2019中考数学模拟试卷13

2015年重庆市中考数学试卷（A卷）

一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）

1.（4分）在4,0,一1,3这四个数中，最大的数是（）

A.-4B.0

2.（4分）下列图形是轴对称图形的是（

能

3.（4分）化简J正的结果是（）

A.473B.2、百C.372D.2遥

4.（4分）计算3的结果是（

A.小aB.岸心C.小及D.a6。

5.（4分）下列调查中，最适合用普查方式的是（）

A.调查一批电视机的使用寿命情况

B.调查某中学九年级一班学生的视力情况

C.调查重庆市初中学生每天锻炼所用的时间情况

D.调查重庆市初中学生利用网络媒体自主学习的情况

6.（4分）如图，直线a司C。，直线守分别与直线28,8相交于点G,〃.若"=135。，

则/2的度数为（）

Hi2

D

A.65°B.55°C.45°D.75°

7.（4分）在某校九年级二班组织的跳绳比赛中，第一小组五位同学跳绳的个数分别为198,

230,220,216,209,则这五个数据的中位数为（）

A.220B,218C.216D.209

8.（4分）一元二次方程*-2x=0的根是（）

A.X1=0,A2=-2B.%1=1,X2=2C.X1=1,A2=-2D.X1=0,A2=2

9.（4分）如图，Z8是。。直径，点C在。。上，力£是。。的切线，Z为切点，连接BC

并延长交力£于点。.若N/IOC=80°,贝心4?8的度数为（）

10.（4分）今年“五一”节，小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段

时间.设他从山脚出发后所用时间为f（分钟），所走的路程为s（米），5与7之间的函

B.小明休息前爬山的平均速度为每分钟70米

C.小明在上述过程中所走的路程为6600米

D.小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度

11.（4分）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第①个图形中一共

有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈....,

按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（）

①②③

A.21B.24C.27D.30

12.（4分）如图，在平面直角坐标系中,菱形力BCD在第一象限内，边8c与x轴平行，

力，8两点的纵坐标分别为3,1.反比例函数y=3的图象经过力,8两点，则菱形ZI8C。

X

的面积为（）

y八

0'X

A.2B.4C.272D.472

二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）

13.（4分）我国“南仓”级远洋综合补给舱满载排水量为37000吨，把数37000用科学记数

法表示为_______.

14.（4分）计算：2015。一|2|=______.

15.（4分）已知^ABC-DEF,A/18c与尸的相似比为4:1贝必/8C与A0EF对应

边上的高之比为_______.

16.（4分）如图，在等腰直角三角形为8c中，N〃C8=90°,48=4&.以力为圆心，AC

长为半径作弧，交力8于点。，则图中阴影部分的面积是.（结果保留IT）

17.（4分）从3,2,-1,0,4这五个数中随机抽取一个数记为a,a的值既是不等式组

（2x+3<41

的解，又在函数y=—一的自变量取值范围内的概率是

,3x-l>-ll2X2+2X

18.（4分）如图，在矩形力8。中，48=4粕，/。=10.连接8。，NA8c的角平分线

BE交。。于点£,现把绕点8逆时针旋转，记旋转后的A8CE为.当射线

更和射线8c都与线段力。相交时，设交点分别为F,G.若为等腰三角形，则

线段OG长为

三、解答题（共2小题，满分14分）

19.（7分）解方程组［尸2X-4①

l3x+y=l②

20.（7分）如图，在和4房。中，点8,C,。，£在同一直线上，且28=房，BC

21.（10分）计算：

(1)/(2号)+(x+y)2;

9

2）（“一旦）+匕汉型

22.（10分）为贯彻政府报告中“全民创新，万众创业”的精神，某镇对辖区内所有的小微企

业按年利润14/（万元）的多少分为以下四个类型：/类（w/<10）,B类（10Vw<20）,

。类（20V/<30）,。类（论30）,该镇政府对辖区内所有小微企业的相关信息进行统

计后，绘制成以下条形统计图和扇形统计图，请你结合图中信息解答下列问题：

某镇嘴企业个数黜缀计图微小企业个数占该镇小

（1）该镇本次统计的小微企业总个数是,扇形统计图中8类所对应扇形圆心角

的度数为度，清补全条形统计图；

（2）为了进一步解决小微企业在发展中的问题，该镇政府准备召开一次座谈会，每个企

业派一名代表参会.计划从。类企业的4个参会代表中随机抽取2个发言，。类企业的

4个参会代表中有2个来自高新区，另2个来自开发区.请用列表或画树状图的方法求

出所抽取的2个发言代表都来自高新区的概率.

