2021高中数学人教A版必修四练习试题（综合复习与测试）含答案解析

2021年09月30日试卷

一、单选题(共9题；共0分)

1、(0分)定义在R上的偶函数f(x)满足，(x+2)=f(x),且在［-3,-2］上是减函数，若4B是锐

角三角形力BC的两个内角，则下列各式一定成立的是()

A.ff<sinA)<f(cosB)B.f^sinA)>f(cosB)

C.f^sinA)>f(sinB)D./(cos4)>f(cosB)

2、(0分)已知函数y="%)是(-1,1)上的偶函数，且在区间(—1,0)是单调递增的，4B,C是锐角

△A8C的三个内角，则下列不等式中一定成立的是()

A./(sirii4)>f(cosA)B.f(sin/)>f(cosB)

C./(cosC)>f(sinB)D./(sinC)>/(cosB)

3、(0分)若/(%)=cos2%+acos©+%)在区间(［)上是增函数，则实数Q的取值范围为()

A.[—2,4-oo)B.(—2,4-oo)C.(—co,—4)D.(—co,-4]

—>

4、(0分)给出下面四个命题：①几+赢=0；

②族+品=后；③成一盛=余；④0・n=0.其中正确的个数为

A.1B.2C.3D.4

5、(0分)若/(X)=2cos(3x+/)+k,对任意实数t都有f©+t)=/©-t)成立，且/(力=-1,

则实数k的值等于()

A.-3或1B.1C.T或3D.-3

6、(0分)函数f(%)=|3cos2；+4sizi23cos2；—2|(0<%<兀)的大致图象是()

7、(0分)cos50°(遮一tcmio°)的值为()

A.1B.当

C.1D.2

8、(0分)函数/(%)=cos2仔-9+S讥②(|+9-1是()

A.周期为兀的奇函数B.周期为7T的偶函数

C.周期为27r的奇函数D.周期为27r的偶函数

9、（0分）已知函数/（%）=sinx+acosx（aGR）图象的一条对称轴是％则函数g（x）=sinx+

/（%）的最大值为)

A.5B.3C.V5D.V3

二、填空题（共10题；共。分）

1。、（。分）已知°是锐角AMC的外接圆圆心，"=6。。,案几+篝h=2皿八,则实数团的值

为

11、（。分）将函数f（x）=sin3xfs3X（°＞。）的图象向左平移为个单位长度后，得到

函数g（x）的图象，若g（幻在（0,乡内有且仅有一个最大值与一个最小值，则3的最大正整

数值为

12、(0分)已知向量OA=(-1,2),OB=(3,771),若OA1OB,贝I」m=

13、（0分）若tan（a+》=5,则需高嬴

14、（0分）已知点P（tana,cosa）在第三象限，则角a的终边在第

象限.

15、(0分)已知函数/■(力=$111(。k£-251112(兴*-学+1(。>0)的最小正周期为1t，把/,(X)

的图象向左平移冲单位长度后得到函数g(x)的图象，若g(x)在区间[0,守和[2卬,争上是

单调递增函数，则实数R的取值范围是.

16>(0分)化简：sin40°(tanl0°—V3)=.

17、(0分)已知cos(a-g)=g,a€(0,£),则2M旅、=.

18、(0分)若cos(3—a)=:则sin2a=.

19>(0分)函数f(x)=Asin(3x+6)(/>0,3>0|创V》的图象如图所示，则

f(尹---------------

三、解答题(共5题；共0分)

20、(0分)已知函数/(x)=sin2x-y/3sinxcosx+=mcos(x4-^)-m+2.若对任意的

xlfx2e[0,n],均有/(xj>g(%2)，求m的取值范围.

21、(0分)已知a71/(%)=(sinx—a)(a—cosx)+V2a.

(1)求当a=1时，/(%)的值域；

(2)若函数/(%)在。网内有且只有一个零点，求Q的取值范围.

22、(0分)(本题共12分)已知/(%)=4cosxsin(x—^),xGR.

