力法解题详解

常州大学机械工程学院力学教研室12024/1/4第5章力法

本章讨论用力法计算超静定的问题。重点介绍力法的基本概念和基本原理，作为力法计算的应用，分别讨论了超静定梁、刚架、桁架、组合结构等各种结构的计算问题，并介绍超静定结构在温度变化、支座移动下的内力计算及超静定结构的位移计算，同时还讨论了对称结构的简化计算方法。常州大学机械工程学院力学教研室22024/1/4本章主要内容

§5.1超静定结构的组成和超静定次数§5.2力法的基本概念

§5.3力法计算举例§5.5力法计算的简化--对称性的应用§5.12支座移动和温度改变时的计算§5.13

超静定结构的位移计算和力法计算的校核常州大学机械工程学院力学教研室32024/1/45.1超静定结构的组成和超静定次数一、超静定结构的静力特征和几何特征静力特征:仅由静力平衡方程不能求出所有内力和反力.

超静定问题的求解要同时考虑结构的“变形、本构、平衡”。几何特征:有多余约束的几何不变体系。常州大学机械工程学院力学教研室42024/1/4

2、抵抗破坏的能力强1、内力与材料的物理性质、截面的几何形状和尺寸有关。二、超静定结构的性质2、温度变化、支座移动一般会产生内力。与静定结构相比,超静定结构的优点为:1、内力分布均匀常州大学机械工程学院力学教研室52024/1/41.力法----以多余约束力作为基本未知量。2.位移法----以结点位移作为基本未知量.三、超静定结构的计算方法3.混合法----以结点位移和多余约束力作为基本未知量.4.力矩分配法----位移法近似计算方法.5.矩阵位移法----位移法结构矩阵分析法之一.超静定结构的基本形式5、组合结构1、梁：超静定单跨梁、超静定多跨梁（连续梁）。2、刚架：单跨、多跨、单层、多层。3、拱：无铰拱、双铰拱。4、桁架常州大学机械工程学院力学教研室62024/1/4超静定次数：多余约束个数，表示计算工作量的繁简程度（1）计算平面体系几何自由度的方法（2）去除多余约束，使其成为静定结构。（3）框格计算法。方法:a、切断一链杆，代以轴力，等于去除一个约束。b、拆开一个单铰相当于去除2个约束，一个复铰相当于个约束。c、切断刚架，相当于3个约束。d、刚杆变为一个单铰，相当于去除1个约束。常州大学机械工程学院力学教研室72024/1/4几次超静定结构?比较法:与相近的静定结构相比,比静定结构多几个约束即为几次超静定结构.X1X2力法基本体系不唯一。X1X2常州大学机械工程学院力学教研室82024/1/4去掉几个约束后成为静定结构,则为几次超静定X1X1X2X2X3X3X1X2X3去掉一个链杆或切断一个链杆相当于去掉一个约束常州大学机械工程学院力学教研室92024/1/4去掉一个固定端支座或切断一根弯曲杆相当于去掉三个约束.将刚结点变成铰结点或将固定端支座变成固定铰支座相当于去掉一个约束.几何可变体系不能作为基本体系常州大学机械工程学院力学教研室102024/1/4例确定超静定结构的次数。常州大学机械工程学院力学教研室112024/1/43常州大学机械工程学院力学教研室122024/1/45.2力法的基本概念

一.力法的基本概念待解的未知问题基本体系:支座反力作用下沿反力方向的位移:荷载作用下沿反力方向的位移常州大学机械工程学院力学教研室132024/1/4变形条件基本体系再令δ11表示X1为单位力时，沿X1方向位移。用来确定X1的位移条件是：在原有荷载和多余力共同作用下，在基本结构上去除多余联系处的位移应与原结构中的位移相等。常州大学机械工程学院力学教研室142024/1/4力法步骤:1.确定基本体系2.写出位移条件,力法方程3.作单位弯矩图,荷载弯矩图;4.求出系数和自由项5.解力法方程6.叠加法作弯矩图l常州大学机械工程学院力学教研室152024/1/4基本体系常州大学机械工程学院力学教研室162024/1/4例试作图示连续梁的M图。由作出弯矩图