23.（10分）如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从

个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”.例

如自然数12321,从最高位到个位依次排出的一串数字是:1,2,3,2,1,从个位到

最高位依次排出的一串数字仍是：1,2,3,2,1,因此12321是一个“和谐数”,再如22,

545,3883,345543,...,都是“和谐数”.

（1）请你直接写出3个四位‘和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除？

并说明理由；

(2)已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字x(1<A<4,x为自然数),

十位上的数字为y,求y与x的函数关系式.

24.(10分)某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD,其中AB\CD,大坝顶上有

一瞭望台PC、QC正前方有两艘渔船M小.观察员在瞭望台顶端9处观测到渔船团的

俯角a为31。，渔船2的俯角0为45。.已知例/V所在直线与尸C所在直线垂直，垂足为E,

且尸£长为30米.

(1)求两渔船股，/V之间的距离(结果精确到1米)；

(2)已知坝高24米，坝长100米，背水坡力。的坡度/=1:0.25,为提高大坝防洪能

力，请施工队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固，坝底84加宽后变为83,加固

后背水坡DH的坡度/=1:1.75,施工队施工10天后，为尽快完成加固任务，施工队增

加了机械设备，工作效率提高到原来的2倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施

工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？

25.(12分)如图1,在8c中，zACB=90°,zBAC=60°,点E是/84C角平分线上一

点，过点E作4F的垂线，过点力作为8的垂线，两垂线交于点。，连接点尸是

8。的中点，DHLAC、垂足为H,连接£尸，HF.

(1)如图1,若点〃是4C的中点，AC=243,求力8,8。的长；

(2)如图1,求证：HF=EF',

(3)如图2,连接。尸，CE.猜想：△C£尸是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，

说明理由.

c.

26.（12分）如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=.返/+3y交x轴于A,B

4

两点（点Z1在点8的左侧）,交y轴于点W,顶点为C,抛物线的对称轴与x轴的交点

为D.

（1）求直线8C的解析式；

（2）点£（。，0）,尸（向2,0）为x轴上两点，其中2＜勿＜4,EE,0分别垂直于

x轴，交抛物线于点£,尸，交8c于点例，/V,当例£+A/尸的值最大时，在，轴上找一

点/?,使|/?尸一/?£|的值最大，请求出/?点的坐标及|/?尸一/?£|的最大值；

（3）如图2,已知x轴上一点尸（*,0）,现以尸为顶点，2行为边长在x轴上方作等

边三角形QPG,使GQix轴，现将△QPG沿84方向以每秒1个单位长度的速度平移，

当点尸到达点/1时停止，记平移后的AQ尸G为△。尸G.设△。尸G与A/OC的重叠部分

面积为s.当。到x轴的距离与点。到直线的距离相等时，求s的值.

2015年重庆市中考数学试卷（A卷）

弁考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）

1.（4分）在4,0,」，3这四个数中，最大的数是（）

A.-4B,0C..1D.3

【分析】先计算14|=4,|-1|=1,根据负数的绝对值越大，这个数越小得4<一1,再根据

正数大于0,负数小于0得到4<-1<0<3.

【解答】解：.[4|=4,|-1|=1,

.-.-4<.1,

.-4,0,-1,3这四个数的大小关系为4<一1<0<3.

故选：。.

【点评】本题考查了有理数大小比较：正数大于0,负数小于0;负数的绝对值越大，这

个数越小.

2.（4分）下列图形是轴对称图形的是（）

c0D能

【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折海后，直线两旁的部分能

够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形.据此对图中的图形进行判断.

