【数学】江西省2024届高三上学期12月统一调研测试试题（解析版）VIP

成就未来，新教育伴你成长联系电话：400-186-9786江西省2024届高三上学期12月统一调研测试数学试题一、选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，由，得，解得，即，所以.故选：D.2.已知复数，则满足的所有不相等的复数z之和的虚部为（）A.1 B.i C.2 D.2i【答案】C【解析】依题意，，所以，所以或，所以所有不相等的复数z之和的虚部为.故选：C.3.已知直线的一个方向向量为，则m的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】直线的斜率为，所以.故选：D4.从2，3，4，5，6这5个数字中任取3个，则这3个数的乘积能被12整除的取法有（）A.7种 B.8种 C.9种 D.10种【答案】A【解析】由题意，取出来的个数一定含有或或，当取出来的个数含有时，则有种，当取出来的个数含有时，则有种，当取出来的个数含有时，有共种，其中在前两种情况中已经出现，所以这3个数的乘积能被12整除的取法有种.故选：A5.已知且，若函数为偶函数，则（）A. B. C.2 D.4【答案】C【解析】由题意知，，又函数偶函数，所以，即，得，由，解得.经检验，符合题意，所以.故选：C6.已知圆上两个不同的点，，若直线的斜率为，则（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】由题意可得，故，故故或，由于为不同的两个点，所以，故，则，故选：B7.设为等差数列的前n项和，则对，，是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若对，都有，可得，因为恒成立，所以，即数列为递增数列，，所以，即成立，所以充分性成立；反之：若对，都有，即，可得，解得，所以，即数列为递增数列，例如：数列为递增数列，可得，此时不成立，即必要性不成立；所以对，，是“”的充分不必要条件.故选：A.8.定义：设二元函数在点的附近有定义，当固定在而在处有改变量时，相应的二元函数有改变量，如果存在，那么称此极限为二元函数在点处对的偏导数，记作．若在区域D内每一个点对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是一个关于x，y的二元函数，它就被称为二元函数对自变量的偏导函数，记作．已知，若，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依题意，，同理可求得，所以，设，则，由，得，，此方程有解，所以，.故选：B.二、选择题9.已知双曲线：的离心率为2，下列双曲线中与双曲线C的渐近线相同的是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】由双曲线：的离心率为，可得，又由，解得，所以双曲线渐近线方程为，对于A中，双曲线，可得渐近线方程为，不符合题意；对于B中，双曲线，可得渐近线方程为，符合题意；对于C中，双曲线，可得渐近线方程为，符合题意；对于D中，双曲线，可得渐近线方程为，符合题意.故选：BCD.10.已知的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则二项式展开式中（）A.所有二项式系数和为128 B.所有项系数和为C.不存在常数项 D.含项的系数为【答案】AC【解析】依题意，解得，所以二项式系数和为，A选项正确.由令，得所有项系数和为，B选项错误.展开式的通项公式为，令不合题意，所以展开式没有常数项，C选项正确.令，所以含项的系数为，D选项错误.故选：AC11.已知函数，其中，，是的导函数，若的最大值为，且，则使函数在区间上的值域为的m的取值可以为（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】，其中，依题意可知，而，所以，所以，由得，由于，所以.若，则，要使函数在区间上的值域为，则需，所以的取值可以是.故选：BC.12.如图，在长方体中，其表面积与12条棱长之和均为24，E，G分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（）A.该长方体的外接球表面积为B.平面C.若线段与平面交于点，则D.平面将长方体分成两部分，其中较小部分与较大部分的体积之比为【答案】ABD【解析】A：设，长方体外接球的半径为R，则，由，得，所以，所以，故A正确；B：由A知，，则，得，即该几何体为正方体，设棱长为2，建立如图空间直角坐标系，则，，，则且，所以平面，故B正确;C：由B可知，平面的一个法向量为，又，所以点到平面的距离为，又，所以，故C错误；D：设平面与棱交于点，易知为的中点，所以平面将正方体分成两部分，棱台的体积为，而长方体的体积为8，则较大部分的体积为，其中较小部分与较大部分的体积之比为，故D正确.