导数及其应用-三年高考试题收集整理

第3章导数及其应用2023年高考题1..〔2023全国卷2理〕〔10〕假设曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，那么〔A〕64〔B〕32〔C〕16〔D〕8【答案】A【命题意图】本试题主要考查求导法那么、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力..【解析】，切线方程是，令，，令，，∴三角形的面积是，解得.应选A.2.〔2023辽宁文〕〔12〕点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，那么的取值范围是(A)[0,)(B)〔C〕(D)答案D解析：选D.，，即，3.〔2023辽宁理〕(1O)点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，那么a的取值范围是(A)[0,)(B)(D)【答案】D【命题立意】此题考查了导数的几何意义，求导运算以及三角函数的知识。【解析】因为，即tana≥-1,所以4.〔2023全国卷2文〕〔7〕假设曲线在点处的切线方程是，那么〔A〕(B)(C)(D)【解析】A：此题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程∵，∴，在切线，∴5.〔2023江西理〕12.如图，一个正五角星薄片〔其对称轴与水面垂直〕匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面局部的图形面积为，那么导函数的图像大致为【答案】A【解析】此题考查函数图像、导数图、导数的实际意义等知识，重点考查的是对数学的探究能力和应用能力。最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除C；总面积一直保持增加，没有负的改变量，排除B；考察A、D的差异在于两肩位置的改变是否平滑，考虑到导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断，选择A。6.〔2023江苏卷〕14、将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记,那么S的最小值是________。【解析】考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。设剪成的小正三角形的边长为，那么：〔方法一〕利用导数求函数最小值。，，当时，递减；当时，递增；故当时，S的最小值是。〔方法二〕利用函数的方法求最小值。令，那么：故当时，S的最小值是。7.〔2023湖南文〕21．〔本小题总分值13分〕函数其中a<0,且a≠-1200208.〔Ⅰ〕讨论函数的单调性；〔Ⅱ〕设函数〔e是自然数的底数〕。是否存在a，使在[a,-a]上为减函数？假设存在，求a的取值范围；假设不存在，请说明理由。8.〔2023浙江理〕(22)(此题总分值14分)是给定的实常数，设函数，，是的一个极大值点．(Ⅰ)求的取值范围；(Ⅱ)设是的3个极值点，问是否存在实数，可找到，使得的某种排列(其中=)依次成等差数列?假设存在，求所有的及相应的；假设不存在，说明理由．解析：此题主要考查函数极值的概念、导数运算法那么、导数应用及等差数列等根底知识，同时考查推理论证能力、分类讨论等综合解题能力和创新意识。〔Ⅰ〕解：f’(x)=ex(x-a)令于是，假设当x1=a或x2=a时，那么x=a不是f(x)的极值点，此时不合题意。当x1a且x2a时，由于x=a是f(x)的极大值点，故x1<a<x2.即即所以b＜-a所以b的取值范围是〔-∞，-a〕此时或〔2〕当时，那么或于是此时综上所述，存在b满足题意，当b=-a-3时，时，时，9.〔2023全国卷2理〕〔22〕〔本小题总分值12分〕设函数．〔Ⅰ〕证明：当时，；〔Ⅱ〕设当时，，求a的取值范围．【命题意图】此题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力.【参考答案】【点评】导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握根底知识、根本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会减弱。作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在.10.〔2023陕西文〕21、(本小题总分值14分)函数f〔x〕=，g〔x〕=alnx，aR。假设曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；设函数h(x)=f(x)-g(x),当h(x)存在最小之时，求其最小值〔a〕的解析式；对〔2〕中的〔a〕，证明：当a〔0，+〕时，〔a〕1.解〔1〕f’(x)=,g’(x)=(x>0),由得=alnx，=，解德a=,x=e2,两条曲线交点的坐标为〔e2,e〕切线的斜率为k=f’(e2)=,切线的方程为y-e=(x-e2).〔2〕由条件知Ⅰ当a.>0时，令h(x)=0,解得x=,所以当0<x<时h(x)<0，h(x)在〔0，〕上递减；当x>时，h(x)>0，h(x)在〔0，〕上递增。所以x>是h(x)在〔0，+∞〕上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点。所以Φ〔a〕=h()=2a-aln=2Ⅱ当a

≤

