2023年河南省驻马店市名校高考数学三模试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.小张家订了一份报纸，送报人可能在早上6:30-7:30之间把报送到小张家，小张离开家去工作的时间在早上

7.00-8:0（）之间.用A表示事件：“小张在离开家前能得到报纸”，设送报人到达的时间为x,小张离开家的时间为y,

（x，y）看成平面中的点，则用几何概型的公式得到事件A的概率P（A）等于（）

523

A.-B.-c.一D.2

8558

2.已知等差数列{q}的前〃项和为S“，,

4=7，S3-=9,则《0=()

A.25B.32C.35D.40

3.已知集合人={0,1},B={0,1,2},则满足AUC=B的集合C的个数为（）

A.4B.3C.2D.1

4.若i为虚数单位，网格纸上小正方形的边长为1,图中复平面内点Z表示复数*则表示复数口的点是（）

y

»--「十一一1

1।।11

r-p-f---I-1-1

r■■

iiiQ11.

111111

-4-4

卜十卡-111

L-4---4-4-4

111111

L-4--i-------4--4-4

A.EB.FC.GD.H

5.设P={yb=—/+i,x£R},Q={y\y=2x,x€R},贝()

A.PQQB.QQP

C.CRP^QD.QQCRP

6.要得到函数/(x)=sin(3x+g)的导函数/(x)的图像，只需将/(x)的图像()

A.向右平移？个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍

B.向右平移弓个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的1倍

JT1

C.向左平移9个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的三倍

D.向左平移?个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍

O

7.如图，在AABC中，点。是8C的中点，过点。的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若丽=根印法,

AC^nAN>贝！1利+”=()

3

A.1B.-C.2D.3

2

8.若复数z=(37)(l+i),则同=()

A.2V2B.2亚c.V10D.20

9.设a,/?为两个平面，则a〃//的充要条件是

A.a内有无数条直线与“平行

B.a内有两条相交直线与《平行

C.«,/?平行于同一条直线

D.a,“垂直于同一平面

10.某工厂利用随机数表示对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001,002,

599,600.从中抽取60个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行:

32211831297864540732524206443812234356773578905642

84421253313457860736253007328623457889072368960804

32567808436789535577348994837522535578324577892345

若从表中第6行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是()

A.324B.522C.535D.578

11.复数息的虚部是()

1+21

・1-1C.1D.-1

TC

12.若，是第二象限角且sin，=一,则tan(6+—)=

134

177177

A.——B.——C.—D.——

717717

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知/(x)=sin[|(x+1)—6cos[|(x+1)],则/(1)+f(2)+f(3)+...+f(2020)=

14.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为5:5:4,现按年级采用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高

三年级为12人，则抽取的样本容量为人.

15.(x+l)(x—2)6展开式中/的系数为.

16.已知数列｛%｝是各项均为正数的等比数列，若%-々=5,则%+84的最小值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)在数列｛%｝中,已知4=1,S.nan+I=(n+l)an+3n(n+l),n&N*.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)设2=△~~L,数列也｝的前〃项和为T.，证明：-<?；,<-.

anan+\4J

18.(12分)已知数列｛4｝满足丁二+白£+丁三+…+一£=

2a1-52al-52%-52an-53

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)设数列」一的前〃项和为7；,证明：Tn<-.

164+J6

x=2>/2+2/

19.(12分)在直角坐标系xO)，中，直线/的参数方程为《广。为参数)，以。为极点，x轴的正半轴为极

y=｛2T

轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为夕=2sin8.

(1)求/的普通方程和C的直角坐标方程；

(2)把曲线G向下平移1个单位，然后各点横坐标变为原来的2倍得到曲线C?(纵坐标不变)，设点尸是曲线G上

的一个动点，求它到直线/的距离的最小值.

20.(12分)在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为｛.c.(e为参数)，"为G上的动点，P点满

y-2+2sina

足。户=20麻，点P的轨迹为曲线

(I)求G的方程;

TT

(II)在以。为极点，X轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线。=§与G的异于极点的交点为A，与C2的异于极

点的交点为8,求|A6|.

21.(12分)如图，在三棱锥P—ABC中，平面Q4C_L平面ABC,AB=BC,PA上PC.点E，F,。分别为线

段Q4,PB,AC的中点，点G是线段CO的中点.

B

(1)求证：PA_L平面自3。.

(2)判断尸G与平面所0的位置关系，并证明.

22.(10分)已知函数f(x)=x+a(l-e'),aeR.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)当时，证明：f(x)-a\na+a<l.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

这是几何概型，画出图形，利用面积比即可求解.

【详解】

解：事件A发生，需满足即事件A应位于五边形3CDEE内

,111

1——X—X—r

P（A）=——-~-~~-=-

J18

故选：D

【点睛】

考查几何概型，是基础题.

2.C

【解析】

设出等差数列{a,,}的首项和公差，即可根据题意列出两个方程，求出通项公式，从而求得％。.

