山东省聊城市聊城联盟校2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题

2023-2024学年第一学期第二次学情调研九年级数学试题时间：120分钟分值：120分一、选择题（满分36分，共12小题，每小题3分）1.在下列方程中，一元二次方程的个数是（）①；②；③；④A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】A【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的定义的应用，能理解一元二次方程的定义是解此题的关键．只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，根据以上定义判断即可．【详解】①符合一元二次方程的定义，故选项符合题意；②当时，是一元一次方程，不是一元二次方程，故选项不符合题意；③化简后，是一元一次方程，不是一元二次方程，故选项不符合题意；④不是整式方程，故选项不符合题意；综上可知是一元二次方程共有1个故选：A2.已知的半径为5，是的弦，点P在弦上，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】连接，过点O作于点C，根据垂径定理可得，即可求得，再利用勾股定理求得的值，再利用勾股定理即可求得的值．【详解】如图，过点O作于点C，连接，则，更多课件教案等低价滋源(一定远低于各大平台价格)请家威杏MXSJ663，，，，，在中，根据勾股定理得：，在中，根据勾股定理得：,故选：C．【点睛】本题考查了圆的垂径定理和勾股定理，正确作辅助线，熟练利用勾股定理是解题的关键．3.在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB等于()A. B.C. D.【答案】B【解析】【详解】解：设所对的边分别为，，不妨设，由勾股定理得到，故选：B.4.已知，在矩形中，于，设，且，，则的长为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据同角的余角相等求出∠ADE=∠ACD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠ACD，然后求出AC，再利用勾股定理求出BC，然后根据矩形的对边相等可得AD=BC．【详解】解：∵DE⊥AC，

