专题09 抛物线-【好题汇编】备战2023-2024学年高二数学上学期期末真题分类汇编（人教A版2019选择性必修第一册）含解析

专题09抛物线专题09抛物线-【好题汇编】备战2023-2024学年高二数学上学期期末真题分类汇编（人教A版2019选择性必修第一册）含解析抛物线的定义及应用1．（2023上·吉林辽源·高二校联考期末）抛物线的焦点到准线的距离为（

）A．4 B．2 C．1 D．2．（2023上·广东深圳·高二统考期末）若抛物线上一点到轴的距离为，则点到该抛物线焦点的距离为（

）A． B． C． D．3．（2023上·四川凉山·高二统考期末）是抛物线的焦点，点，为抛物线上一点，到直线的距离为，则的最小值是（

）A． B． C．3 D．4．（2023上·内蒙古巴彦淖尔·高二校考期末）点是抛物线的焦点，直线为抛物线的准线，点为直线上一动点，点在以为圆心，为半径的圆上，点在抛物线上，则的最大值为（

）A． B． C． D．5．（2023上·陕西榆林·高二统考期末）已知点为抛物线C：上的点，且点P到抛物线C的准线的距离为3，则.6．（2023上·北京密云·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于．若，，则抛物线的方程为．7．（2023上·湖南衡阳·高二校考期末）已知抛物线的焦点为为抛物线内侧一点，为上的一动点，的最小值为，则.8．（2023上·江苏南京·高二南京师大附中校考期末）设抛物线的焦点，若抛物线上一点到点的距离为6，则.抛物线的焦点弦9．（2023上·浙江宁波·高二期末）如图，某种探照灯的轴截面是抛物线（焦点F），平行于对称轴的一光线，经射入点A反射过F到点B，再经反射，平行于对称轴射出光线，则入射点A到反射点B的光线距离最短时点A的坐标是（

）A． B． C． D．10．（2023上·山东威海·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于两点（点在第一象限），与交于点，若，，则（

）A． B．3 C．6 D．1211．（2023上·重庆·高二校联考期末）已知抛物线，F为其焦点，若直线与抛物线C在第一象限交于点M，则（

）A．1 B．2 C．3 D．412．（2023上·陕西·高二校联考期末）已知为抛物线上一点，为焦点，过作的准线的垂线，垂足为，若的周长不小于30，则点的纵坐标的取值范围是（

）A． B．C． D．13．（2023上·福建福州·高二统考期末）(多选题)已知抛物线的焦点F到准线的距离为4，直线过点F且与抛物线交于A、B两点，若是线段AB的中点，则（

）A．m=1 B．p=4 C．直线的方程为 D．14．（2023上·云南昆明·高二昆明一中校考期末）（多选题）设抛物线的焦点为，准线为，直线经过点且与交于两点，若，则下列结论中正确的是（

）A．直线的斜率为或 B．的中点到的距离为4C． D．（O为坐标原点）15．（2023上·四川凉山·高二统考期末）过点的直线与抛物线交于，两点，点在轴上方，若，则直线的斜率.16．（2023上·湖北·高二赤壁一中校联考期末）已知抛物线的方程为，为抛物线的焦点，倾斜角为的直线过点交抛物线于，两点，则线段的长为.直线与抛物线17．（2023上·陕西西安·高二长安一中校考期末）设经过点的直线与抛物线相交于，两点，若线段中点的横坐标为，则（

）A． B． C． D．18．（2023上·山东聊城·高二统考期末）抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．已知抛物线C：，从点发出的一条平行于x轴的光线，经过C上的点A反射后，与C交于另一点B，则点B的纵坐标为（

）A． B． C． D．19．（2023上·福建福州·高二福建省福州第一中学校考期末）已知抛物线的焦点为F，过F作倾斜角为的直线l交抛物线C与A、B两点，若线段AB中点的纵坐标为，则抛物线C的方程是（

）A． B． C． D．20．（2023上·四川绵阳·高二统考期末）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别记为，，若，则的面积为（

