高二上学期数学期末测试卷01-【好题汇编】备战2023-2024学年高二数学上学期期末真题分类汇编（人教A版2019选择性必修第一、二册）含解析

高二上学期数学期末测试卷01高二上学期数学期末测试卷01-【好题汇编】备战2023-2024学年高二数学上学期期末真题分类汇编（人教A版2019选择性必修第一、二册）含解析（范围：选择性必修第一、二册）一、单选题1．（2023上·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期末）已知直线：的倾斜角为，直线的倾斜角为，且直线在轴上的截距为3，则直线的一般式方程为（

）A． B． C． D．2．（2023上·新疆乌鲁木齐·高二校考期末）已知，则向量与的夹角为（

）A． B． C． D．3．（2023上·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学校考期末）在等比数列中，若，则此数列的前10项之积等于（

）A．50 B． C． D．4．（2023上·新疆巴音郭楞·高二校考期末）已知圆与圆，则两圆的位置关系是（

）A．相离 B．外切 C．相交 D．内切5．（2023上·浙江宁波·高二统考期末）在四面体中，为正三角形，平面，且，若，，则异面直线和所成角的余弦值等于（

）A． B． C． D．6．（2023上·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期末）已知双曲线的渐近线方程为，左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，且，的周长为20，则该双曲线的标准方程为（

）A． B． C． D．7．（2023上·内蒙古巴彦淖尔·高二校考期末）设椭圆的左、右焦点为、，过作x轴的垂线与C交于A、B两点，与y轴交于点D，若，则椭圆C的离心率等于（

）A． B． C． D．8．（2023上·福建南平·高二统考期末）如果质点A运动的位移S（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为那么该质点在秒时的瞬时速度为：（

）（单位：米/秒）A． B． C． D．二、多选题9．（2023上·重庆·高二统考期末）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于M，N两点，则下列结论正确的是（

）A．抛物线的焦点坐标是B．焦点到准线的距离是4C．若点P的坐标为，则的最小值为5D．若Q为线段MN中点，则Q的坐标可以是10．（2023上·浙江绍兴·高二统考期末）已知直线和圆，则（

）A．直线恒过定点 B．直线与圆相交C．存在使得直线与直线垂直 D．若，直线被圆截得的弦长为11．（2023上·安徽蚌埠·高二统考期末）如图，在正方体中，分别为的中点，则以下结论正确的是（

）

A．B．平面平面C．平面D．异面直线与所成角的余弦值是12．（2023上·江苏南京·高二南京大学附属中学校考期末）已知函数的图象在处切线的斜率为9，则下列说法正确的是（

）A．B．在上单调递减C．D．的图象关于原点中心对称三、填空题13．（2023上·云南昆明·高二统考期末）圆在点处的切线方程为.14．（2023上·新疆·高二校联考期末）已知等差数列的首项为，前项和为，若，且，则的取值范围为．15．（2023上·山东枣庄·高二枣庄八中校考期末）设椭圆的上顶点为，且长轴长为，过任作两条互相垂直的直线分别交椭圆于，两点，则直线过定点．16．（2023上·北京怀柔·高二统考期末）设双曲线的左右焦点分别是，，点在双曲线上，则；若为直角，则点的纵坐标的是.四、解答题17．（2023上·吉林长春·高二长春市解放大路学校校考期末）已知数列满足，且数列的前n项和.(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和.18．（2023上·甘肃兰州·高二兰州西北中学校考期末）已知圆与圆(1)求经过圆与圆交点的直线方程：(2)求圆与圆的公共弦长．19．（2023上·内蒙古包头·高二统考期末）如图，已知四棱锥中，是正方形，平面，点分别是棱、对角线上的动点（不是端点），满足．