【解答】解：4不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折

叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义，故本选项错误;

所有六条对称轴，是轴对称图形，故本选项正确；

G不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两

旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义，故本选项错误；

久不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两

旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义，故本选项错误.

故选：8.

【点评】本题考查了轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分

折叠后可重合.

3.（4分）化简/适的结果是（）

A.473B.273C.372D.2巡

【分析】根据二次根式的性质化简即可.

【解答】解：={22x3=2'/^，

故选：8.

【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质：是解题的关键.

4.（4分）计算（东b）3的结果是（）

A.小8B.岸*C.a5勿D.a6/?

【分析】根据幕的乘方和积的乘方的运算方法：①（/）"=/〃（加，〃是正整数）；②

（3。）"=夕夕（〃是正整数）；求出（a2。）3的结果是多少即可.

【解答】解:（岸b）3

=（a2）3.炉

=a6/?3

即计算（#。）3的结果是次分.

故选：力.

【点评】此题主要考查了幕的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：

①（/）〃=gmn（m,"是正整数）；②（ab）"=（〃是正整数）.

5.（4分）下列调查中，最适合用普查方式的是（）

A.调查一批电视机的使用寿命情况

B.调查某中学九年级一班学生的视力情况

C.调查重庆市初中学生每天锻炼所用的时间情况

D.调查重庆市初中学生利用网络媒体自主学习的情况

【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查

得到的调查结果比较近似.

【解答】解：4调查一批电视机的使用寿命情况，调查局有破坏性，适合抽样调查，故

4不符合题意；

8、调查某中学九年级一班学生的视力情况，适合普查，故8符合题意；

G调查重庆市初中学生每天锻炼所用的时间情况，调查范围广，适合抽样调查，故C

不符合题意；

调查重庆市初中学生利用网络媒体自主学习的情况，适合抽样调查，故D不符合题

意；

故选：8.

【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考

查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的

意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选

用普查.

6.（4分）如图，直线AB\CD,直线守分别与直线AB，。相交于点G,〃.若/=135°,

贝「2的度数为（）

A.65°B.55°C.45°D.75°

【分析】根据平行线的性质求出/2的度数即可.

【解答】解::AB\CD,z1=135°,

.­.z2=180°-135°=45°.

故选：C.

【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补.

7.（4分）在某校九年级二班组织的跳绳比赛中，第一小组五位同学跳绳的个数分别为198,

230,220,216,209,则这五个数据的中位数为（）

A.220B.218C.216D.209

【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的

平均数）为中位数.

【解答】解:先对这组数据按从小到大的顺序重新排序:198,209,216,220,230.

位于最中间的数是216,

则这组数的中位数是216.

故选：C.

【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力.注意找中位数的时候

一定要先排好顺序，然后根据奇数和偶数的个数来确定中位数，如果数据有奇数个，则

正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数.

8.（4分）一元二次方程A2-2X=0的根是（）

A.%1=0,A2=-2B.=1,X2=2C.=1,X2=-2D.xi=0,A2=2

【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.

【解答】解：N2x=0,

x（*2）=0,

x=0,x-2=Q,

%1=0,AS=2,

故选：。.

【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成

一元一次方程，难度适中.

9.（4分）如图，是。。直径，点C在。。上,力£是。。的切线，力为切点，连接BC

并延长交/IE于点。.若〃1。。=80。，则的度数为（）

B

A.40°B.50°C.60°D,20°

【分析】由是。。直径，力£是的切线，推出ADLAB,ZDAC=ZB=LZAOC=

2

40°,推出〃。。=50。.

【解答】解：128是O。直径，是0。的切线，

:.zBAD=90°,

28=1/00=40°,

2

../力。8=90°/8=50°,

故选：8.

【点评】本题主要考查圆周角定理、切线的性质，解题的关键在于连接力C,构建直角三

角形，求的度数.

10.（4分）今年“五一”节，小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段

时间.设他从山脚出发后所用时间为/（分钟），所走的路程为s（米），s与7之间的函

数关系如图所示.下列说法错误的是（）

s（米）

3800L....................2

2800\""7.~~：

\O40601—二分）

A.小明中途休息用了20分钟

B.小明休息前爬山的平均速度为每分钟70米

C.小明在上述过程中所走的路程为6600米

D.小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度

【分析】根据函数图象可知，小明40分钟爬山2800米，40〜60分钟休息，60-100

分钟爬山（3800-2800）米，爬山的总路程为3800米，根据路程、速度、时间的关系进

行解答即可.