【详解】

设等差数列{q}的首项为4,公差为。，则

久=4+2d=7_

区=3%+3d=9'解得q=.W=4,...%=4"-5,W^0=4x10-5=35.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查等差数列的通项公式的求法和应用，涉及等差数列的前〃项和公式的应用，属于容易题.

3.A

【解析】

由ADC=5可确定集合。中元素一定有的元素，然后列出满足题意的情况，得到答案.

【详解】

由AuC=6可知集合C中一定有元素2,所以符合要求的集合C有{2},{2,0},{2,1},{2,0,1},共4种情况，所以选

A项.

【点睛】

考查集合并集运算，属于简单题.

4.C

【解析】

由于在复平面内点Z的坐标为(-1,1),所以z=-1+i,然后将z=-l+i代入一化简后可找到其对应的点.

Z

【详解】

由z=-l+i,所以」=".=i(一1一，)=1一，,对应点G.

z—1+i

故选：C

【点睛】

此题考查的是复数与复平面内点的对就关系，复数的运算，属于基础题.

5.C

【解析】

解：因为P={y[y=-x2+1,x£R}={y|y<1},Q={y|y=2x,x£R}={y|y>0},因此选C

6.D

【解析】

先求得f(x)，再根据三角函数图像变换的知识，选出正确选项.

【详解】

依题意/(x)=3cos3xd•—=3cos

于(x)=sin(3x+1)向左平移弓个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍得到/(X)的图像.

故选：D

【点睛】

本小题主要考查复合函数导数的计算，考查诱导公式，考查三角函数图像变换，属于基础题.

7.C

【解析】

连接A。，因为。为中点，可由平行四边形法则得布=；(通+恁)，再将其用初，丽表示.由M、0、N

mn

三点共线可知，其表达式中的系数和一+—=1,即可求出机+〃的值.

22

【详解】

连接A。，由。为6c中点可得，

AO=~(AB+AC)=—AM+-AN,

222

。、N三点共线,

mn,

=1

22

m+n=2.

故选：C.

【点睛】

本题考查了向量的线性运算，由三点共线求参数的问题，熟记向量的共线定理是关键.属于基础题.

8.B

【解析】

化简得到z=(3—i)(l+i)=4+2i,再计算模长得到答案.

【详解】

z=(3-z)(l+z)=4+2z,故国=同=2方.

故选：B.

【点睛】

本题考查了复数的运算，复数的模，意在考查学生的计算能力.

9.B

【解析】

本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质

定理即可作出判断.

【详解】

由面面平行的判定定理知：a内两条相交直线都与夕平行是&//，的充分条件，由面面平行性质定理知，若二//用，

则a内任意一条直线都与夕平行，所以a内两条相交直线都与夕平行是二///的必要条件，故选B.

【点睛】

面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若

aua,buB，al1b,则a/此类的错误.

10.D

【解析】

因为要对600个零件进行编号，所以编号必须是三位数，因此按要求从第6行第6列开始向右读取数据，大于600的,

重复出现的舍去，直至得到第六个编号.

【详解】

从第6行第6列开始向右读取数据，编号内的数据依次为：

436,535,577,348,522,535,578,324,577,…，因为535重复出现，所以符合要求的数据依次为

436,535,577,348,522,578,324,…，故第6个数据为578.选D.

【点睛】

本题考查了随机数表表的应用，正确掌握随机数表法的使用方法是解题的关键.

11.C

【解析】

5z5/(1-2z)10+5/汽.5i

因为丁丁=兀一^77^=一丁=2+，，所以丁下的虚部是1，故选C.

l+2z(l+2z)(l-2z)51+21

12.B

【解析】

10/____________cc12

由。是第二象限角且sin〃=一知：cos6=—Jl—sb?*——,tan6=----

13135

7Ttan0+tan4507

所以"R

1一tan。tan45°17

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.百

【解析】

TT

化简得,f(x)=2sin§x,利用周期即可求出答案.

【详解】

解：/(x)=sin[?(x+l)]—6cos=2sinyx,

...函数的最小正周期为6,

.-./(1)+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)=0,

/./(1)+/(2)+/(3)+...+/(2020)=/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=百，

故答案为：V3.

【点睛】

本题主要考查三角函数的性质的应用，属于基础题.

14.42

【解析】

根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论.

【详解】

设抽取的样本为〃，

45+5+4

则由题意得一一,解得〃=42.

12n

故答案为：42

【点睛】

本题考查了分层抽样的知识，算出抽样比是解题的关键，属于基础题.

15.48

【解析】

变换(x+l)(x—2)6=x(x—2『+(x—2)6,根据二项式定理计算得到答案.

【详解】

666

(X—2)6的展开式的通项为：加=C；产「.(_2丫，(X+1)(X-2)=X(X-2)+(X-2),

取r=5和r=4,计算得到系数为：C^(-2)5+C^-(-2)4=48.

故答案为：48.

【点睛】

本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.

