集合思想在计数问题中的应用

数集合思想在计数问题中的应用【摘要】在高中数学中，计数问题在高考中一直是一个必考考点，但由于其较强的抽象性与复杂性，所以对于学生的学习与解题上也一直是一个难点。本文主要给出了求解对于元素与位置之间存在相互限制的计数问题，给出了一个借助集合关系对此类问题分析、求解的方法，该方法总共包括四条原则，分别是子集优先原则、同集一起原则、斥集任意原则与杂集分类原则。集合法对限位排列的计数问题的求解具有普遍的实用性，可作为一种一般方法加以掌握。另外文中有一些名词是作者自己定义的，关于这些名词，文中都有相应解释，希望我的这种方法能够给读者带去一定的帮助。【关键词】集合，子集，同集，斥集，杂集，限位排列。集合：某些指定的对象集在一起就成为一个集合（简称集）。其中每一个对象叫元素。子集：对于两个非空集合A与B,如果集合A中的元素都是集合B中的元素，则称集合A为集合B的子集。如果集合A是集合B的子集，且集合B中存在集合A中没有的元素，则称集合A为集合B的真子集。本文提到的子集关系特指真子集关系。同集：对于两个非空集合A与B,如果集合A与B中的元素相同，称集合A,B为同集关系。斥集：对于两个非空集合A与B,如果集合A与B没有公共元素，称集合A,B为斥集关系。杂集：对于两个非空集合A与B,如果集合A与B既又公共元素，且互不为子集关系，则称集合A,B为杂集关系。限位排列：从n个不同元素，选取m（）个元素排列到m个不同的位置上，每个位置上一个元素，其中某些指定位置上不能安排特定的元素的排序问题，称为限位排列问题。【正文】1、子集优先原则——将，，，，排列到A,B两个位置上，记位置A上所有可以安排的元素构成的集合为集合A，位置B上所有可以安排的元素构成的集合为集合B，若由于位置对元素的限制导致集合A是集合B的子集，则可按照先对位置A安排元素，后对集合B安排元素顺序进行排列，这种排列原则称为子集优先原则。原理：因为集合A是集合B的子集，所以为位置A安排一个元素后，位置B上的可选元素必定要缺少A位置上已经安排好的元素，所以位置B上可选的剩余元素依旧确定，不会对接下来为位置B安排元素制造不确定性。相反，如果先为位置B安排元素，则被选定的元素，可能属于集合A，也可能不属于集合A，致使位置A上可选的剩余元素不确定，使得对于位置A的排列不能直接进行。例如：从甲、乙、丙、丁4名学生中推选两人分别担任正负班长职务，其中甲、乙不能担任正班长职务，问有多少种安排方案？分析：设可担任正班长职务的同学构成的集合为集合A，可担任副班长职务的同学构成的集合为集合B，则A={丙，丁}，B={甲，乙，丙，丁}，集合A是集合B的子集。所以，可采用子集优先原则进行排列。先安排正班长职务，有2种选择，再安排副班长职务，有3种选择。按照基本计数原理的乘法原理，共有种安排方案。2、同集一起原则——将，，，，排列到A,B两个位置上，记位置A上所有可以安排的元素构成的集合为集合A，位置B上所有可以安排的元素构成的集合为集合B，若由于位置对元素的限制导致集合A与集合B相同，则可利用排列数公式直接进行计算，从操作上可视为对两个位置同时进行排列，这种排列原则称为同集一起原则。原理：因为集合A与集合B相同，假设有k个元素，从本质上看，这就是从k个不同元素中选出两个元素的排列问题，因此可以直接应用排列数进行计算。例如：从甲、乙、丙、丁4名学生中推选3人分别担任语文、数学、外语课代表工作，其中甲不能担任语文、数学课代表，问有多少种安排方案？分析：设可担任语文课代表的同学构成的集合为集合A，可担数学课代表的同学构成的集合为集合B，可担数学课代表的同学构成的集合为集合C，则A={乙，丙，丁}，B={乙，丙，丁}，C={甲，乙，丙，丁}集合A与集合B是同集关系，且集合A，B均为集合C的子集。所以，可采用子集优先原则先安排语文、数学课代表职务，而对语文、数学课代表职务的安排则采用同集一起原则。先安排语文、数学课代表职务，有种选择，再安排英语课代表职务，有2种选择。按照基本计数原理的乘法原理，共有种安排方案。3、斥集任意原则——将，，，，排列到A,B两个位置上，记位置A上所有可以安排的元素构成的集合为集合A，位置B上所有可以安排的元素构成的集合为集合B，若由于位置对元素的限制导致集合A与集合B为斥集关系，则先对位置A进行排列，或先对位置B进行排列，均可以，这种排列原则称为斥集任意原则。