第7章立体几何专练4-二面角1-2021届高三数学一轮复习_第1页
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立体几何专练4—二面角11．如图，在三棱柱中，，，，在底面的射影为的中点，是的中点．（1）证明：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．解：（1）证明：如图，以中点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建系．则，，易知，0，，，0，，，0，，，，，，，，，，，，，，，，，，0，，，0，，，0，，，，又，，又，平面；（2）设平面的法向量为，，，由，得，取，得，0，，设平面的法向量为，，，由，得，取，得，，，，，又该二面角为钝角，二面角的平面角的余弦值为．2．如图，三棱柱中，点在平面内的射影在上，，，．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）设直线与平面的距离为，求二面角的大小．解：（Ⅰ）平面，平面，平面平面，又平面，连结，由侧面为菱形可得，又，，平面，平面，；（Ⅱ）平面，平面，平面平面，作，为垂足，可得平面，又直线平面，为直线与平面的距离，即，为的平分线，，作，为垂足，连结，又可得，，平面，平面，为二面角的平面角，由可知为中点，，，二面角的大小为3．如图，四棱锥的底面为矩形，，，点在底面上的射影在上，是的中点．（1）证明：平面（2）若，且与面所成的角的正弦值为，求二面角的余弦值．解：（1）在矩形中，，且是的中点，，（1分），，，即．（3分）由题可知面面，且交线为，面．（5分）（2）：令与交于点，，且是的中点，．面面，面．取中点，连接，，因为底面为矩形，所以．建立如图所示的空间直角标系：，，，，，，，，，，0，，（6分）设面的法向量为，由，令，面的法向量为由与面所成的角的正弦值为，，设平面的法向量为，，由令设平面的法向量为，由，令（10分）二面角的余弦值为（12分）4．如图，三棱柱中，侧面为菱形，．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若，，，求二面角的余弦值．【解答】解：（1）连结，交于点，连结，侧面为菱形，，且为和的中点，又，平面，平面，，又，，（2），且为的中点，，又，，，，，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，为单位长度，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，，为正三角形，又，，0，，，0，0，，，，，，，，，，，0，，，，，设向量，，是平面的法向量，则，可取，，，同理可得平面的一个法向量，，，，，二面角的余弦值为5．如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，，，．（1）求证：直线平面；（2）求二面角的余弦值．证明：（1）在上取一点，使，连接，，，，，，，．，．为平行四边形．即．又平面，直线平面．解：（2）取中点，底面是菱形，，．，，即．又平面，．又，直线平面．故，，相互垂直，以为原点，如图建立空间直角

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