(1)求/。)的单调递增区间；

(2)在ZL4BC中BC=4,sinC=2sinB若/(%)的最大值为/(/),求A48c的面积.

23、(0分)函数/'(%)=1-2a-2acosx-2sin2欠的最小值为g(a),(QGR)

(1)求g(a)的表达式；

(2)若g(a)=5求a及此时f(x)的最大值.

24>(0分)函数/(%)=sin(a)x+3)(3>0,\(p\<的部分图象如图所示，将'=/(%)的图象向

右平移;个单位长度后得到函数y=g(%)的图象.

(1)求函数y=g(%)的解析式；

(2)在44BC中，角4,B,C满足2si/等=g(C+§+l,且其外接圆的半径R=2,求44BC

的面积的最大值.

试卷答案

1.【答案】B

【解析】由/(x+2)=/(x)n7=2=/(x)在上是减函数n/(x)在［0,1］上是增函数函

数，又cosB=sing-B)<sinA=f(sinA)>f(cosB),故选B.

【点睛】本题考查函数的单调性、奇偶性、周期性和三角函数，涉及函数与不等式思想、

数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合

性较强，属于较难题型.首先通过已知条件求得周期和;"(X)在［0,1］上是增函数函数，再将

cosB=sin(^一B)<sinA=f(sinA)>f(cosB).

2.【答案】C

【解析】本题主要考查函数的性质.对于选项A,由于不能确定sin4cos4的大小，故不能确

定f(sinA)与/(cosB)的大小，故选项A不正确；对于选项B,由4,B,C是锐角三角形△4BC的三个

内角，则A+B>*得］>4>］一8>0,得sinA>sin^-B),即sinA>cosB,又/(x)定义在(一1,1)上

的偶函数，且在区间(-1,0)上单调递增，则/(%)在(0,1)±是减函数，由sinA>cosB,可得/'(sinA)<

f(cosB),故选项B不正确，对于选项C,同理可得cosC<sinB,又/(x)在(0,1)±是减函数，由

cosC<sinB,可得f(cosC)>f(sinB),得选项C正确；对于选项D,同理可ijE/(sinC)<f(cosB),故

选项D不正确，故选C.

3.【答案】D

22

【解析】*.*/(x)=cos2x+acos(-+%)=1—2sm2x—asinx=—2(sin2x+-sinx+-———)4-1=

7、2/21616

—2(sinx++i+(

2

令£=$讥》,则f(%)=g(t)=—2(t4--)2+14--,由于t=s讥%在区间6,C)上是增函数，

故te(1,1),结合f(x)在区间(,》上是增函数，可得f(x)=g(t)=—2(t+22+l+?

在(［,1)上单调递增，由于二次函数g(t)的图象的对称轴为刀=一3，A-;>1>Aa<

—4t故选D.

点睛：本题主要考查了复合函数的单调性，三角函数的单调性，含有参数的一元二次函数

的单调性，属于中档题；利用二倍角公式及诱导公式首先把函数变形成标准型的二次函

数，进一步利用复合函数的单调性求出结果.

4.【答案】B

【解析】①几+赢=3②几+盛=公；③=

④0•几=3,所以正确的为①②，选B.

5.【答案】A

【解析】由于/C+t)=/©—t)所以X=g是其对称轴，即85©3+租)=±1,而/©)=

2cosc3+<p')+k=k+2=—1,所以，k——3或fc=1.

点睛：本题主要考查三角函数的对称性，考查三角函数的最大值和最小值.形如/(a+x)=

f(a-x),说明的是函数/'(x)的对称轴是x=a,形如/'(x+a)=f(x),说明的是函数/"(x)的周

期为a,这些都需要平时熟记.根据/(》的函数值，结合三角函数最大值和最小值，可求得

k的值.

6.【答案】B

【解析】函数/(x)=|3cos2：+4sin2?cos2?-2|

C0SX+1.1-C0SXri..