16.40

【解析】

设等比数列｛%｝的公比为4,根据4-4=5,可得4=一~^，因为

%+8。，=。应3+84闷=_^一^=5^-1+—+2，根据均值不等式，即可求得答案.

q-iI-7-1)

【详解】

设等比数列｛a,,｝的公比为4,

,/%一。2=5,

5

4=

q(q-D

••,等比数列｛4｝的各项为正数,

q>\9

(,、5年+8)

/+8%+8)=—

(9)

=54-1+--4-2>40,当且仅当q—1=3,

Iq—i)

即q=4时，%+8%取得最小值40.

故答案为：40.

【点睛】

本题主要考查了求数列值的最值问题，解题关键是掌握等比数列通项公式和灵活使用均值不等式，考查了分析能力和

计算能力，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

3

17.(1)an=3M-2n；(2)见解析.

【解析】

（1）由已知变形得到也-5=3,从而｛巴｝是等差数列，然后利用等差数列的通项公式计算即可;

n+lnn

（2）先求出数列｛2｝的通项，再利用裂项相消法求出7“即可.

【详解】

（1）由已知，—=%+3,即乌&―%=3,又a=1,则数列｛3｝是以1为首项3

n+1nn+ln1n

为公差的等差数列，所以组=1+（〃—l）x3=3〃-2,即为=3〃2—2〃.

n

+1

(2)因为q="(3〃-2),则“

a„an+\(3n-2)(3n+l)33/1-23〃+1

所以小扣-；）+（；-；）+…+（七--高）《又

口一二二｝是递增数列，所以7；27；=，，综上，\<Tn<\.

3n+l443

【点睛】

本题考查由递推公式求数列通项公式、裂项相消法求数列的和，考查学生的计算能力，是一道基础题.

18.(1)(2)见解析.

2

【解析】

n.nS],〃=1

(1)令"=在=，利用dh〃〉,可求得数列｛%｝的通项公式，由此可得出数列｛«„｝的通

.5“-S“T，

项公式;

1_41

(2)求得利用裂项相消法求得7,，进而可得出结论.

33〃+53(〃+1)+5

【详解】

nn

⑴令s，，=5,3t/'

当“22时，”=S“-S“T=]-?=；；

17〃13〃+5

当〃=1时，则2=75>故%=---;

32^-532

1_________4__________4_J__________]

anan+i(3〃+5)[3(〃+1)+5]33〃+53(〃+1)+5

(_J_________1>+(_J_________+(_J________________]'

13x1+53x2+5J(3x2+53x3+5J3x/i+53(〃+l)+5,

411I411

383(n+l)+5j386

【点睛】

本题考查利用S“求通项，同时也考查了裂项相消法求和，考查计算能力与推理能力，属于基础题.

2^/10

19.(1)/:x+2y-4&=0,C：x2+(y-l)2=1;

5

【解析】

(1)在直线/的参数方程中消去参数/可得出直线/的普通方程，在曲线G的极坐标方程两边同时乘以「得

"=2夕sin。，进而可化简得出曲线C的直角坐标方程；

„2

(2)根据变换得出G的普通方程为、+丁=1,可设点尸的坐标为(2cos8,sin8),利用点到直线的距离公式结合

正弦函数的有界性可得出结果.

【详解】

X-2&+ItX-2V2r-

(1)由，广。为参数），得^―%•=-2,化简得x+2y-4/=0,

y=yJ2-ty_.2

故直线I的普通方程为x+2y-40=O.

由/7=2sin9,得0?=22sin，，Xp2=x2+y2,x=°cos6,y=psin0.

所以G的直角坐标方程为-+(y-i)2=1;

(2)由(1)得曲线G的直角坐标方程为x2+(y-l)2=l,向下平移1个单位得到x?+y2=i,

纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到曲线C的方程为三+V=1,

4

x=2cose

所以曲线。2的参数方程为.八(6为参数).

y=sm0

故点P到直线/的距离为|2cos6+2sin。-4阀_20sm(e+/-4及，

忑=忑

当。=彳时，4最小为名叵.

45

【点睛】

本题考查曲线的参数方程、极坐标方程与普通方程的相互转化，同时也考查了利用椭圆的参数方程解决点到直线的距

离最值的求解，考查计算能力，属于中等题.

20.(I){，，.(a为参数)；(II)2G

y=4+4sma

【解析】

x—2x

(I)设点P(x,y),"(内,x),贝"丫=2；’代入化简得到答案.

77

(II)分别计算G，Q的极坐标方程为。=4sin。，夕=8sin6,取代入计算得到答案.

【详解】

(I)设点P(x,y),M(X［，x),0户=20必，故(J，

x=4cosa

故C)的参数方程为：\.(。为参数).

y=4a+a4sina

x=2cosa今.

(D)cc•，故X+y-4y=0,极坐标方程为：〃=4sine；

[y=2+2sina

x=4coscc

C2:\,故d+y2_8y=0,极坐标方程为：夕=8sind.

[y=4+4sina

6=5，故月=4sin(=26,p2=8siny=4A/3,故=忱—勾=26.

【点睛】

本题考查了参数方程，极坐标方程，弦长，意在考查学生的计算能力和转化能力.