0时，h(x)=(1/2-2a)/2x>0,h(x)在〔0，+∞〕递增，无最小值。故h(x)的最小值Φ〔a〕的解析式为2a(1-ln2a)(a>o)〔3〕由〔2〕知Φ〔a〕=2a(1-ln2a)那么Φ1〔a〕=-2ln2a，令Φ1〔a〕=0解得a=1/2当0<a<1/2时，Φ1〔a〕>0，所以Φ〔a〕在(0,1/2)上递增当a>1/2时，Φ

1〔a〕<0，所以Φ〔a〕在(1/2,+∞)上递减。所以Φ〔a〕在(0,+∞)处取得极大值Φ〔1/2〕=1因为Φ〔a〕在(0,+∞)上有且只有一个极致点，所以Φ〔1/2〕=1也是Φ〔a〕的最大值所当a属于(0,+∞)时，总有Φ〔a〕

≤

111.〔2023辽宁文〕〔21〕〔本小题总分值12分〕函数.〔Ⅰ〕讨论函数的单调性；〔Ⅱ〕设，证明：对任意，.解：(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+)，.当a≥0时，＞0，故f(x)在(0,+)单调增加；当a≤－1时，＜0,故f(x)在(0,+)单调减少；当－1＜a＜0时，令＝0,解得x=.当x∈(0,)时,＞0；x∈(，+)时，＜0,故f(x)在〔0,〕单调增加，在〔，+〕单调减少.(Ⅱ)不妨假设x1≥x2.由于a≤－2,故f(x)在〔0，+〕单调减少.所以等价于≥4x1－4x2,即f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1.令g(x)=f(x)+4x,那么+4＝. 于是≤＝≤0.从而g(x)在〔0，+〕单调减少，故g(x1)≤g(x2)，即f(x1)+4x1≤f(x2)+4x2，故对任意x1,x2∈(0,+)，.12.〔2023辽宁理〕〔21〕〔本小题总分值12分〕函数〔I〕讨论函数的单调性；〔II〕设.如果对任意，，求的取值范围。解：〔Ⅰ〕的定义域为〔0，+∞〕..当时，＞0，故在〔0，+∞〕单调增加；当时，＜0，故在〔0，+∞〕单调减少；当-1＜＜0时，令=0，解得.那么当时，＞0；时，＜0.故在单调增加，在单调减少.〔Ⅱ〕不妨假设，而＜-1，由〔Ⅰ〕知在〔0，+∞〕单调减少，从而，等价于，①令，那么①等价于在〔0，+∞〕单调减少，即.从而故a的取值范围为〔-∞，-2].……12分13.〔2023全国卷2文〕〔21〕〔本小题总分值12分〕函数f〔x〕=x-3ax+3x+1。〔Ⅰ〕设a=2，求f〔x〕的单调期间；〔Ⅱ〕设f〔x〕在区间〔2,3〕中至少有一个极值点，求a的取值范围。【解析】此题考查了导数在函数性质中的应用，主要考查了用导数研究函数的单调区间、极值及函数与方程的知识。〔1〕求出函数的导数，由导数大于0，可求得增区间，由导数小于0，可求得减区间。〔2〕求出函数的导数，在〔2，3〕内有极值，即为在〔2，3〕内有一个零点，即可根据，即可求出a的取值范围。14.〔2023江西理〕19.〔本小题总分值12分〕设函数。〔1〕当a=1时，求的单调区间。〔2〕假设在上的最大值为，求a的值。【解析】考查函数导数运算、利用导数处理函数最值等知识。解：对函数求导得：，定义域为〔0，2〕单调性的处理，通过导数的零点进行穿线判别符号完成。当a=1时，令当为增区间；当为减函数。区间上的最值问题，通过导数得到单调性，结合极值点和端点的比拟得到，确定待定量a的值。当有最大值，那么必不为减函数，且>0，为单调递增区间。最大值在右端点取到。。15.〔2023安徽文〕20.〔本小题总分值12分〕设函数，，求函数的单调区间与极值。【命题意图】此题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查综合应用数学知识解决问题的能力.【解题指导】〔1〕对函数求导，对导函数用辅助角公式变形，利用导数等于0得极值点，通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负，判断区间的单调性，求极值.【思维总结】对于函数解答题，一般情况下都是利用导数来研究单调性或极值，利用导数为0得可能的极值点，通过列表得每个区间导数的正负判断函数的单调性，进而得出极值点.16.〔2023重庆文〕(19)(本小题总分值12分),(Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问7分.)函数(其中常数a,b∈R),是奇函数.(Ⅰ)求的表达式;(Ⅱ)讨论的单调性，并求在区间[1,2]上的最大值和最小值.17.〔2023浙江文〕〔21〕〔此题总分值15分〕函数〔a-b〕<b)。〔I〕当a=1，b=2时，求曲线在点〔2，〕处的切线方程。〔II〕设是的两个极值点，是的一个零点，且，证明：存在实数，使得按某种顺序排列后的等差数列，并求18.〔2023重庆理〕〔18〕〔本小题总分值13分，〔I〕小问5分，〔II〕小问8分〕函数其中实数。假设a=-2，求曲线在点处的切线方程；假设在x=1处取得极值，试讨论的单调性。19.〔2023山东文〕〔21〕〔本小题总分值12分〕 函数 〔I〕当时，求曲线在点处的切线方程； 〔II〕当时，讨论的单调性.20.〔2023北京理〕(18)(本小题共13分)函数()=In(1+)-+(≥0)。(Ⅰ)当=2时，求曲线=()在点(1，(1))处的切线方程；(Ⅱ)求()的单调区间。解：〔I〕当时，，由于，，所以曲线在点处的切线方程为即〔II〕，.当时，.所以，在区间上，；在区间上，.故得单调递增区间是，单调递减区间是.当时，由，得，所以，在区间和上，；在区间上，故得单调递增区间是和，单调递减区间是.当时，故得单调递增区间是.当时，，得，.所以没在区间和上，；在区间上，故得单调递增区间是和，单调递减区间是21.〔2023天津文〕〔20〕〔本小题总分值12分〕函数f〔x〕=，其中a>0.〔Ⅰ〕假设a=1，求曲线y=f〔x〕在点〔2，f〔2〕〕处的切线方程；〔Ⅱ〕假设在区间上，f〔x〕>0恒成立，求a的取值范围.