常州大学机械工程学院力学教研室172024/1/4例试作图示超静定刚架的M图并校核结果。解：本题是一次超静定问题。基本结构常州大学机械工程学院力学教研室182024/1/4M图MF图常州大学机械工程学院力学教研室192024/1/4按公式作出弯矩图

M图MF图M

图常州大学机械工程学院力学教研室202024/1/4校核。求B点的水平位移M图M

图常州大学机械工程学院力学教研室212024/1/4例试作图示超静定梁的M、FS图。解：选择简支梁为基本结构。M图常州大学机械工程学院力学教研室222024/1/4按公式作出弯矩图

MF图M图M图常州大学机械工程学院力学教研室232024/1/4例试画出图所示平面曲杆的弯矩图。设EI为常数。F作用下的弯矩常州大学机械工程学院力学教研室242024/1/4单位力作用下的弯矩代入方程解出曲杆的弯矩方程为常州大学机械工程学院力学教研室252024/1/4图示刚架E为常数，。试作M图，并讨论当增大和减小时M图如何变化。

常州大学机械工程学院力学教研室262024/1/4因此当时，（外部受拉）

当n增大时，减小，相应的弯矩图的变化如图

常州大学机械工程学院力学教研室272024/1/4例如图(a)所示梁的右端为弹性约束，设弹簧刚度为K。段可视为刚体，为己知，试求截面上的弯矩

并与梁刚性连接，由力法正则方程为在单位力和荷载单独作用下的弯矩图

常州大学机械工程学院力学教研室282024/1/4代入力法正则方程，可得常州大学机械工程学院力学教研室292024/1/4二、典型方程常州大学机械工程学院力学教研室302024/1/4

力法计算超静定结构以多余未知力为基本未知量，并根据相应的位移条件来求解未知力典型方程为对角线、、称为主系数，称为副系数，最后称为自由项由互等定理。常州大学机械工程学院力学教研室312024/1/45.3力法计算举例例作刚架的M图。1、确定超静定次数，选择合适的基本结构2、建立力法典型方程力法步骤:1.确定基本体系4.求出系数和自由项2.写出位移条件,力法方程5.解力法方程3.作单位弯矩图,荷载弯矩图;6.叠加法作弯矩图常州大学机械工程学院力学教研室322024/1/4常州大学机械工程学院力学教研室332024/1/43、求系数与自由项常州大学机械工程学院力学教研室342024/1/44、求多余未知力5、按公式作出弯矩图如图所示。（顺时针）常州大学机械工程学院力学教研室352024/1/4例试作图示连续梁的M图。常州大学机械工程学院力学教研室362024/1/4由力法典型方程：常州大学机械工程学院力学教研室372024/1/4按公式作出弯矩图如图所示。常州大学机械工程学院力学教研室382024/1/4例作图示结构的M图。1、确定超静定次数，选择合适的基本结构，为二次超静定。2、建立力法典型方程常州大学机械工程学院力学教研室392024/1/43、系数与自由项常州大学机械工程学院力学教研室402024/1/44、求未知力（逆时针）5、按公式作出弯矩图如图所示。常州大学机械工程学院力学教研室412024/1/4例作图示结构的M图。已知。1、确定超静定次数，选择合适的基本结构，为二次超静定。2、力法典型方程3、系数与自由项常州大学机械工程学院力学教研室422024/1/4常州大学机械工程学院力学教研室432024/1/44、求未知力5、按公式作出弯矩图如图所示。常州大学机械工程学院力学教研室442024/1/4例试作例图示结构的弯矩图。。1、确定超静定次数，选择合适的基本结构，为二次超静定。2、建立力法典型方程3、计算系数和自由项作常州大学机械工程学院力学教研室452024/1/4常州大学机械工程学院力学教研室462024/1/44、求多余未知力5、按公式作出弯矩图如图所示。常州大学机械工程学院力学教研室472024/1/4例图示对称组合结构，ABCD部分的截面抗弯刚度为EI，拉杆截面为A。求EF杆内力。1、这是一次超静定。截断EF杆，代以2、力法方程3、计算系数和自由项常州大学机械工程学院力学教研室482024/1/4杆件长度AEBEEFCFFDABCDEF常州大学机械工程学院力学教研室492024/1/4ABCDEF常州大学机械工程学院力学教研室502024/1/41、对称性的概念对称结构:几何形状、支承情况、刚度分布对称的结构。对称结构非对称结构支承不对称刚度不对称几何对称支承对称刚度对称5.5对称性的应用常州大学机械工程学院力学教研室512024/1/41、对称性的概念对称结构:几何形状、支承情况、刚度分布对称的结构.对称荷载:作用在对称结构对称轴两侧,大小相等,方向和作用点对称的荷载反对称荷载:作用在对称结构对称轴两侧,大小相等,作用点对称,方向反对称的荷载对称荷载反对称荷载