∴∠ADE+∠CAD=90°，

∵∠ACD+∠CAD=90°，

∴∠ACD=∠ADE=α，

∵矩形ABCD的对边AB∥CD，

∴∠BAC=∠ACD，

∵cosα=，

∴，

∴AC=×4=，

由勾股定理得，BC==，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC=．

故选：B．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，同角的余角相等的性质，熟记各性质并求出BC是解题的关键．5.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则的正切值是（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理的逆定理，解题的关键是连接判断是直角三角形是解题的关键．【详解】连接，则，，，∴，∴是直角三角形且，∴，故选D．6.如图，中，，内切于点，，，则的半径为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了切线长定理、切线的性质、正方形的判定与性质、勾股定理，连接、，，由切线长定理可得，，，证明四边形是正方形，设，则，，由勾股定理可得，进行计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：如图，连接、，，，由切线长定理可得，，，，，，，，，，，四边形是正方形，设，则，，在中，由勾股定理可得：，，解得：或（不符合题意，舍去），的半径为，故选：D．7.如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC=BD=4，∠A=45°，则弧CD的长度为（）A.π B.2π C.2π D.4π【答案】B【解析】【分析】连接OC、OD，根据切线性质和∠A=45°，易证得△AOC和△BOD是等腰直角三角形，进而求得OC=OD=4，∠COD=90°，根据弧长公式求得即可．【详解】连接OC、OD，∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．∴OC⊥AC，OD⊥BD，∵∠A=45°，∴∠AOC=45°，∴AC=OC=4，∵AC=BD=4，OC=OD=4，∴OD=BD，∴∠BOD=45°，∴∠COD=180°-45°-45°=90°，∴的长度为：=2π，故选B．【点睛】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，弧长的计算等，证得∠COD=90°是解题的关键．8.如图，一块材料的形状是锐角三角形，边长，边上的高为，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，则这个正方形零件的边长是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】证明，则，设正方形零件的边长为x，则，根据相似三角形的性质得到，解方程即可．本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．【详解】解：∵四边形是正方形，∴，∴，又∵，∴，设正方形零件的边长为x，则，∴，解得：，即这个正方形零件的边长为．故选：A9.下列语句中，正确的是（）A.长度相等的两条弧相等B.平分弦的直径垂直于弦C.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等D.圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴【答案】C【解析】【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系以及垂径定理；圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等．根据圆心角、弧、弦的关系，垂径定理等相关知识进行解答即可．【详解】解：A、在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧，选项说法错误，故本选项不符合题意；B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，选项说法错误，故本选项不符合题意；C、由圆心角、弧、弦的关系定理知，选项说法正确，故本选项符合题意；D、任何图形的对称轴都是直线，而圆的直径是线段，选项说法错误，故本选项不符合题意；故选：C．10.2010年某市政府投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．设每年市政府投资的增长率为x，根据题意，列出方程为（）A.2（1+x）2=9.5 B.2（1+x）+2（1+x）2=9.5C.2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5 D.8+8（1+x）+8（1+x）2=9.5【答案】C【解析】【分析】设每年市政府投资的增长率为x．根据到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，列方程求解【详解】（1）设每年市政府投资的增长率为x，根据题意，得：2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5．故选C．【点睛】由实际问题抽象出一元二次方程11.关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为12，则的值为（）A. B. C.或 D.或【答案】A【解析】【分析】设，是的两个实数根，由根与系数的关系得，，再由代入即可.【详解】设，是的两个实数根，∴，∴，∴，，∴，∴或，∴，故选A．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系；牢记韦达定理，灵活运用完全平方公式是解题的关键．12.若为方程的两个实数根，则的值为（）A. B.12 C.14 D.15【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程解的定义得到，即，则，再根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算即可．【详解】解：为的实数根，，即，，为方程的两个实数根，，，，故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根与系数的关系：若、是一元二次方程的两根时，则，．二、填空题（满分15分，共5小题，每小题3分）13.已知一元二次方程有一个根为1，则的值为__．【答案】2【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．根据一元二次方程的解的定义，把把代入方程得关于的一次方程，然后解一元一次方程即可．【详解】解：一元二次方程有一个根为1，把代入方程得，解得．