，/(x)=|3x-^―+-----2|=|cosx|

0<X<7T

C0SX,XG(0,-)

…一,X吗7)

故选B

点睛：（1）运用函数性质研究函数图像时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义

及其应用方向.（2）在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点

时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.

7.【答案】C

【解析】cos50-（g—tanlO。）=cos50。X（tcm60。TanlO。）=皿9'"*就2广。。m60。）=

cos50°xsin（50°）_sinlOO0__coslO0_1故选C

cosl00cos6002cosl00cos60°2cosl00cos600'*

【点睛】本题的解题关键是：1.切化弦；2.辅助角公式；3.利用二倍角公式和诱导公式求

解.

8.【答案】C

【解析】分析：把解析式化为y=4s讥（3X+9）的形式后再进行判断可得结论.

详解：由题意得

X71X71

fM=cos2(---)+sin2(-+-)-1

1+cos(x—2)1—cos(x+2)

-1

22

=1COS(^-x)cos《+x)

=sinx.

・・・函数/Q）是周期为2兀的奇函数.

故选C.

点睛：研究三角函数的性质时，先根据三角变换公式把所给的函数化成y=4s讥(3x+w)或

y=4cos(o)x+0)的形式，然后把cox+3作为一个整体，并结合正弦或余弦函数的性质进行

求解.

9.【答案】C

【解析】本题主要考查三角函数的图象与性质、两角和与差公式.因为是函数f(x)的

一条对称轴，所以/(0)=/(9即a=1,则g(x)=2sinx+cosx=V5sin(x+9)(其中tan0=|),则函

数g(x)的最大值为百.故选C.

【点睛】解本题的关键点有：

先由对称性得/(0)=/©),求得a=1；

利用辅助角公式化简得g(x)=V5sin(x+0)；

由正弦函数的性质求得最值

10.【答案】y

【解析】设AB的中点为D,则有公=易+而,

代入四晶+经£晶=27n筋，可得咨易+理成而)(*),

smCs\nBsinCsinB

由AB1。。得AB-DO=0,

将(*)式两边同乘以北，化简得里法.6+警公./=2瓶(兄)+而).法,

sinCsinB\)

aiiCOSB2COSCtA7

即——cL+--becosA=mcz,

sinCsinB

由正弦定理及上式得•sin2C+,sinBsinCcosA=msin2C,

因为smcwo,

所以cosB+cosAcosC=msinC,

cosB+cos4cosc_-cos(4+C)+cos4cosc_

.AV3

所以m=sin4二—.

sinCsinC2

答案：亨.

点睛：

本题难度较大，主要考查了平面向量的数量积、正弦定理与余弦定理、两角和与差的余弦

公式.在解题中既要考虑到向量的运算，又要考虑到三角形中的边角关系，为了达到解题

的目的，充分利用正余弦定理进行边角之间的转化，同时又要结合条件进行适当的公式变

形.

11.【答案】5

【解析】本题考查三角函数的图象变换、三角函数的性质、辅助角公式，考查数形结合思

想、化归与转化思想，考查的核心素养是数学运算、直观想象.

运用辅助角公式将/"(X)化为f(x)=/sin(3x+。)(4＞0,。＞0,|。|《)的形式，并根据图象平

移得到g(x)的解析式，然后根据已知条件得到。的取值范围，最后得到。的最大正整数

值.

易知

f{x}=2sin(3x+$(3＞0),工g(x)(x+券=2sin[3(1+9)+竽=2COS(3x+2)，；xW(0,])，

3X+衿§詈+—依题知2n＜曰+衿3",解得学3＜学...3的最大正整数值为5.

12.【答案】|

【解析】由题意可得：BA=0A-0B=(-1,2)-(3,m)=(-4,2-m)

由向量垂直的充要条件结合向量的坐标运算法则可得：

£M-£l=4+2(2-m)=0,

求解关于实数m的方程可得：m=4.

13.【答案】

6

【解析】tan(a+2)=gi=5,化简得也放=?.所以一一=四工立=皿四=上

14.【答案】二

【解析】试题分析：由点P(tana,cosa)在第三象限，得到tana<0,cosa<0,从

而得到a所在的象限.