下面这些荷载是对称,反对称荷载,还是一般性荷载?FllMllFllEI=CllEI=CM常州大学机械工程学院力学教研室522024/1/41、对称性的概念2、选取对称基本结构,对称基本未知量和反对称基本未知量FEIEIEIFM1M2M3FMF典型方程分为两组:一组只含对称未知量另一组只含反对称未知量对称荷载,反对称未知量为零反对称荷载,对称未知量为零

对称结构受正对称荷载作用时，只存在正对称的多余未知力M、FN，而反对称未知力FS必为零。结构的内力分布必呈正对称形式。(1)对称结构在对称荷载作用下M1M2M3(2)

对称结构在反对称荷载作用下

只存在反对称的多余未知力（剪力）而正对称未知力必为零。M1M2M3常州大学机械工程学院力学教研室552024/1/4对称截面上应符合原结构的位移条件。3、对称结构的半结构分析法（以半结构等效代替原结构）（1）对称结构在对称荷载作用下，而反对称未知力必为零。结构的内力分布必对称结构受正对称荷载作用时，只存在正对称的多余未知力呈正对称形式，相应的结构变形状态也必为正对称形式。（2）对称结构在反对称荷载作用下只存在反对称的多余未知力（剪力）而正对称未知力必为零。结构的内力分布呈反对称，变形也呈反对称。同样，取半结构进行分析时，在切口处应设置的支承，将由反对称变形的位移条件来决定。常州大学机械工程学院力学教研室562024/1/4对称荷载:常州大学机械工程学院力学教研室572024/1/4常州大学机械工程学院力学教研室582024/1/4常州大学机械工程学院力学教研室592024/1/4FEIEIEIF反对称荷载:F无中柱对称结构（奇数跨结构）有中柱对称结构（偶数跨结构）常州大学机械工程学院力学教研室602024/1/4常州大学机械工程学院力学教研室612024/1/4MF图M图2a例求图示正方形框架的内力图。已知正方形的边长为。解：由对称性分析，可化为一次超静定结构计算系数和自由项力法方程按公式作出弯矩图如图所示。F/2常州大学机械工程学院力学教研室622024/1/4例试利用对称性计算图示刚架并作弯矩图。对称荷载F/2F/2F/2反对称荷载F/2EI/2F/2EI/2F/2EI/2F/2EI/2常州大学机械工程学院力学教研室632024/1/4例试利用对称性计算图示刚架并作弯矩图。F/2F/2F/2反对称荷载对称轴基本结构F/2F/2F/2M图MF图常州大学机械工程学院力学教研室642024/1/4求系数和自由项。按公式作出弯矩图如图所示。M图MF图常州大学机械工程学院力学教研室652024/1/4例已知EI为常数，用力法计算图示结构，并作M图。解：超静定结构中静定部分的内力可利用平衡条件求得。分析超静定时可撤去静定部分，用约束力来代替原结构，简化分析。常州大学机械工程学院力学教研室662024/1/4由力法方程常州大学机械工程学院力学教研室672024/1/4

