专题强化二：三角函数图像性质题型技巧归纳 （解析版）

专题强化二：三角函数图像性质题型技巧归纳【题型归纳】题型一：三角函数的图像和性质1．（2023上·安徽合肥·高一校联考期末）函数，的图象在区间的交点个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】作出正、余弦函数图象，利用图象直接判断两者交点个数.【详解】分别作出，在区间上的图象，如图所示，由图象可知：，的图象在区间的交点个数为3.故选：A.2．（2023下·浙江杭州·高二校联考期中）若函数在区间单调递减，且最小值为负值，则的值可以是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】分和两种情况讨论，结合余弦函数的单调性求出的范围，即可得解.【详解】当时，，由，得，因为函数在区间单调递减，且最小值为负值，所以，解得，当时，由，得，因为函数在区间单调递减，且最小值为负值，所以，解得，综上所述.故选：A.3．（2023·河南·统考模拟预测）若函数在上恰有两个零点，且在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】有函数在区间上有两个零点可知，由在上单调递增可求出的取值范围，然后联立即可求出答案.【详解】解：由题意得：函数在上恰有两个零点，，解得：①，又在上单调递增，，解得：②，由①②式联立可知的取值范围是.故选：B题型二：三角函数图像的平移变换4．（2023上·江苏盐城·高一校联考期末）要得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（

）A．横坐标变为原来的（纵坐标不变）再向左平移个单位长度B．横坐标变为原来的（纵坐标不变）再向左平移个单位长度C．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）再向左平移个单位长度D．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）再向左平移个单位长度【答案】C【分析】，利用伸缩变换与平移变换由的图象得到的图象.【详解】因为，将的图象上所有的点横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到，再向左平移个单位长度得，即得到函数的图象.故选：C5．（2023下·辽宁铁岭·高一校考期末）为了得到函数的图象，只需把函数的图象（

）A．向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度C．向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度D．向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度【答案】C【分析】由平移变换和伸缩变换求解即可.【详解】要得到函数，需把函数的向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得出的图像.故选：C6．（2023下·四川绵阳·高一绵阳南山中学实验学校校考期中）为了得到函数的图象，只需要把函数图象（

）A．先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位B．先将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位C．先向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）D．先向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）【答案】B【分析】利用三角函数的伸缩变换和平移变换求解.【详解】解：先将函数图像横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）得到，再向右平移个单位得到的图像；或者将函数图像向右平移个单位，再将横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）可得到的图像.故选：B题型三：函数y＝Asin(ωx＋φ)的综合问题7．（2023下·四川眉山·高一校考期中）如图为函数的部分图象．(1)求函数解析式和单调递增区间；(2)若将的图像向右平移个单位，然后再将横坐标压缩为原来的倍得到图像，求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】(1)，，(2)最大值，最小值【分析】（1）由图象，先求，再求出，然后代入最值点求即可得的解析式，最后整体代入法解出递增区间即可；（2）由题意图象变换得到，求出整体角的范围，转化为求正弦函数的最值即可.【详解】（1）由图象知，，又则，则，将代入得，，得，解得，由，得当时，，所以.令，，得，，所以的单调递增区间为.（2）将的图像向右平移个单位得，然后再将横坐标压缩为原来的倍得到的图像.已知，则，则.故当时，最小值为；当时，的最大值为.8．（2023上·吉林长春·高一长春市解放大路学校校考期末）已知函数的部分图象如图所示．(1)求的解析式并求出的增区间；(2)先把的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，若且关于的方程在上有解，求的取值范围．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由图象结合正弦函数的性质求得的解析式，再利用整体代入法即可求得的增区间；（2）先由图象的变换得出函数的解析式，再由正弦函数的性质得出的值域，从而得解.【详解】（1）由图象可知，，则，又，所以，故，因为点在上，则，即，所以，即，又，故，所以，令，得，所以的增区间为.（2）先把的图象向右平移个单位得到的图像对应的解析式为，再向下平移1个单位，得到的图像对应的解析式为，，则，所以，即，因为在上有解，即在上有解，所以，即的取值范围为.9．（2023上·江苏淮安·高一统考期末）已知函数的部分图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)将函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，若关于x的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)．【分析】（1）根根据余弦型函数的周期性质，结合特殊点进行求解即可；（2）根据余弦型函数图象的变换性质，结合余弦型函数的性质进行求解即可.【详解】（1）由图可知，．因为，所以，．代入有，∴，又∵，∴，∴；（2）由题意知变换后当时，令，即，函数在时单调递减，此时，函数在时单调递增，此时，等价于有两解．所以当时符合题意，即a的取值范围为．【专题强化】一、单选题10．（2023上·安徽六安·高三六安一中校考）已知函数在区间恰有两条对称轴，则的取值范围（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意得到，从而得到，再解不等式即可.【详解】因为，所以，因为函数在区间恰有两条对称轴，所以，解得.故选：B11．（2023上·陕西咸阳·高三校考阶段练习）已知函数，是函数的一个零点，且在区间上单调，则的所有取值之和为（