解：因为点P(tana,cosa)在第三象限，所以，tanaVO,cosa<0,则角a的终

边在第二象限，

故答案为：二.

点评：本题考查第三象限内的点的坐标的符号，以及三角函数在各个象限内的符号.

15.【答案】耳号

【解析】本题考查三角恒等变换与三角函数的图象和性质，考查化归与转化的思想方法，考

查考生的运算求解能力和逻辑推理能力.

试题以考生熟悉的正弦函数为载体命制，能很好地考查考生对三角函数的图象与性质、三

角恒等变换等知识的掌握程度，突出直观想象、逻辑推理等核心素养.

先把函数f(x)化为一个角的三角函数，根据其最小正周期为又求出参数。的值，运用三

角函数图象变换的方法可得函数g(x)的解析式，求出其单调递增区间，根据g(x)在区间

［0,?和［2m,争上是单调递增函数，可求实数小的取值范围.

/(X)=sin(3x-£)-2sin2G°x-^)+l=sin(°x-^)+cos(°x-争=sin(°x-^)+sin［^-(3x-

g)］=sin(3x-》+sin(r-3x)=2sin(0xW).因为函数f(x)的最小正周期为1r，所以

。=2,则F(x)=2sin(2xq).因为把f(x)的图象向左平移汐单位长度后得到函数g(x)的图

象，所以g(x)=2sin(2x+“).由-号2knW2x+^W(4GZ),得力+★nWxW'+"(XGZ),

即函数g(x)的单调递增区3间6为］(AGZ).当a=0时，函数g(x)的一个单调递

增区间为［-屋］，当k=\时，函数g⑺的一个单调递增区间为号，争.又函数g(x)在区间

7(0<3,

［0,和和［2加,金上是单调递增函数，所以2a36解得白勿忘今

36V<2m<^,32

'3O

16.【答案】一1

【解析】原式=.4。。(罂—同=罂和1。。一百8sl。。)=辞击也1。。—*°sl。。)

-2sin400-sin800

cos40°=1.故答案为一1

coslO°coslO°

【点睛】本题的关键点有:

先切化弦，再通分；

利用辅助角公式化简；

同角互化.

17.【答案】1

【解析】原式=y[2C0Sa~sina.=V^(cosa—sina)=2sin(--a)=211—cos2(--a)=-.

cosa+stna，4，«'45

【点睛】本题考查诱导公式、辅助角公式和二倍角公式，涉及转化化归思想，考查逻辑思

维能力、等价转化能力、运算求解能力，具有一定的综合性，属于中档题型.首先利用

余弦的二倍角公式，再利用辅助角公式，进而逆用正余弦的平方和公式求得正解.

18.【答案】■

【角翠析】n2a=cos(^—2a)=2cos2—a)—l=2x卷—1=套

19.【答案】0

【解析】由图可得/(9=0.

20.【答案】m>4

【解析】试题分析：先化简/(%)，再求得/(%)与g(x)的值域，然后利用转化化归思想将原

命题转化为之即0之一[?71+2,解之便可得正解.

试题解析：

/(%)=sin2%-V3sinxcosx+[=~7”—jsin2x+|=1-sin(2x4-9

由％1€[0,TT],得f(%i)G[0,2].

x2[O,TT],当mN0时，9(X2)£[~2m+2,-1m+2],要使/(右)之g(%2)恒成立，只需。之

-|m+2,解得m24.

当m<0时，g(%2)W+2,-2m+2],要使/(石)之。(冷)恒成立，只需0之一2m+2,矛盾.

综上m的取值范围是？nN4.

21.【答案】(1)[-|,V2]；(2)1Wa<鱼+1或。=e+彳.