【解答】解：/、根据图象可知，在40〜60分钟，路程没有发生变化，所以小明中途休

息的时间为：60-40=20分钟，故正确；

B、根据图象可知，当/=40时，s=2800,所以小明休息前爬山的平均速度为：2800+

40=70（米/分钟）,故8正确；

C、根据图象可知，小明在上述过程中所走的路程为3800米，故错误；

。、小明休息后的爬山的平均速度为:（3800.2800）+（100-60）=25（米/分），小明休

息前爬山的平均速度为：2800+40=70（米/分钟），

70>25,所以小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度，故正确；

故选：C.

【点评】本题考查了函数图象，解决本题的关键是读懂函数图象，获取信息，进行解决

问题.

11.（4分）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第①个图形中一共

有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，…，

按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（）

O°o°o

①②③

A.21B.24C.27D.30

【分析】仔细观察图形，找到图形中圆形个数的通项公式，然后代入〃=7求解即可.

【解答】解：观察图形得：

第1个图形有3+3x1=6个圆圈，

第2个图形有3+3x2=9个圆圈，

第3个图形有3+3x3=12个圆圈，

第"个图形有3+3〃=3(91)个圆圈，

当〃=7时，3、（7+1）=24,

故选：8.

【点评】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形并找到图形变化的

通项公式，难度不大.

12.(4分)如图，在平面直角坐标系中，菱形为在第一象限内，边8c与x轴平行，

力，8两点的纵坐标分别为3,1.反比例函数y=旦的图象经过力，8两点，则菱形A8cA

X

C.2V2D.472

【分析】过点力作x轴的垂线，与C8的延长线交于点根据力，8两点的纵坐标分

别为3,1,可得出横坐标，即可求得AE,BE,再根据勾股定理得出力8,根据菱形的

面积公式：底乘高即可得出答案.

【解答】解：过点力作x轴的垂线，与C8的延长线交于点

-.71,8两点在反比例函数y=3的图象上且纵坐标分别为3,1,

x

,8横坐标分别为1,3,

:.AE=2,BE=2,

:.AB=2近,,

S菱形ABCD=底X高=2&X2=4A/2，

【点评】本题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟记菱形的面积

公式是解题的关键.

二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）

13.（4分）我国“南仓”级远洋综合补给舱满载排水量为37000吨，把数37000用科学记数

法表示为3.7x104

【分析】科学记数法的表示形式为ax10”的形式，其中1W同＜10，〃为整数.确定〃的

值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值＞1时，"是正数；当原数的绝对值＜1时，〃是负数.

【解答】解：将37000用科学记数法表示为3.7x104.

故答案为：3.7x104.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax10〃的形式，其

中14同＜10,〃为整数，表示时关键要正确确定a的值以及〃的值.

14.（4分）计算:2015°-|2|=-1.

【分析】原式第一项利用零指数幕法则计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，计算

即可得到结果.

【解答】解：原式=12

=-1.

故答案为：-1.

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

15.（4分）已知4ABC-4DEF,"GC与尸的相似比为4:1,贝山48c与右。£尸对应

边上的高之比为4:1.

【分析】根据相似三角形的对应边上的高之比等于相似比得出即可.

【解答】解:“AB1DEF,A/8C与△。&'的相似比为4:1,

8c与石尸对应边上的高之比是4:1,

故答案为:4:1.

【点评】本题考查了相似三角形的性质的应用，能熟练地运用相似三角形的性质进行计

算是解此题的关键，注意：相似三角形的对应边上的高之比等于相似比.

16.（4分）如图，在等腰直角三角形48。中，〃C8=90°,48=4&.以4为圆心，力C

长为半径作弧，交力8于点。，则图中阴影部分的面积是*].（结果保留TT）

【分析】根据等腰直角三角形性质求出,力度数，解直角三角形求出力。和BC,分别求

出的面积和扇形ZICD的面积即可.