按公式作出弯矩图如图所示。常州大学机械工程学院力学教研室682024/1/4利用对称性将六次超静定问题简化为二次超静定问题。该题还可再进行简化。常州大学机械工程学院力学教研室692024/1/4超静定结构在温度改变、支座移动等因素影响下都会产生内力，这是超静定结构的重要特点。其计算方法与荷载作用下的内力计算方法基本相同。当温度改变、支座移动和外荷载三个因素同时存在时，结构的力法方程为……

其中C1、C2…Cn

：原结构在未知力作用点对应于未知力方向的实际位移5.12

支座移动和温度改变时的计算常州大学机械工程学院力学教研室702024/1/4：温度变化引起基本体系的作用点沿方向的位移：由于支座变化引起基本体系的作用点沿方向的位移由几何关系确定或由虚功方程计算：当时引起的支座反力：支座移动的距离……常州大学机械工程学院力学教研室712024/1/4例原结构在时安装，当外界温度降为时，求框架的内力。1、温度变化室内温度变化2、基本体系和基本未知量

室外温度变化力法方程常州大学机械工程学院力学教研室722024/1/43、计算系数和自由项已知EI=常数，，，

常州大学机械工程学院力学教研室732024/1/4按公式作出弯矩图如图所示。常州大学机械工程学院力学教研室742024/1/4例等截面矩形框架结构。已知材料的线膨胀系数弹性模量，。框架截面高度。求内部温度升高时框架的内力。，2、力法基本方程：3、计算系数和自由项1、确定超静定次数，取基本结构常州大学机械工程学院力学教研室752024/1/4常州大学机械工程学院力学教研室762024/1/44、列方程计算按公式作出弯矩图如图所示。常州大学机械工程学院力学教研室772024/1/4支座移动时的力法方程……常州大学机械工程学院力学教研室782024/1/4例求固端A有一转角时梁的弯矩图。1、确定超静定次数为一次，取基本结构3、计算系数和自由项4、按叠加公式，作弯矩图如图所示。2、力法方程常州大学机械工程学院力学教研室792024/1/4解法二：确定超静定次数为一次，取图示的基本结构力法方程常州大学机械工程学院力学教研室802024/1/4例已知杆长，截面刚度EI，杆与水平面的倾斜角为支座B的两根链杆为水平方向。求当固端支座A顺时针转角度时结构的弯矩图。。1、确定超静定次数为二次，取基本结构2、力法方程常州大学机械工程学院力学教研室812024/1/43、计算系数和自由项M1图M2图常州大学机械工程学院力学教研室822024/1/4按公式作出弯矩图如图所示。M1图M2图M图AB其中常州大学机械工程学院力学教研室832024/1/4例求图示刚架由于支座位移引起的弯矩图。1、超静定次数为二次，取基本结构2、力法方程常州大学机械工程学院力学教研室842024/1/43、计算系数和自由项常州大学机械工程学院力学教研室852024/1/4按公式作出弯矩图如图所示。常州大学机械工程学院力学教研室862024/1/4例图示结构因制造误差使杆件CD增长了，试求由此引起。的弯矩图。设轴力杆解1、取基本结构如图所示2、建立力法方程常州大学机械工程学院力学教研室872024/1/43、求系数和自由项常州大学机械工程学院力学教研室882024/1/44、求多余未知力5、作弯矩图按公式作弯矩图如图所示。常州大学机械工程学院力学教研室892024/1/4一般超静定杆系结构，计算在荷载作用下的位移，可用下列公式