【解析】(1)当。=1时，/(%)=(sinx—1)(1—cosx)+&=—sinxcosx+sinx+cosx—1+夜，

令t=sinx+cosx,贝!Jt6[—V2,V2],sinxcosx=

g(t)=一宇+t—1+应=一/t-+&，当t=1时，

g(t)max=VL当£=/时，g(t)min=/所以"为的值域为［一

(2)/(x)=(sinx—Q)(Q—cosx)+y/2a=-sinxcosx+a(sinx+cosx)—a2+V2a,

令〃=sin%+cos%,则当时，uG［—1,72］,sinxcosx=

h(lC)=--------FQIZ_Q2+yp2.d=——(U—Q)2——Q2y［2.d,

f(x)在［0词内有且只有一个零点等价于九Q)在［-1,1)n{a}内有且只有一个零点，［1,或)无零

点.因为1,・・・hQ)在内为增函数，

/i(l)>0

①若九(〃)在［—1,1)内有且只有一个零点，［1,&)无零点，故只需{九(一1)工。=

h(V2)>0

一次+(-^2+1)(1>0

{—a2+(A/2—l)a<0得1Wav企+1；

-a2+2V2a-i>0

②若为/iQ)的零点，［1,V^)内无零点，则—a2+2y/2a—|=0,得(1=7^±冬经检验，a=

企+当符合题意.

综上，IWa+1或a=/+f.

【点睛】本题考查三角恒等变换、函数的值域和函数的零点，涉及函数与方程思想、换元

思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能

力，综合性较强，属于较难题型.第一小题利用换元思想将原函数转化为二次函数，再利

用二次函数的图像即可求得值域；第二小题先利用转化化归思想将命题转化为八(“)的零点

问题，再利用二次方程根的分布知识求得正解.

22.【答案】(1)[/OT-2/OT+§,k€Z；(2)W

【解析】试题分析：

(1)由两角差的正弦公式、二倍角公式及辅助角公式化简，由此得到最小正周期和单调递

增区间。

(2)由正弦定理得到c=2b,由最值得到A=由余弦定理得b=4,最后由三角形面积公式

得到面积。

试题解析：

(1)•••f(x')=4cosxsin(%-£)=4cosxgsinx-gcosx)

=2y/3sinxcosx—2cos2x=y/3sin2x—(1+cos2x)=2(Jsin2x—gcos2x)—1

=2sin(2x--1,

当一2+2kn<2%--<-+2/CTT时，一£+卜兀<2》一巳三囚+kn,kEZ

262663

•••/(X)的单调递增区间为[—?+唠+kn],kez

(2)sinC=2shiB,由正弦定理得c=2b,•・,f(%)的最大值为f(4),

：•2A--=-A=£，在△ABC中，由余弦定理得：16=坟+(2匕)2一4b2cos4

623b=4

•••△ABC的面积S=bcsinA—?

(1(«<-2)

23.【答案】(1)g(a)=1-l-2a-9(-2WaW2);(2)5

(1-4a(a>2)

【解析】试题分析：(1)利用同角三角函数间的基本关系化简函数解析式后，分三种情

况：①罚、于-1时②;大于-1而小于1时③;大于1时，根据二次函数求最小值的方法求

出f(x)的最小值g(a)的值即可；(2)把夕弋入到第一问的g(a)的第二和第三个解

析式中，求出a的值，代入f(x)中得到f(x)的解析式，利用配方可得f(x)的最大

值.

试题解析：

(1)由/(%)=1—2a—2acosx—2sin2%=1—2a—2acosx-2(1—cos2%)

=2cos2%—2acosx-(2a4-1)=2(cosx—^)2—y—2a—1.这里—1Wcosx<1.

2

①若T<牌L则当COS%=押，f(x)min=-y-2a-1;

②若］>1,当COSX=1时，/(x)min=1-4Q；

③若TV-1厕当COSX=-1时，/(x)min=1.

(1(。V-2)

因此g(a)={——2。—1(-24QW2)

(1—4a(a>2)

(2)vg(a)=

.,・①若a>2,则有1一4a=:得Q=之，矛盾；

28

②若一2Wa42,则有---2a—1=万,即a?+4a+3=0,Ia=-