专题04 圆心角、圆周角【考题猜想32题7种题型】（解析版）

专题04圆心角、圆周角（32题7种题型）一、利用弧、弦、圆周角关系求解（共4小题）1．（2022秋·福建厦门·九年级厦门市莲花中学校考期中）已知：如图所示，A，B，C，D是⊙QUOTEOO上的点，且QUOTE，QUOTE鈭燗OB=125掳鈭燗OB=125掳，求QUOTE的度数．【答案】QUOTE．【分析】由题意易知QUOTE，然后根据弧与圆心角的关系可直接进行求解．【详解】解：∵A，B，C，D是QUOTE鈯橭鈯橭上的点，QUOTE，∴QUOTE，即QUOTE，∴QUOTE，∵QUOTE，∴QUOTE．【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等是解题的关键．2．（2022秋·浙江绍兴·九年级校联考期中）如图，AB是⊙O的直径，C是QUOTE的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F．（1）求证：CF﹦BF；（2）若CD﹦6，AC﹦8，则⊙O的半径和CE的长．【答案】（1）见解析（2）5，QUOTE245245【分析】（1）要证明CF=BF，可以证明∠ECB=∠DBC；AB是⊙O的直径，则∠ACB=90°，又知CE⊥AB，则∠CEB=90°，根据同角的余角相等证出∠ECB=∠A，再根据同圆中，等弧所对的圆周角相等证出∠DBC=∠A，从而证出∠ECB=∠DBC；（2）在直角三角形ACB中，AB2=AC2+BC2，又知，BC=CD，所以可以求得AB的长，即可求得圆的半径；再根据三角形面积求得CE的长．【详解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠A=90°-∠ABC．∵CE⊥AB，∴∠CEB=90°，∴∠ECB=90°-∠ABC，∴∠ECB=∠A．又∵C是QUOTE的中点,∴QUOTE∴∠DBC=∠A，∴∠ECB=∠DBC，∴CF=BF；（2）解：∵QUOTE∴BC=CD=6，∵∠ACB=90°，??B=∴⊙O的半径为5，【点睛】此题考查了圆周角定理的推论、等腰三角形的判定及性质以及求三角形的高．此题综合性很强，难度适中，掌握同圆中，等弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角为直角、等腰三角形的判定及性质和利用等面积法求直角三角形斜边上的高是解决此题的关键．3．（2022秋·福建泉州·八年级统考期末）如图，∠AOB按以下步骤作图：①在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作圆弧PQ，交射线OB于点D；②连接CD，分别以点C、D为圆心，CD长为半径作弧，交圆弧PQ于点M、N；③连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形完成下列作答．(1)求证：OA垂直平分MD.(2)若QUOTE鈭燗OB=30掳鈭燗OB=30掳，求∠MON的度数(3)若QUOTE鈭燗OB=20掳鈭燗OB=20掳，QUOTEOC=6OC=6，求MN的长度．【答案】(1)证明见解析；(2)QUOTE鈭燤ON=90掳鈭燤ON=90掳(3)QUOTEMN=6MN=6．【分析】（1）由垂径定理直接证明即可得；（2）根据相等的弧所对的圆心角也相等求解即可得；（3）由（2）可得：QUOTE，得出QUOTE鈭燤ON=60掳鈭燤ON=60掳，根据等边三角形得判定可得QUOTE鈻砄MN鈻砄MN为等边三角形，即可得出结果．【详解】（1）证明：如图所示，连接MD，由作图可知，QUOTECM=CDCM=CD，∴QUOTE，∵OA是经过圆心的直线，∴OA垂直平分MD；（2）解：如图所示，连接ON，∵QUOTECM=CD=DNCM=CD=DN，∴QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE，即QUOTE鈭燤ON=90掳鈭燤ON=90掳（3）解：由（2）可得：QUOTE，∴QUOTE鈭燤ON=60掳鈭燤ON=60掳∵QUOTEOM=ONOM=ON，∴QUOTE鈻砄MN鈻砄MN为等边三角形，∴QUOTEMN=OM=OC=6MN=OM=OC=6．【点睛】题目主要考查垂径定理，等弧所对的圆心角相等，等边三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些基础知识点是解题关键．4．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考期中）如图，QUOTEABAB是⊙O的直径，点QUOTECC在⊙O上，QUOTECD鈯BCD鈯B，垂足为QUOTEDD，且QUOTE，QUOTEBEBE分别交QUOTECDCD、QUOTEACAC于点QUOTEFF、QUOTEGG．(1)求证：QUOTE；(2)求证：QUOTEFF是QUOTEBGBG的中点．【答案】(1)答案见详解(2)答案见详解【分析】（1）先根据圆周角定理及垂直的定义得到QUOTE鈭燗CD+鈭燚CB=90掳鈭燗CD+鈭燚CB=90掳，QUOTE鈭燙AB+鈭燗CD=90掳鈭燙AB+鈭燗CD=90（2）由QUOTE，QUOTE，所以QUOTE，QUOTEFB=FCFB=FC，再根据QUOTE，得出QUOTE，所以QUOTEFC=FGFC=FG，即可得出QUOTEFB=FGFB=FG．【详解】（1）解：∵QUOTEABAB是⊙O的直径，∴QUOTE鈭燗CB=90掳鈭燗CB=90掳∴QUOTE鈭燗CD+鈭燚CB=90掳鈭燗∵QUOTECD鈯BCD鈯B∴QUOTE鈭燙AB+鈭燗CD=90掳鈭燙∴QUOTE；（2）解：∵QUOTE，∴QUOTE，∵QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTEFB=FCFB=FC，∵QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTEFC=FGFC=FG，∴QUOTEFB=FGFB=FG，∴QUOTEFF是QUOTEBGBG的中点．