【解答】解：“/C8是等腰直角三角形，/力。8=90°,

.."1=/8=45°,

:AB=4yf2，

.•./C=8C=极sin450=4,

2

.'.SAICS=—XACXBC=—X4X4=8,S扇形〃(%>=，.=217,

/22360

，图中阴影部分的面积是8.2TT,

故答案为：821T.

【点评】本题考查了扇形的面积，三角形的面积，解直角三角形，等腰直角三角形性质

的应用，解此题的关键是能求出A/1C8和扇形4CO的面积，难度适中.

17.(4分)从一3,2,一1,0,4这五个数中随机抽取一个数记为a,a的值既是不等式组

1”+丁”4的解，又在函数y=―1一的自变量取值范围内的概率是Z.

2

l3x-l>-U2X+2X—9—

(2x+3<41

【分析】由a的值既是不等式组、的解，又在函数-1一的自变量取

3x-l>-ll2X2+2X

值范围内的有3,-2,可直接利用概率公式求解即可求得答案.

【解答】解：•.•不等式组产+丁、4的解集是：J,

3x-l>-U32

(2x+3<4

二.a的值既是不等式组的解的有：-3,-2,」，0,

3x-l>Tl

•.函数y-——1---的自变量取值范围为：2*+2/0,

2X2+2X

在函数y=_1一的自变量取值范围内的有3,-2,4;

2X2+2X

(2x+3<41

.•总的值既是不等式组.、的解，又在函数y=一1一的自变量取值范围内的

3x-l>-U2X2+2X

有：一3,一2;

(2x+3<41

..a的值既是不等式组的解，又在函数y=—1一的自变量取值范围内的

3x-l>-ll2X2+2X

概率是：2.

5

故答案为：2.

5

【点评】此题考查了概率公式的应用.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数

之比.

18.（4分）如图，在矩形中，AB=4遍,力。=10.连接BD,/OGC的角平分线

BE交。。于点£,现把A8C£绕点8逆时针旋转，记旋转后的A8CE为.当射线

和射线8C都与线段力。相交时，设交点分别为F,G.若为等腰三角形，则

线段。G长为强.

【分析】根据角平分线的性质，寻找等角，等角对等边，构造相似三角形，利用对应线

段成比例，即可得答案.

【解答】解：在R3/I8。中，由勾股定理，得

BD=VAB2+AD2=7（W6）2+IO2=14'

在R348厂中，由勾股定理，得：

BF=（4通）2+（10.8尸）2,

解得8尸=尊，

5

力尸=10一坐_=!.

55

过G作GH^BF,交BD于H,

:.zFBD=zGHD,zBGH=zFBG,

:FB=FD,

:.zFBD=zFDB,

:/FDB=zGHD,

:.GH=GD,

：zFBG=zEBC=LDBC=L^ADB=L/FBD,

222

又:zFBG=zBGH」FBG=zGBH,

:.BH=GH,

设DG=GH=BH=x,贝UFG=FD-GD=ilx,HD=14-x,

5

■:G小FB,

49

...FD^BD,即亘」_,

GDHDx_14-x

解得x=8&.

17

故答案为：毁.

【点评】本题考查了旋转的性质，利用了勾股定理，旋转的性质，正切函数的定义是解

题关键.

三、解答题（共2小题，满分14分）

19.（7分）解方程组产2X-4①

l3x+y=l②

【分析】方程组利用代入消元法求出解即可.

【解答】解：fv=2x-4Q,

l3x+y=l（2）

①代入②得：3x+2x4=1,

解得：x=1,

把x=1代入①得：y=-2,

则方程组的解为.

ly=-2

【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代人消元

法与加减消元法.

20.(7分)如图，在和△庄C中，点8,C,。，£在同一直线上，且48=房，BC

=DE,，B=正.求证：，ADB=/FCE.

【分析】根据等式的性质得出BD=CE,再利用S4s得出：AABD与吁EC全等,进而

得出//。8=/尸。£.

