中考数学二轮培优复习《几何模型》专题18 瓜豆原理中动点轨迹直线型最值问题（教师版）

专题6瓜豆原理中动点轨迹直线型最值问题【专题说明】动点轨迹问题是中考的重要压轴点.受学生解析几何知识的局限和思维能力的束缚,该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎,致使该压轴点成为学生在中考中失分的一个黑洞.掌握该压轴点的基本图形,构建问题解决的一般思路,是中考专题复习的一个重要途径.本文就动点轨迹问题的基本图形作一详述.动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型.【知识精讲】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定=1\*GB3①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线。=2\*GB3②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线。=3\*GB3③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线。如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？【分析】当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．【引例】如图，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°且AP=AQ，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？【分析】当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形．当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段．【模型总结】必要条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．结论：P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于∠PAQ（当∠PAQ≤90°时，∠PAQ等于MN与BC夹角）P、Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ（由△ABC∽△AMN，可得AP:AQ=BC:MN）【例题】1、如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE=1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为．【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG最小值，可以将F点看成是由点B向点A运动，由此作出G点轨迹：考虑到F点轨迹是线段，故G点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G点在SKIPIF1<0位置，最终G点在SKIPIF1<0位置（SKIPIF1<0不一定在CD边），SKIPIF1<0即为G点运动轨迹．CG最小值即当CG⊥SKIPIF1<0的时候取到，作CH⊥SKIPIF1<0于点H，CH即为所求的最小值．根据模型可知：SKIPIF1<0与AB夹角为60°，故SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0．过点E作EF⊥CH于点F，则HF=SKIPIF1<0=1，CF=SKIPIF1<0，所以CH=SKIPIF1<0，因此CG的最小值为SKIPIF1<0．2、如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．2【解析】连接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如图∵△ACB为到等腰直角三角形，∴AC=BC=SKIPIF1<0AB=SKIPIF1<0，∠A=∠B=45°，∵O为AB的中点，∴OC⊥AB，OC平分∠ACB，OC=OA=OB=1，∴∠OCB=45°，∵∠POQ=90°，∠COA=90°，∴∠AOP=∠COQ，在Rt△AOP和△COQ中，SKIPIF1<0，∴Rt△AOP≌△COQ，∴AP=CQ，易得△APE和△BFQ都为等腰直角三角形，∴PE=SKIPIF1<0AP=SKIPIF1<0CQ，QF=SKIPIF1<0BQ，∴PE+QF=SKIPIF1<0（CQ+BQ）=SKIPIF1<0BC=SKIPIF1<0=1，∵M点为PQ的中点，∴MH为梯形PEFQ的中位线，∴MH=SKIPIF1<0（PE+QF）=SKIPIF1<0，即点M到AB的距离为SKIPIF1<0，而CO=1，∴点M的运动路线为△ABC的中位线，∴当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长=SKIPIF1<0AB=1，故选C．3、如图，矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是矩形SKIPIF1<0内一动点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为_____．【解析】SKIPIF1<0为矩形，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离与到SKIPIF1<0的距离相等，即点SKIPIF1<0线段SKIPIF1<0垂直平分线SKIPIF1<0上，连接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0的值最小，且SKIPIF1<0SKIPIF1<04、如图，在平面内，线段AB=6，P为线段AB上的动点，三角形纸片CDE的边CD所在的直线与线段AB垂直相交于点P，且满足PC=PA．若点P沿AB方向从点A运动到点B，则点E运动的路径长为______．【解析】如图，由题意可知点C运动的路径为线段AC′，点E运动的路径为EE′，由平移的性质可知AC′=EE′，在Rt△ABC′中，易知AB=BC′=6，∠ABC′=90°，∴EE′=AC′=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．

5、如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是直线AB上一点．将线段CD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连结BE．（1）若点D在AB边上（不与A，B重合）请依题意补全图并证明AD=BE；（2）连接AE，当AE的长最小时，求CD的长．【解析】（1）补全图形如图1所示，AD=BE，理由如下：

∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠B=60°，

由旋转的性质得：∠ACB=∠DCE=60°，CD=CE，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE．（2）如图2，过点A作AF⊥EB交EB延长线于点F．

∵△ACD≌△BCE，∴∠CBE=∠A=60°，∴点E的运动轨迹是直线BE，

根据垂线段最短