【点睛】此题主要考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，注意直径所对的圆周角是直角．二、利用弧、弦、圆周角关系证明（共5小题）5．（2022秋·江苏盐城·九年级校考期中）如图，点A，B，C，D在⊙O上，QUOTE＝QUOTE．求证：AC＝BD；【答案】见解析【分析】根据已知条件求得QUOTE，根据弧与弦的关系即可得证．【详解】证明：∵QUOTE＝QUOTE，∴QUOTE＝QUOTE，∴QUOTE，∴BD=AC．【点睛】本题考查了弦与弧之间的关系，掌握同圆或等圆中，等弧对等弦是解题的关键．6．（2022秋·江苏淮安·九年级统考期中）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠ADC=60°，QUOTE．请判断△ABC的形状，并说明理由．【答案】△ABC是等边三角形，理由见解析.【分析】由圆周角定理可知∠ADC=∠ABC=∠BAC=∠BDC=60°，再由三角形内角和定理可知∠ACB=60°，故可得出结论【详解】△ABC是等边三角形，理由：∵QUOTE∴AC=BC，∵∠ADC=60°，∴∠ABC=∠ADC=60°，∴△ABC是等边三角形．【点睛】本题考查的是圆周角定理，等边三角形的判定，熟练掌握圆周角定理是解答此题的关键．7．（2022秋·北京东城·九年级汇文中学校考期中）如图，QUOTE内接于QUOTE鈯橭鈯橭，高QUOTEADAD经过圆心QUOTEOO．(1)求证：QUOTEAB=ACAB=AC；(2)若QUOTEBC=16BC=16，QUOTE鈯橭鈯橭的半径为QUOTE1010．求QUOTE的面积．【答案】(1)见解析(2)128【分析】（1）根据垂径定理可得QUOTE，根据等弧所对的弦相等，即可求解．（2）连接QUOTEOBOB，勾股定理求得QUOTEODOD，继而得出QUOTEADAD，根据三角形面积公式进行计算即可求解．【详解】（1）证明：∵QUOTEADADQUOTE鈯C鈯C，∴QUOTE，∴QUOTEAB=ACAB=AC；（2）如图，连接QUOTEOBOB，∵QUOTEADADQUOTE鈯C鈯C，∴QUOTEBD=12BC=8BD=1∵QUOTE鈯橭鈯橭的半径为QUOTE1010．∴QUOTEBO=10BO=10，在QUOTERt??BDRt??BD中，QUOTEBO=10,BD=8BO=10,BD=8，∴QUOTEOD=OB2-BD2∴QUOTEAD=AO+OD=10+6=16AD=AO+OD=10+6=16，∴QUOTE．【点睛】本题考查了垂径定理，弧与弦的关系，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．8．（2022秋·江苏无锡·九年级统考期中）如图，在RtΔABC中，∠BAC=90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．（1）若∠ABC=20°，求∠DEA的度数；（2）若AC=3，AB=4，求CD的长．【答案】（1）65°；（2）QUOTE185185．【分析】（1）连接AD，求出∠DAE，再利用等腰三角形的性质解决问题即可；（2）如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F．利用面积法求出AF，再利用勾股定理求出CF，可得结论．【详解】解：（1）如图，连接AD．∵∠BAC=90°，∠ABC=20°，∴∠ACD=70°．∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC=70°，∴∠CAD=180°-70°-70°=40°，∴∠DAE=90°-40°=50°．又∵AD=AE，∴∠DEA=∠ADE=QUOTE1212(180°−50°)=65°；（2）如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F．∵∠BAC=90°，AC=3，AB=4，∴BC=5．又∵QUOTE1212•AF•BC=QUOTE1212•AC•AB，∴AF=QUOTE，∴CF=QUOTE32-(125)∵AC=AD，AF⊥CD，∴CD=2CF=QUOTE185185．【点睛】本题考查了垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．（2022秋·北京房山·九年级统考期中）如图，QUOTEABAB为QUOTE鈯橭鈯橭的直径，弦QUOTECD鈯BCD鈯B于点E，连接QUOTEDODO并延长交QUOTE鈯橭鈯橭于点F，连接QUOTEAFAF，QUOTE．(1)求证：QUOTE；(2)连接QUOTEACAC，若QUOTEAB=12AB=12，求QUOTEACAC的长．【答案】(1)见解析(2)QUOTEAC=6AC=6【分析】（1）根据题意和垂经定理得QUOTE，根据QUOTE得QUOTE，即可得；（2）连接QUOTEOCOC，根据直径的长可得QUOTEOA=6OA=6，根据QUOTE得QUOTE鈭燗OC=60掳鈭燗OC=60掳，根据QUOTEOA=OCOA=OC得QUOTE鈻矨OC鈻矨OC是等边三角形，即可得．【详解】（1）证明：∵QUOTEABAB为QUOTE鈯橭鈯橭的直径，QUOTECD鈯BCD鈯B，∴QUOTE，∵QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE．（2）解：如图所示，连接QUOTEOCOC，∵QUOTEAB=12AB=12，∴QUOTEOA=6OA=6，∵QUOTE，∴QUOTE，∵QUOTEOA=OCOA=OC，∴QUOTE鈻矨OC鈻矨OC是等边三角形，∴QUOTEAC=OA=6AC=OA=6．【点睛】本题考查了垂经定理，等边三角形的判定，解题的关键是掌握这些知识点．三、利用圆周角定理求解（共4小题）10．（2022秋·贵州黔西·九年级统考期中）如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为QUOTE上的一点，连接DP，CP．