【解析】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等根底知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法.总分值12分.〔Ⅰ〕解：当a=1时，f〔x〕=，f〔2〕=3；f’(x)=,f’(2)=6.所以曲线y=f〔x〕在点〔2，f〔2〕〕处的切线方程为y-3=6〔x-2〕，即y=6x-9.〔Ⅱ〕解：f’(x)=.令f’(x)=0，解得x=0或x=.以下分两种情况讨论：假设，当x变化时，f’(x)，f〔x〕的变化情况如下表：X0f’(x)+0-f(x)极大值当等价于解不等式组得-5<a<5.因此.假设a>2，那么.当x变化时，f’(x),f〔x〕的变化情况如下表：X0f’(x)+0-0+f(x)极大值极小值当时，f〔x〕>0等价于即解不等式组得或.因此2<a<5.综合〔1〕和〔2〕，可知a的取值范围为0<a<5.22.〔2023天津理〕〔21〕〔本小题总分值14分〕函数〔Ⅰ〕求函数的单调区间和极值；〔Ⅱ〕函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，〔Ⅲ〕如果，且，证明【解析】本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等根底知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力，总分值14分〔Ⅰ〕解：f’令f’(x)=0,解得x=1当x变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表X()1()f’(x)+0-f(x)极大值所以f(x)在()内是增函数，在()内是减函数。函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=〔Ⅱ〕证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)令F(x)=f(x)-g(x),即于是当x>1时，2x-2>0,从而’(x)>0,从而函数F〔x〕在[1,+∞)是增函数。又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).〔Ⅲ)证明：〔1〕假设〔2〕假设根据〔1〕〔2〕得由〔Ⅱ〕可知，>,那么=，所以>,从而>.因为，所以，又由〔Ⅰ〕可知函数f(x)在区间〔-∞，1〕内事增函数，所以>,即>2.23.〔2023福建文〕22．〔本小题总分值14分〕函数f〔x〕=的图像在点P〔0,f(0)〕处的切线方程为y=3x-2(Ⅰ)求实数a,b的值；(Ⅱ)设g〔x〕=f(x)+是[]上的增函数。〔i〕求实数m的最大值；(ii)当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线假设能与曲线y=g(x)围成两个封闭图形，那么这两个封闭图形的面积总相等?假设存在，求出点Q的坐标；假设不存在，说明理由。24.〔2023全国卷1理〕(20)(本小题总分值12分)函数.〔Ⅰ〕假设，求的取值范围；〔Ⅱ〕证明：.25.〔2023湖北文〕21.〔本小题总分值14分〕设函数，其中a＞0，曲线在点P〔0，〕处的切线方程为y=1〔Ⅰ〕确定b、c的值〔Ⅱ〕设曲线在点〔〕及〔〕处的切线都过点〔0,2〕证明：当时，〔Ⅲ〕假设过点〔0,2〕可作曲线的三条不同切线，求a的取值范围。26.〔2023湖南理〕20.〔本小题总分值13分〕函数对任意的，恒有。〔Ⅰ〕证明：当时，；〔Ⅱ〕假设对满足题设条件的任意b，c，不等式恒成立，求M的最小值。解析：27.〔2023福建理〕20．〔本小题总分值14分〕〔Ⅰ〕函数，。〔i〕求函数的单调区间；〔ii〕证明：假设对于任意非零实数，曲线C与其在点处的切线交于另一点，曲线C与其在点处的切线交于另一点，线段〔Ⅱ〕对于一般的三次函数〔Ⅰ〕〔ii〕的正确命题，并予以证明。【命题意图】本小题主要考查函数、导数、定积分等根底知识，考查抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想。【解析】〔Ⅰ〕〔i〕由得=，当和时，；当时，，因此，的单调递增区间为和，单调递减区间为。28.〔2023湖北理数〕29.〔2023安徽理〕17、〔本小题总分值12分〕设为实数，函数。(Ⅰ)求的单调区间与极值；(Ⅱ)求证：当且时，。30.〔2023江苏卷〕20、〔本小题总分值16分〕设是定义在区间上的函数，其导函数为。如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得，那么称函数具有性质。(1)设函数，其中为实数。(i)求证：函数具有性质；(ii)求函数的单调区间。(2)函数具有性质。给定设为实数，，，且，假设||<||，求的取值范围。【解析】本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等根底知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。总分值16分。〔1〕(i)∵时，恒成立，∴函数具有性质；(ii)〔方法一〕设，与的符号相同。当时，，，故此时在区间上递增；当时，对于，有，所以此时在区间上递增；当时，图像开口向上，对称轴，而，对于，总有，，故此时在区间上递增；〔方法二〕当时，对于，所以，故此时在区间上递增；当时，图像开口向上，对称轴，方程的两根为：，而当时，，，故此时在区间上递减；同理得：在区间上递增。综上所述，当时，在区间上递增；当时，在上递减；在上递增。(2)〔方法一〕由题意，得：又对任意的都有>0，所以对任意的都有，在上递增。又。当时，，且，综合以上讨论，得：所求的取值范围是〔0，1〕。〔方法二〕由题设知，的导函数，其中函数对于任意的都成立。