与静定结构的位移计算的公式一样，但M与FN是超静定结构下的内力。通常，计算。与是相应的超静定结构由虚拟单位荷载产生的内力。一、荷载作用下的位移计算因此要进行超静定结构的计算5.13超静定结构的位移计算和力法计算的校核常州大学机械工程学院力学教研室902024/1/4例求图示梁C点的竖向位移。1、计算超静定系统的内力按作出弯矩图常州大学机械工程学院力学教研室912024/1/42、计算虚拟单位力下的内力按作出弯矩图常州大学机械工程学院力学教研室922024/1/43、计算。用（a）图与（b）图相乘注意上式△CV计算中前两次之和为零，因此实际荷载中将力法中求得的多余约束力看作荷载，作一个等效变换，即多余约束与原荷载共同作用在一个静定的结构上，也可求出要求的位移常州大学机械工程学院力学教研室932024/1/4（1）简支梁由（a）与（c）相图乘（2）悬臂梁由（a）与（d）相图乘常州大学机械工程学院力学教研室942024/1/4在计算位移的公式中的与时，可用在原结构中去除多余约束后的任一静定结构由虚拟单位荷载产生的内力。常州大学机械工程学院力学教研室952024/1/4例刚架如图所示，求作内力图，并求截面D的竖向位移。1、本例为两次超静定结构，取力法基本结构3、求系数和自由项。作、和图。2、建立力法方程常州大学机械工程学院力学教研室962024/1/44、代入力法方程，并求解

常州大学机械工程学院力学教研室972024/1/46、作单位荷载图，求。按作出弯矩图常州大学机械工程学院力学教研室982024/1/4例如图长方形框架。承受图示的均布荷载q。（1）画出框架的弯矩图（2）假设四根杆子的截面惯性矩为I，求CD两截面的相对转角。1、由反对称性质，在对称轴上只有反对称的剪力FS由平衡条件画出内力图常州大学机械工程学院力学教研室992024/1/42、在CD处作用一对力偶，取静定的基本结构常州大学机械工程学院力学教研室1002024/1/4二、温度改变、支座位移情况下超静定结构的位移计算其中M为超静定结构分别在温度改变或支座移动情况下的实际内力。由超静定结构的分析方法求出再由求出。，然后、分别为相应的静定结构由虚拟单位荷载产生的内力及反力。常州大学机械工程学院力学教研室1012024/1/4例图示刚架，同时承受荷载、温度变化及支座沉陷作用，其，，线膨胀系数试作刚架的弯矩图并求刚架B支座截面的转角。数值及尺寸如图。已知各杆截面高度，常州大学机械工程学院力学教研室1022024/1/4例两铰刚架，内侧温度升高，外侧温度升高材料的线膨胀系数为，各杆矩形等截面的高试求刚架的弯矩图，并求横梁中点E的竖向位移。，，1、一次超静定，如图取基本结构2、力法方程3、求系数和自由项常州大学机械工程学院力学教研室1032024/1/44、求未知约束力5、作M和FN图常州大学机械工程学院力学教研室1042024/1/46、取静定结构，在E处作用一单位虚拟力X常州大学机械工程学院力学教研室1052024/1/4例等截面梁EI为常数，A截面有固端转角，求C点的竖向。位移1、求超静定梁的内力2、作M图常州大学机械工程学院力学教研室1062024/1/4X1623、求超静定系统的位移在C处作用一虚拟单位力常州大学机械工程学院力学教研室1072024/1/4例求作结构因支座移动产生的弯矩图。EI为常数。并求和。1、是一次超静定，取基本结构

作M图

力法方程常州大学机械工程学院力学教研室1082024/1/4注：也可以采用其它基本结构，如去除常州大学机械工程学院力学教研室1092024/1/42、求位移(1)常州大学机械工程学院力学教研室1102024/1/4(2)常州大学机械工程