(1)证明：∥平面；(2)求距离的最小值，并求此时二面角的正弦值．20．（2023上·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期末）已知双曲线的离心率，，分别为其两条渐近线上的点，若满足的点在双曲线上，且的面积为8，其中为坐标原点．(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线的右焦点的动直线与双曲线相交于，两点，在轴上是否存在定点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．21．（2023上·河南平顶山·高二统考期末）已知数列满足，且.(1)求的通项公式；(2)设，数列的前n项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数λ的取值范围.22．（2023上·浙江宁波·高二统考期末）已知.(1)若在处有极大值，求的值；(2)若，求在区间上的最小值.高二上学期数学期末测试卷01（范围：选择性必修第一、二册）一、单选题1．（2023上·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期末）已知直线：的倾斜角为，直线的倾斜角为，且直线在轴上的截距为3，则直线的一般式方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据正切二倍角公式，斜截式方程求解即可.【详解】解：∵直线：的倾斜角为，斜率为，∴，∵直线的倾斜角为，∴斜率为，∴的方程为，即.故选：B．2．（2023上·新疆乌鲁木齐·高二校考期末）已知，则向量与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用空间向量的夹角公式求解.【详解】由已知得，所以,因为空间向量的夹角范围是，所以向量与的夹角为，故选：D.3．（2023上·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学校考期末）在等比数列中，若，则此数列的前10项之积等于（

）A．50 B． C． D．【答案】C【分析】根据等比数列性质得到，从而求出.【详解】∵为等比数列，∴，，，.故选：C4．（2023上·新疆巴音郭楞·高二校考期末）已知圆与圆，则两圆的位置关系是（

）A．相离 B．外切 C．相交 D．内切【答案】D【分析】分别将两圆化成标准方程，求出圆心距并和两半径差与和相比较即可求解.【详解】因为圆可化为：，圆心坐标为，半径；圆可化为：，圆心坐标为，半径；圆心距，因为，所以圆与圆内切，故选：.5．（2023上·浙江宁波·高二统考期末）在四面体中，为正三角形，平面，且，若，，则异面直线和所成角的余弦值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由条件建立空间直角坐标系，求异面直线和的方向向量，利用向量夹角公式求其夹角可得结论.【详解】因为平面，为正三角形，故以为原点，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系，设，则，由，，可得，所以，所以，所以异面直线和所成角的余弦值等于.故选：A.6．（2023上·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期末）已知双曲线的渐近线方程为，左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，且，的周长为20，则该双曲线的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据渐近线方程可得，再根据双曲线的定义及的周长可求得，即可得出答案.【详解】因为双曲线的渐近线方程为，所以，因为过的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，所以，即，则的周长为，所以，则，所以双曲线的标准方程为.故选：C.7．（2023上·内蒙古巴彦淖尔·高二校考期末）设椭圆的左、右焦点为、，过作x轴的垂线与C交于A、B两点，与y轴交于点D，若，则椭圆C的离心率等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据图中的几何特点和椭圆定义即可求解.【详解】根据题意，平行于轴，又（坐标原点）是的中点，所以是三角形的中位线，所以是的中点，所以，所以，又，所以为等边三角形，所以，所以,当时，所以

，所以，所以，所以，所以，所以，故选：A.8．（2023上·福建南平·高二统考期末）如果质点A运动的位移S（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为那么该质点在秒时的瞬时速度为：（

）（单位：米/秒）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据瞬时变化率的定义求解即可.【详解】，所以.故选：D.二、多选题9．（2023上·重庆·高二统考期末）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于M，N两点，则下列结论正确的是（

）A．抛物线的焦点坐标是B．焦点到准线的距离是4C．若点P的坐标为，则的最小值为5D．若Q为线段MN中点，则Q的坐标可以是【答案】BD【分析】根据抛物线方程即可判断AB；过点作垂直于准线，垂足为，根据抛物线得定义结合图象即可判断C；假设Q的坐标是，利用点差法求出直线的方程，再判断焦点是否在直线上，即可判断D.【详解】由题意，焦点到准线的距离是，故A错误，B正确；对于C，过点作垂直于准线，垂足为，则，当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为，故C错误；对于D，假设Q的坐标是，设，则，由直线l交抛物线于M，N两点，得，两式相减得，即，所以，即，所以直线的方程为，即，将代入得，所以直线过点，符合题意，所以Q的坐标可以是，故D正确.故选：BD.