）A． B． C． D．21．（2023上·四川凉山·高二统考期末）过点的直线l与抛物线交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若.则.22．（2023上·广东汕尾·高二统考期末）已知倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于、两点（点在第一象限），若，则.23．（2023上·山东潍坊·高二统考期末）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，且交该抛物线于，两点，点在轴左侧，则.24．（2023上·上海闵行·高二上海市七宝中学校考期末）过点作直线与抛物线有且仅有一个交点，这样的直线可以作出条.25．（2023上·河南三门峡·高二统考期末）抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点，点为抛物线上的动点，且点在的右下方，则面积的最大值为（

）A． B． C． D．26．（2023上·四川泸州·高二统考期末）如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成.为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m，已知行车道总宽度|AB|＝6m，那么车辆通过隧道的限制高度约为（

）

A．3.1m B．3.3m C．3.5m D．3.7m27．（2023上·福建南平·高二统考期末）过抛物线C：焦点F的动直线交抛物线C于A，B两点，若E为线段AB的中点，M为抛物线C上任意一点，则的最小值为（

）A．3 B． C．6 D．28．（2023上·湖南长沙·高二统考期末）已知抛物线：的焦点为，点，过点且斜率为的直线与交于A，B两点，若，则（

）A． B． C． D．229．（2023上·山东济宁·高二统考期末）已知双曲线，抛物线的焦点为，抛物线的准线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若为正三角形，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B．C． D．30．（2023上·浙江湖州·高二统考期末）已知抛物线，其焦点为是过点的一条弦，定点的坐标是，当取最小值时，则弦的长是.31．（2023上·江苏苏州·高二统考期末）在平面直角坐标系中，已知，直线相交于点，且与的斜率之差为2，则的最小值为.32．（2023上·上海浦东新·高二上海市建平中学校考期末）抛物线C上任意一点都满足，则抛物线C的焦点到准线的距离为.33．（2023上·广西贵港·高二统考期末）已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且.(1)求抛物线的方程；(2)若直线与抛物线交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的斜率.34．（2023上·云南大理·高二统考期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线：经过点，直线：与抛物线C交于M，N两点.(1)求抛物线C的方程；(2)当时，若对任意满足条件的实数，都有（m，n为常数），求的值.专题09抛物线抛物线的定义及应用1．（2023上·吉林辽源·高二校联考期末）抛物线的焦点到准线的距离为（

）A．4 B．2 C．1 D．【答案】B【分析】利用焦点到准线的距离为，即可求解【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为，所以由抛物线可得，故选：B2．（2023上·广东深圳·高二统考期末）若抛物线上一点到轴的距离为，则点到该抛物线焦点的距离为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用抛物线的定义即可求解.【详解】因为点到轴的距离为，所以点P的横坐标为，所以点P的纵坐标，抛物线的准线为.所以到抛物线准线的距离为，即点到该抛物线焦点的距离为.故选：C3．（2023上·四川凉山·高二统考期末）是抛物线的焦点，点，为抛物线上一点，到直线的距离为，则的最小值是（