）A．13 B．14 C．15 D．16【答案】C【分析】根据函数的对称性列出方程，可求出，.然后根据函数的单调性，可推得.逐个求解验证，即可得出所以满足条件的，得出答案.【详解】由已知可得，，，两式相加可得，所以，.又，所以，.将代入，可得.因为，所以.又因为在区间上单调，所以，，则.又，当时，；当时，；当时，；当时，不满足，舍去.综上所述，或或.所以，的所有取值之和为.故选：C.12．（2023上·广东深圳·高一深圳大学附属中学校考期末）已知函数，对于任意的，方程恰有一个实数根，则m的取值范围为（

）.A． B．C． D．【答案】D【分析】变形为函数与有1个交点，当时，，从而得到，求出答案.【详解】对于任意的，恰有一个实数根，等价于函数与有1个交点，因为，所以，当时，，画出函数的图象如下：要想满足要求，则，解得，故选：D13．（2023上·江苏连云港·高三江苏省海州高级中学校考阶段练习）已知函数，先将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将得到的图象上所有的点向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用辅助角公式先化简，然后根据三角函数图象变换求得，再结合正弦函数的对称性可解.【详解】，将其图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得的图象，再将得到的图象上所有的点向右平移个单位长度，得的图象，由的图象关于轴对称得，即.又，故当时，取得最小值.故选：D.14．（2023下·山东泰安·高一泰安一中校考期中）函数在区间上的图象如图所示，将该函数图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数的图象确定的值，可得函数解析式，根据图象的伸缩平移变换可得变换后的函数表达式，结合其性质即可求得答案.【详解】由图象可知函数的最小正周期为，又，故，由于，故，所以，将该函数图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移个单位长度后，得到的图象，因为该图像图象关于原点对称，即为奇函数，故，则，而，则的最小值为，故选：C15．（2023上·安徽芜湖·高二安徽师范大学附属中学校考开学考试）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（

）A．函数的图象关于点对称B．函数的图象关于直线对称C．函数在上单调递减D．该图象向右平移个单位可得的图象【答案】D【分析】利用图象求出函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断AB选项；利用正弦型函数的单调性可判断C选项；利用三角函数图象变换可判断D选项.【详解】由图象可得，函数的最小正周期为，因为，所以，，故，因为，可得，因为，则，所以，，可得，所以，，对于A选项，，所以，函数的图象不关于点对称，A错；对于B选项，，所以，函数的图象不关于直线对称，B错；对于C选项，当时，，所以，函数在上不单调，C错；对于D选项，因为，将函数的图象向右平移个单位可得的图象，D对.故选：D.16．（2023下·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）如图所示，一个质点在半径为2的圆上以点为起始点，沿逆时针方向运动，每轴的距离关于时间的函数解析式是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据三角函数与单位圆的关系，结合周期以及初相的定义以及几何意义，根据“距离”，利用排除法，可得答案.【详解】由题意可知，函数的周期，初相为，则，因为表示距离，为非负数，所以BD选项错误；点的初始位置为，即，此时距离轴的距离为1，而在运动的过程中距离最大值为2，则，所以C选项符合，A选项不符合.故选：C.17．（2023下·内蒙古呼和浩特·高一呼市二中校考期末）已知函数的部分图象如图所示，为了得到函数的图象，只要把的图象上所有的点（

