第三章空间向量与立体几何-导学案

1第三章空间向量与立体几何导学案3、1、1空间向量及其运算学习目标1、理解空间向量的概念，掌握其表示方法；2、会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；3、能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题、学习过程一、课前准备（预习教材P84~P86，找出疑惑之处）复习1：平面向量基本概念：具有和的量叫向量，叫向量的模（或长度）；叫零向量，记着；叫单位向量、叫相反向量，的相反向量记着、叫相等向量、向量的表示方法有，，和共三种方法、复习2：平面向量有加减以及数乘向量运算：1、向量的加法和减法的运算法则有法则和法则、2、实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个量，记作，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝、(2)当λ＞0时，λa与A、；当λ＜0时，λa与A、；当λ＝0时，λa＝、3、向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？加法交换律：a＋b＝b＋a加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb二、新课导学※学习探究探究任务一：空间向量的相关概念问题：什么叫空间向量？空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗？空间向量如何表示？新知：空间向量的加法和减法运算：空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，变为两个平面向量的加法和减法运算，例如右图中，，，试试：1、分别用平行四边形法则和三角形法则求、2、点C在线段AB上，且,则,、反思：空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗？⑴加法交换律：A、+B、=B、+a；⑵加法结合律：(A、+b)+C、=A、+(B、+c)；⑶数乘分配律：λ(A、+b)=λA、+λb、※典型例题例1已知平行六面体（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：变式：在上图中，用表示和、小结：空间向量加法的运算要注意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量、例2化简下列各式：⑴;⑵⑶⑷、变式：化简下列各式：⑸;⑹;⑺、小结：化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法既可转化成加法，也可按减法法则进行运算，加法和减法可以转化、※动手试试练1、已知平行六面体,M为AC与BD的交点，化简下列表达式：⑴;⑵;⑶⑷、三、总结提升※学习小结1、空间向量基本概念；2、空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律※知识拓展平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移、学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）、A、很好B、较好C、一般D、较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1、下列说法中正确的是（）A、若∣∣=∣∣，则，的长度相同，方向相反或相同;B、若与是相反向量，则∣∣=∣∣;C、空间向量的减法满足结合律;D、在四边形ABCD中，一定有、2、长方体中，化简=3、已知向量，是两个非零向量，是与，同方向的单位向量，那么下列各式正确的是（）A、B、或C、D、∣∣=∣∣4、在四边形ABCD中，若,则四边形是（）A、矩形B、菱形C、正方形D、平行四边形5、下列说法正确的是（）A、零向量没有方向B、空间向量不可以平行移动C、如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等D、同向且等长的有向线段表示同一向量课后作业1、在三棱柱ABC-ABC中，M,N分别为BC,BC的中点，化简下列式子：⑴+⑵－+2、如图，平行六面体中，点为与的的交点，，，，则下列向量中与相等的是（）A、B、C、D、3、1、2空间向量的数乘运算（一）学习目标1、掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；2、理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；3、能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题、学习过程一、课前准备（预习教材P86~P87，找出疑惑之处）复习1：化简：⑴5（）+4（）；⑵、复习2：在平面上，什么叫做两个向量平行？在平面上有两个向量，若是非零向量，则与平行的充要条件是二、新课导学※学习探究探究任务一：空间向量的共线问题：空间任意两个向量有几种位置关系？如何判定它们的位置关系？新知：空间向量的共线：1、如果表示空间向量的所在的直线互相或，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量、2、空间向量共线：定理：对空间任意两个向量（），的充要条件是存在唯一实数，使得推论：如图，l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是试试：已知，求证:A,B,C三点共线、反思：充分理解两个向量共线向量的充要条件中的，注意零向量与任何向量共线、※典型例题例1已知直线AB，点O是直线AB外一点，若，且x+y＝1，试判断A,B,P三点是否共线？