江苏省镇江市镇江中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（解析版）VIP

2022-2023镇中高二期中数学一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.）1.直线与直线垂直，则等于（）A.2 B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】根据一般式直线与直线垂直的结论列式求解即可得的值.【详解】解：由于直线与直线垂直，所以，解得故选：A.2.双曲线的渐近线方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用双曲线方程求解渐近线方程即可.【详解】双曲线的渐近线方程是：故选：A3.已知等比数列的前n项和为，且，，则（）A. B.或 C. D.【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的定义与通项公式运算求解.【详解】设等比数列的公比为，∵，即，则，更多课件教案视频等优质滋源请家威杏MXSJ663∴，则，解得.故选：C.4.已知是椭圆的左右焦点，点是过原点且倾斜角为的直线与椭圆的一个交点，且，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据得，在中，求出可得的关系，求出离心率可得答案.【详解】不妨设在第二象限。因为，即.又，所以，即为等边三角形，∴，，∴，∴.故选：D.5.19世纪法国著名数学家加斯帕尔•蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为.若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（）A.±3 B.±4 C.±5 D.【答案】B【解析】【分析】由题意求出蒙日圆方程，再由两圆只有一个交点可知两圆相外切，从而列方程可求出的值．【详解】由题意可得椭圆的蒙日圆的半径，所以蒙日圆方程为，因为圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，所以两圆相外切，所以，．故选：B．6.已知、是椭圆的左、右焦点，、是椭圆短轴的上、下顶点，P是该椭圆上任意一点，若的最大值与最小值之积为3，且四边形的内切圆半径为，则椭圆C的方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根据的最值得到，根据且四边形的内切圆半径为得到，即可得到答案.【详解】因为的最大值与最小值之积为3，所以，四边形的内切圆半径为，所以到直线的距离为，即，即.所以，解得，，椭圆.故选：A7.如图，“爱心”图案是由函数的图象的一部分及其关于直线的对称图形组成．若该图案经过点，点M是该图案上一动点，N是其图象上点M关于直线的对称点，连接，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先根据题意得到，设直线与函数相切，得到，再根据平行线间距离公式求解即可.【详解】函数经过点，所以.设直线与函数相切，联立消去y，得．，解得．则直线与直线间的距离为．故MN的最大值为．故选：B8.已知F是椭圆=1的左焦点，P为椭圆上的动点，椭圆内部一点M的坐标是（3，4），则|PM|+|PF|的最大值是（）A.10 B.11 C.13 D.21【答案】D【解析】【分析】利用椭圆的定义转化为P到M和到另一焦点的距离的差的最大值来解决.【详解】解：如图，由椭圆=1，得得，则椭圆右焦点为，则.当与射线与椭圆的交点重合时取到等号,的最大值为21.故选：D.二､多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）9.若曲线，且分别是1与9的等差中项与等比中项，则下列描述正确的是（）A.曲线可以表示焦点在轴的椭圆B.曲线可以表示焦距是的双曲线C.曲线可以表示离心率是的椭圆D.曲线可以表示渐近线方程是的双曲线【答案】AB【解析】【分析】先求出，的值，分类讨论即可求解.【详解】由题知，分别是1与9的等差中项与等比中项，，，解得：，；当，时，此时曲线的方程为：，因此曲线为椭圆，焦点在轴上，离心率，故选项A正确，C错误；当，时，此时曲线的方程为：，因此曲线为双曲线，由得，解得：，焦距为：，渐近线方程为：即故选项B正确，D错误；故选：AB.10.设是等差数列，是其前n项的和，且，，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.只在处时才取最小值【答案】AB【解析】【分析】根据求出，由得到，，判断出AB正确；再根据作差法结合等差数列的性质判断出C选项，由，，，得到取得最小值的不止一个.【详解】，解得：，B正确；因为，所以，故，解得：，A正确；因为，，所以，，故，C错误；因为，，，故当或7处时均取最小值，D错误.故选：AB11.点在圆上，点，点，则下列结论正确的是（）A.过点可以作出圆的两条切线B.点到直线距离的最大值为C.圆关于直线对称的圆的方程为D.当最大时，【答案】ABD【解析】【分析】对于A，判断得点在圆外即可；对于B，利用圆上动点到直线的最大距离为即可判断；对于C，求得圆心关于直线对称的点即可得解；对于D，判断得最大时直线与圆相切，再利用两点距离公式与勾股定理即可得解.【详解】对于A，因为，所以点在圆外，则过点可以作出圆的两条切线，故A正确；对于B，由题意可得，直线的方程为，即，因为圆，所以，半径为，所以圆心到直线的距离为，所以点到直线距离的最大值为，故B正确；对于C，设圆心关于直线对称的点为，则，解得，所以圆关于直线对称的圆的方程为，故C错误；对于D，当最大时，易得直线与圆相切，如图，在中，，，所以，故D正确.故选：ABD.12.“黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（将线段一分为二，较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值称为“黄金分割比”），若黄金双曲线的左右两顶点分别为，虚轴上下两端点分别为，左右焦点分别为，为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，为的中点.设双曲线的离心率为，则下列说法正确的有（）A.B.C.直线与双曲线的一条渐近线垂直D.【答案】ACD【解析】【分析】对选项逐个分析判断：对于A由黄金双曲线的定义即可求得离心率，对于B由点差法即可得出的值，对于C分别求出直线及渐近线的斜率，求得斜率之积是否为，对于D将所给线段长度由代入，再由之间的关系化简即可判断.