）A． B． C．3 D．【答案】C【分析】根据抛物线定义有，数形结合判断其最小值.【详解】由题设，抛物线焦点，准线为，故，如上图：，仅当共线且在两点之间时等号成立.故选：C4．（2023上·内蒙古巴彦淖尔·高二校考期末）点是抛物线的焦点，直线为抛物线的准线，点为直线上一动点，点在以为圆心，为半径的圆上，点在抛物线上，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据抛物线的定义可得，利用，从而得到，即可求解.【详解】如图，过点P作于点N，根据抛物线的定义可得：，所以，而所以.当且仅当点Q、点N、点M在同一条直线上时等号成立，所以有最大值1.故选：B5．（2023上·陕西榆林·高二统考期末）已知点为抛物线C：上的点，且点P到抛物线C的准线的距离为3，则.【答案】2【分析】由抛物线的方程求出抛物线的准线，然后利用抛物线的定义结合已知条件列方程求解即可.【详解】抛物线的焦点为，准线为，因为点为抛物线上的点，且点P到抛物线C的焦点F的距离为3，所以点P到抛物线C的准线的距离为，解得，故答案为：26．（2023上·北京密云·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于．若，，则抛物线的方程为．【答案】【分析】根据抛物线的定义可得，然后在直角三角形中利用可得，从而可得答案．【详解】根据抛物线的定义可得，又，所以，得，所以抛物线的方程为．故答案为：．7．（2023上·湖南衡阳·高二校考期末）已知抛物线的焦点为为抛物线内侧一点，为上的一动点，的最小值为，则.【答案】3【分析】根据题意画图，再由抛物线的定义，即可得到的最小值为，知当三点共线且垂直于准线时取最小即可计算出.【详解】根据题意画图，过点作准线的垂线，垂足为，过点作准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义可知，，由于为上的一动点，则当三点共线时即，则，解得.故答案为：3.8．（2023上·江苏南京·高二南京师大附中校考期末）设抛物线的焦点，若抛物线上一点到点的距离为6，则.【答案】【分析】根据抛物线定义得，由点在抛物线上，代方程即可解决.【详解】由题知，抛物线的焦点，抛物线上一点到点的距离为6，所以，得，所以抛物线为，所以，解得，故答案为：抛物线的焦点弦9．（2023上·浙江宁波·高二期末）如图，某种探照灯的轴截面是抛物线（焦点F），平行于对称轴的一光线，经射入点A反射过F到点B，再经反射，平行于对称轴射出光线，则入射点A到反射点B的光线距离最短时点A的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由AB过点F，所以当AB为通径即轴时，最小，由此即可求得点A的坐标.【详解】由AB过点F，所以当AB为通径即轴时，最小，此时，则，所以，则点A的坐标是.“轴时，最小”的证明：法一：设AB倾斜角为，由，当即轴时，；法二：设，与联立得，所以，所以，所以，又，当且仅当时取等号．故选：A.10．（2023上·山东威海·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于两点（点在第一象限），与交于点，若，，则（

）A． B．3 C．6 D．12【答案】B【分析】利用抛物线的定义，以及几何关系可知，再利用数形结合表示的值，进而得，再根据焦半径公式得，，进而求解直线的方程并与抛物线联立得，再用焦半径公式求解即可.【详解】如图，设准线与轴的交点为，作，，垂足分别为，，所以，.又，所以，设，则.因为，所以，所以，所以，即.所以，抛物线为，焦点为，准线为，由得，解得，所以，，所以，直线的方程为所以，联立方程得，解得，所以，，所以，故选：B11．（2023上·重庆·高二校联考期末）已知抛物线，F为其焦点，若直线与抛物线C在第一象限交于点M，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】确定,，确定过点，联立方程求得点M的横坐标，利用抛物线焦半径公式即可求得答案.【详解】由题意得,，准线方程为，当时，，即过点，联立，即，解得或，由于M在第一象限，且斜率大于0，故取M横坐标为3，则，故选：D12．（2023上·陕西·高二校联考期末）已知为抛物线上一点，为焦点，过作的准线的垂线，垂足为，若的周长不小于30，则点的纵坐标的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】如图，设点的坐标，准线与轴的交点为A，根据抛物线的定义和勾股定理可得的周长为，令，利用换元法可得，解之即可求解.【详解】如图，设点的坐标为，准线与轴的交点为A，则，所以的周长为.得，令，则，有，即，解得(舍去)或，所以，由解得.故选：A.13．（2023上·福建福州·高二统考期末）（多选题）已知抛物线的焦点F到准线的距离为4，直线过点F且与抛物线交于A、B两点，若是线段AB的中点，则（

）A．m=1 B．p=4C．直线的方程为 D．【答案】BC【分析】根据抛物线的几何性质可判断B；利用点差法求解得直线斜率，从而可判断C；由点在直线上可求得m，可判断A；利用弦长公式可判断D.【详解】由题知，，故B正确；故抛物线方程为，设，易知，则，由点差法可得又是线段AB的中点，所以，所以直线l的斜率因为直线l过焦点，所以l的方程为，即，C正确；将代入可得，A错误；将代入得，所以，所以，故D错误.故选：BC14．（2023上·云南昆明·高二昆明一中校考期末）（多选题）设抛物线的焦点为，准线为，直线经过点且与交于两点，若，则下列结论中正确的是（