所以，当时，，从而在区间上单调递增。①当时，有，，得，同理可得，所以由的单调性知、，从而有||<||，符合题设。②当时，，，于是由及的单调性知，所以||≥||，与题设不符。③当时，同理可得，进而得||≥||，与题设不符。因此综合①、②、③得所求的的取值范围是〔0，1〕。2023年高考题一、选择题1.(2023年广东卷文)函数的单调递增区间是 ()A.B.(0,3)C.(1,4)D.答案D解析,令,解得,应选D2.〔2023全国卷Ⅰ理〕直线y=x+1与曲线相切，那么α的值为()A.1B.2C.-1D.-2答案B解:设切点，那么,又.故答案选B3.〔2023安徽卷理〕函数在R上满足，那么曲线在点处的切线方程是()A.B.C.D.答案A解析由得几何，即，∴∴，∴切线方程，即选A4.〔2023江西卷文〕假设存在过点的直线与曲线和都相切，那么等于 ()A．或B．或C．或D．或答案A解析设过的直线与相切于点，所以切线方程为即，又在切线上，那么或，当时，由与相切可得，当时，由与相切可得，所以选.5.〔2023江西卷理〕设函数，曲线在点处的切线方程为，那么曲线在点处切线的斜率为 ()A．B．C．D．答案A解析由，而，所以应选A力。6.〔2023全国卷Ⅱ理〕曲线在点处的切线方程为()A.B.C.D.答案B解,故切线方程为,即应选B.7.〔2023湖南卷文〕假设函数的导函数在区间上是增函数，那么函数在区间上的图象可能是 ()yabyababaoxoxybaoxyoxybA．B．C．D．解析因为函数的导函数在区间上是增函数，即在区间上各点处的斜率是递增的，由图易知选A.注意C中为常数噢.8.〔2023辽宁卷理〕假设满足2x+=5,满足2x+2(x－1)=5,+＝ ()A.B.3C.D.4答案C解析由题意①②所以,即2令2x1＝7－2t,代入上式得7－2t＝2log2(2t－2)＝2＋2log2(t－1)∴5－2t＝2log2(t－1)与②式比拟得t＝x2于是2x1＝7－2x29.〔2023天津卷理〕设函数那么()A在区间内均有零点。B在区间内均无零点。C在区间内有零点，在区间内无零点。D在区间内无零点，在区间内有零点。【考点定位】本小考查导数的应用，根底题。解析由题得，令得；令得；得，故知函数在区间上为减函数，在区间为增函数，在点处有极小值；又，应选择D。二、填空题10.〔2023辽宁卷文〕假设函数在处取极值，那么解析f’(x)＝f’(1)＝＝0a＝3答案311.假设曲线存在垂直于轴的切线，那么实数的取值范围是.解析解析由题意该函数的定义域，由。因为存在垂直于轴的切线，故此时斜率为，问题转化为范围内导函数存在零点。解法1〔图像法〕再将之转化为与存在交点。当不符合题意，当时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当如图2，此时正好有一个交点，故有应填或是。解法2〔别离变量法〕上述也可等价于方程在内有解，显然可得12.〔2023江苏卷〕函数的单调减区间为.解析考查利用导数判断函数的单调性。，由得单调减区间为。亦可填写闭区间或半开半闭区间。13.〔2023江苏卷〕在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，曲线C在点P处的切线的斜率为2，那么点P的坐标为.解析考查导数的几何意义和计算能力。，又点P在第二象限内，点P的坐标为〔-2，15〕答案:【命题立意】:此题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答.14.〔2023福建卷理〕假设曲线存在垂直于轴的切线，那么实数取值范围是_____________.答案解析由题意可知，又因为存在垂直于轴的切线，所以。15.(2023陕西卷理)设曲线在点〔1，1〕处的切线与x轴的交点的横坐标为,令，那么的值为.答案-216.〔2023四川卷文〕设是平面上所有向量的集合，对于映射，记的象为。假设映射满足：对所有及任意实数都有，那么称为平面上的线性变换。现有以下命题：①设是平面上的线性变换，，那么②假设是平面上的单位向量，对，那么是平面上的线性变换；③对，那么是平面上的线性变换；④设是平面上的线性变换，，那么对任意实数均有。其中的真命题是〔写出所有真命题的编号〕答案①③④解析①：令，那么故①是真命题同理，④：令，那么故④是真命题③：∵，那么有是线性变换，故③是真命题②：由，那么有∵是单位向量，≠0，故②是假命题【备考提示】本小题主要考查函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，试题立意新颖，突出创新能力和数学阅读能力，具有选拔性质。17.〔2023宁夏海南卷文〕曲线在点〔0,1〕处的切线方程为。答案解析，斜率k＝＝3，所以，y－1＝3x，即三、解答题18.〔2023全国卷Ⅰ理〕本小题总分值12分。〔注意：在试题卷上作答无效〕设函数在两个极值点，且〔I〕求满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点的区域；(II)证明：分析〔I〕这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。大局部考生有思路并能够得分。由题意知方程有两个根那么有故有右图中阴影局部即是满足这些条件的点的区域。(II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标中的，〔如果消会较繁琐〕再利用的范围，并借助〔I〕中的约束条件得进而求解，有较强的技巧性。解析由题意有．．．．．．．．．．．．①又．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②消去可得．又，且19.〔2023浙江文〕〔此题总分值15分〕函数．