(1)求∠CPD的度数；(2)当点P为QUOTE的中点时，CP是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．【答案】(1)QUOTE鈭燚PC=45掳鈭燚PC=45(2)QUOTEn=8n=8【分析】（1）连接OD，OC，根据正方形ABCD内接于⊙O，结合圆周角定理可得∠CPD；（2）结合正多边形的性质以及圆周角定理得出∠COP的度数，进而得出答案．【详解】（1）解：连接OD，OC，∵正方形ABCD内接于⊙O，∴∠DOC＝90°，∴QUOTE．（2）解：连接PO，OB，如图所示：∵正方形ABCD内接于⊙O，∴∠COB＝90°，∵点P为QUOTE的中点，∴QUOTE，∴QUOTE，∴n＝360÷45＝8．【点睛】本题主要考查了正多边形和圆以及圆周角定理、正方形的性质，解题的关键是熟练掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．11．（2022秋·吉林长春·九年级校考期末）如图，BE是圆O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C，（1）若∠ADE=25°，求∠C的度数；（2）若AB=AC，CE=2，求⊙O半径的长．【答案】（1）∠C=40°；（2）⊙O的半径为2．【分析】（1）连接OA，利用切线的性质和角之间的关系解答即可；（2）根据直角三角形的性质解答即可．【详解】（1）如图，连接OA，∵AC是⊙O的切线，OA是⊙O的半径，∴OA⊥AC，∴∠OAC=90°，∵QUOTE，∠ADE=25°，∴∠AOE=2∠ADE=50°，∴∠C=90°﹣∠AOE=90°﹣50°=40°；（2）∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵QUOTE，∴∠AOC=2∠B，∴∠AOC=2∠C，∵∠OAC=90°，∴∠AOC+∠C=90°，∴3∠C=90°，∴∠C=30°，∴OA=QUOTE1212OC，设⊙O的半径为r，∵CE=2，∴r=QUOTE1212(r+2)，解得：r=2，∴⊙O的半径为2．【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、含30度角的直角三角形的性质等，熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键．12．（2022秋·贵州黔西·九年级统考期中）如图，以四边形ABCD的对角线BD为直径作圆，圆心为O，过点A作QUOTEAE鈯DAE鈯D的延长线于点E，已知DA平分QUOTE．(1)求证：QUOTEAEAE是QUOTE鈯橭鈯橭的切线；(2)若QUOTEAE=4AE=4，QUOTECD=6CD=6，求QUOTE鈯橭鈯橭的半径和AD的长．【答案】(1)见解析(2)5，QUOTE2525【分析】（1）连接OA，根据已知条件证明QUOTEOA鈯EOA鈯E（2）取CD中点F，连接OF，根据垂径定理可得QUOTEOF鈯DOF鈯D，所以四边形AEFO【详解】（1）证明：如下图，连接OA，∵QUOTEAE鈯DAE鈯D∴QUOTE鈭燚AE+鈭燗DE=90掳鈭燚∵DA平分QUOTE鈭燘DE鈭燘DE，∴QUOTE．又∵QUOTEOA=ODOA=OD，∴QUOTE，∴QUOTE鈭燚AE+鈭燨AD=90掳鈭燚∴QUOTEOA鈯EOA鈯E∵OA是半径，∴QUOTEAEAE是QUOTE鈯橭鈯橭切线；（2）解：如上图，取CD中点F，连接OF，∴QUOTEOF鈯DOF鈯D于点F∴四边形AEFO是矩形．∵QUOTECD=6CD=6，∴QUOTEDF=FC=3DF=FC=3．在Rt△OFD中，QUOTEOF=AE=4OF=AE=4，∴QUOTEOD=OF2+DF2在Rt△AED中，QUOTEAE=4AE=4，QUOTEED=EF-DF=OA-DF=OD-DF=5-3=2ED=EF-DF=OA-DF=OD-DF=5-3=2，∴QUOTEAD=42+22=∴QUOTEADAD的长是QUOTE2525．【点睛】本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质．13．（2022秋·湖北恩施·九年级校考期中）如图所示，QUOTEABAB是⊙QUOTEOO的一条弦，QUOTEOD鈯BOD鈯B，垂足为QUOTECC，交⊙QUOTEOO于点QUOTEDD，点QUOTEEE在⊙QUOTEOO上．（QUOTE11）若QUOTE鈭燗OD=52掳鈭燗OD=52掳，求QUOTE的度数．（QUOTE22）若QUOTEOC=3OC=3，QUOTEOA=5OA=5，求QUOTEABAB的长．【答案】（1）26°；（2）8【分析】（1）欲求QUOTE鈭燚EB鈭燚EB，又已知一圆心角，可利用圆周角与圆心角的关系求解；（2）利用垂径定理可以得到QUOTEAC=BC=12AB=4AC=BC=1【详解】解：（1）QUOTE，QUOTEQUOTE，QUOTE．（2）∵QUOTEOC=3OC=3，QUOTEOA=5OA=5，且QUOTEOD鈯BOD鈯B，∴QUOTEAC=AO2-OC2∵QUOTEOD鈯BOD鈯BQUOTE，QUOTE鈭碅B=8鈭碅B=8．【点睛】此题考查了圆周角定理，同圆中等弧所对的圆周角相等，以及垂径定理，熟练掌握垂径定理得出QUOTEAC=CB=4AC=CB=4是解题关键．14．（2022秋·江西赣州·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC．（1）求证：∠A＝∠BCD；（2）若AB＝10，CD＝6，求BE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）BE＝1．【分析】(1)由垂径定理可得QUOTE，再由圆周角定理即可得证；(2)连接OC，结合已知求得OE的长即可求得答案.