）A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度【答案】D【分析】由题中函数图象，结合五点法作图及的取值范围可求得的值，利用三角函数图象变换可得出结论.【详解】根据题中函数的部分图象，结合五点法作图可得，故，又，故，所以，为了得到函数的图象，只要把的图象上所有的点向右平行移动个单位长度即可．故选：D．18．（2023下·高一单元测试）函数和的部分图象，如图所示．的图象由的图象平移而来，分别在、图象上，是矩形，，则的表达式是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由图可知的图象向右平移个单位，然后根据函数图象平移规律和诱导公式可求得答案.【详解】根据题意，由图象知，函数的图象向右平移个单位，得的图象；又，所以故选：C二、多选题19．（2023上·云南昆明·高一校考期中）若函数，则（

）A．的最小正周期为B．当时，C．当时，为偶函数D．的图象关于直线对称【答案】ACD【分析】根据周期公式，可以判断A；代入，两角和的正弦公式化简，可以判断B；代入，根据奇偶函数定义可以判断C；三角函数对称轴的要求可以判断D.【详解】，A正确．当时，，B错误．当时，，定义域，，所以为偶函数，C正确．因为，所以的图象关于直线对称，D正确．故选：ACD.20．（2023下·湖南岳阳·高一校考阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则下列关于函数，下列说法正确的有（

）A．图象关于点对称B．单调递减区间为，C．当时，D．有5个零点【答案】BCD【分析】由正弦型函数图象求解析式，再根据正弦函数性质判断A、B、C，化函数与的图象的交点个数，数形结合判断零点个数判断D.【详解】由图知，，，所以，因为，所以，所以，由知：，所以，即，，由图知，最小正周期，则，即，取，此时，所以，A，因为，所以不是对称中心，错误；B，令，解得，正确；C，当时，所以，则，正确；D，的零点个数等价于函数与的图象的交点个数，令，则，而，，，所以，时与的图象没有交点，作两个函数的图象，如下图示，两个函数图象有5个交点，正确.故选：BCD21．（2023下·四川广元·高一广元中学校考阶段练习）已知函数图象的一条对称轴方程为，与其相邻的一个对称中心为，则（）A．的最小正周期为 B．的最小正周期为C． D．【答案】AC【分析】根据题意，得到，求得，可判定A正确、B错误；结合，求得，可判定C正确，D错误.【详解】由题意知，函数图象的一条对称轴方程为，与其相邻的一个对称中心为，可得，所以，所以A正确、B错误；又由，可得，因为，即，解得，所以，又因为，可得，所以，所以C正确，D错误.故选：AC.22．（2023上·吉林长春·高三长春外国语学校校考阶段练习）已知函数，则（

）A．B．的最小正周期为C．把向左平移可以得到函数D．在上单调递增【答案】AD【分析】运用正切函数的最小正周期公式、单调性，结合特殊角的正切函数值、正切函数图象的变换性质逐一判断即可.【详解】A：因为，所以本选项正确；B：由正切型函数的最小正周期公式可得，所以本选项不正确；C：把向左平移可以得到函数，所以本选项不正确；D：当时，，显然是的子集，因此本选项正确，故选：AD23．（2023下·云南昆明·高一校考期中）若函数在一个周期内的图象如图所示，则正确的结论是（