10．（2023上·浙江绍兴·高二统考期末）已知直线和圆，则（

）A．直线恒过定点 B．直线与圆相交C．存在使得直线与直线垂直 D．若，直线被圆截得的弦长为【答案】ABD【分析】对于A，利用直线系方程求得直线过定点即可判断；对于B，由直线所过的顶点在圆内部即可判断；对于C，由两条直线的位置关系中垂直关系即可判断；对于D，由垂径定理求弦长可以判断.【详解】对于A，直线，即，则直线恒过定点，故选项A正确；对于B，直线恒过的定点在圆的内部，直线与圆相交，故选项B正确；对于C，若直线与直线垂直，则，显然不成立，故选项C错误；对于D，当，直线化成，圆心到直线的距离，直线被圆截得的弦长为，故选项D正确；故选：ABD.11．（2023上·安徽蚌埠·高二统考期末）如图，在正方体中，分别为的中点，则以下结论正确的是（

）

A．B．平面平面C．平面D．异面直线与所成角的余弦值是【答案】BCD【分析】由题意可得出，可判断A；因为四点共面，所以平面平面可判断B；由线面平行的判定定理可判断C；由异面直线所成角可判断D.【详解】对于A，连接，易证，因为平面，而平面，所以，所以在中，与不垂直，所以不垂直，故A不正确；

对于B，连接，因为分别为的中点，所以，所以四点共面，所以平面平面，故B正确；

对于C，连接，易证，所以四边形是平行四边形，所以，所以平面，平面，所以平面，故C正确；

对于D，连接，易知，异面直线与所成角即直线与所成角，即，设正方体的边长为，所以，所以，所以异面直线与所成角的余弦值是，故D正确.故选：BCD.

12．（2023上·江苏南京·高二南京大学附属中学校考期末）已知函数的图象在处切线的斜率为9，则下列说法正确的是（

）A．B．在上单调递减C．D．的图象关于原点中心对称【答案】ABC【分析】根据导数的几何意义求得的值，即可判断A；根据函数单调性与导数的关系，即可判断B；由导数的定义可判断C；由函数的对称性即可判断D.【详解】，则，因为函数的图象在处切线的斜率为9，所以，解得，故A正确；，则，令，可得，所以在上单调递减，故B正确；由于，故C正确；函数，则，所以，则的图象关于点中心对称，故D不正确.故选：ABC.三、填空题13．（2023上·云南昆明·高二统考期末）圆在点处的切线方程为.【答案】【分析】因为点在圆上，所以过点的切线和圆心)垂直，求出斜率，用点斜式求出方程.【详解】设圆的圆心，点将代入圆的方程成立，所以在圆上，与切线垂直，所以切线斜率，切线方程为，即.故答案为：14．（2023上·新疆·高二校联考期末）已知等差数列的首项为，前项和为，若，且，则的取值范围为．【答案】【分析】根据等差数列通项和前项和的函数性可证得数列为等差数列，结合已知等式可求得，由可构造不等式组求得结果.【详解】设等差数列的公差为，，，数列是以为首项，为公差的等差数列，，解得：；，，解得：，即的取值范围为.故答案为：.【点睛】结论点睛：若数列为等差数列，公差为，为数列的前项和，则数列是以为首项，为公差的等差数列.15．（2023上·山东枣庄·高二枣庄八中校考期末）设椭圆的上顶点为，且长轴长为，过任作两条互相垂直的直线分别交椭圆于，两点，则直线过定点．【答案】【分析】根据题意求出椭圆C的方程，设直线AB的方程为，与椭圆方程联立，结合韦达定理与，求得的值，进而可得答案．【详解】根据题意椭圆的焦点在轴上，设椭圆的方程为∵上顶点为，∴，又长轴长为，∴，则椭圆C的方程为，