〔I〕假设函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值；〔II〕假设函数在区间上不单调，求的取值范围．解析〔Ⅰ〕由题意得又，解得，或〔Ⅱ〕函数在区间不单调，等价于导函数在既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数即函数在上存在零点，根据零点存在定理，有，即：整理得：，解得20.〔2023北京文〕〔本小题共14分〕设函数.〔Ⅰ〕假设曲线在点处与直线相切，求的值；〔Ⅱ〕求函数的单调区间与极值点.解析此题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等根底知识，考查综合分析和解决问题的能力．〔Ⅰ〕,∵曲线在点处与直线相切，∴〔Ⅱ〕∵,当时，，函数在上单调递增，此时函数没有极值点.当时，由，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，∴此时是的极大值点，是的极小值点.21.〔2023北京理〕〔本小题共13分〕设函数〔Ⅰ〕求曲线在点处的切线方程；〔Ⅱ〕求函数的单调区间；〔Ⅲ〕假设函数在区间内单调递增，求的取值范围.解析此题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等根底知识，考查综合分析和解决问题的能力．〔Ⅰ〕,曲线在点处的切线方程为.〔Ⅱ〕由，得，假设，那么当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，假设，那么当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕知，假设，那么当且仅当，即时，函数内单调递增，假设，那么当且仅当，即时，函数内单调递增，综上可知，函数内单调递增时，的取值范围是.22.(2023山东卷文)〔本小题总分值12分〕 函数,其中〔1〕当满足什么条件时,取得极值?〔2〕,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.解:(1)由得,令,得,要取得极值,方程必须有解,所以△,即,此时方程的根为,,所以当时,x(-∞,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f’(x)＋0－0＋f(x)增函数极大值减函数极小值增函数所以在x1,x2处分别取得极大值和极小值.当时,x(-∞,x2)x2(x2,x1)x1(x1,+∞)f’(x)－0＋0－f(x)减函数极小值增函数极大值减函数所以在x1,x2处分别取得极大值和极小值.综上,当满足时,取得极值.(2)要使在区间上单调递增,需使在上恒成立.即恒成立,所以设,,令得或(舍去),当时,,当时,单调增函数;当时,单调减函数,所以当时,取得最大,最大值为.所以当时,,此时在区间恒成立,所以在区间上单调递增,当时最大,最大值为,所以综上,当时,;当时,【命题立意】:此题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,那么导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题.22.设函数，其中常数a>1(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)假设当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围。解析此题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。解析〔I〕由知，当时，，故在区间是增函数；当时，，故在区间是减函数；当时，，故在区间是增函数。综上，当时，在区间和是增函数，在区间是减函数。〔II〕由〔I〕知，当时，在或处取得最小值。由假设知即解得1<a<6故的取值范围是〔1，6〕23.〔2023广东卷理〕〔本小题总分值14分〕二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值．设．〔1〕假设曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；〔2〕如何取值时，函数存在零点，并求出零点．解析〔1〕依题可设()，那么；又的图像与直线平行，，设，那么当且仅当时，取得最小值，即取得最小值当时，解得当时，解得〔2〕由()，得当时，方程有一解，函数有一零点；当时，方程有二解，假设，，函数有两个零点，即；假设，，函数有两个零点，即；当时，方程有一解,,函数有一零点综上，当时,函数有一零点；当()，或〔〕时，函数有两个零点；当时，函数有一零点.24.〔2023安徽卷理〕〔本小题总分值12分〕函数，讨论的单调性.本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。本小题总分值12分。解析的定义域是(0,+),设,二次方程的判别式.当，即时，对一切都有,此时在上是增函数。①当,即时，仅对有,对其余的都有,此时在上也是增函数。当，即时，方程有两个不同的实根,,.+0_0+单调递增极大单调递减极小单调递增此时在上单调递增,在是上单调递减,在上单调递增.25.〔2023安徽卷文〕〔本小题总分值14分〕函数，a＞0，〔Ⅰ〕讨论的单调性；〔Ⅱ〕设a=3，求在区间{1，}上值域。期中e=2.71828…是自然对数的底数。【思路】由求导可判断得单调性，同时要注意对参数的讨论，即不能漏掉，也不能重复。第二问就根据第一问中所涉及到的单调性来求函数在上的值域。解析(1)由于令①当,即时,恒成立.在(－∞,0)及(0,＋∞)上都是增函数.