数学物理方法总结(改)

数学物理方法总结复变函数复数的代数式:z=x+iy复数的三角式和指数式:和欧拉公式:{柯西-黎曼方程(或称为柯西-黎曼条件):{(其中f(z)=u+iv)函数f(z)=u+iv在点及其领域上处处可导,则称f(z)在点解析.在区域B上每一点都解析,则称f(z)是在区域B上的解析函数.解析函数的性质:1.若函数f(z)=u+iv在区域B上解析,则(为常数)是B上的两组正交曲线族.2.若函数在区域B上解析,则u,v均为B上的调和函数,即例题:已知某解析函数f(z)的实部,求虚部和这个解析函数.解答:由于=2;=-2;则曲线积分法=2x;=-2y.根据C-R条件有:=2y;=2x.于是;凑全微分显式法由上式可知则易得则显然不定积分法上面已有=2y;=2x则第一式对y积分,x视为参数,有.上式对x求导有,而由C-R条件可知,从而.故v=2xy+C.复变函数的积分单连通区域柯西定理如果函数f(z)在闭单连通区域上解析,则沿上任意一分段光滑闭合闭合曲线l(也可以是的边界),有.复连通区域柯西定理如果f(z)是闭复连通区域上的单值解析函数,则.式中l为区域外边界线,诸为区域内边界线,积分均沿边界线的正方向进行.即.柯西公式n次求导后的柯西公式幂级数展开幂级数其中,,,,……都是复常数.比值判别法(达朗贝尔判别法)1.若有则收敛,绝对收敛.若极限存在,则可引入记号R,,于是,若,则绝对收敛.2.若,则后项与前项的模之比的极限,即说明发散.例题:求幂级数的收敛圆,z为复变数.解答:由题意可得故().泰勒级数展开设f(z)在以为圆心的圆内解析,则对圆内的任意z点,f(z)可展为幂级数,,其中,为圆内包含z且与同心的圆.例题:在的领域上将展开解答:函数的各阶导数,而.则在的领域上的泰勒展开.双边幂级数洛朗级数展开设f(z)在环形区域的内部单值解析,则对环域上的任一点z,f(z)可展为幂级数.其中,积分路径C为位于环域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线.例题1:在的环域上将展为洛朗级数.解答:例题2:在的领域上将展为洛朗级数.解答:由题意得则有z-1的-1次项,而()故.留数定理留数定理设函数f(z)在回路l所围区域B上除有限个孤立奇点,,……,解析,在闭区域上除,,……,外连续,则.其中,.推论1:单极点的留数为.推论2:若f(z)可以表示为P(z)/Q(z)的特殊形式,其中P(z)和Q(z)都在点解析,是Q(z)的一阶零点().,则.上式最后一步应用了罗毕达法则.留数定理的应用类型一.作自变量代换.则式子变为.例题:计算.解答:,Z的单极点为.则,由于不在圆内.故.类型二.积分区间是;复变函数f(z)在实轴上没有奇点,在上半平面除了有限个奇点外是解析的;当z在上半平面及实轴上时,zf(z)一致地.则式子可以变为{f(z)在上半平面所有奇点的留数之和}.例题:计算.解答:的单极点为.,故.类型三,,积分区间是;偶函数F(x)和奇函数G(x)在实轴上没有奇点,在上半平面除了有限个奇点外是解析的;当z在上半平面或实轴上,F(z)及G(z)一致地.则式子可以变为;.若类型二,类型三的实轴上有有限个奇点,则有.其中,在类型三中f(x)应理解为或.Fourier变换傅里叶级数周期为2l的函数f(x)可以展开为级数.其中,{,={.注:积分上下限只要满足上-下=2l即可.复数形式的傅里叶级数其中.傅里叶积分傅里叶变换式{复数形式的傅里叶积分{傅里叶变换的性质导数定理F[f’(x)]=iwF(w)积分定理F[]=相似性定理F[f(ax)]=延迟定理F[]=位移定理F[]=卷积定理若F[]=,F[]=,则F[*]=.其中称为和的卷积.函数{.{.函数的一些性质1.是偶函数.2.{.3..Laplace变换拉普拉斯变换拉普拉斯变换的一些性质线性定理若,,则.导数定理.积分定理L[].相似性定理.位移定理.延迟定理.卷积定理若,,则,其中称为和的卷积.数学物理定解问题(1)均匀弦的微小振动,均匀杆的纵振动,传输线方程,均匀薄膜的微小横振动,流体力学与声学方程,电磁波方程的形式为或或.(2)扩散方程,热传导方程的形式为或.(3)稳定浓度分布,稳定温度分布,静电场,稳定电流场方程的形式为(拉普拉斯方程).(4)以上方程中意为,意为.若以上各方程均为有源,则方程为各方程=f(x,y,z,t).定解条件初始条件初始”位移”,初始”速度”.边界条件第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件衔接条件.(T为张力)达朗贝尔公式定界问题达朗贝尔公式.其中,.分离变数法泛定方程(若该方程可以使用分离变量法,则可以化成).在不同的边界条件下解不同.边界条件{,X(x)的解为{其中n=1,2,3……{,X(x)的解为{其中k=0,1,2……{,X(x)的解为{其中k=0,1,2……{,X(x)的解为{其中n=0,1,2……T(t)的方程在有n且n=0时的解为;在时的解为;在有k的情况下为.初始条件将u(x,t)=T(t)X(x)带入初始条件,确定u(x,t)中的常数项.欧拉型常微分方程.解法为做代换.二阶常微分方程级数解法本征值问题拉普拉斯方程球坐标系下.分解为其解为.和(球方程,)球方程又可以分离为其中有,其方程解为{其中m=0,1,2……和(连带勒让德方程).柱坐标系下.分解为其中有,其方程解为{其中m=0,1,2……和和.当时,Z=C+Dz,{;当时,,方程R转换为(,m阶贝塞尔方程).当时,,方程R转换为(,m阶虚宗量贝塞尔方程).亥姆霍兹方程.在的领域上l阶勒让德方程的解为其中球函数高次项的系数(在乘以适当的常数之后),用递推公式改写后为,则.则勒让德多项式为.={.……勒让德多项式是正交的例题1:以勒让德多项式为基,在区间[-