【解答】证明：:BC=DE,

:.BC+CD=DE+CD,

即BD=CE,

在与△尸EC中，

rAB=EF

.ZB=ZE,

,BD=EC

:AAB暮FEC〈SAS),

:.zADB=zFCE.

【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据等式的性质得出BD=CE,再

利用全等三角形的判定和性质解答.

四、解答题(共4小题，满分40分)

21.(10分)计算：

(1)/(2号)+(x+y)2;

(2)(22

2

7+1y+y

【分析】（1）原式利用单项式乘以多项式，以及完全平方公式化简，去括号合并即可得

到结果；

（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，

约分即可得到结果.

【解答】解：（1）原式=2称必+*+2火必

（2）原式=S3）（y-3）.y（y+l）

KI（y-3）2

_y2+3y

y-3

【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

22.（10分）为贯彻政府报告中“全民创新，万众创业”的精神，某镇对辖区内所有的小微企

业按年利润加（万元）的多少分为以下四个类型：4类（w<10）,8类（10Vw<20）,

。类（204%<30）,。类（/30）,该镇政府对辖区内所有小微企业的相关信息进行统

计后，绘制成以下条形统计图和扇形统计图，请你结合图中信息解答下列问题：

某镇播企业个数却缀计图微小企业个数占该镇小

的度数为72度,请补全条形统计图；

（2）为了进一步解决小微企业在发展中的问题，该镇政府准备召开一次座谈会，每个企

业派一名代表参会.计划从。类企业的4个参会代表中随机抽取2个发言，。类企业的

4个参会代表中有2个来自高新区，另2个来自开发区.请用列表或画树状图的方法求

出所抽取的2个发言代表都来自高新区的概率.

【分析】（1）由题意可得该镇本次统计的小微企业总个数是：4+16%=25（个）；扇形

统计图中8类所对应扇形圆心角的度数为：_Lx360°=72。；又由4类小微企业个数为：

25

25-5-14-4=2（个）;即可补全条形统计图;

（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所抽取的2个发

言代表都来自高新区的情况，再利用概率公式即可求得答案.

【解答】解：（1）该镇本次统计的小微企业总个数是：4+16%=25（个）；

扇形统计图中8类所对应扇形圆心角的度数为：旦＜360°=72。；

25

故答案为：25,72;

/类小微企业个数为：255144=2（个）；

补全统计图：

某镇蜂，」播企业个数献统计图

（2）分别用4,8表示2个来自高新区的，用C,。表示2个来自开发区的.

画树状图得：

开始

ABCD

/N/N/1\/N

BCDACDABDABC

:共有12种等可能的结果，所抽取的2个发言代表都来自高新区的有2种情况,

，所抽取的2个发言代表都来自高新区的概率为：2=2.

126

【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图.用到的知

识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

23.（10分）如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从

个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”.例

如自然数12321,从最高位到个位依次排出的一串数字是:1,2,3,2,1,从个位到

最高位依次排出的一串数字仍是：1,2,3,2,1，因此12321是一个‘和谐数”，再如22,

545,3883,345543...都是''和谐数”.

（1）请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除？

并说明理由；

（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字x（14腔4,x为自然数）,

十位上的数字为y,求y与x的函数关系式.

【分析】（1）根据“和谐数”的定义（把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排

出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同）写出四个“和谐数”，设

任意四位“和谐数”形式为：第0'，根据和谐数的定义得到3=</,。=67,贝1」或里=

11

1000&+10兆+以+<1=1℃）°&+1°0匕+10匕+&=9仔10匕为正整数，易证得任意四位“和

1111

谐数”都可以被11整除；

（2）设能被11整除的三位“和谐数”为:贝ij巫=101x+]C>y==

111111

9户六2：：为正整数故y=2x（1<A<4,x为自然数）.

【解答】解：（1）四位“和谐数”：1221,1331,1111,6666...（答案不唯一）

任意一个四位“和谐数’都能被11整除，理由如下：

设任意四位“和谐数”形式为：而不，则满足：

最高位到个位排列:a,b,c,d.

个位到最高位排列;d、c,b、a.