）A．B．的图象的一个对称中心为C．的单调递增区间是，D．把的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得的图象【答案】BC【分析】根据图象求得的解析式，利用代入验证法判断的对称中心，根据三角函数单调区间的求法求得的单调区间，根据三角函数图象变换的知识确定D选项的正确性.【详解】由图可知，，所以A选项错误.，，所以，，所以B选项正确.由，解得，所以的单调递增区间是，，C选项正确.把的图象上所有点的横坐标变为原来的，得到，所以D选项错误.故选：BC三、填空题24．（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）函数的定义域为.【答案】【分析】要使得函数有意义，则须满足，解三角不等式，观察图象即可求解.【详解】由,得，函数的定义域是.故答案为：.25．（2023上·湖北·高一湖北省天门中学校联考阶段练习）已知函数在上单调递增，则取值范围是.【答案】【分析】利用整体代入得方法得到的单调递增区间，然后列不等式求解即可.【详解】令，解得，所以的单调递增区间为，因为在上单调递增，所以，解得，所以.故答案为：26．（2023下·四川达州·高一四川省万源中学校考阶段练习）将函数的图象上每个点的横坐标扩大为原来的两倍（纵坐标不变），再向左移动个单位得到函数的图象，若，且，则=.【答案】【分析】根据三角函数图像变换可得，结合正弦函数的对称性可得，代入运算求解即可.【详解】将函数的图象上每个点的横坐标扩大为原来的两倍（纵坐标不变），得到，再向左移动个单位，可得：，因为，则，且直线为的对称轴，又因为，则，可得，所以.故答案为：.27．（2023下·山东淄博·高一校考期中）函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位后得到函数的图象．则函数的单调增区间为．【答案】【分析】由函数图象求得，根据图象平移写出解析式，最后由正弦型函数的单调性求的单调增区间.【详解】由题设，可得，由图知：，则，又，则，所以，所以，令，所以，即的单调增区间为.故答案为：28．（2023下·内蒙古阿拉善盟·高一统考期末）已知函数的最小正周期为，将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），所得函数图象的一条对称轴方程是，则的值为．【答案】0【分析】根据函数的最小正周期求出，求出图象平移、伸缩变化后的解析式，再由对称轴方程可得答案.【详解】因为函数的最小正周期为，所以，，将函数的图象向左平移个单位长度，可得，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），可得，因为所得函数图象的一条对称轴方程是，所以，可得，因为，所以.故答案为：0.四、解答题29．（2023下·江西萍乡·高一统考期中）函数的部分图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围，并求的值．【答案】(1)(2)，【分析】（1）根据三角函数的图象与性质计算即可；（2）先根据三角函数的图像变换得，结合正弦函数的单调性、对称性可判定的取值范围与的值.【详解】（1）由图可知，，∵，∴，∴，又，∴，，∴，由可得，∴；（2）将向右平移个单位得到，再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到，令，则，易知函数在上单调递增，在上单调递减，又，，，∴；由对称性可知，∴，∴，∴．30．（2023上·吉林长春·高一长春外国语学校校考期末）若函数的部分图象如图所示，(1)求函数的解析式；(2)将函数的图象向左平移个单位，再将所有图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，求函数的解析式及其单调递增区间.【答案】(1)(2)，增区间为【分析】（1）根据三角函数的部分图象求出和的值，即可写出函数的解析式；（2）根据函数图象平移变换法则，写出函数的解析式，再求它的递增区间.【详解】（1）由的部分图象知，，解得，因为，且，所以，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以，所以.（2）将函数的图像向左平移个单位,得到再将所有图像上各点的横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，令，可得，所以的单调递增区间为.综上，单调增区间为.31．（2023下·安徽滁州·高一校联考阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，且四边形的面积为.(1)求的单调区间；(2)先将的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再将的图象向右平移个单位长度，得到函数的方程在区间上仅有两个不等实根，求实数的取值范围.【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为；(2)【分析】（1）利用辅助角公式化简得到，结合平行四边形的面积得到及的范围，将代入解析式，求出，得到函数解析式，求出单调区间；（2）先求出，方程变形得到或，得到有1个解，故在上有1个根，且，从而求出实数的取值范围.【详解】（1），所以，因为四边形为平行四边形，且面积为，所以，解得，所以，解得，即，解得，故，将其代入中，可得，故，解得，因为，故只有当时，满足要求，其他均不合要求，所以，令，解得，令，解得，所以的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）由题意得，，即或，当时，，令，解得，即，因为在区间上仅有两个不等实根，所以在上有1个根，且，因为在或处，有1个符合要求的解，故或.所以实数的取值范围是.32．（2023下·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）函数的部分图象如图所示.(1)求函数的解析式；(2)若将的图象向左平移个单位，再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象，求在上的值域.【答案】(1)(2)【分析】（1）由图象求出，和的值即可求出函数的解析式．（2）根据函数图象变换求出的解析式，求出角的范围，利用三角函数的最值性质进行求解即可．【详解】（1）由图象知，，即，又，，，则，又函数过点，所以，所以，，解得，，又，所以，即．（2）若将的图象向左平移个单位，得到，再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象即，当，则，，则当时，函数取得最大值，最大值，当时，函数取得最小值，最小值为．即在上的值域为．33．（2023下·四川遂宁·高一射洪中学校考期中）已知函数.