【详解】对于A：若是黄金双曲线，则，故A正确；对于B：设，，其中，又在双曲线上，即两式相减得，即则得，故B错误；对于C：，渐近线得斜率，则，即，则直线与双曲线的一条渐近线垂直，故C正确；对于D：因为，，所以所以，即，故D正确.故选：ACD.三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.在数列中，，且，则__________.【答案】4【解析】【分析】利用递推公式累加即可求解.【详解】由题意可得，所以，，……，，累加得，所以，故答案为：414.若实数满足，则的取值范围为_______.【答案】【解析】【分析】条件方程化为，即为圆心为，半径为1的圆，为与连线的斜率，由数形结合，求出直线与圆相切的斜率，即可求解【详解】由题得，，即为圆心为，半径为1的圆，为与连线的斜率，记为k，如图所示，∵，∴斜率存在，设过的直线为，则当直线与圆相切时，有，解得，由图易得k在直线与圆的两切线斜率之间，故.故答案为：15.甲、乙二人做射击游戏，甲、乙射击击中与否是相互独立事件．规则如下：若射击一次击中，则原射击人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击．已知甲、乙二人射击一次击中的概率均为，且第一次由甲开始射击，则第4次由甲射击的概率___________．【答案】【解析】【分析】根据题意，分4种情况讨论，即可求得第4次由甲射击的概率．【详解】根据题意，第4次由甲射击分为4种情况：甲连续射击3次且都击中；第1次甲射击击中，但第2次没有击中，第3次由乙射击没有击中；第1次甲射击没有击中，且乙射击第二次击中，但第3次没有击中；第1次甲没有击中，且乙射击第2次没有击中，第3次甲射击击中，所以这件事的概率为.故答案为：16.如图，哈尔滨市有相交于点的一条东西走向的公路与一条南北走向的公路，有一商城的部分边界是椭圆的四分之一，这两条公路为椭圆的对称轴，椭圆的长半轴长为2，短半轴长为1(单位:千米).根据市民建议，欲新建一条公路，点分别在公路上，且要求与椭圆形商城相切，当公路长最短时，的长为________千米.【答案】【解析】【分析】设为,联立可得,利用可得,则,利用均值不等式求最值,再由取等条件求得即可【详解】由题,设为,由图易得,联立可得,则,即,因为为,为,则,当且仅当,即时取等,即故答案为【点睛】本题考查圆锥曲线的实际应用,考查利用均值不等式求最值,考查运算能力四､解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.庚子新春，“新冠”病毒肆虐，习近平总书记强调要“人民至上、生命至上，果断打响疫情防控的人民战争、总体战、阻击战”，教育部也下发了“停课不停学，停课不停教”的通知．为了彻底击败病毒，人们更加讲究卫生讲究环保．某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题：（1）若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数；（2）以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数；（3）若学校安排甲、乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率．【答案】（1）人（2）平均数为，中位数为（3）【解析】【分析】（1）先根据各矩形的面积之和为1，求得a，再根据各层的人数比例抽取；（2）利用平均数和中位数公式求解；（3）法一，分一人或二人获优秀，利用互斥事件和独立事件概率求解；法二：利用对立事件的概率求解.【小问1详解】解：由，得，因为（人），（人）．所以不高于50分的抽（人）；【小问2详解】平均数．因为在内共有80人，则中位数位于内，则中位数为；【小问3详解】记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件A，则．答：至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为．法二：记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件A答：至少有一位同学复赛获优秀等级概率为．18.已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，.（1）求圆A的标准方程；（2）求直线l的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）计算出圆A的半径，可得出圆A的标准方程；（2）利用勾股定理计算出圆心A到直线的距离为，然后对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线轴时，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出参数值，综合可得出直线的方程.【小问1详解】设圆A半径为R，由圆与直线相切，则点到直线的距离等于半径，得，∴圆A的标准方程为.【小问2详解】由（1）知，，，则圆心A到直线的距离.当直线l与x轴垂直时，即，此时圆心A到直线的距离为，符合题意；当直线l不与x轴垂直时，设方程为，即，，解得，∴直线l为：.综上所述，直线l的方程为或.19.已知数列的前n项和为，且.（1）证明数列为等比数列，并求出数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.【答案】（1）证明见解析，（2）【解析】【分析】（1）根据求得，由由已知，可得，两式相减可得，即可证明结论，继而求得通项公式；（2）利用（1）的结论，求出，利用错位相减法求得答案.【小问1详解】当时，由可得,由已知，有,两式相减得,即,因为，所以,所以,所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，所以；【小问2详解】由（1）可得，所以，，则，所以，所以20.在平面直角坐标系中，椭圆：的左顶点到右焦点的距离是3，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）斜率为的直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于，两点．已知点，求的值．【答案】（1）;（2）.【解析】【分析】（1）根据题意得到关于的方程，解之即可求出结果;（2）联立直线的方程与椭圆方程，结合韦达定理以及平面向量数量积的坐标运算即可求出结果.【小问1详解】因为椭圆的左顶点到右焦点的距离是3，所以．又椭圆的离心率是，所以，解得，，从而．所以椭圆的标准方程．【小问2详解】因为直线的斜率为，且过右焦点，所以直线的方程为．联立直线的方程与椭圆方程，消去，得，其中．设，，则，．因为，所以．因此的值是．21.在①成等比数列，②，③这三个条件中任