导数基本概念

第一节导数的概念与运算思维导图二、知识模块【知识点1】导数的定义导数的概念设函数在附近有定义，如果时，与的比〔也叫函数的平均变化率〕有极限，即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作或.即.2.导数的物理意义：瞬时速度设时刻一车从某点出发，在时刻车走了一定的距离在时刻，车走了，这一段时间里车的平均速度为，当与很接近时，该平均速度近似于时刻的瞬时速度.假设令，那么可以认为，即就是时刻的瞬时速度.3.思路提示：利用导数的定义，经过合理的添项、拆项与调配系数，凑成导数的极限定义的等价形式.例1:设存在，求以下各式极限.=1\*GB2⑴；=2\*GB2⑵例2:假设，那么等于〔〕A.B.C.D.例3:设在处可导，那么等于〔〕A.B.C.D.例4:假设既是周期函数，又是偶函数，那么其导函数〔〕A.既是周期函数，又是偶函数B.既是周期函数，又是奇函数C.不是周期函数，但是偶函数D.不是周期函数，但是奇函数例5:函数，那么的值为〔〕A.B.C.或D.不存在例6:，其中，那么的值为〔〕A.B.C.D.例7:，假设，那么等于〔〕A.B.C.D.例8:等于〔〕B.C.D.不存在例9:，那么____例10:定义在上的函数，假设那么在处的导数___例11:如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，，，那么___；___例12:设等差数列的前项和为，假设那么____例13:___例14:函数，在点处连续，那么_____例15:设，试求的值，使在处可导.【知识点2】求函数的导数1.导数的运算的法那么〔和、差、积、商〕设，均可导，那么=1\*GB2⑴；=2\*GB2⑵；=3\*GB2⑶2.根本导数表=1\*GB2⑴为常数〕；=2\*GB2⑵；=3\*GB2⑶；=4\*GB2⑷；=5\*GB2⑸；=6\*GB2⑹；=7\*GB2⑺；=8\*GB2⑻；3.思路提示：对于简单函数的求导，关键是合理转化函数关系式为可以直接应用公式的根本函数的形式，以免求导过程中出现指数或系数的失误.例1:求以下函数的导数=1\*GB2⑴；=2\*GB2⑵；=3\*GB2⑶；=4\*GB2⑷；=5\*GB2⑸；=6\*GB2⑹例2:，那么等于〔〕B.C.D.例3:的导数为〔〕B.C.D.例4:设函数，导函数为，那么以下关于导函数的说法正确的选项是〔〕A.仅有最小值的奇函数B.既有最大值，又有最小值的偶函数C.仅有最大值的偶函数D.非奇非偶函数例5:记，那么〔〕A.B.C.D.例6:二次函数导函数为，，且对任意实数，有，那么的最小值为___例7:函数，那么的值为_____【知识点3】复合函数求导1.复合函数的导数复合函数的导数与函数，的导数之间具有关系，该关系用语言表述就是“对的导数等于对的导数与对的导数的乘积〞，也就是先把当做一个整体，把对求导，再把对求导，这二者的乘积就是复合函数对的导数例1:求以下函数的导数.=1\*GB2⑴；=2\*GB2⑵；=3\*GB2⑶；=4\*GB2⑷例2:函数的导数为〔〕A.B.C.D.例3:函数的导数是〔〕A.B.C.D.例4:函数的导数为〔〕A.B.C.D.例5:求函数的导数例6:求函数的导数【知识点4】导数的几何意义1.导数的几何意义：函数在定点处的切线斜率函数在处的导数，表示曲线在点处的切线的斜率，即，如下图，过点的切线方程为.同样可以定义曲线在的法线为过点与曲线在的切线垂直的直线.过点的法线方程为例1：设函数是上以为周期的可导偶函数，那么曲线在处的切线斜率为〔〕A.B.C.D.例2:以下各函数在点处没有切线的是〔〕A.B.C.D.例3:假设是曲线的一条切线，那么〔〕A.B.C.D.例4:曲线的一条切线的斜率为，那么切点的横坐标为〔〕A.B.C.D.例5：假设在曲线上取一点，使过点的切线与直线平行，那么点坐标为〔〕A.B.C.D.例6：如果一直线过原点且与曲线相切于点，那么切点的坐标为〔〕A.B.C.D.例7：函数.〔=1\*ROMANI〕求曲线在点处的切线方程；〔=2\*ROMANII〕设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：例8：曲线在点处的切线方程为__________.例9：曲线在点处的切线方程_________.例10：曲线在点处的切线的斜率为A.B.C.D.例11：曲线在点处的切线斜率为____________.例12：点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，那么的取值范围是A.B.C.D.例13：假设曲线存在垂直于轴的切线，那么实数的取值范围是_____________.例14：设直线是曲线的一条切线，那么实数的值为_____________.例15：曲线在点处的切线与曲线在点处的切线互相平行，那么的值为___________________.例16：函数〔=1\*ROMANI〕假设曲线在点处的切线斜率为，求的值以及切线方程；〔=2\*ROMANII〕假设是单调函数，求的取值范围。例17：函数(Ⅰ)当=2时，求曲线在点处的切线方程；(Ⅱ)求的单调区间.例18:函数<b)。〔I〕当时，求曲线在点处的切线方程。〔II〕设是的两个极值点，是的一个零点，且，证明：存在实数，使得按某种顺序排列后的等差数列，并求例19：函数，其中．〔Ⅰ〕当时，求曲线在点处的切线方程；〔Ⅱ〕当时，求的单调区间；〔Ⅲ〕证明：对任意的在区间内均存在零点．例20：设函数，，其中，为常数，曲线与在点处有相同的切线.〔I〕求的值，并写出切线的方程；〔II〕假设方程有三个互不相同的实根0、、，其中，且对任意的，恒成立，求实数m的取值范围。【知识点5】综合例1:求以下函数的导数=1\*GB2⑴；=2\*GB2⑵；=3\*GB2⑶；