中考数学二轮培优复习《几何模型》专题03 一线三垂直模型构造全等三角形（教师版）

专题03一线三垂直模型构造全等三角形【专题说明】一线三垂直问题，通常问题中有一线段绕某一点旋转900，或者问题中有矩形或正方形的情况下考虑，作辅助线，构造全等三角形形或相似三角形，建立数量关系使问题得到解决。【知识总结】过等腰直角三角形的直角顶点或者正方形直角顶点的一条直线。过等腰直角三角形的另外两个顶点作该直线的垂线段，会有两个三角形全等（AAS）常见的两种图形：图1图2

1、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC,AD=2，BC=3，设∠BCD=α，以D为旋转中心，将腰DC绕点D逆时针旋转90°至DE.当α=45°时，求△EAD的面积.当α=30°时，求△EAD的面积当0°＜α＜90°，猜想△EAD的面积与α大小有无关系，若有关，写出△EAD的面积S与α的关系式，若无关，请证明结论.解析：∵AD∥BC,DG⊥BC∴∠GDF=90°又∵∠EDC=90°∴∠1=∠2在△CGD和△EFD中∠DGC=∠DFE∠1=∠2CD=DE∴△DCG≌△DEF∴EF=CG∵AD∥BC,AB⊥BC,AD=2，BC=3∴BG=AD=2∴CG=1，EF=1，△EAD的面积与α无关2、如图，向△ABC的外侧作正方形ABDE,正方形ACFG，过A作AH⊥BC于H，AH的反向延长线与EG交于点P，求证：BC=2AP解析：过点G作GM⊥AP于点M,过点E作EN⊥AP交AP的延长线于点N∵四边形ACFG是正方形∴AC=AG,∠CAG=90°∴∠CAH+∠ACH=90°∴∠ACH=∠GAM在△ACH和△GAM中∠AHC=∠GMA∠ACH=∠GAMAC=GA∴△ACH≌△GAM∴CH=AM,AH=GM同理可证△ABH≌△EAN，△EPN≌△GPM∴NP=MP∴BC=BH+CH=AN+AM=AP+PN+AP-PM=2AP

3、已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是多点A的一条直线，且BD⊥AE于D，CE⊥AE于点E.当直线AE处于如图1的位置时，有BD=DE+CE,请说明理由.当直线AE处于如图2的位置时，则BD、DE、CE的关系如何？请说明理由.解析：（1）∵BD⊥AE,CE⊥AE∴∠BDA=∠AEC=90°∴∠ABD+∠BAD=90°∵∠BAC=90°∴∠BAD+∠EAC=90°∴∠ABD=∠EAC在△ABD和△CAE中∠ADB=∠CEA=90°∠ABD=∠EACAB=CA∴△ABD≌△CAE(AAS)AD=CE,BD=AE∵AE=AD+DE∴BD=DE+CE（2）在△ABD和△CAE中∠ADB=∠CEA=90°AB=CA∴△ABD≌△CAE（AAS）∴AD=CE,BD=AE∵AE=DE-AD∴BD=DE-CE.4、如图，在△ABC中，∠ABC=45°，点F是△ABC的高AD、BE的交点，已知CD=4，AF=2，则线段BC的长为（）解析:∵AD是△ABC的高∴∠ADB=90°∵∠ABC=45°∴∠BAD=45°∴∠ABC=∠BAD∴AD=BD∵∠CAD+∠AFE=90°，∠CAD+∠C=90°，∠AFE=∠BFD∴∠AFE=∠C在△BDF和△ADC中∠CAD=∠FBDAD=BD∠BDF=∠ADC∴△BDF≌△ADC（ASA）∴DF=CD=4∴AD=AF+DF=2+4=6=BD∴BC=BD+CD=6+4=10