【详解】(1)∵直径AB⊥弦CD，∴QUOTE,∴∠A=∠BCD；(2)连接OC，∵直径AB⊥弦CD，CD=6，∴CE=ED=3，∵直径AB=10，∴CO=OB=5，在Rt△COE中，∵OC=5，CE=3，∴OE=QUOTE52-3252∴BE=OB﹣OE=5﹣4=1．【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键.四、利用圆周角定理推论（同弧或等弧所对的圆周角相等）求解（共4小题）15．（2022秋·广东韶关·九年级统考期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC．（1）求证：∠1=∠2；（2）若QUOTEBE=2,CD=6BE=2,CD=6，求⊙O的半径的长．【答案】（1）见解析；（2）QUOTER=134R=13【分析】（1）根据垂径定理和圆的性质，同弧的圆周角相等，又因为△AOC是等腰三角形，即可求证．（2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径．【详解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，QUOTEQUOTE=QUOTE．∴∠A=∠2．又∵OA=OC，∴∠1=∠A．∴∠1＝∠2．（2）∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=6∴∠CEO＝90º，CE＝ED＝3．设⊙O的半径是R，EB=2，则OE=R-2∵在Rt△OEC中，QUOTER2=(R-2)2+解得：QUOTER=134R=13∴⊙O的半径是QUOTER=134R=134【点睛】本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的性质，关键是熟练运用垂径定理和圆周角的性质进行推理证明和计算．16．（2022秋·广东中山·九年级校联考期中）如图，AB是QUOTE的直径，点C为QUOTE的中点，CF为QUOTE的弦，且QUOTE．垂足为E，连接QUOTEBDBD交CF于点G，连接CD，AD，BF．(1)求证：QUOTE；(2)若QUOTEAD=BE=4AD=BE=4【答案】(1)见解析(2)QUOTE4343【分析】（1）根据弧与弦的关系证明QUOTECD=BFCD=BF，根据同弧所对的圆周角相等，证明QUOTE，结合对顶角相等，根据AAS证明：△BFG≌△CDG；（2）连接OF，设⊙O的半径为r,由CF=BD列出关于r的勾股方程即可求解；【详解】（1）证明：∵点C为QUOTE的中点，∴QUOTE，∵AB是QUOTE的直径，且QUOTE∴QUOTE∴QUOTE∴QUOTECD=BFCD=在△BFG和△CDG中，∵△BFG≌△CDG（AAS）；（2）如图，连接OF，设⊙O的半径为r,Rt△ADB中，QUOTEBD2=AB2-AD2BD2Rt△OEF中，QUOTEOF2=OE2+EF2OF2∵QUOTE，∴QUOTE，即QUOTE，∴QUOTEBD=CFBD=CF∴QUOTEBD2=CF2即QUOTE(2r)2-42=4解得：r=2（舍）或6，∴QUOTEBF2=EF∴QUOTEBF=43BF=43【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、三角形全等的性质和判定以及勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键．17．（2022秋·北京·九年级北京市陈经纶中学分校校考期末）如图，在⊙O中，QUOTE＝QUOTE，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E．(1)求证：CD＝CE；(2)若∠AOB＝120°，OA＝2，求四边形DOEC的面积．【答案】(1)见解析(2)QUOTE33【分析】（1）连接OC，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOC＝∠BOC，根据角平分线的性质定理证明结论；（2）根据直角三角形的性质求出OD，根据勾股定理求出CD，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【详解】（1）证明：连接OC，∵QUOTE＝QUOTE，∴∠AOC＝∠BOC，又CD⊥OA，CE⊥OB，∴CD＝CE；（2）解：∵∠AOB＝120°，∴∠AOC＝∠BOC＝60°，∵∠CDO＝90°，∴∠OCD＝30°，∴OD＝QUOTE1212OC＝1，∴CD＝QUOTEOC2-OD2OC2-OD2＝QUOTE22-1222∴△OCD的面积＝QUOTE1212×OD×CD＝QUOTE3232，同理可得，△OCE的面积＝QUOTE1212×OE×CE＝QUOTE3232，∴四边形DOEC的面积＝QUOTE32脳2=33【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、勾股定理、直角三角形的性质，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．18．（2022秋·安徽·九年级校联考期末）如图，QUOTEABAB是QUOTE鈯橭鈯橭的直径，C是弧QUOTEBDBD的中点，QUOTECE鈯BCE鈯B于点E，QUOTEBDBD交QUOTECECE于点F．(1)求证：QUOTECF=BFCF=BF；(2)若QUOTECD=2CD=2，QUOTEAC=4AC=4，求QUOTE鈯橭鈯橭的半径及QUOTECECE的长．【答案】(1)见解析(2)⊙O的半径为QUOTE55，QUOTECE=455CE=455【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等可证QUOTE，根据QUOTECE鈯BCE鈯B证明QUOTE鈭燙BD+鈭燗CE=90掳鈭燙BD+鈭燗CE=90掳，再利用直径所对的圆周角等于QUOTE90掳90掳，证明QUOTE鈭燘CF+鈭燗CE=90掳鈭燘CF+鈭燗CE=90掳，等量代换即可证明QUOTE，再利用等角对等边即可证明QUOTECF=BFCF=BF；（2）证明QUOTECD=CB=2CD=CB=2，再利用QUOTE，即可求出QUOTECECE．