②当,即时由得或或或又由得综上①当时,在上都是增函数.②当时,在上是减函数,在上都是增函数.(2)当时,由(1)知在上是减函数.在上是增函数.又函数在上的值域为26.〔2023江西卷文〕〔本小题总分值12分〕设函数．〔1〕对于任意实数，恒成立，求的最大值；〔2〕假设方程有且仅有一个实根，求的取值范围．解析(1),因为,,即恒成立,所以,得，即的最大值为(2)因为当时,;当时,;当时,;所以当时,取极大值;当时,取极小值;故当或时,方程仅有一个实根.解得或.27.〔2023江西卷理〕〔本小题总分值12分〕设函数(1)求函数的单调区间；(1)假设，求不等式的解集．解析(1),由,得.因为当时,；当时,；当时,；所以的单调增区间是:；单调减区间是:.(2)由,得：.故：当时,解集是：；当时，解集是：；当时,解集是：.28.〔2023天津卷文〕〔本小题总分值12分〕设函数〔Ⅰ〕当曲线处的切线斜率〔Ⅱ〕求函数的单调区间与极值；〔Ⅲ〕函数有三个互不相同的零点0，，且。假设对任意的，恒成立，求m的取值范围。答案〔1〕1〔2〕在和内减函数，在内增函数。函数在处取得极大值，且=函数在处取得极小值，且=解析解析当所以曲线处的切线斜率为1.〔2〕解析，令，得到因为当x变化时，的变化情况如下表：+0-0+极小值极大值在和内减函数，在内增函数。函数在处取得极大值，且=函数在处取得极小值，且=〔3〕解析由题设，所以方程=0由两个相异的实根，故，且，解得因为假设，而，不合题意假设那么对任意的有那么又，所以函数在的最小值为0，于是对任意的，恒成立的充要条件是,解得综上，m的取值范围是【考点定位】本小题主要考查导数的几何意义，导数的运算，以及函数与方程的根的关系解不等式等根底知识，考查综合分析问题和解决问题的能力。30.(2023湖北卷理)(本小题总分值14分)〔注意：在试题卷上作答无效〕在R上定义运算〔b、c为实常数〕。记，，.令.如果函数在处有极什,试确定b、c的值；求曲线上斜率为c的切线与该曲线的公共点；记的最大值为.假设对任意的b、c恒成立，试示的最大值。当得对称轴x=b位于区间之外此时由①假设于是①假设，那么，于是综上，对任意的b、c都有而当，时，在区间上的最大值故对任意的b，c恒成立的k的最大值为31.〔2023四川卷文〕〔本小题总分值12分〕函数的图象在与轴交点处的切线方程是。〔I〕求函数的解析式；〔II〕设函数，假设的极值存在，求实数的取值范围以及函数取得极值时对应的自变量的值.解析〔I〕由,切点为(2,0),故有,即……①又，由得……②联立①②，解得.所以函数的解析式为…………………4分〔II〕因为令当函数有极值时，那么，方程有实数解，由，得.①当时，有实数，在左右两侧均有，故函数无极值②当时，有两个实数根情况如下表：+0-0+↗极大值↘极小值↗所以在时，函数有极值；当时，有极大值；当时，有极小值；…………………12分32.〔2023全国卷Ⅱ理〕(本小题总分值12分)设函数有两个极值点，且〔I〕求的取值范围，并讨论的单调性；〔II〕证明：解:〔I〕令，其对称轴为。由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根，其充要条件为，得⑴当时，在内为增函数；⑵当时，在内为减函数；⑶当时，在内为增函数；〔II〕由〔I〕，设，那么⑴当时，在单调递增；⑵当时，，在单调递减。故．33.〔2023湖南卷文〕〔本小题总分值13分〕函数的导函数的图象关于直线x=2对称.〔Ⅰ〕求b的值；〔Ⅱ〕假设在处取得最小值，记此极小值为，求的定义域和值域。解:〔Ⅰ〕.因为函数的图象关于直线x=2对称，所以，于是〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，，.〔ⅰ〕当c12时，，此时无极值。〔ii〕当c<12时，有两个互异实根,.不妨设＜，那么＜2＜.当x＜时，，在区间内为增函数；当＜x＜时，，在区间内为减函数;当时，，在区间内为增函数.所以在处取极大值，在处取极小值.因此，当且仅当时，函数在处存在唯一极小值，所以.于是的定义域为.由得.于是.当时，所以函数在区间内是减函数，故的值域为35.〔2023福建卷理〕〔本小题总分值14分〕函数,且(1)试用含的代数式表示b,并求的单调区间；〔2〕令,设函数在处取得极值，记点M(,)，N(,)，P(),,请仔细观察曲线在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：〔I〕假设对任意的m(,x)，线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；〔II〕假设存在点Q(n,f(n)),xn<m,使得线段PQ与曲线f(x)有异于P、Q的公共点，请直接写出m的取值范围〔不必给出求解过程〕解法一:(Ⅰ)依题意,得由.从而令①当a>1时,当x变化时，与的变化情况如下表：x+－+单调递增单调递减单调递增由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为。②当时，此时有恒成立，且仅在处，故函数的单调增区间为R③当时，同理可得，函数的单调增区间为和，单调减区间为综上：当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；当时，函数的单调增区间为R；当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为.(Ⅱ)由得令得由〔1〕得增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值，故M〔〕N〔〕。观察的图象，有如下现象：①当m从-1〔不含-1〕变化到3时，线段MP的斜率与曲线在点P处切线的斜率之差Kmp-的值由正连续变为负。