2023-2024学年山东省济南市章丘区九年级上学期12月月考数学试题（含解析）

2023-2024学年第一学期第三次质量检测九年级数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求）1．如图所示的六角螺栓，其俯视图是（

）A． B．C． D．2．下列说法中，正确的是（）A．有一个角是直角的平行四边形是正方形B．对角线相等的四边形是矩形C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形3．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosB的值是().A． B． C． D．4．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（

）A．8 B．9 C．10 D．115．某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是（

）A． B． C． D．6．四分仪是一种十分古老的测量仪器。其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点、窥衡杆与四分仪的一边交于点．图中，四分仪为正方形．方井为矩形．若测量员从四分仪中读得为，为，实地测得为．则井深为（

）A．4 B．5 C．6 D．77．在同一平面直角坐标系中，函数和的图像大致是（

）A．

B．

C．

D．

8．点均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．9．如图所示，E是正方形的对角线上一点，，，垂足分别是F、G，若，，则的长是（

）A．3 B．4 C．5 D．710．如图，二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C．下列结论：①；②当时，y随x的增大而增大；③；④．其中正确的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．关于的方程的一根为，则另一根为．12．若，那么的值为．13．拦水坝的横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是，坝高BC=8m，则坡面AB的长度是m.14．2023年第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感．如图，若点C可看做是线段的黄金分割点（），，则．（结果保留根号）15．如图，反比例函数的图象经过菱形的顶点，点在轴上，过点作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点．若，则点的坐标是．16．如图，在矩形中，平分，交于点，，交于点，以，为边，作矩形，与相交于点．若，，则．三、解答题（本大题共10小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算：．18．已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为、．(1)在y轴的左侧以O为位似中心作的位似图形，使新图与原图相似比为；(2)的面积为______．19．如图，点D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点，且∠ADE＝∠B，其中AE＝1.5，AC＝2，BC＝3，求DE的长．20．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是（x＞0）．(1)柱子OA的高度是______米；(2)若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？21．如图，在四边形ABCD中，ADBC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．(1)求证：四边形BNDM是菱形；(2)若∠C＝90°，BC＝16，CD＝8，求菱形BNDM的周长．22．鄂州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行50米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°．线段的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上．其中米．（1）求无人机的飞行高度；（结果保留根号）（2）求河流的宽度．（结果精确到1米，参考数据：）23．“中国梦”关系每个人的幸福生活，为展现巴中人追梦的风采，我市某中学举行“中国梦•我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题．