原理：因为集合A与集合B为斥集关系，所以先为位置A安排一个元素后，对位置B上的可选元素没有任何影响，另一方面，如果先为位置B安排一个元素后，对位置A上的可选元素也没有任何影响，所以在这种条件下，我们即可以先对位置A进行排列，也可以先对位置B进行排列。例如：从甲、乙、丙、丁、戊5名学生中推选两人分别担任正负班长职务，其中甲、乙、丙不能担任正班长职务，丁、戊不能担任副班长职务，问有多少种安排方案？分析：设可担任正班长职务的同学构成的集合为集合A，可担任副班长职务的同学构成的集合为集合B，则A={丁，戊}，B={甲，乙，丙}，集合A与集合B为斥集关系。所以，可采用斥集任意原则进行排列。先安排正班长职务，有2种选择，再安排副班长职务，有3种选择。按照基本计数原理的乘法原理，共有种安排方案。或先安排副班长职务，有3种选择，再安排正班长职务，有2种选择。按照基本计数原理的乘法原理，共有种安排方案。4、杂集分类原则——将，，，，排列到A,B两个位置上，记位置A上所有可以安排的元素构成的集合为集合A，位置B上所有可以安排的元素构成的集合为集合B，若由于位置对元素的限制导致集合A与集合B构成杂集关系，这类问题相对复杂一些，大体可以分为三个环节，第一个关节——分类环节：将其中一个集合，如集合A，按照公共元素与非公共元素的标准，分成与两个集合，按照位置A上可排元素为集合中所有元素与集合中所有元素分为两类情况。第二个环节——分类计数环节：位置A上的可排元素为集合中的所有元素的情况，采取子集优先原则对此类情况进行计数；位置A上的可排元素为集合中的所有元素的情况，采取斥集随意原则对此类情况进行计数。第三个环节——求和环节：最后采用分类加法原理完成总计数。原理：首先由于集合，所以按照以上做法进行分类，不会造成情况缺失与情况重复的问题。其次对于位置A上的可排元素为集合中的所有元素的情况，由于集合为集合B的子集，所以对此种情况可以应用子集优先的原则进行计数；对于位置A上的可排元素为集合中的所有元素的情况，由于集合与集合B为斥集关系，所以对此种情况可以应用斥集任意的原则进行计数，最后按照分类加法原理进行总计数。例如：从甲、乙、丙、丁、戊、己6名学生中推选两人分别担任正负班长职务，其中甲、乙不能担任正班长职务，丙、丁不能担任副班长职务，问有多少种安排方案？分析：设可担任正班长职务的同学构成的集合为集合A，可担任副班长职务的同学构成的集合为集合B，则A={丙、丁、戊、己}，B={甲、乙、戊、己}，集合A与集合B为杂集关系。所以，可采用杂集分类原则进行排列。将集合A分为集合A1={丙、丁}与集合A2={戊、己}分为正班长职务安排丙、丁，与正班长职务安排戊、己两类（1）第一类：正班长职务安排丙、丁，因为集合A1与集合B为斥集关系，所以对这类情况可采用斥集任意原则进行排列计数。先安排正班长职务，有2种选择， 再安排副班长职务，有4种选择。按照基本计数原理的乘法原理，此类情况共有种安排方案。（2）第二类：正班长职务安排戊、己，因为集合A2是集合B的子集，所以对这类情况可采用子集优先原则进行排列计数。先安排正班长职务，有2种选择， 再安排副班长职务，有3种选择。按照基本计数原理的乘法原理，此类情况共有种安排方案。最后，按照基本计数原理的加法原理，共有种安排方案。综合应用：由甲、乙、丙、丁、戊5名篮球运动员组成一支球队，其中甲不能打1,2,3号位，乙不能打2,3,4号位，丙、丁、戊可以打任何位置，问该球队有多少种阵容布置？分析：设1,2,3,4,5号位可安排球员构成的集合依次为A，B，C，D，E则A={乙，丙，丁，戊}B={丙，丁，戊}C={丙，丁，戊}D={甲，丙，丁，戊}E={甲，乙，丙，丁，戊}易知集合B=C，且为其余3个集合的真子集，所以，第一步：采用子集优先、同集一起的原则，先对2,3号位进行排列，有种这一步结束后，假设集合{丙，丁，戊}中剩余元素为x，则1,4,5号位剩余可选元素构成的集合为A={乙，x}D={甲，x}E={甲，乙，x}集合A，D为杂集关系，且集合A，D均为集合E的真子集。所以第二步：采用子集优先、杂集分类的原则，对1、4号位进