②线段MP与曲线是否有异于H，P的公共点与Kmp－的m正负有着密切的关联；③Kmp－=0对应的位置可能是临界点，故推测：满足Kmp－的m就是所求的t最小值，下面给出证明并确定的t最小值.曲线在点处的切线斜率；线段MP的斜率Kmp当Kmp－=0时，解得直线MP的方程为令当时，在上只有一个零点，可判断函数在上单调递增，在上单调递减，又，所以在上没有零点，即线段MP与曲线没有异于M，P的公共点。当时，.所以存在使得即当MP与曲线有异于M,P的公共点综上，t的最小值为2.〔2〕类似〔1〕于中的观察，可得m的取值范围为解法二：〔1〕同解法一.〔2〕由得，令，得由〔1〕得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值。故M().N()(Ⅰ)直线MP的方程为由得线段MP与曲线有异于M,P的公共点等价于上述方程在(－1,m)上有根,即函数上有零点.因为函数为三次函数,所以至多有三个零点,两个极值点.又.因此,在上有零点等价于在内恰有一个极大值点和一个极小值点,即内有两不相等的实数根.等价于即又因为,所以m的取值范围为(2,3)从而满足题设条件的r的最小值为2.36.〔2023辽宁卷文〕〔本小题总分值12分〕设，且曲线y＝f〔x〕在x＝1处的切线与x轴平行。(2)求a的值，并讨论f〔x〕的单调性；(1)证明：当解析〔Ⅰ〕.有条件知，，故.………2分于是.故当时，＜0；当时，＞0.从而在，单调减少，在单调增加.………6分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知在单调增加，故在的最大值为，最小值为.从而对任意，，有.………10分而当时，.从而………12分37.〔2023辽宁卷理〕〔本小题总分值12分〕函数f(x)=x－ax+(a－1)，。〔1〕讨论函数的单调性；〔2〕证明：假设，那么对任意x，x，xx，有。解析(1)的定义域为。2分〔i〕假设即,那么故在单调增加。(ii)假设,而,故,那么当时，;当及时，故在单调减少，在单调增加。(iii)假设,即,同理可得在单调减少，在单调增加.(II)考虑函数那么由于1<a<5,故，即g(x)在(4,+∞)单调增加，从而当时有，即，故，当时，有·········12分38.〔2023宁夏海南卷理〕〔本小题总分值12分〕函数〔1〕如，求的单调区间；〔1〕假设在单调增加，在单调减少，证明＜6.〔21〕解析〔Ⅰ〕当时，，故当当从而单调减少.(Ⅱ)由条件得：从而因为所以将右边展开，与左边比拟系数得，故又由此可得于是39.〔2023陕西卷文〕〔本小题总分值12分〕函数求的单调区间；假设在处取得极值，直线y=my与的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。解析〔1〕当时，对，有当时，的单调增区间为当时，由解得或；由解得，当时，的单调增区间为；的单调减区间为。〔2〕因为在处取得极大值，所以所以由解得。由〔1〕中的单调性可知，在处取得极大值，在处取得极小值。因为直线与函数的图象有三个不同的交点，又，，结合的单调性可知，的取值范围是。40.(2023陕西卷理)〔本小题总分值12分〕函数，其中假设在x=1处取得极值，求a的值；求的单调区间；〔Ⅲ〕假设的最小值为1，求a的取值范围。解〔Ⅰ〕∵在x=1处取得极值，∴解得〔Ⅱ〕∵∴①当时，在区间∴的单调增区间为②当时，由∴〔Ⅲ〕当时，由〔Ⅱ〕①知，当时，由〔Ⅱ〕②知，在处取得最小值综上可知，假设得最小值为1，那么a的取值范围是41.〔2023四川卷文〕〔本小题总分值12分〕函数的图象在与轴交点处的切线方程是。〔I〕求函数的解析式；〔II〕设函数，假设的极值存在，求实数的取值范围以及函数取得极值时对应的自变量的值.解析〔I〕由,切点为(2,0),故有,即……①又，由得……②联立①②，解得.所以函数的解析式为…………………4分〔II〕因为令当函数有极值时，那么，方程有实数解，由，得.①当时，有实数，在左右两侧均有，故函数无极值②当时，有两个实数根情况如下表：+0-0+↗极大值↘极小值↗所以在时，函数有极值；当时，有极大值；当时，有极小值；…………………12分42.〔2023湖北卷文〕〔本小题总分值14分〕关于x的函数f(x)＝＋bx2＋cx＋bc,其导函数为f+(x).令g(x)＝∣f+(x)∣,记函数g(x)在区间[-1、1]上的最大值为M.(Ⅰ)如果函数f(x)在x＝1处有极值-，试确定b、c的值：〔Ⅱ〕假设∣b∣>1,证明对任意的c,都有M>2:(Ⅲ)假设M≧K对任意的b、c恒成立，试求k的最大值。本小题主要考察函数、函数的导数和不等式等根底知识，考察综合运用数学知识进行推理论证的能力和份额类讨论的思想〔总分值14分〕〔I〕解析，由在处有极值可得解得或假设，那么，此时没有极值；假设，那么当变化时，，的变化情况如下表：10+0极小值极大值当时，有极大值，故，即为所求。〔Ⅱ〕证法1：当时，函数的对称轴位于区间之外。在上的最值在两端点处取得故应是和中较大的一个即证法2〔反证法〕：因为，所以函数的对称轴位于区间之外，在上的最值在两端点处取得。故应是和中较大的一个假设，那么将上述两式相加得：，导致矛盾，〔Ⅲ〕解法1：〔1〕当时，由〔Ⅱ〕可知；〔2〕当时，函数〕的对称轴位于区间内，此时由有①假设那么，于是②假设，那么于是综上，对任意的、都有而当时，在区间上的最大值故对任意的、恒成立的的最大值为。解法2：〔1〕当时，由〔Ⅱ〕可知；〔2〕当时，函数的对称轴位于区间内，此时，即下同解法143.〔2023宁夏海南卷文〕〔本小题总分值12分〕函数.设，求函数的极值；假设，且当时，12a恒成立，试确定的取值范围.请考生在第〔22〕、〔23〕、〔24〕三题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。