）A．直线的斜率为或 B．的中点到的距离为4C． D．（O为坐标原点）【答案】ABC【分析】由题设直线的方程为，，进而联立方程，结合向量关系得或，再依次讨论各选项即可.【详解】解：由题知焦点为，准线为，所以，设直线的方程为，，所以，得，所以，，①，②，因为，即，所以③，所以，由①②③得或，所以直线的斜率为，故A选项正确；所以，，故的中点的横坐标为，所以，的中点到的距离为，故B选项正确；当时，，此时，，故；当时，，此时，，故；故C选项正确；因为，故不成立，故D选项错误.故选：ABC15．（2023上·四川凉山·高二统考期末）过点的直线与抛物线交于，两点，点在轴上方，若，则直线的斜率.【答案】【分析】设出直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理及，可求答案.【详解】设，直线与抛物线联立得，即；，因为，所以，所以，代入可得即，，所以故答案为：16．（2023上·湖北·高二赤壁一中校联考期末）已知抛物线的方程为，为抛物线的焦点，倾斜角为的直线过点交抛物线于，两点，则线段的长为.【答案】【分析】首先求出焦点坐标，即可得到直线的方程，设，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据焦点弦公式计算可得.【详解】解：因为抛物线的方程为，所以焦点为，所以直线的方程为，设，，由，消去整理得，所以，所以.故答案为：直线与抛物线17．（2023上·陕西西安·高二长安一中校考期末）设经过点的直线与抛物线相交于，两点，若线段中点的横坐标为，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据直线与抛物线的位置关系以及韦达定理、弦长公式求解即可.【详解】因为经过点的直线与抛物线相交于，两点，所以该直线的斜率不等于0，所以可假设直线方程为，设，联立，整理得，所以所以，因为线段中点的横坐标为，所以，所以，所以，故选：B.18．（2023上·山东聊城·高二统考期末）抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．已知抛物线C：，从点发出的一条平行于x轴的光线，经过C上的点A反射后，与C交于另一点B，则点B的纵坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出坐标，进而联立直线和抛物线方程，由韦达定理得出点B的纵坐标.【详解】抛物线C：的焦点坐标为，设，，因为点在抛物线上，所以，由题意可知，三点在一条直线上，直线的斜率为，即直线的方程为，联立，可得，因为.故选：A19．（2023上·福建福州·高二福建省福州第一中学校考期末）已知抛物线的焦点为F，过F作倾斜角为的直线l交抛物线C与A、B两点，若线段AB中点的纵坐标为，则抛物线C的方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题首先可设、，则、，然后两式相减，可得，再然后根据、两点在倾斜角为的直线上得出，最后根据线段中点的纵坐标为即可求出结果.【详解】设，，则，，两式相减得，即，因为、两点在倾斜角为的直线上，所以，即，因为线段中点的纵坐标为，所以，则，，抛物线的方程是，故选：C.20．（2023上·四川绵阳·高二统考期末）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别记为，，若，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据抛物线的性质求出焦点坐标和准线方程，设点A、B的坐标，利用平面向量的坐标表示求出A、B的纵坐标，即可求解.【详解】由题意知，抛物线的焦点为，准线为，设，则，由，得，又，解得，所以，所以的面积为.故选：B.21．（2023上·四川凉山·高二统考期末）过点的直线l与抛物线交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若.则.【答案】/0.5【分析】设直线方程为与抛物线联立，结合，利用韦达定理计算可得点A，B的坐标，进而求出向量的坐标，利用向量夹角公式即得.【详解】设直线的方程为，将直线方程代入抛物线的方程，得，不妨设且，所以，由抛物线的定义知，由可知，，则，所以，，则A，B两点坐标分别为，,所以，则.故答案为：.22．（2023上·广东汕尾·高二统考期末）已知倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于、两点（点在第一象限），若，则.【答案】/【分析】设点、，则，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出、，利用抛物线的定义可求得的值，再利用抛物线的定义可求得的值.【详解】易知点，设点、，因为直线的倾斜角为，且点在第一象限，则，联立可得，解得，，由抛物线的定义可得，可得，因此，.故答案为：.23．（2023上·山东潍坊·高二统考期末）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，且交该抛物线于，两点，点在轴左侧，则.【答案】/【分析】点斜式设出直线的方程，联立抛物线方程，求出，两点的纵坐标，利用抛物线的定义得出，即可得出结论.【详解】由题知，设直线的方程为：，，，联立可得，，，从而，.故答案为：24．（2023上·上海闵行·高二上海市七宝中学校考期末）过点作直线与抛物线有且仅有一个交点，这样的直线可以作出条.【答案】【分析】讨论三种情况：当直线的斜率不存在时符合题意；当直线的斜率存在，当时符合题意；当时，过点的直线与抛物线相切符合题意．【详解】解：（1）当过点的直线斜率不存在时，显然与抛物线有且只有一个交点，（2）①当过点且直线与抛物线的对称轴平行，即斜率为时，显然与抛物线有且只有一个交点，②当直线过点且斜率存在，且与抛物线相切时，直线与抛物线只有一个交点，设直线方程为，代入到抛物线方程，消得：，由已知有，则，解得，即直线方程为，综上可得：过点的直线l与抛物线有且只有一个交点的直线l共有3条故答案为：325．（2023上·河南三门峡·高二统考期末）抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点，点为抛物线上的动点，且点在的右下方，则面积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出直线方程后，联立抛物线方程，求出弦长，再由点到直线距离得出三角形高，利用二次函数求最值即可.【详解】由知，则直线为，