【详解】（1）证明：∵C是QUOTE的中点，∴QUOTE，∴QUOTE，∵QUOTECE鈯BCE鈯B∴QUOTE鈭燙AB+鈭燗CE=90掳鈭燙∴QUOTE鈭燙BD+鈭燗CE=90掳鈭燙∵QUOTEABAB是QUOTE鈯橭鈯橭的直径，∴QUOTE鈭燗CB=90掳鈭燗CB=90掳∴QUOTE鈭燘CF+鈭燗CE=90掳鈭燘∴QUOTE，∴QUOTECF=BFCF=BF．（2）解：∵QUOTE，∴QUOTECD=CBCD=CB，∵QUOTECD=2CD=2，∴QUOTECD=CB=2CD=CB=2，∵QUOTEABAB是QUOTE鈯橭鈯橭的直径，∴QUOTE鈭燗CB=90掳鈭燗CB=90掳∵QUOTEAC=4AC=4，∴QUOTEAB=22+42=2∴⊙O的半径为QUOTE55．∵QUOTECE鈯BCE鈯B∴QUOTE，即QUOTE，解得QUOTECE=455CE=4【点睛】本题考查圆与三角形的综合问题，解题的关键是掌握等弧对等弦，直径所对的圆周角等于QUOTE90掳90掳，等角对等边，勾股定理．五、利用圆周角定理推论（半圆（直径）所对的圆周角是直角）求解（共6小题）19．（2022秋·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，四边形QUOTEABCDABCD内接于QUOTE鈯橭鈯橭，QUOTEACAC为QUOTE鈯橭鈯橭的直径，QUOTE．(1)试判断QUOTE的形状，并给出证明；(2)若QUOTEAB=2AB=2，QUOTEAD=1AD=1，求QUOTECDCD的长度．【答案】(1)△ABC是等腰直角三角形；证明见解析；(2)QUOTE33；【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ABC=90°，由∠ADB=∠CDB根据等弧对等角可得∠ACB=∠CAB，即可证明；（2）Rt△ABC中由勾股定理可得AC，Rt△ADC中由勾股定理求得CD即可；【详解】（1）证明：∵AC是圆的直径，则∠ABC=∠ADC=90°，∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB，∴∠ACB=∠CAB，∴△ABC是等腰直角三角形；（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC=AB=QUOTE22，∴AC=QUOTEAB2+BC2=2Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，则CD=QUOTEAC2-AD2=∴CD=QUOTE33．【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握等弧对等角是解题关键．20．（2022秋·云南曲靖·九年级校考期中）如图，以AB为直径作QUOTE鈯橭鈯橭，在QUOTE鈯橭鈯橭上取一点C，延长AB至点D，连接DC，QUOTE，过点A作QUOTEAE鈯DAE鈯D交DC的延长线于点E．(1)求证：CD是QUOTE鈯橭鈯橭的切线；(2)若QUOTECD=4CD=4，QUOTEDB=2DB=2，求AE的长．【答案】(1)见解析(2)AE＝6【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理的推论得到∠ACB＝90°，即∠BCO＋∠ACO＝90°，求得∠ACO＝∠DCB，得到∠DCO＝90°，根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；（2）根据勾股定理求出OB＝3，可得AB＝6，AD＝8，根据切线长定理得到AE＝CE，在Rt△ADE中，利用勾股定理即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OC，如图，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，即∠BCO＋∠ACO＝90°，∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠CAD，又∵∠DCB＝∠CAD，∴∠ACO＝∠DCB，∴∠DCB＋∠BCO＝90°，即∠DCO＝90°，∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵∠DCO＝90°，OC＝OB，∴OC2＋CD2＝OD2，∴OB2＋42＝（OB＋2）2，∴OB＝3，∴AB＝6，AD＝8，∵AE⊥AD，AB是⊙O的直径，∴AE是⊙O的切线，∵CD是⊙O的切线，∴AE＝CE，∵在Rt△ADE中，AD2＋AE2＝DE2，∴82＋AE2＝（4＋AE）2，∴AE＝6．【点睛】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论、切线长定理和勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．21．（2022秋·江苏南京·九年级校考期中）如图①，在QUOTE中，QUOTECA=CBCA=CB，QUOTEDD是QUOTE外接圆QUOTE鈯橭鈯橭上一点，连接QUOTECDCD，过点QUOTEBB作QUOTE，交QUOTEADAD的延长线于点QUOTEEE，交QUOTE鈯橭鈯橭于点QUOTEFF．(1)求证：四边形QUOTEDEFCDEFC是平行四边形；(2)如图②，若QUOTEABAB为QUOTE鈯橭鈯橭直径，QUOTEAB=7AB=7，QUOTEBF=1BF=1，求QUOTECDCD的长．【答案】(1)见解析(2)QUOTE4343【分析】（1）利用平行线的性质，等弧对相等的圆周角，证得QUOTE即可；（2）连接QUOTEDFDF，QUOTEAFAF，利用平行线的性质证得QUOTE鈭燚AC+鈭燗CF=180掳鈭燚AC+鈭燗CF=180掳，再利用圆的内接四边形的性质证得QUOTE鈭燗DF+鈭燗CF=180掳鈭燗DF+鈭燗CF=180掳，得到QUOTE，再利用圆周角定理得到QUOTEAF=CDAF=CD，最后在QUOTE中即可求解．