易知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为，由可得，∴，又，∴，解得或．当时，直线AB经过点D，不满足题意，则直线AB的方程为，故直线AB过定点．故答案为：．16．（2023上·北京怀柔·高二统考期末）设双曲线的左右焦点分别是，，点在双曲线上，则；若为直角，则点的纵坐标的是.【答案】【分析】根据双曲线的方程及定义可求出，设，再利用向量数量积为零求解即可.【详解】由可知，故，，，设，则，因为为直角，所以,因为，所以，解得或故答案为：；.四、解答题17．（2023上·吉林长春·高二长春市解放大路学校校考期末）已知数列满足，且数列的前n项和.(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由题目条件得到为公差为2的等差数列，首项为1，求出通项公式；（2）利用错位相减法求和即可.【详解】（1）因为，所以，故为公差为2的等差数列，中，令得，解得，则；（2），故①，则②，两式①-②得，故.18．（2023上·甘肃兰州·高二兰州西北中学校考期末）已知圆与圆(1)求经过圆与圆交点的直线方程：(2)求圆与圆的公共弦长．【答案】(1)(2)【分析】（1）判断两圆相交，将两圆的方程相减，即可得答案；（2）确定圆的圆心和半径，求得圆心到两圆公共弦所在直线的距离，根据弦长的几何求法即可求得答案.【详解】（1）圆的圆心为，半径为，圆即，圆心为，半径为，则，故圆与圆相交；将圆与圆的方程相减，得，即经过圆与圆交点的直线方程为；（2）圆的圆心为，半径为1，到直线的距离为，故圆与圆的公共弦长为.19．（2023上·内蒙古包头·高二统考期末）如图，已知四棱锥中，是正方形，平面，点分别是棱、对角线上的动点（不是端点），满足．

(1)证明：∥平面；(2)求距离的最小值，并求此时二面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)最小值为2；正弦值为【分析】（1）作交于，作交于，根据题意结合平行线的性质可证，进而可得结果；（2）建系，利用空间向量可知当是中点时，取到最小值，进而利用空间向量求二面角.【详解】（1）作交于，则，可得，作交于，连接，则，可得，在直角三角形和中，因为，所以．则，且，可得，因为，则，所以四边形是平行四边形，可得，且平面平面，所以∥平面．

（2）因为平面是正方形．所以以为原点，

分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，则，可得，当，即是中点时，的最小值为2，此时，可得，设平面的一个法向量，则，令，则，可得，平面的一个法向量，所以，设二面角的平面角为，可知为锐角，，所以，即二面角的正弦值为．20．（2023上·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期末）已知双曲线的离心率，，分别为其两条渐近线上的点，若满足的点在双曲线上，且的面积为8，其中为坐标原点．(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线的右焦点的动直线与双曲线相交于，两点，在轴上是否存在定点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）根据双曲线的离心率得关系，从而可得关系，即可得双曲线渐近线方程，不妨设，，确定点为的中点代入双曲线方程可得与的关系，再由的面积即可求得的值，从而可得双曲线的方程；（2）当直线的斜率存在时，设直线方程与交点坐标，代入双曲线方程后可得交点坐标关系，设，满足为常数即可求得的值，并且检验直线的斜率不存在时是否满足该定值即可.【详解】（1）由离心率，得，所以，则双曲线的渐近线方程为，因为，分别为其两条渐近线上的点，所以，不妨设，，由于，则点为的中点，所以，又点在双曲线上，所以，整理得：因为的面积为8，所以，则，故双曲线的方程为；（2）由（1）可得，所以为当直线的斜率存在时，设方程为：，，则，所以，则恒成立，所以，假设在轴上是否存在定点，设，则要使得为常数，则，解得,定点，；又当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入双曲线可得，不妨取，若，则，符合上述结论；综上，在轴上存在定点，使为常数，且.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用交点