由题意，可得两组数据相同，则：a=d,b=c,

贝ijabed_1000a+100b+lOc+d_1000a+100b+lOb+a=91/100为正整数

ii-n-n"

..四位“和谐数”能被11整数,

又:a,b,c,d为任意自然数，

，任意四位“和谐数”都可以被11整除；

(2)设能被11整除的三位“和谐数”为:xyz,则满足：

个位到最高位排列：z,y,x.

最高位到个位排列:x,y,z.

由题意，两组数据相同，则：x=z,

故xyz=xyx=101x+10y,

故巫=101x+10y=99x+lly+2xp=9*+六军工为正整数

11111111

故y=2x(1<A<4,x为自然数).

【点评】本题考查了因式分解的应用.解题的关键是弄清楚“和谐数”的定义，从而写出符

合题意的数.

24.(10分)某水库大坝的横截面是如图所示的四边形48C。，其中AB^CD,大坝顶上有

一瞭望台QC,QC正前方有两艘渔船例，/V.观察员在瞭望台顶端9处观测到渔船团的

俯角a为31。，渔船2的俯角0为45。.已知例/V所在直线与尸C所在直线垂直，垂足为E,

且尸E长为30米.

(1)求两渔船股，/V之间的距离(结果精确到1米)；

(2)已知坝高24米，坝长100米，背水坡力。的坡度/=1:0.25,为提高大坝防洪能

力，请施工队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固，坝底84加宽后变为83,加固

后背水坡。〃的坡度/=1:1.75,施工队施工10天后，为尽快完成加固任务，施工队增

加了机械设备，工作效率提高到原来的2倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施

工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？

【分析】（1）在直角△PEN,利用三角函数即可求得旌的长，根据MN=EM-EN求解;

（2）过点。作。/如力〃于点，，利用三角函数求得4/V和/〃的长，进而求得"I。”的

面积，得到需要填筑的土石方数，再根据结果比原计划提前20天完成，列方程求解.

【解答】解：（1）在直角△尸&V中，zPNE=45°,

:.EN=PE=30/77,

在Rt△尸例£中，/PME=31；

:.ME=―=50(m),

tan310

贝ijMN=EM-EN=20(m).

答：两渔船M/V之间的距离是20米;

(2)过点。作于点Q.

由题意得:\anz.DAB=4,tanA/=A,

7

在直角A/24Q中，AQ=---四----=丝=6(m),

tanNDAB4

在直角A。“。中，〃。=_^=孕=42(/77).

tanHA

7

故AH=HQ-AQ=42-6=36(6).

S、ADH=^AH>DQ=432(序).

故需要填筑的土石方是l/=SZ.=432x100=43200(m3).

设原计划平均每天填筑xnfi,则原计划筌叫天完成，则增加机械设备后，现在平均每

X

天填筑2x种.

根据题意，得：10心（43200-1Q-20>2x=43200,

x

解得:x=864.

经检验x=864是原方程的解.

答：施工队原计划平均每天填筑土石方864立方米.

【点评】本题考查了仰角的定义以及坡度，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直

角三角形.

五、解答题（共2小题，满分24分）

25.（12分）如图1,在。中，"C8=90°,60°,点E是/84C角平分线上一

点，过点£作力£的垂线，过点力作为8的垂线，两垂线交于点〃，连接。8,点尸是

8。的中点，DHLAC,垂足为H,连接EF,HF.

（1）如图1,若点〃是/C的中点，AC=243,求力8,8。的长；

（2）如图1,求证：HF=EF\

（3）如图2,连接C尸，绥.猜想：ACE厂是否是等边三角形？若是，请证明；若不是,

说明理由.

【分析】（1）根据直角三角形的性质和三角函数即可得到结果；

(2)如图1,连接4尸，证出4DH曲AEF、即可得到结果；

(3)如图2,取的中点例，连接CM,FM,在R件ADE中,AD=2AEt根据三角

形的中位线的性质得到2尸〃，于是得到FM=AE,由

2

=zAMF-AMC=30°,证得例C尸，问题即可得证.

【解答】解：(1).NZIC8=90°,zBAC=60°,

"ABC=30°,

:.AB=2AC=2x273=473,

:ADLAB,zCAB=QG°,

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