变式：已知A,B,P三点共线，点O是直线AB外一点，若，那么t＝例2已知平行六面体，点M是棱AA的中点，点G在对角线AC上，且CG:GA=2:1,设=，，试用向量表示向量、变式1：已知长方体，M是对角线AC中点，化简下列表达式：⑴;⑵⑶变式2：如图，已知不共线，从平面外任一点，作出点,使得：⑴⑵⑶⑷、小结：空间向量的化简与平面向量的化简一样，加法注意向量的首尾相接，减法注意向量要共起点，并且要注意向量的方向、※动手试试练1、下列说法正确的是（）A、向量与非零向量共线，与共线，则与共线；B、任意两个共线向量不一定是共线向量；C、任意两个共线向量相等；D、若向量与共线，则、2、已知，，若，求实数三、总结提升※学习小结1、空间向量的数乘运算法则及它们的运算律；2、空间两个向量共线的充要条件及推论、※知识拓展平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移、学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）、A、很好B、较好C、一般D、较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1、下列说法正确的是（）A、与非零向量共线,与共线，则与共线B、任意两个相等向量不一定共线C、任意两个共线向量相等D、若向量与共线，则2、正方体中，点E是上底面的中心，若,则x＝，y＝，z＝、3、若点P是线段AB的中点，点O在直线AB外，则+、4、平行六面体,O为AC与BD的交点,则5、已知平行六面体，M是AC与BD交点，若，则与相等的向量是（）A、；B、；C、；D、、课后作业：3、1、2空间向量的数乘运算（二）学习目标1、掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；2、理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；3、能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题、学习过程一、课前准备（预习教材P86~P87，找出疑惑之处）复习1：什么叫空间向量共线？空间两个向量，若是非零向量，则与平行的充要条件是复习2：已知直线AB，点O是直线AB外一点，若，试判断A,B,P三点是否共线？二、新课导学※学习探究探究任务一：空间向量的共面问题：空间任意两个向量不共线的两个向量有怎样的位置关系？空间三个向量又有怎样的位置关系？新知：共面向量：同一平面的向量、2、空间向量共面：定理：对空间两个不共线向量，向量与向量共面的充要条件是存在，使得、推论：空间一点P与不在同一直线上的三点A,B,C共面的充要条件是：⑴存在，使⑵对空间任意一点O，有试试：若空间任意一点O和不共线的三点A,B,C满足关系式,则点P与A,B,C共面吗？反思：若空间任意一点O和不共线的三点A,B,C满足关系式,且点P与A,B,C共面，则、※典型例题例1下列等式中，使M,A,B,C四点共面的个数是（）①②③④、A、1B、2C、3D、4变式：已知A,B,C三点不共线，O为平面ABC外一点，若向量则P,A,B,C四点共面的条件是例2如图，已知平行四边形ABCD,过平面AC外一点O作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点E,,F,G,H,并且使求证：E,F,G,H四点共面、变式：已知空间四边形ABCD的四个顶点A,B,C,D不共面，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点，求证：E,F,G,H四点共面、小结：空间向量的化简与平面向量的化简一样，加法注意向量的首尾相接，减法注意向量要共起点，并且要注意向量的方向、※动手试试练1、已知三点不共线，对平面外任一点，满足条件，试判断：点与是否一定共面？练2、已知，，若，求实数三、总结提升※学习小结1、空间向量的数乘运算法则及它们的运算律；2、空间两个向量共线的充要条件及推论、※知识拓展平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移、学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）、A、很好B、较好C、一般D、较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1、在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量、、是（）A、有相同起点的向量B、等长向量C、共面向量D、不共面向量、2、正方体中，点E是上底面的中心，若,则x＝，y＝，z＝、3、若点P是线段AB的中点，点O在直线AB外，则+、4、平行六面体,O为AC与BD的交点,则、5、在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc、其中正确命题的个数为（）、A、0B、1C、2D、3课后作业：1、若，，若，求实数、2、已知两个非零向量不共线,、求证：共面、3、1、3、空间向量的数量积（1）学习目标1、掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2、掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题、学习过程一、课前准备（预习教材P90~P92，找出疑惑之处）复习1：什么是平面向量与的数量积？复习2：在边长为1的正三角形⊿ABC中，求、二、新课导学※学习探究探究任务一：空间向量的数量积定义和性质问题：在几何中，夹角与长度是两个最基本的几何量，能否用向量的知识解决空间两条直线的夹角和空间线段的长度问题？新知：1)两个向量的夹角的定义：已知两非零向量，在空间一点，作，则叫做向量与的夹角，记作、试试：⑴范围:=0时,;=π时,⑵成立吗？⑶，则称与互相垂直，记作、2)向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记作，即、规定:零向量与任意向量的数量积等于零、反思：⑴两个向量的数量积是数量还是向量？