【详解】（1）证明：∵QUOTE，∴QUOTE鈭燗DC=鈭燛鈭燗DC=鈭燛∵QUOTECA=CBCA=CB，∴QUOTE∵QUOTE，∴QUOTE鈭燛=鈭燙FB鈭燛=∴QUOTE，∴四边形QUOTEDEFCDEFC是平行四边形；（2）连接QUOTEDFDF，QUOTEAFAF，如图所示，∵QUOTE，∴QUOTE鈭燚AC+鈭燗CF=180掳鈭燚∵四边形QUOTEACFDACFD是QUOTE鈯橭鈯橭的内接四边形，∴QUOTE鈭燗DF+鈭燗CF=180掳鈭燗∴QUOTE，∴QUOTEAF=CDAF=CD，∵QUOTEABAB为QUOTE鈯橭鈯橭直径，∴QUOTE鈭燗FB=90掳鈭燗FB=90掳∵QUOTEAB=7AB=7，QUOTEBF=1BF=1，∴QUOTEAF=AB2-BF2∴QUOTECD=AF=43CD=AF=43【点睛】本题是一道圆的知识的综合题，考查了圆周角定理，平行四边形的判定和性质，平行线的性质和判定等，作出适当的辅助线是解题的关键．22．（2022秋·福建南平·九年级统考期末）如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，过点D作⊙O的切线交BC于点E．(1)求证：AF=CE；(2)若BF=2，QUOTEDH=5DH=5，求⊙O的半径．【答案】(1)见解析(2)QUOTE5252【分析】（1）连接DF，根据菱形的性质可得AD=CD，AD∥BC，∠A=∠C．再由切线的性质，可得∠CED=∠ADE=90°．可证得△DAF≌△DCE．即可求证；（2）连接AH，DF，根据等腰三角形的性质可得QUOTEBD=2DH=25BD=2DH=25．在Rt△ADF和Rt△BDF中，根据勾股定理，即可求解．【详解】（1）证明：如图，连接DF，∵四边形ABCD为菱形，∴AD=CD，AD∥BC，∠A=∠C．∵DE是⊙O的切线，∴∠ADE=90°．∵AD∥BC，∴∠CED=∠ADE=90°．∵AD是⊙O的直径，∴∠DFA=90°．∴∠AFD=∠CED=90°．在△DAF和△DCE中，QUOTE，∴△DAF≌△DCE（AAS）．∴AF=CE．（2）解：如图，连接AH，DF，∵AD是⊙O的直径，∴∠AHD=∠DFA=90°．∵AD=AB，QUOTEDH=5DH=5，∴QUOTEBD=2DH=25BD=2DH=25．在Rt△ADF和Rt△BDF中，由勾股定理，得DF2=AD2－AF2，DF2=BD2－BF2，∴AD2－AF2=BD2－BF2．∴AD2－（AD－BF）2=BD2－BF2．∴QUOTEAD2-(AD-2)2=∴AD=5．∴⊙O的半径为QUOTE5252．【点睛】本题考查了圆的综合，涉及了圆周角定理，菱形的性质，切线的性质，三角形全等的性质和判定，勾股定理等知识，解答本题的关键是根据勾股定理列方程解决问题．23．（2022秋·福建福州·九年级校考期末）如图，AB为QUOTE鈯橭鈯橭的直径，点C在QUOTE鈯橭鈯橭上，连接AC，BC，过点O作QUOTEOD鈯COD鈯C于点D，过点C作QUOTE鈯橭鈯橭的切线交OD的延长线于点E．（1）求证：QUOTE鈭燛=鈭燘鈭燛=鈭燘（2）连接AD．若QUOTECE=45CE=45，QUOTEBC=8BC=8，求AD的长．【答案】（1）证明见解析；（2）AD=4QUOTE22【分析】（1）连接OC通过垂径定理和等腰三角形性质证明∠E=∠B（2）连接AD通过计算发现BC=EC，再通过证明△CED≌△ABC得到AC=DC=4．【详解】（1）证明：连接OC如图：OD⊥CB∴OB=OC，∠B=OCD又CE为圆O的切线∴OC⊥CE∴∠ECD+∠DCO=∠ECD+∠E=90°∴∠E=∠DCO=∠B∴∠E=∠B（2）连接AD如图∵△EDC为Rt△∴DE=QUOTEEC2-DC2=由（1）得∠E=∠B又AB为直径∴∠BCA=90°在△CED和△ABC中∵QUOTE∴△CED≌△ABC（AAS）∴AC=DC=QUOTE12BC12BC∴QUOTEAD=2AC=42AD=【点睛】本题考查垂径定理和全等三角形的判定与性质，掌握这些是本题解题关键．24．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期末）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ACB的平分线与AB交于点E，与⊙O交于点D，P为AB延长线上一点，且∠PCB＝∠PAC．（1）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若AC＝8，BC＝6，求⊙O的半径及AD的长．【答案】（1）证明见详解；（2）OA=OB=QUOTE55；QUOTEAD=52AD=52．【分析】（1）连结OC，由OA=OC，可得∠ACO=∠CAO=∠BCP，由AB为⊙O的直径，可得∠ACO+∠OCB=90°，可证∠OCP=90°即可；（2）连结BD，由AB为⊙O的直径，可得∠ACB=90°，在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，由勾股定理AB=QUOTEAC2+BC2=10AC2+BC2=10，可求OA=OB=QUOTE12AB=512AB=5；由CD是∠ACB的平分线，可得∠ACD=∠BCD，可得QUOTE，可得AD=BD，∠【详解】解：（1）连结OC，∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAO=∠BCP，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°，∴∠BCP+∠OCB=90°，∴∠OCP=90°，∴直线PC是⊙O的切线；（2）连结BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∴AB=QUOTEAC2+BC2=8∴OA=OB=QUOTE12AB=512AB=5∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD=∠BCD，∴QUOTE，∴AD=BD，∠ADB=90°，在Rt△ADB中，QUOTEAB=AD2+BD2∴QUOTEAD=AB2=102【点睛】本题考查圆的切线判定，直径所对圆周角是直角，角平分线定义，圆周角弧弦关系，勾股定理，等腰直角三角形判定与性质，掌握圆的切线判定，直径所对圆周角是直角，角平分线定义，圆周角弧弦关系，勾股定理是解题关键．