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立体几何专练4—二面角11.如图,在三棱柱中,,,,在底面的射影为的中点,是的中点.(1)证明:平面;(2)求二面角的平面角的余弦值.解:(1)证明:如图,以中点为坐标原点,以、、所在直线分别为、、轴建系.则,,易知,0,,,0,,,0,,,,,,,,,,,,,,,,,,0,,,0,,,0,,,,又,,又,平面;(2)设平面的法向量为,,,由,得,取,得,0,,设平面的法向量为,,,由,得,取,得,,,,,又该二面角为钝角,二面角的平面角的余弦值为.2.如图,三棱柱中,点在平面内的射影在上,,,.(Ⅰ)证明:;(Ⅱ)设直线与平面的距离为,求二面角的大小.解:(Ⅰ)平面,平面,平面平面,又平面,连结,由侧面为菱形可得,又,,平面,平面,;(Ⅱ)平面,平面,平面平面,作,为垂足,可得平面,又直线平面,为直线与平面的距离,即,为的平分线,,作,为垂足,连结,又可得,,平面,平面,为二面角的平面角,由可知为中点,,,二面角的大小为3.如图,四棱锥的底面为矩形,,,点在底面上的射影在上,是的中点.(1)证明:平面(2)若,且与面所成的角的正弦值为,求二面角的余弦值.解:(1)在矩形中,,且是的中点,,(1分),,,即.(3分)由题可知面面,且交线为,面.(5分)(2):令与交于点,,且是的中点,.面面,面.取中点,连接,,因为底面为矩形,所以.建立如图所示的空间直角标系:,,,,,,,,,,0,,(6分)设面的法向量为,由,令,面的法向量为由与面所成的角的正弦值为,,设平面的法向量为,,由令设平面的法向量为,由,令(10分)二面角的余弦值为(12分)4.如图,三棱柱中,侧面为菱形,.(Ⅰ)证明:;(Ⅱ)若,,,求二面角的余弦值.【解答】解:(1)连结,交于点,连结,侧面为菱形,,且为和的中点,又,平面,平面,,又,,(2),且为的中点,,又,,,,,两两垂直,以为坐标原点,的方向为轴的正方向,为单位长度,的方向为轴的正方向,的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系,,为正三角形,又,,0,,,0,0,,,,,,,,,,,0,,,,,设向量,,是平面的法向量,则,可取,,,同理可得平面的一个法向量,,,,,二面角的余弦值为5.如图,在四棱锥中,底面是菱形,平面,,,,.(1)求证:直线平面;(2)求二面角的余弦值.证明:(1)在上取一点,使,连接,,,,,,,.,.为平行四边形.即.又平面,直线平面.解:(2)取中点,底面是菱形,,.,,即.又平面,.又,直线平面.故,,相互垂直,以为原点,如图建立空间直角
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