⑵（选0还是）⑶你能说出的几何意义吗？3)空间向量数量积的性质：（1）设单位向量，则、（2）、（3）＝、4)空间向量数量积运算律：（1）、（2）（交换律）、（3）（分配律反思：⑴吗？举例说明、⑵若，则吗？举例说明、⑶若，则吗？为什么？※典型例题例1用向量方法证明：在平面上的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直、变式1：用向量方法证明：已知：是平面内的两条相交直线，直线与平面的交点为，且、求证：、例2如图，在空间四边形中，，，，，，，求与的夹角的余弦值变式：如图，在正三棱柱ABC-ABC中，若AB=BB,则AB与CB所成的角为（）A、60B、90C、105D、75例3如图，在平行四边形ABCD-ABCD中，,,,==60,求的长、※动手试试练1、已知向量满足，，，则____、练2、,则的夹角大小为_____、三、总结提升※学习小结1、、向量的数量积的定义和几何意义、2、向量的数量积的性质和运算律的运用、※知识拓展向量给出了一种解决立体几何中证明垂直问题，求两条直线的夹角和线段长度的新方法、学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）、A、很好B、较好C、一般D、较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1、下列命题中：①若，则，中至少一个为②若且，则③④正确有个数为（）A、0个B、1个C、2个D、3个2、已知和是两个单位向量，夹角为，则下面向量中与垂直的是（）A、B、C、D、3、已知中，所对的边为，且,,则=4、已知，，且和不共线，当与的夹角是锐角时，的取值范围是、5、已知向量满足，，，则____课后作业：1、已知空间四边形中，，，求证：、2、已知线段AB、BD在平面内,BD⊥AB,线段,如果AB＝a,BD＝b,AC＝c,求C、D间的距离、3、1、4空间向量的正交分解及其坐标表示学习目标1、掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；2、掌握空间向量的坐标运算的规律；学习过程一、课前准备（预习教材P92-96找出疑惑之处）复习1：平面向量基本定理：对平面上的任意一个向量，是平面上两个向量，总是存在实数对，使得向量可以用来表示，表达式为，其中叫做、若，则称向量正交分解、复习2：平面向量的坐标表示：平面直角坐标系中，分别取x轴和y轴上的向量作为基底，对平面上任意向量，有且只有一对实数x，y，使得，，则称有序对为向量的，即＝、二、新课导学※学习探究探究任务一：空间向量的正交分解问题：对空间的任意向量，能否用空间的几个向量唯一表示？如果能，那需要几个向量？这几个向量有何位置关系？新知：1空间向量的正交分解：空间的任意向量，均可分解为不共面的三个向量、、，使、如果两两，这种分解就是空间向量的正交分解、(2)空间向量基本定理：如果三个向量，对空间任一向量，存在有序实数组，使得、把的一个基底，都叫做基向量、反思：空间任意一个向量的基底有个、⑶单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相，长度都为，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i,j,k｝表示、⑷空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz和向量a，且设i、j、k为x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，则存在有序实数组，使得，则称有序实数组为向量a的坐标，记着、⑸设A，B，则＝、⑹向量的直角坐标运算：设a＝，b＝，则⑴a＋b＝；⑵a－b＝；⑶λa＝；⑷ab＝、试试：1、设，则向量的坐标为、2、若A，B，则＝、3、已知a＝，b＝，求a＋b，a－b，8a，ab※典型例题例1已知向量是空间的一个基底，从向量中选哪一个向量，一定可以与向量构成空间的另一个基底？变式：已知O,A,B,C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O,A,B,C是否共面？小结：判定空间三个向量是否构成空间的一个基底的方法是：这三个向量一定不共面、例2如图，M,N分别是四面体QABC的边OA,BC的中点，P,Q是MN的三等分点，用表示和、变式：已知平行六面体，点G是侧面的中心，且，，试用向量表示下列向量:⑴⑵、※动手试试练1、已知，求：⑴；⑵、练2、正方体的棱长为2，以A为坐标原点，以为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，则点，的坐标分别是，，、三、总结提升※学习小结1、空间向量的正交分解及空间向量基本定理；2、空间向量坐标表示及其运算※知识拓展建立空间直角坐标系前，一定要验证三条轴的垂直关系，若图中没有建系的环境，则根据已知条件，通过作辅助线来创造建系的图形、学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）、A、很好B、较好C、一般D、较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1、若为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成基底的是（）A、B、C、D、2、设i、j、k为空间直角坐标系O-xyz中x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，且，则点B的坐标是3、在三棱锥OABC中，G是的重心（三条中线的交点），选取为基底，试用基底表示＝4、正方体的棱长为2，以A为坐标原点，以为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，E为BB1中点，则E的坐标是、5、已知关于x的方程有两个实根，，且，当t＝时，的模取得最大值、课后作业1、已知,求线段AB的中点坐标及线段AB的长度、2、已知是空间的一个正交基底，向量是另一组基底，若在的坐标是，求在的坐标、3、1、5空间向量运算的坐标表示学习目标1、掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；2、会用这些公式解决有关问题、学习过程一、课前准备（预习教材P95~P97，找出疑惑之处）复习1：设在平面直角坐标系中，A，B，则线段︱AB︱＝、复习2：已知，求：⑴a＋B、⑵3a－b；⑶6A、；⑷ab、二、新课导学※学习探究探究任务一：空间向量坐标表示夹角和距离公式问题：在空间直角坐标系中，如何用坐标求线段的长度和两个向量之间的夹角？