故选：ABD.三、填空题13.已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在坐标轴上，若点在C上且，则C的方程为________．【答案】【解析】由点在C上可知抛物线为开口向上或者开口向右，当抛物线开口向上时，设方程为，将代入可得，此时焦点，则，符合题意，当抛物线开口向右时，设方程为，将代入可得，此时焦点，则，不符合题意，综上可得，故答案为：14.已知圆O：，写出满足条件“圆O上到直线的距离为的点的个数是奇数”的一个m的值为________．【答案】（答案不唯一）【解析】圆的圆心为，半径，要使“圆O上到直线的距离为的点的个数是奇数”，则圆心到直线的距离或，即或，解得或.故答案为：（答案不唯一）15.达·芬奇认为：和音乐一样，数学和几何“包含了宇宙的一切”，从年轻时起，他就本能地把这些主题运用在作品中，布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则异面直线与所成角的余弦值为________．【答案】【解析】设，则是的中点，连接，由于，所以是异面直线与所成角（或其补角），在三角形中，，根据正方体的性质可知平面，平面，所以，所以，所以在直角三角形中，.故答案为：.16.已知函数，的极值点从小到大依次为，则________．【答案】3【解析】由题意知，，因为函数的极值点从小到大依次为，所以方程即的根从小到大依次为，解方程得或().如图，在等腰中，分别为的中点，和，由，得，即，由，解得，所以在中，，在中，，则，所以，即，所以.故答案为：3四、解答题17.某学校即将迎来建校80周年，为了增进学生爱校、荣校意识，团委组织学生开展“迎校庆、知校史”的知识竞赛活动，共有100名同学参赛.为了解竞赛成绩的分布情况，将100名同学的竞赛成绩按，，，，，分成6组，绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）用样本估计总体，求图中a的值及此次知识竞赛成绩的分位数；（2）现从竞赛成绩在的学生中以分层抽样的方式抽取15人进行培训，经过一轮培训后再选取2人担任主持人工作，求在至少1人来自分数段的条件下，另外1人来自分数段的概率.解：（1）由图可知，，解得，又，，所以此次知识竞赛成绩的分位数位于区间，设为x，则，解得，所以此次知识竞赛成绩的分位数为.（2）从竞赛成绩在的学生中以分层抽样的方式抽取15人，其中竞赛成绩在分数段，，的人数分别为，，，则至少有1人来自分数段的情况共有种，选取2人中1人来自分数段，另外1人来自分数段的情况有种，故在至少1人来自分数段的条件下，另外1人来自分数段的概率为.18.如图1，在直角中，，，，D，E分别为边，的中点，将沿进行翻折，连接，得到四棱锥（如图2），点F为的中点．（1）当点A与点C首次重合时，求翻折旋转所得几何体的表面积；（2）当为正三角形时，求直线与平面所成角的正弦值．解：（1）当点与点重合时，三角形翻折旋转所得的几何体为底面半径为，高为的半个圆锥，三角形翻折旋转所得的几何体的表面积为：，（2）当三角形为正三角形时，，，由于，，，，平面，所以平面，建立如图所示的空间直角坐标系，,则,设平面法向量为，则取，则，设直线与平面所成角为，则19.设等差数列的前项和为，，条件①；②；③．请从这三个条件中任选两个作为已知，解答下面的问题．（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前项和为,证明：对任意，都有．注：如选择多种组合分别解答，按第一种解答计分．（1）解：若选①；②；设公差为，则，解得，所以若选②；③．设公差为，则，解得，所以若选①；③．设公差为，则，解得，所以（2）证明：由（1）知，所以，故，即，．对任意，，故，得证.20.如图，在中，M是边上一点．（1）若，求；（2）若，记，，且，求．解：（1）在中，M是边上一点，有，，，中，由余弦定理得，即①，中，由余弦定理得，即②，①②两式消去，得，即.（2），不妨设，中，由正弦定理得，即，中，由正弦定理得，即，由，有，又，得，设，由，可得，即，解得，即，所以为等边三角形，．21.已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，为坐标原点，点P为椭圆上的一点满足，．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，过作一条斜率不为零的直线与椭圆C分别交于M，N两点，直线，与y轴的交点分别为，，求．解：（1）由椭圆的定义知，得，又，所以，由，得，所以椭圆方程为.（2）由（1）知，，当直线MN的斜率不存在时，，代入椭圆方程，解得，即，所以，，分别令，得，所以；当直线MN的斜率存在且不为0时，设，，消去x，得，，设，则，且，又，分别令，得，所以，即.综