已知数移在右边,

书写时,先写不移动的项,把移动过来的项改变符号写在后面。

(4)合并同类项、合并同类项法则

注意在合并时，仅将系数加到了一起，而字母及其指数均不改变

(5)系数化为1、等式的性质2

两边同除以未知数的系数，记住未知数的系数永远是分母(除

数)，切不可分子、分母颠倒。

⑹检验