八年级数学 分式讲义

分式

一、从分数到分式：

A

(1).分式定义：一般地，形如2的式子叫做分式，其中A和B均为整式，B中含有字母。整式和分式称

B

为有理式。注意：判断代数式是否是分式时不需要化简。

例：下列各式区,—,-x+y,-3/,0中，是分式的有___________________；是整式的有

兀x+15a-h

;是有理式的有.

练习：

丫2_]921

1.下列各式:①土一;②M—；③」?；④上.其中分式有__________________________

3XX71

2.在代数式女二二一,a+即中,

分式的个数是________________________________

m4xyx+y3

(2)分式有意义的条件：分母不等于0.

例：下列分式，当x取何值时有意义.

(1)空!11；(2)三三

3x+22x—3

练习：

1.当_________________时，分式-------------有意义.

(x-l)(x-2)

2.当__________________时，分式f)无意义.

尤一2

3.当m时，分式有意义.

1-4m

4.下列各式中，不论字母x取何值时分式都有意义的是()

5x+3

D.

2x4-1O.5x+1x22x2+1

5,下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（）

.1nX小3x+lX2

A.----B.----C.——D.--——

2x4-12x+lX22x+1

7.使分式一^无意义，x的取值是（）

1x1-1

A.0B.1C.-1D.±1

8.应用题:一项工程，甲队独做需a天完成，乙队独做需b天完成，问甲、乙两队合作，需天完成.

(3)分式的值为0：分子等于0,分母不等于0

Y~_Y

例：1.当x=时，分式一的值为0,

X

2.当x时，分式2/7的值为零.

x~+x-2

1

3.当x时，分式」-的值为正；当x时，分式二的值为负.

—x+5x+1

4.下列各式中，可能取值为零的是（）

2

Am+1-加2-1万tn+1门加之+1

A.———B.-----C.———D.-----

nr—1〃？+1rrr—1+1

练习：

1.分式当X时，分式有意义；当X时，分式的值为零.

x--4

2

2.若分式X一-—9二的值为零，则x的值为

3.当机=时，分式件则二2的值为零.

ITT—3m+2

Y—3

4.若分式一的值为负，则x的取值是（）

x

A.xV3且xMB.x>3C.x<3D.x>-3且x#）

5.分式立巴中，当x=-a时，下列结论正确的是（）

3x—1

A.分式的值为零；B.分式无意义

C.若aK-!■时，分式的值为零；D.若时，分式的值为零

33

6.下列各式中，可能取值为零的是（）

,trr+1「tn2-1c/7?+1、nr+1

A.———B.-----C.--——D.-----

m~-1m+1nr-1m+\

7.已知>=（4，x取哪些值时：（1）y的值是正数；（2）y的值是负数；（3）y的值是零；（4）分

式无意义.

8.若分式合-1的值是正数、负数、。时’求x的取值范围.

c口1443x2—5xy+2v2小0s口”J1今45x+3xy-5y/士

9.已知一=一，求---——J■的值.10.已知-----=3,求------一的1t1A值.

y32/+3划一5尸Xyx-2xy-y

2

二、分式的基本性质：分式的分子或分母同时乘以或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。

例：1.不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数：

12

-X+-V

23.0.3。+0.5〃_

120.2a-b

-X—y

23-

2.不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含号。

L卫-x2m-x

2.---=3.——二4.-----=

一6。3y-n-yz

网=12.小3ab3b

3.填空：(1)(2)--=—

3b3ab4a()

________时，，=("+?("T)+l成立.

4.当a_____

a+5

5.对有理数x,下列结论中一定正确的是()

A.分式的分子与分母同乘以|x|,分式的值不变

B.分式的分子与分母同乘以x2,分式的值不变

C.分式的分子与分母同乘以|x+2,分式的值不变

D.分式的分子与分母同乘以(+1,分式的值不变

6.对于分式」一，总有(

)

a+\

121a+1CL—11-1

A.----=-----B.(a#—1)C.---D.----=-----

12

a—1CL—2a-\a-1a-\a-1a—1a+1

⑵a—b_(a-b)-

a+b)

分式约分：化简分式

(1)约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.

(2)分式约分的依据：分式的基本性质.

(3)分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式.

(4)最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式.

分式约分的基本步骤：1分子分母能进行因式分解的式子分解因式。

2找出分子分母的最大公因式。

3分子分母同时除以最大公因式。

4最间分式的分子分母不含有公因式或公因数。

例：1.找出下列分式中分子分母的公因式:

3a3b3c2

⑴生⑶

⑵--2---

MacUac初’(x+y)

2把下列分式化为最简分式：

8a2_125a2比3,26(a+b)2_26a-\-b

12a45ah2c13(a+613a2-b2a2+ab

3

练习

22

1.分式空包，勺，x-xy+y:这?中是最简分式的有（

)

4。x-1%+y

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.下列分式中是最简分式是()

2c22

m2一n2加+3"?rx-y.(m一〃)2

A,2，U.2)

机+m--9(x+»m--rr

3.约分：

,、8/6⑵8a

(1)-----(3)

24ab224ah2(l-a)x—2x+1

一15。％3%2—4

4.约分：（1）⑵

25a5//x+2

5.不改变分式的值，使分式的分子、分母不含负号.

—3x—32

⑴⑵一

—2x—3x+2

6.化简求值:

%2—4y廿.11/一9

(1)—；——2其中x=-，y=—(2)其中a=5

4x一Sxy2-4ci~-6a+9

4

分式通分：把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变分数的值，叫做分数的通分。

步骤：先求出几个异分母分式的分母的最简公分母，作为它们的公分母，把原来的各分式化成用这个公分

母做分母的分式。

找最简公分母的步骤：

(1)把分式的分子与分母分解因式；

(2)取各分式的分母中系数最小公倍数；

(3)各分式的分母中所有字母或因式都要取到；

(4)相同字母(或因式)的累取指数最大的；

(5)所得的系数的最小公倍数与各字母(或因式)的最高次累的积(其中系数都取正数)即为最简公分母。

例：1.求分式一^,的最简公分母。2.求分式一J与一一的最简公分母。

3222

2xyz4/y36盯44x-2xx-4

3.通分:

4a3c5b

⑴七十心;5b2c'1OcJb'-

x12x12x

(4)

(2%—4—6x—3x2x~—4—1—3x+2

练习:

1、通分:

⑴Xy;)⑵，xx1(3),

x+yx-14a2ac

(4)⑹ii1

9-3。a2-9(a-b)(b-c)(b-c)(c-a)(a-c)(a-b)

2.求下列各组分式的最简公分母:

2____15

(1)(2)_L_>___

3ah2'4。,’6机二2mn6m"n''9m'c

11111

(3)(4)-----——―------y

a-b\h-a)(a+b)’3x(尢一2)(%-2)(%+3)2(x+3)-

x11

2尤+2+x]?—1

5

3