利用方程解决有关圆的计算问题-华师大版

第23章圆华东师大版九年级(上)1、垂直于弦（不是直径）的直径平分弦并且平分弦所对的弧。【垂径定理】2、在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧也相等。3、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角。利用方程解决有关圆的若干计算问题例1：如图，O是△ABC的内心，D,E,F为切点，若AB=6,BC=5,AC=4,则AD=_____。xxx6-x4-x4-x6-x【(6－x)+(4－x)=5】2.5ppqqrr试一试：1、如图，在△ABC中，AB=AC，O是BC上一点，以O为圆心，AB为弦，画⊙O，当∠B=_____时，AC与⊙O相切于点A。xxx2x【2x+x=90°】30°例2、如图，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为7.2米，拱桥高出水面2.4米，你能求出拱桥圆弧所在圆的半径吗？由勾股定理：OD2+AD2=OA2，即(r－2.4)2+3.62=r2解得：r=3.9答：拱桥圆弧所在圆的半径是3.9米。解：如图，AB表示桥拱，AB=7.2米，CD=2.4米，O为AB所在圆的圆心，OD⊥AB交AB于C，则CD=2.4米,2.4想一想：现有一艘宽3米，船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里，问：此船能顺利通过这座拱桥吗？由垂径定理：AD=BD=3.6米3.63.6设圆的半径为r米，则OD=(r－2.4)米,r－2.4r试一试2、如图，⊙O是△ABC的内切圆，P,Q,R为切点，∠C=90°，AO的延长线交BC于点D，如果AC=4,CD=1,那么⊙O的半径是_________。【△DOR∽△OAQ

==rrrr4－r1－rr=0.8】0.8例3、如图，矩形ABCD中，P是对角线AC上一点，以PC为半径的圆切AD于E，交BC于F，交CD于G，交AC于H，⑴若AD=8,CD=6,求⊙P的半径，⑵连结HG，EG，设∠DEG=α，∠DAC=β，如果α=β，求α，β的值。∵⊙P与AD切于E，∴PE⊥AD于E∵∠D=90°∴CD⊥AD于D∴PE∥CD∴△APE∽△ACD∴=∵HC是⊙P的直径∴∠HGC=90°=∠D∴HG∥AD∴∠HGE=∠DEG=α∴∠APE=2∠HGE=2α∵∠AEP=90°∴2α+β=90°又∵α=β解得：α=18°，β=54°

∴解得：r=

∵∠D=90°∴AC=∴AP=10－r解：⑴连结PE，设⊙P的半径为r，则PC=PE=r,

rr⑵αβ86思考题、如图，已知∠BAC=90°，⊙O分别切AB,AC边于点B,C,点D是射线AB上异于A，B的一个动点，作直线DO交⊙O于E，F，弦CE的延长线交AB的延长线于点G，

①说明△CEF∽△AGC的理由；

②当BD=2DG时，求∠AGC的正切值。

解：①

∵⊙O切AC于C∴OC⊥AC∵AG⊥AC∴OC∥AG∴∠OCE=∠AGC又∵∠BAC=∠ECF=90°∴△CEF∽△AGC.∵∠CEF=∠AGC又∵∠CEF=∠DEG∴∠AGC=∠DEG∴DE=DG②解得x=r,∴BG=3x=3×r=2r∴tan∠AGC====连结OC∵OC=OE∴∠OCE=∠CEF∴∠CEF=∠AGC连结OB∴BD=2DG时,设DG=x，则DE=x,BD=2x,BG=3xx2xx设⊙O的半径为r,则在Rt△OBD中，OB2+BD2=OD2∴r2+(2x)2=(r+x)2rr小结：1、本节课主要利用_____来解决有关圆的一些计算问题。方程2、通过这节课的学习，有关圆的一些计算问题你会用哪些方法来列方程？①、利用切线长定理列方程;②、利用勾股定理列方程;③、利用相似三角形对应线段成比列列方程;④、利用圆周角、圆心角的关系列方程;

……作业布置：1、如图1，⊙I与Rt△ABC的内切于D,E,F,∠C=90°,若AF=3,BE=10,求Ｓ△ABC的值。

2、如图2，AB是⊙O的一条弦，半径OP⊥AB，垂足是M，N是BM的中点，过点Ｎ的弦PQ被点N分成两段的长是方程x2－px+6=0的两根，已知⊙O的半径为3，求OM∶PM的值。

3、如图3，⊙O的半径为12，∠AOB=90°,⊙B经过点O并交AB于E，⊙M切OA于D，同时又与AE,OE相切，连结MB,MO,MD；求：⊙M的半径。（图1）（图2）（图3）；/优游注册nqx15kop子和老奶奶们都还能认出来耿老爹，琢磨一下也能想起来耿正和耿英，但耿直却几乎没有人敢认了，而李尚武更不可能有人认识。由于每一次打招呼，大家都免不了要感慨问候一番，那些老奶奶甚至还有唏嘘落泪的，引得郭氏、刘氏和裴氏也再次落泪。所以，这一段路虽说并没有多长，但却走得很慢。路过粉坊时，耿憨说：“进来看看哇，咱的粉坊也有了一些变化呢！”于是，大家都进了这个特别宽阔的大院儿。拴在大门旁边马厩里的那两头大骡子看到各自的主人来了，都“嗬儿嗬儿”地欢啸起来。耿正、耿老爹和李尚武都过去看看，拍拍它们结实的肩背。耿正对大白骡说：“辛苦了，老伙计，好好儿歇着哇！”耿老爹对棕色的高头大骡说：“老伙计啊，你也好好儿歇着哇！过些天还得辛苦你哩，你得送俺的武儿回江南啊！”再看这两高头大骡子，居然都频频点头“嗬儿嗬儿”低声儿欢啸呢！耿憨在一旁哈哈大笑起来，对大家伙儿说：“看看这爷儿俩，还跟大骡子对上话了！”董家成说：“大壮说过，骡子是很通人性的畜生，灵得很呢！”青海也说：“俺和二壮把它们拴进马厩里的时候，就发现它两个很友好呢，一点儿也不咬槽！”董妞儿冷不丁来了一句：“敢情它两个也认了兄弟了耶！”二壮很认真地说：“看来是了！”看这兄妹俩一唱一合的，把郭氏、裴氏和刘氏都给逗笑了。刘氏一边笑着，一边抬手就照准二壮和妞儿的肩膀各打了一巴掌，嘴里还说：“俺把你们这傻愣子兄妹俩啊，说什么呢！”董家成却说：“你不懂，这就是畜生的灵性！它们认没认了兄弟，有谁知道呢？反正啊，拴进一个马厩里能这么友好，是非常少见的事情呢！”耿憨赞许地点点头，说：“唔，董大哥说得对，俺也相信畜生是有灵性的！”看视了两头大骡子以后，耿正、耿老爹和李尚武转身走出马厩来。抬头一看，首先映入眼帘的是十来架晾晒的半干了的粉丝，每一架的晾晒绳子拉了足有两丈多长。这些粉丝晾晒架的旁边是六间作坊，两个不认识的壮年汉子正在作坊里面忙活着。耿老爹说：“呵，憨子，你这粉坊扩大了一倍？俺记得当年只有三间作坊啊！”耿憨说：“是扩大了一倍！你们看，西边儿的那五间房子是前年才新盖的。喏，最靠西的那两间是住人的，挨着的那三间就是扩大了的粉坊。这不，俺父子们