新知：1、向量的模：设a＝，则｜a｜＝2、两个向量的夹角公式：设a＝，b＝，由向量数量积定义：ab＝|a||b|cos＜a,b＞，又由向量数量积坐标运算公式：ab＝，由此可以得出：cos＜a,b＞＝试试：①当cos＜a、b＞＝1时，a与b所成角是；②当cos＜a、b＞＝－1时，a与b所成角是；③当cos＜a、b＞＝0时，a与b所成角是，即a与b的位置关系是，用符合表示为、反思：设a＝，b＝，则⑴a//B、a与b所成角是a与b的坐标关系为；⑵a⊥ba与b的坐标关系为；3、两点间的距离公式：在空间直角坐标系中，已知点，，则线段AB的长度为：、4、线段中点的坐标公式：在空间直角坐标系中，已知点，，则线段AB的中点坐标为:、※典型例题例1、如图,在正方体中，点分别是的一个四等分点，求与所成的角的余弦值、变式：如上图,在正方体中，，求与所成角的余弦值、例2、如图，正方体中，点E,F分别是的中点，求证：、变式：如图，正方体中，点M是AB的中点，求与CM所成角的余弦值、小结：求两个向量的夹角或角的余弦值的关键是在合适的直角坐标系中找出两个向量的坐标，然后再用公式计算、※动手试试练1、已知A(3,3,1)、B(1，0，5)，求：⑴线段AB的中点坐标和长度；⑵到A、B两点距离相等的点的坐标x、y、z满足的条件、练2、如图，正方体的棱长为2，试建立适当的空间直角坐标系，写出正方体各顶点的坐标，并和你的同学交流、三、总结提升※学习小结1、空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；2、解决立体几何中有关向量问题的关键是如何建立合适的空间直角坐标系，写出向量的坐标，然后再代入公式进行计算、※知识拓展在平面内取正交基底建立坐标系后，坐标平面内的任意一个向量，都可以用二元有序实数对表示，平面向量又称二维向量、空间向量可用三元有序实数组表示，空间向量又称三维向量、二维向量和三维向量统称为几何向量、学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）、A、很好B、较好C、一般D、较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1、若a＝，b＝，则是的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分又不不要条件2、已知，且，则x＝、3、已知,与的夹角为120，则的值为（）A、B、C、D、4、若，且的夹角为钝角，则的取值范围是（）A、B、C、D、5、已知，且，则（）A、B、C、D、课后作业：1、如图，正方体棱长为，⑴求的夹角；⑵求证：、2、如图，正方体中，点M,N分别为棱的中点，求CM和所成角的余弦值、3、1空间向量及其运算（练习）学习目标1、熟练掌握空间向量的加法，减法，向量的数乘运算，向量的数量积运算及其坐标表示；2、熟练掌握空间线段的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并能熟练用这些公式解决有关问题、学习过程一、课前准备：（阅读课本p115）复习：1、具有和的量叫向量，叫向量的模；叫零向量，记着；具有叫单位向量、2、向量的加法和减法的运算法则有法则和法则、3、实数λ与向量a的积是一个量，记作，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝、(2)当λ＞0时，λa与A、；当λ＜0时，λa与A、；当λ＝0时，λa＝、4、向量加法和数乘向量运算律：交换律：a＋b＝结合律：(a＋b)＋c＝数乘分配律：λ(a＋b)＝5、①表示空间向量的所在的直线互相或，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量、②空间向量共线定理：对空间任意两个向量（），的充要条件是存在唯一实数，使得；③推论：l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是6、空间向量共面：①共面向量：同一平面的向量、②定理：对空间两个不共线向量，向量与向量共面的充要条件是存在，使得、③推论：空间一点P与不在同一直线上的三点A,B,C共面的充要条件是：⑴存在，使⑵对空间任意一点O，有7、向量的数量积：、8、单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相，长度都为，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i,j,k｝表示、9、空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz和向量a，且设i、j、k为x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，则存在有序实数组，使得，则称有序实数组为向量a的坐标，记着、10、设A，B，则＝、11、向量的直角坐标运算：设a＝，b＝，则⑴a＋b＝；⑵a－b＝；⑶λa＝；⑷ab＝※动手试试1、在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc、其中正确命题的个数为（）A、0B、1C、2D、32、在平行