故答案为：2．14.如图，在中，，是的外接圆，，则图中阴影部分的面积______（结果保留和根号）．【答案】【解析】【分析】本题考查了圆周角定理、含角的直角三角形的性质、勾股定理、垂径定理、扇形面积公式，连接，，作于，由圆周角定理可得，从而得出，由含角的直角三角形的性质可得，由垂径定理可得，由勾股定计算出，，最后根据进行计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：如图，连接，，作于，，，，，，，，，，，，，，故答案为：．15.如图是一个汽油桶的截面图，其上方有一个进油孔，该汽油桶的截面直径为，此时汽油桶内液面宽度，现在从进油孔处倒油，当液面时，液面上升了__________dm．【答案】8或22【解析】【分析】本题考查了垂径定理的应用以及分类讨论的数学思想．实质是求两条平行线间的距离，根据勾股定理求弦心距，作差或作和分别求解．【详解】连接．作于．则直角中，，，根据勾股定理得到：，当油面宽为时，连接．作于．在直角中，，，根据勾股定理得到：，即弦AB的弦心距是，当油面没超过圆心O时，如图油上升了；当油面超过圆心O时，如图油上升了．因而油上升了或．故答案为8或22．16.若关于x的一元二次方程(m﹣1)x2﹣2mx+(m+2)=0有实数根，则m取值范围是____．【答案】m≤2且m≠1【解析】【详解】∵关于x的一元二次方程(m﹣1)x2﹣2mx+(m+2)=0有实数根，∴∆＝（-2m）2-4（m-1）（m+2）≥0，且m-1≠0，解得m≤2且m≠1．故答案为m≤2且m≠1．17.对于实数，定义运算“◎”如下：◎．若◎，则_____．【答案】-3或4【解析】【分析】利用新定义得到，整理得到，然后利用因式分解法解方程．【详解】根据题意得，，，，或，所以．故答案为或．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．三、解答题（满分69分，共8小题）18.计算：（1）．（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用特殊角的三角函数值计算即可；（2）先进行算式平方根、正切值、绝对值和负整数指数幂运算，再加减运算即可求解．【小问1详解】解：原式；【小问2详解】解：原式．【点睛】本题主要考查实数的混合运算，涉及特殊角的三角函数、二次根式的混合运算、绝对值、负整数指数幂，熟记特殊角的三角函数值，掌握运算法则并正确求解是解答的关键．19.解下列方程：（1）5x+2=3x2；（2）2（x﹣3）2=x2﹣9．【答案】（1）x1=﹣，x2=2；（2）x1=3，x2=9．【解析】【分析】（1）先移项化简，再用因式分解法即可解出；（2）先移项化简，再用因式分解法即可解出.【详解】（1）5x+2=3x2，3x2﹣5x﹣2=0（3x+1）（x﹣2）=0所以x1=﹣，x2=2；（2）2（x﹣3）2=x2﹣9，2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）=0，（x﹣3）[2（x﹣3）﹣（x+3）]=0，x﹣3=0或x﹣9=0，所以x1=3，x2=9．【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程-因式分解法，解题的关键是熟练的掌握解一元二次方程-因式分解法.20.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求取值范围；（2）若是方程的一个根，求的值及方程的另一个根．【答案】（1）（2），方程的另一根为【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及方程的解，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．（1）由方程的根的情况可得到关于的不等式，可求得的取值范围；（2）把代入方程可求得的值，再解方程可求得另一根．【小问1详解】解：根据题意得：，解得；【小问2详解】解：把代入方程可得，解得，∴方程为，解得或，即方程的另一根为．21.如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90º，E为AB的中点，求证：（1）AC2=AB·AD；（2）CE∥AD．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【详解】试题分析:(1)易证△ADC∽△ACB得即,(2)由E为AB中点得CE=AB=AE,∠EAC=∠ECA,又AC平分∠DAB,∴∠CAD=∠CAB,∴∠DAC=∠ECA,∴∠CAD=∠CAB,∴∠DAC=∠ECA,∴CE∥AD.试题解析:(1)∵AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠CAB又∵∠ADC=∠ACB=90°,∴△ADC∽△ACB,∴即,(2)∵E为AB的中点,∴CE=AB=AE,∠EAC=∠ECA,∵AC平分∠DAB,∴∠CAD=∠CAB,∴∠DAC=∠ECA,∴CE∥AD.22.某校初三课外活动小组，在测量树高的一次活动中．如图所示，测得树底部中心A到斜坡底C的水平距离为8.8m，在阳光下某一时刻测得l米的标杆影长为0.8m，树影落在斜坡上的部分CD=3.2m，已知斜坡CD的坡比，求树高AB．（结果保留整数，参考数据：≈1.7）【答案】树高AB为16m【解析】【分析】点D作DE⊥AB，DF⊥AC，构建直角三角形，根据三角函数的计算和相似三角形的相似比求解．【详解】解：过点作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，如图，∵斜坡CD的坡比，即tan∠DCF=，∴∠DCF=30°，而CD=3.2m，∴DF=CD=1.6m，CF=DF=m，∵DF⊥AC，DE⊥AB，AC⊥AB，∴四边形AEDF是矩形，∴AE=DF，DE=AF，∵AC=8.8m，∴DE=AF=AC+CF=8.8+，∴，∴BE=，∴AB=BE+AE=≈16（m）．答：树高AB为16m．【点睛】本题是解直角三角形的应用，考查了相似三角形的性质，解直角三角形，理解坡比，构造直角三角形是解题的关键．23.如图，在四边形中，，以为直径的交于点，交于点，连接，平分．（1）求证：是切线；（2）若，，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）连，利用内错角相等两直线平行可得，进而得出，可知，为圆的半径，即可得出最后结论；（2）连接，交于点，根据直径所对的圆周角为直角，得到，得出四边形为矩形，进而得出四边形为矩形，设，得出，，利用勾股定理，求出的值，进而求出最后结果【小问1详解】证明:如图（1），连，，，平分，，，，，，，，是的切线．【小问2详解】如图（2），连接，交于点，为的直径，，，四边形为矩形，，，，，，，，四边形为矩形，，设，，，，，，，，解得：，（舍去），，．【点睛】本题考查了切线的判定，直径所对的圆周角为直角，垂径定理，中位线性质，勾股定理，矩形的判定和性质，正确作