（1）参加比赛的学生人数共有名，在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为度，图中m的值为；（2）补全条形统计图；（3）组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出2名去参加市中学生演讲比赛，已知A等级中男生有1名，请用“列表”或“画树状图”的方法求出所选2名学生中恰好是一名男生和一名女生的概率．24．如图，直线与双曲线交于A，B两点，已知点A的横坐标为，点B的纵坐标为，直线与x轴交于点C，与y轴交于点．(1)求双曲线和直线的解析式；(2)若点P是第二象限内反比例函数图象上的一点，的面积是的面积的3倍，求点P的坐标．(3)若点E在x轴的负半轴上，是否存在以点E，C，D为顶点构成的三角形与相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．25．如图，抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)D是直线上方抛物线上一动点，连接交于点N，当的值最大时，求点D的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．26．（1）问题发现：如图，在中，，，点为的中点，以为一边作正方形，点恰好与点重合，则线段与的数量关系为______；（2）拓展探究：在（1）的条件下，如果正方形绕点旋转，连接、、，线段与的数量关系有无变化？请仅就图的情形给出证明；（3）问题解决：当正方形旋转到、、三点共线时候，直接写出线段的长．答案与解析1．A【分析】根据从上面看到的图形即可得到答案．【详解】从上面看是一个正六边形，中间是一个圆，故选：A．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．看得见部分的轮廓线要画成实线，看不见部分的轮廓线要画成虚线．2．D【分析】利用正方形的判定，矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的判定依次判断可求解．【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故选项A不合题意；B、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项B不合题意；C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故选项C不符合题意；D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选项D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了正方形的判定，矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的判定，掌握这些判定方法是解题的关键．3．C【分析】根据余弦的定义解答即可．【详解】解：在Rt△ABC中，BC=3，AB=5，故选C.【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角B的邻边与斜边的比叫做∠B的余弦是解题的关键．4．A【分析】先根据判别式＞0，求出m的范围，进而即可得到答案．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，解得：m＜9，m的值可能是：8．故选：A.【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式与根的情况的关系，掌握一元二次方程有两个不等的实数解，则，是解题的关键．5．C【分析】根据题意，用列表法求出概率即可．【详解】根据题意，设三个宣传队分别为列表如下：小华\小丽总共由9种等可能情况，她们恰好选择同一个宣传队的情况有3种，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是．故选C【点睛】本题考查了用列表法求概率，掌握列表法求概率是解题的关键．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比．6．A【分析】根据题意得出，代入数据即可求解．【详解】解：依题意，，∴，∴，∵测量员从四分仪中读得为，为，实地测得为．∴解得：，∴故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．7．D【分析】分或，根据一次函数与反比例函数的性质即可得出答案．【详解】解：当时，一次函数经过第一、二、三象限，反比例函数位于第一、三象限；当时，一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数位于第二、四象限；故选：D．【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图像与性质，熟练掌握，图像经过第一、三象限，，图像经过第二、四象限是解题的关键．8．D【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据时，y随x的增大而增大，即可得出答案．【详解】解：∵，∴图象的开口向上，对称轴是直线，时，y随x的增大而增大，关于对称轴的对称点为，∵，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．9．C【分析】先用正方形的性质判断出△ABE≌△CBE，得出AE=CE，然后判断出四边形EFCG是矩形，用勾股定理求出CE即可．【详解】解：如图，连接CE，∵四边形是正方形，BD是对角线，∴∠BCD=90°，∠ABE=∠CBE=45°，AB=BC，在△ABE和△CBE中，∴△ABE≌△CBE，∴AE=CE，∵EF⊥BC，EG⊥CD，∴∠EGC=∠CFE=90°，∴∠EGC=∠CFE=∠BCD=90°，∴四边形EFCG是矩形，∴EF=CG=4，根据勾股定理得，CE=，．故选：C．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理以及矩形的判定和性质，解决本题的关键是判断出AE=CE．10．B【分析】①根据二次函数的图象经过A(-1，0)，B(3，0)，可得到对称轴，并将(-1，0)代入解析式得到b、c与a的关系，及a<0从而判断；②由对称轴和函数的图像可以判断；③算出a和c的关系即可；④当x=1时，y最大=a+b+c即可判断；【详解】∵二次函数的图象经过点A(-1，0)，B(3，0)∴对称轴∴b=-2a，c=-3a∵二次函数的图象开口向下∴a<0∴2a+b+c=-3a>0，∴ac＜0故①错误；∵二次函数的图象开口向下，对称轴，∴当x>1时，y随x的增大而减小；故②错误；∵c=-3a∴3a+c=0，故③正确；由题意可知二次函数的顶点坐标为(1，-4a)∵当x=1时，y最大=a+b+c，当x=m时，y=∴故④正确；故选：B【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数与不等式以及二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．11．【分析】设这个一元二次方程的另一根为，根据一元二次方程的根与系数的关系可得结果．【详解】设这个一元二次方程的另一根为，关于的方程的一根为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．12．##【分析】设，，代入求解即可．【详解】解：∵，∴设，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了比例的性质，掌握设“k”法是解题的关键．13．16【分析】利用坡比的定义得出的长，进而利用勾股定理求出的长．【详解】解：∵迎水坡的坡比是，坝高，∴，解得：，则（m）．故答案为：16．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确利用坡比的定义求出的长是解题的关键．14．##【分析】本题考查了黄金分割，解题的关键是根据黄金分割的定义列式计算，即可解答．【详解】解：点可看作是线段的黄金分割点，，，故答案为：．15．【分析】根据题意得出是等边三角形，从而表示点的坐标为，根据菱形的对称性表示出点的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征代入函数解析式进行计算即可求得菱形边长，把代入解析式即可求得点的横坐标．【详解】解：设菱形的边长为，，是等边三角形，点的坐标为，，反比例函数的图象经过菱形的顶点，，（负数舍去），菱形的边长为2，点的纵坐标为2，把代入得，，解得，点的坐标是．故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟记菱形的性质，正确表示出点A的坐标是解题的关键．16．【分析】本题主要考查了正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是得到．首先证明，推导出，结合矩形，推导出四边形为正方形，然后利用，，推导出，，进而得到，代入数据得到．【详解】解：四边形是矩形，，，，，，，，，平分，，在中，，在和中，，，，在矩形中，，四边形为正方形，，，，又，，，，，，故答案为：．17．6【分析】根据负指数幂、零次幂及三角函数值可进行求解．【详解】解：原式=．【点睛】本题主要考查负指数幂、零次幂及特殊三角函数值，熟练掌握负指数幂、零次幂及特殊三角函数值是解题的关键．18．(1)见解析(2)7【分析】本题考查了位似图形的性质．（1）根据位似图形的性质即可求得新图形的坐标；（2）根据割补法即可得到的面积．【详解】（1）解：如图所示即为所求，；（2）解：．故答案为：7．19．【分析】证明△ADE∽△ABC，得到，代入数据即可求出DE的长．【详解】解：∵∠A=∠A，且已知∠ADE＝∠B，∴△ADE∽△ABC，∴，代入数据AE＝1.5，AC＝2，BC＝3，∴，解得：DE=，故DE的长为．【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定，属于基础题，熟练掌握相似三角形的性质及判定是解决本类题的关键．20．(1)(2)水池的半径至少要米才能使喷出的水流不至于落在池外【分析】（1）OA在y轴上，中，令x=0，可得y即为OA；（2）水流落得最远时，落点在x轴上，在中，当y＝0时，，求得．【详解】（1）在中，令x=0，则y=，∴柱子OA的高度为米；故答案为；（2）（2）在中，当y＝0时，，，∴，∴，·，又∵x＞0，∴解得米．答：水池的半径至少要米才能使喷出的水流不至于落在池外．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决问题的关键是平面直角坐标系中x轴上的纵坐标为0，y轴上的横坐标为0，解方程．21．(1)证明见解析(2)40【分析】（1）证△MOD≌△NOB（AAS），得出OM＝ON，再由OB＝OD，则四边形BNDM是平行四边形，进而得出结论；（2）由菱形的性质得出BM＝BN＝DM＝DN，设BN＝DN＝x，则CN＝BC﹣BN＝16﹣x，在Rt△CDN中，由勾股定理得出方程，求出BN＝10，即可求解．【详解】（1）证明：∵AD∥BC∴∠DMO＝∠BNO∵MN是对角线BD的垂直平分线∴OB＝OD，MN⊥BD在△MOD和△NOB中∴△MOD≌△NOB（AAS）∴OM＝ON∵OB＝OD∴四边形BNDM是平行四边形∵MN⊥BD∴平行四边形BNDM是菱形．（2）解：∵四边形BNDM是菱形∴BM＝BN＝DM＝DN设BN＝DN＝x，则CN＝BC﹣BN＝16﹣x在Rt△CDN中，由勾股定理得：CD2+CN2＝DN2即82+（16﹣x）2＝x2解得：x＝10即BN＝10∴菱形BNDM的周长＝4BN＝40．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，菱形的判定与性质，勾股定理．解题的关键在于对知识的灵活运用．22．（1）米；（2）263米【分析】（1）根据正切的定义即可求出AM的长；（2）过点B作BH⊥MD，根据三角函数求出DH的长，利用CD=DH-CH即可求解．【详解】（1）由题意可得AF∥MD∴∠ACM=∠FAC=在Rt△ACM中，AM=CMtan∠ACM=CM(米);（2）如图，过点B作BH⊥MD，在Rt△BDH中，∠BDH=∠FBD=30°，BH=∴DH=BH÷tan30°=÷=300米，∵AM⊥DM，AM⊥AF∴四边形ABHM是矩形∴MH=AB=50米∴CH=CM-MH=-50(米)∴CD=DH-CH=300-（-50）=350-≈263（米）故河流的宽度为263米．【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是熟知解直角三角形的方法．23．（1）20，72，40；（2）作图见试题解析；（3）．【分析】（1）根据等级为A的人数除以所占的百分比求出总人数，根据D级的人数求得D等级扇形圆心角的度数和m的值；（2）求出等级B的人数，补全条形统计图即可；（3）列表得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，即可求出所求的概率．【详解】（1）根据题意得：3÷15%=20（人），表示“D等级”的扇形的圆心角为×360°=72°；C级所占的百分比为×100%=40%，故m=40，故答案为20，72，40．（2）故等级B的人数为20﹣（3+8+4）=5（人），补全统计图，如图所示；