六、利用圆周角定理推论（90°的圆周角所对的弦是直径）求解（共3小题）25．（2022秋·北京·九年级日坛中学校考期中）如图，QUOTEDD是等腰三角形QUOTEABCABC底边的中点，过点QUOTE作QUOTE．(1)求证：QUOTEABAB是QUOTE的直径；(2)延长QUOTECBCB交QUOTE于点QUOTEEE，连接QUOTEDEDE，求证：QUOTEDC=DEDC=DE；【答案】(1)见详解(2)见详解(3)QUOTE7575【分析】（1）连接QUOTEBDBD；根据等腰三角形三线合一的性质和圆周角定理的推论即可证明；（2）根据等腰三角形的两底角相等以及同弧所对的圆周角相等可证QUOTE鈭燛=鈭燙鈭燛=鈭燙（3）先证明QUOTE，根据相似三角形的性质求出QUOTECECE的长，进而得出结果；【详解】（1）证明：如图，连接QUOTEBDBD；在等腰QUOTE中，QUOTEDD为底边QUOTEACAC的中点，QUOTEBA=BCBA=BCQUOTE鈭碆D鈯C鈭碆D鈯C，即：QUOTE鈭燘DA=90掳∴QUOTEABAB是QUOTE鈯橭鈯橭的直径（2）证明：在等腰QUOTE中，QUOTE鈭燗=鈭燙鈭燗=鈭燙QUOTE均为QUOTE所对的圆周角QUOTEQUOTE26．（2022秋·广东潮州·九年级统考期末）如图，QUOTE中，QUOTE鈭燗CB=90掳鈭燗CB=90掳，按要求完成下列问题：(1)作出QUOTE鈻矨BC鈻矨BC的外接圆QUOTE；（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写出作法）；(2)在（1）的条件下，若CD平分QUOTE鈭燗CB鈭燗CB，CD交QUOTE于点D，连接AD，BD．求证：QUOTEAD=BDAD=BD．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）作线段AB的垂直平分线与AB的交点即为圆心O；（2）根据角平分线的意义可得QUOTE，根据圆周角定理可得QUOTE，QUOTE，等量代换可得QUOTE，根据同圆中圆心角相等可得QUOTEAD=BDAD=BD．【详解】（1）如图，QUOTE鈯橭鈯橭为所求；（2）如图，连接OD，∵CD平分QUOTE，∴QUOTE，∵QUOTE，QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTEAD=BDAD=BD．【点睛】本题考查了尺规作图，90°的圆周角所对的弦是圆的直径，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键．27．（2022秋·安徽安庆·九年级期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点O是AB的中点．(1)若以点O为圆心，以R为半径作⊙O，且点A，B，C都在⊙O上，求R的值；(2)若以点B为圆心，以r为半径作⊙B，且点O，A，C中有两个点在⊙B内，有一个点在⊙B外，求r的取值范围．【答案】(1)R=5(2)8＜r＜10【分析】（1）利用勾股定理可得AB=10，根据∠ACB＝90°可得AB为⊙O的直径，即可得答案；（2）根据BC、BO、BA的长可得点O、C在⊙B内部，点A在⊙B外，进而可得答案．【详解】（1）∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB=QUOTEAC2+BC2A∵∠ACB＝90°，点A，B，C都在⊙O上，∴AB为⊙O的直径，∴R=QUOTE1212AB=5．（2）∵点O是AB的中点，AB=10，∴BO=QUOTE1212AB=5，∴BO＜BC＜BA，∵点O，A，C中有两个点在⊙B内，有一个点在⊙B外，∴点O、C在⊙B内部，点A在⊙B外，∴8＜r＜10．【点睛】本题考查圆周角定理、点和圆的位置关系及勾股定理，熟练掌握直角所对的弦是直径是解题关键．七、已知圆内接四边形求角度（共5小题）28．（2022秋·陕西渭南·九年级统考期中）如图，四边形QUOTEABCDABCD是QUOTE的内接四边形．QUOTEDBDB平分QUOTE鈭燗DC鈭燗DC，连接QUOTEOC,OC鈯DOC,OC鈯D．(1)求证：QUOTEAB=CDAB=CD；(2)若QUOTE，求QUOTE鈭燗DB鈭燗DB的度数．【答案】(1)见解析(2)QUOTE33掳33掳【分析】（1）根据QUOTEDBDB平分QUOTE，可得QUOTE，再根据QUOTEOC鈯DOC鈯D，可得QUOTE，从而得到QUOTE，即可．（2）根据圆的内切四边形，对角互补，求出QUOTE，再利用垂径定理，可得QUOTEBC=DCBC=DC，可得到QUOTE，即可求解．【详解】（1）证明：∵QUOTEDBDB平分QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE，∵QUOTEOC鈯DOC鈯D∴QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTEAB=CDAB=CD；（2）解：QUOTE，QUOTE，QUOTE鈭礝C鈯D鈭礝C∴QUOTE，QUOTE鈭碆C=DC鈭碆C=DC，QUOTE，QUOTE平分QUOTE，QUOTE鈭粹垹BDC=鈭燗DB=33掳鈭粹垹【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的性质，垂径定理，圆周角定理．29．（2022秋·山东德州·九年级校考期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC＝2，AC＝2QUOTE22．（1）求点O到AC的距离；（2）求∠ADC的度数．【答案】（1）QUOTE22；（2）QUOTE.【分析】（1）连接OA，作OH⊥AC于H，根据勾股定理的逆定理得到∠AOC=90°，根据等腰直角三角形的性质解答；（2）根据圆周角定理求出∠B，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．【详解】解：（1）连接OA，作OH⊥AC于H，OA2+OC2=8，AC2=8，∴OA2+OC2=AC2，∴△AOC为等腰直角三角形，QUOTE