〔21〕解析〔Ⅰ〕当a=1时，对函数求导数，得令列表讨论的变化情况：〔-1，3〕3+0—0+极大值6极小值-26所以，的极大值是，极小值是〔Ⅱ〕的图像是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称.假设上是增函数，从而上的最小值是最大值是由于是有由所以假设a>1,那么不恒成立.所以使恒成立的a的取值范围是44.〔2023天津卷理〕〔本小题总分值12分〕函数其中(1)当时，求曲线处的切线的斜率；(2)当时，求函数的单调区间与极值。本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等根底知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。总分值12分。〔I〕解析〔II〕以下分两种情况讨论。〔1〕＞，那么＜.当变化时，的变化情况如下表：+0—0+↗极大值↘极小值↗〔2〕＜，那么＞，当变化时，的变化情况如下表：+0—0+↗极大值↘极小值↗45.〔2023四川卷理〕〔本小题总分值12分〕函数。〔I〕求函数的定义域，并判断的单调性；〔II〕假设〔III〕当〔为自然对数的底数〕时，设，假设函数的极值存在，求实数的取值范围以及函数的极值。本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等根底知识、考查分类整合思想、推理和运算能力。解析〔Ⅰ〕由题意知当当当….〔4分〕〔Ⅱ〕因为由函数定义域知>0,因为n是正整数，故0<a<1.所以〔Ⅲ〕令当m=0时，有实根，在点左右两侧均有故无极值当时，有两个实根当x变化时，、的变化情况如下表所示：+0-0+↗极大值↘极小值↗的极大值为，的极小值为当时，在定义域内有一个实根，同上可得的极大值为综上所述，时，函数有极值；当时的极大值为，的极小值为当时，的极大值为46.〔2023福建卷文〕〔本小题总分值12分〕函数且〔I〕试用含的代数式表示；〔Ⅱ〕求的单调区间；〔Ⅲ〕令，设函数在处取得极值，记点，证明：线段与曲线存在异于、的公共点；解法一：〔I〕依题意，得由得〔Ⅱ〕由〔I〕得〔故令，那么或①当时，当变化时，与的变化情况如下表：+—+单调递增单调递减单调递增由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为②由时，，此时，恒成立，且仅在处，故函数的单调区间为R③当时，，同理可得函数的单调增区间为和，单调减区间为综上：当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；当时，函数的单调增区间为R；当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为〔Ⅲ〕当时，得由，得由〔Ⅱ〕得的单调增区间为和，单调减区间为所以函数在处取得极值。故所以直线的方程为由得令易得，而的图像在内是一条连续不断的曲线，故在内存在零点，这说明线段与曲线有异于的公共点解法二：〔I〕同解法一〔Ⅱ〕同解法一。〔Ⅲ〕当时，得，由，得由〔Ⅱ〕得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值，故所以直线的方程为由得解得所以线段与曲线有异于的公共点47.〔2023重庆卷理〕〔本小题总分值13分，〔Ⅰ〕问5分，〔Ⅱ〕问8分〕设函数在处取得极值，且曲线在点处的切线垂直于直线．〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕假设函数，讨论的单调性．解〔Ⅰ〕因又在x=0处取得极限值，故从而由曲线y=在〔1，f〔1〕〕处的切线与直线相互垂直可知该切线斜率为2，即〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，令〔1〕当〔2〕当K=1时，g〔x〕在R上为增函数〔3〕方程有两个不相等实根当函数当时，故上为减函数时，故上为增函数48.〔2023重庆卷文〕〔本小题总分值12分，〔Ⅰ〕问7分，〔Ⅱ〕问5分〕为偶函数，曲线过点，．〔Ⅰ〕求曲线有斜率为0的切线，求实数的取值范围；〔Ⅱ〕假设当时函数取得极值，确定的单调区间．解:〔Ⅰ〕为偶函数,故即有解得又曲线过点,得有从而,曲线有斜率为0的切线，故有有实数解.即有实数解.此时有解得所以实数的取值范围:〔Ⅱ〕因时函数取得极值,故有即,解得又令,得当时,,故在上为增函数当时,,故在上为减函数当时,,故在上为增函数2005—2023年高考题一、选择题1.〔2023年全国一7〕设曲线在点处的切线与直线垂直，那么 〔〕A．2 B．C．D．答案D2.〔2023年湖北卷7〕假设上是减函数，那么的取值范围是 〔〕A.B.C.D.答案C3.〔2023年福建卷12)函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如以下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是 〔〕答案D4.〔2023年辽宁卷6〕设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，那么点P横坐标的取值范围为〔〕A．B．C．D．答案A5.〔2007年福建理11文〕对任意实数，有，且时，，那么时 〔〕A．B．C．D．答案B6.〔2007年海南理10〕曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 〔〕A．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案D7.〔2007年江苏9〕二次函数的导数为，，对于任意实数都有，那么的最小值为 〔〕A．B．C．D．答案C8.〔2007年江西理9〕设在内单调递增，，那