设，则D到直线的距离为，又点在的右下方，所以，联立方程，消元得，设，则，，所以，所以故当时，有最大值.故选：A26．（2023上·四川泸州·高二统考期末）如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成.为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m，已知行车道总宽度|AB|＝6m，那么车辆通过隧道的限制高度约为（

）

A．3.1m B．3.3m C．3.5m D．3.7m【答案】B【分析】根据题意，以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立直角坐标系，得到抛物线方程，即可得到结果.【详解】

取隧道截面，以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立直角坐标系，则，设抛物线方程，将点C代入抛物线方程得，∴抛物线方程为，行车道总宽度，∴将代入抛物线方程，则，∴限度为.故选：B.27．（2023上·福建南平·高二统考期末）过抛物线C：焦点F的动直线交抛物线C于A，B两点，若E为线段AB的中点，M为抛物线C上任意一点，则的最小值为（

）A．3 B． C．6 D．【答案】A【分析】利用中点关系求出E的轨迹方程，结合椭圆定义由数形结合可得最小值.【详解】设，E为线段AB的中点，则，又，两式相减得，由，∴，∴E的轨迹为顶点在的抛物线.如图所示，、EP垂直C的准线于N、P，则，则当与F重合时，最小，为.故的最小值为3.故选：A.28．（2023上·湖南长沙·高二统考期末）已知抛物线：的焦点为，点，过点且斜率为的直线与交于A，B两点，若，则（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】根据抛物线的方程得出焦点的坐标，根据题意可知斜率，设直线的方程为：，其中，设，，联立直线与抛物线的方程即可根据韦达定理得出，，根据已知得出，即可根据向量运算化简代入得出，解得，即可得出答案.【详解】由抛物线：可得其焦点的坐标为，由题意可知斜率，设直线的方程为：，其中，联立，消去得，，设，，则，，，，而，，则，即，，，，解得，，故选：D.29．（2023上·山东济宁·高二统考期末）已知双曲线，抛物线的焦点为，抛物线的准线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若为正三角形，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据双曲线方程，把渐近线表示出来，推出两点坐标，利用为正三角形，列方程解系数既可.【详解】双曲线的两条渐近线方程为，抛物线的焦点为，准线方程为，不妨取，，为正三角形，由对称性可知，直线的倾斜角为，则，解得，所以双曲线的两条渐近线方程为.故选：C30．（2023上·浙江湖州·高二统考期末）已知抛物线，其焦点为是过点的一条弦，定点的坐标是，当取最小值时，则弦的长是.【答案】【分析】如图，