∴OH=QUOTE1212AC=QUOTE22，即点O到AC的距离为QUOTE22；（2）QUOTEQUOTE∠B=QUOTE1212∠AOC=45°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC=180°-45°=135°．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理的逆定理，掌握圆内接四边形对角互补是解本题的关键．30．（2022秋·河南焦作·九年级校考期末）在Rt△ABC中，AC＝BC，将线段CA绕点C旋转α（0°＜α＜90°），得到线段CD，连接AD、BD．(1)如图1，将线段CA绕点C逆时针旋转α，则∠ADB的度数为；(2)将线段CA绕点C顺时针旋转α时①在图2中依题意补全图形，并求∠ADB的度数；②若∠BCD的平分线CE交BD于点F，交DA的延长线于点E，连结BE．用等式表示线段AD、CE、BE之间的数量关系，并证明．【答案】(1)135°(2)（2）①补全图形见解析；∠ADB=45°；②2BE-AD=QUOTE22CE．理由见解析【分析】（1）由题意得点A、D、B都在以C为圆心，CA为半径的⊙C上，利用圆内接四边形的性质即可求解；（2）①根据题意补全图形即可；同（1），利用圆周角定理即可求解；②过点C作CH⊥EC于点C，交ED的延长线于点H，证明BE=DE，△CEH是等腰直角三角形，推出EH=2BE-AD，利用等腰直角三角形的性质即可证明结论．【详解】（1）解：由题意得：CA=CD=CB，∴点A、D、B都在以C为圆心，CA为半径的⊙C上，如图，在优弧QUOTEABAB上取点G，连接AG，BG，∵Rt△ABC中，∠BCA=90°，∴∠BGA=45°，∵四边形ADBG是圆内接四边形，∴∠ADB=180°-45°=135°，故答案为：135°；（2）①补全图形，如图：由题意得：CA=CD=CB，∴点A、D、B都在以C为圆心，CA为半径的⊙C上，如图，∵Rt△ABC中，∠BCA=90°，∴∠ADB=45°；②2BE-AD=QUOTE22CE．理由如下：过点C作CH⊥EC于点C，交ED的延长线于点H，如图：∵CD=CB，CE是∠BCD的平分线，∴CE是线段BD的垂直平分线，∴BE=DE，∠EFD=90°，由①知∠ADB=45°，∴∠DEF=45°，∴△CEH是等腰直角三角形，∴∠DEF=∠H=45°，CE=CH，∵CD=CA，∴∠CAD=∠CDA，则∠CAE=∠CDH，∴△AEC≌△DHC，∴AE=DH，∴EH=2ED-AD=2BE-AD，∵△CEH是等腰直角三角形，∴2BE-AD=QUOTE22CE．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形和等腰直角三角形解决问题．31．（2022秋·广东广州·九年级铁一中学校考期末）已知：QUOTE是QUOTE鈻矨BC鈻矨BC的外接圆，且QUOTE，QUOTE鈭燗BC=60掳鈭燗BC=60掳，D为QUOTE上一动点．(1)如图1，若点D是QUOTE的中点，QUOTE鈭燚BA鈭燚BA等于多少？(2)过点B作直线QUOTEADAD的垂线，垂足为点E．①如图2，若点D在QUOTE上，求证：QUOTECD=DE+AECD=DE+AE．②若点D在QUOTE上，当它从点A向点C运动且满足QUOTECD=DE+AECD=DE+AE时，求QUOTE鈭燗BD鈭燗BD的最大值．【答案】(1)QUOTE30掳30掳(2)①证明见解析；②QUOTE30掳30掳【分析】（1）连接QUOTEBDBD，根据QUOTE可得QUOTE，再根据圆周角定理进行求解即可；（2）①过B作QUOTEBH鈯DBH鈯D于点H，则QUOTE鈭燘HC=鈭燘HD=90掳鈭燘HC=鈭燘HD=90掳，证明QUOTE和QUOTE即可求解；②连接QUOTEBOBO并延长QUOTE鈯橭鈯橭交于点I，则点D在QUOTE上，证明QUOTE和QUOTE即可求解；【详解】（1）如图1中，连接QUOTEBDBD．∵QUOTE，∴QUOTE，∵QUOTE鈭燗BC=60掳鈭燗BC=60掳∴QUOTE鈭燘CA=60掳鈭燘CA=60掳∵D是QUOTE的中点，∴QUOTE鈭燚CA=30掳鈭燚CA=30掳∵QUOTE，∴QUOTE鈭燚BA=鈭燚CA=30掳鈭燚（2）①过B作QUOTEBH鈯DBH鈯D于点H，则QUOTE鈭燘HC=鈭燘HD=90掳又∵QUOTEBE鈯DBE鈯D于点E∴QUOTE鈭燘ED=90掳鈭燘ED=90掳∴QUOTE鈭燘ED=鈭燘HC=鈭燘HD又∵QUOTE，∴QUOTE，∵QUOTE，∴QUOTEBA=BCBA=BC，在QUOTE和QUOTE中，∴QUOTE，∴QUOTEEA=CHEA=CH，又∵四边形QUOTEACBDACBD是QUOTE鈯橭鈯橭的内接四边形，∴QUOTE，又∵QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE，在QUOTE和QUOTE中，QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTEDE=DHDE=DH，∴QUOTEDC=DH+HC=DE+AEDC=DH+HC=DE+AE．②连接QUOTEBOBO并延长与QUOTE鈯橭鈯橭交于点I，则点D在QUOTE上．如图：过B作QUOTEBH鈯DBH鈯D于点H则QUOTE，又∵QUOTEBE鈯DBE鈯D于点E