5、如图所示，直线α经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点B,D作DE⊥α于点F，若DE=4，BF=3，则EF的长为（）解析：∵ABCD是正方形，∴AB=AD,∠ABC=∠BAD=90°∵∠BAF+∠ABF=∠BAF+∠DAE，∴∠ABF=∠DAE在△AFB和△AED中，∠ABF=∠DAE,∠AFB=∠AED,AB=AD∴△AFB≌△AED∴AF=DE=4，BF=AE=3∴EF=AF+AE=4+3=76、如图，矩形ABCD中，E在AD上，且EF⊥EC,EF=EC,DE=2，矩形的周长为16，则AE的长是（）解析：∵矩形ABCD中，EF⊥EC,∴∠DEC+∠DCE=90°，∠DEC+∠AEF=90°，∴∠AEF=∠DCE,又∵EF=EC，∴△AEF≌△DCE（AAS），∴AE=CD∵矩形的周长为16，即2CD+2AD=16，∴CD+AD=8∴AD-2+AD=8AD=5∴AE=AD-DE=5-2=3.7、如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC,∠ABC的平分线BD交AC于D，CE⊥BD的延长线于点E，求证：CE=12解析：延长CE、BA相交于点F.∵∠EBF+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°∴∠EBF=∠ACF.又∵AB=AC,∠BAC=∠CAF∴△ABD≌△ACF（ASA）∴BD=CF在△BCE和△BFE中，∠EBF=∠CBE，BE=BE，∠CEB=∠FEB∴△BCE≌△BFE(ASA)∴CE=EF∴CE=12CF=12

【基础训练】1、如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC有两个顶点在坐标轴上，求第三个顶点的坐标.解析：(1)过点B作BD⊥x轴于点D,∴∠BCD+∠DBC=90°由等腰Rt△ABC可知，BC=AC,∠ACB=90°∴∠BCD+∠AC0=90°∴∠DBC=∠ACO在△BCD和△CAO中∠BDC=∠AOC∠DBC=∠ACOBC=AC∴△BCD≌△CAO∴CD=OA,BD=OC(2)的证明方法一样

2、已知点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于点B，PC⊥AF于C，点M、N分别是射线AE、AF上的点.如图1，当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上，且PM=PN，求证BM=CN.在（1）的条件下，直接写出线段AM、CN与AC的数量关系_______解析：（1）∵点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于B,PC⊥AF于C，∴PB=PC在Rt△PBM和Rt△PCN中PB=PCPM=PN∴Rt△PBM≌Rt△PCN∴BM=CN（2）在Rt△PBA和Rt△PCA中PB=PCAP=AP∴Rt△PBA≌Rt△PCA∴AB=AC∴AM+CN=AM+BM=AB=AC

3、如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动（D不与B,C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E.当DC等于多少是，△ABD≌△DCE?请证明你的结论.解析：∵∠B=40°∴∠BAD+∠BDA=140°∵∠ADE=40°∴∠CDE+∠BDA=140°∴∠BAD=∠CDE在△ABD和△DCE中∠B=∠C∠BAD=∠CDEAB=DC∴△ABD≌△DCE

4、如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=90°，点D在线段BC上，∠BDE=12∠C,BE⊥DE，垂足为E，DE与AB交于点F，求证：BE=12解析：过点D做DG∥AC交BE的延长线于点GBE与DH的延长线交于G点，如图，∵DH∥AC，∠BDH=∠C=45°∴△HBD为等腰直角三角形∴HB=HD，而∠EBF=22.5°∵∠EDB=12∠C∴DE平分∠BDG而DE⊥BG，∴BE=GE,即BE=12∵∠DFH+∠FDH=∠G+∠FDH=90°，∴∠DFH=∠G∵∠GBH=90°-∠G,∠FDH=90°-∠G∴∠GBH=∠FDH在△BGH和△DFH中，SKIPIF1<0，∴△BGH≌△DFH(AAS)，∴BG=DF∴BE=12

5、已知：在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,E是AC边上的点，AF⊥BE交BC于点D,如果AE=CD证明：BF平分∠ABC证明：AB+AE=BC解析：（1）作AC的垂线交AD的延长线于点M，易证BAE≌△ACM（ASA）得CM=AE=CD∴∠M=∠CDM=∠AEB=∠BAD，AB=BD，∴BF平分∠ABD（等腰三角形三线合一）（2）AB+AE=BD+DC=BC【巩固提升】1、如图，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，P是BD上一点，且AP=PC,AP⊥PC,求证：△ABP≌△PDC解析：∵AP⊥PC,∴∠APB＋∠CPD=900,∵AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D,∴∠B=∠D=900∴∠CPD+∠PCD=900,∴∠APB=∠PCD,又AP=PC,∴△ABP≌△PDC