（3）列表如下：男女女男（女，男）（女，男）女（男，女）（女，女）女（男，女）（女，女）所有等可能的结果有6种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有4种，则P（恰好是一名男生和一名女生）==．考点：1．列表法与树状图法；2．扇形统计图；3．条形统计图．24．(1)双曲线的解析式为，直线的解析式为；(2)(3)或【分析】（1）过点A作AE⊥x轴于点E，先根据和点A的横坐标为求出点A的坐标，再利用待定系数法求解析式即可；（2）根据题意先得出OC、OD和点B的坐标，再根据的面积是的面积的3倍得出等式，即可求出P点坐标；（3）由（2）得，根据等边对等角得到，再由等角的补角相等得到，故以点E，C，D为顶点构成的三角形与相似有两种情况，分类讨论求解即可．【详解】（1）如图，过点A作AF⊥x轴于点F且点A的横坐标为双曲线过A点解得双曲线的解析式为将，代入直线得

解得直线的解析式为：（2）如图，连接OB、PO、PC当时，点B的纵坐标为的面积是的面积的3倍即解得即（3）由（2）得，，，与相似有两种情况讨论如下：①即②即综上，点E的坐标为或．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数与几何图形的综合应用，涉及待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质等，熟练掌握知识点是解题的关键．25．(1)(2)；(3)点P的坐标为或或或．【分析】（1）把点和代入，待定系数法求二次函数解析式即可求解；（2）过点作轴，交于点，设，得出直线的解析式为，则，证明，根据相似三角形的性质求得，进而根据二次函数的性质即可求解；（3）分，和，分三种情况结合勾股定理进行求解即可．【详解】（1）解：把点和代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为；（