2、如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（-1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB为边在x轴上作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E。求抛物线的解析式；当点P在线段OB（点p不与O，B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN，MB，请问：△MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由。解析：（1）将点A（-1，0）和点B（3，0）代入抛物线解析式可求得，b=-2,c=-3,所以y=x2-2x-3.通过同角的余角相等得∠EPO=∠PCB,∠EOP=∠PBC-900,得△EPO∽△PCB，所以SKIPIF1<0,设OE=y，OP=x，则y=-SKIPIF1<0x2+SKIPIF1<0x=-SKIPIF1<0(x-SKIPIF1<0)2+SKIPIF1<0(0<x<3)又-SKIPIF1<0<0，所以当x=SKIPIF1<0时，OE有最大值为SKIPIF1<0。过点M作MG∥y轴，交BN于点G，设M（m,m2-2m-3）。由N、B两点可求得直线BN的解析式：Y=x-3，可得G（m,m-3），则GM=-m2+3m，所以S△MBN=SKIPIF1<0×（-m2+3m）×3=-SKIPIF1<0（m-SKIPIF1<0）2+SKIPIF1<0.当M(SKIPIF1<0，-SKIPIF1<0)时，△BMN的面积取得最大值。

3、如图，直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=-x2+bx+c与直线y=c分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点p，连接PB，得△PCB≌△BOA（O为坐标原点）。若抛物线与x轴正半轴交点为点F，设M是点C，F间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m.直接写出点P的坐标和抛物线的解析式；当m为何值时，△MAB的面积S取得最小值和最大值？请说明理由；求满足∠MPO=∠POA的点M的坐标。解析：(1)由△PCB≌△BOA可得PC=OB=3,BC=OA=1,所以P（3，4），（0，4）.将P（3，4），C（0，4）代入解析式得，b=3,c=4，所以抛物线y=-x2+3x+4。过点M作MN⊥x轴，垂足为N，则S△AMB=S梯形MNOB-S△AOB-S△AMN,代入整理得；S△AMB=-SKIPIF1<0（m-3）2+5,又知，0≤m≤4，且a=-SKIPIF1<0<0，所以当m=3时，有最大值为5，当m=0时，面积最小为SKIPIF1<0。此问分两种情况①当M点在OP左侧，当∠MPO=∠POA时，M点与P重合，此时M（0，4）.②当M点在OP的右侧，当∠MPO=∠POA时，有PG=OG,设G（x，0）由勾股定理得PG2=（x-3）2+16，所以x2=（x-3）2+16，解得x=SKIPIF1<0，这样可求得PM的解析式：Y=-SKIPIF1<0x+SKIPIF1<0与y=-x2+3x+4建立方程组可求得M(SKIPIF1<0,SKIPIF1<0)当∠MPO=∠POA时,M(0,4)或M(SKIPIF1<0,SKIPIF1<0)

4、如图，线段AB=8，射线BG⊥AB，P为射线BG上一点，以AP为边作正方形APCD，且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使∠EAP=∠BAP，直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）。求证：△AEP≌△CEP；判断CF与AB的位置关系，并说明理由；求△AEF的周长。解析：（1）∵四边形APCD是正方形，DP是对角线，∴根据SAS可证△AEP≌△CEP。过C作CN⊥BP交BP于点N，这样就构造出一线三垂直基本图形，由AAS容易证△ABP≌△PNC,∴∠PAB=∠CPN,∵△AEP≌△CEP,∴∠PAE=∠PCE又∠EAP=∠BAP,∴∠CPN=∠PCE,∴CF∥BN,∵BG⊥AB,∴CF⊥AB.△AEF的周长=AE+AF+EF,又AE=CE,CE+EF=PN+PB,PB=CN=FB,PN=AB∴△AEF的周长=AB+FB+AF=2AB=16.

5、如图，在四边形ABFG中，AB=10，BF=4，∠B=600,设AE=x，AG=y，求y与x的函数关系式。解析：过点F作FD⊥AB,垂足为D,∵∠B=600,BF=4，∴DF=2SKIPIF1<0,DB=2∴AD=8,由AE=x得DE=8-x。由一线三垂直，知△AEG∽△DFE,∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0,∴y=SKIPIF1<0(8x-x2)

6、如图，在正方形ABCD中，E是DC边上一点，（与D、C不重合），连接AE，将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，延长EF交BC于G，连接AG,作GH⊥AG，与AE的延长线交于