2023年浙江省慈溪高考数学必刷试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图，在448c中，点M是边8。的中点，将448A船着AM翻折成4且点8不在平面」A/C内，点/提线

段8'C上一点.若二面角与二面角/的平面角相等，则直线经过4.4夕(：的()

C.内心D.夕卜心

2x+”4

2.设x,y满足x-y>-\,则z=x+y的取值范围是()

x-2y<2

A.[-5,3]B.[2,3]C.[2,-KO)D.-00,3]

e'-l

3.已知函数/(x)a=/(2。)b=f(Q.203),c=/(log2),则a,b,C的大小关系为()

eA+l03

A.b<a<cB.c<h<aC.b<c<aD.c<a<h

4.若a。+4(2x—1)+a,(2x—+〃3(2X—1)+%(2x—I)4+%(2x—1)，=，则a、的值为()

5_555

B.-C.—D.—

481632

5.把函数/(x)=sin?x的图象向右平移A个单位，得到函数g(x)的图象.给出下列四个命题

①g(x)的值域为(O』l

7T

②g(x)的一个对称轴是尤=方

兀1

③g(x)的一个对称中心是

④g(x)存在两条互相垂直的切线

其中正确的命题个数是()

B.2C.3D.4

y2

6.已知双曲线C:三1(a>(),Z?>0),以点P(h0)为圆心，。为半径作圆尸，圆P与双曲线C的一条

a

渐近线交于N两点，若NMPN=90°,则C的离心率为()

A.72B.73C.更D.立

22

7,设过抛物线y2=2px(p>0)上任意一点p(异于原点。)的直线与抛物线y2=8px(p>0)交于A,B两点，直线

。产与抛物线丁=8川(〃>0)的另一个交点为。，则注■=()

A.1B.2C.3D.4

r2y2

8.设双曲线・=i(a>0,Z>>0)的一个焦点为尸(c,0)(c>0),且离心率等于石，若该双曲线的一条渐近

线被圆x2+j2-2cx=0截得的弦长为2旧，则该双曲线的标准方程为()

B.

25100

22

D.二上=1

525

9.已知抛物线C：y2=2px(〃>0)的焦点为尸，为该抛物线上一点，以加为圆心的圆与。的准线

相切于点A,NAM〜=120。，则抛物线方程为()

A.y2-2xB.y2=4xC.y2=6xD.y2=8x

10.已知平面向量a,B,满足同=；，W=1,且悼+q=,+M则£与坂的夹角为()

兀7i-2)一54

A.—B.—C.—D.—

6336

11.已知正项等比数列｛《,｝的前〃项和为S,,且7s2=4S一则公比4的值为()

A.1B.1或'C.—D.±—

222

12.在等腰直角三角形A8C中，NC=1,C4=2&,。为A3的中点，将它沿CO翻折，使点A与点3间的距离

2

为2道，此时四面体ABCQ的外接球的表面积为().

A.5万B.nC.12万D.20)

3

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图，AB是圆。的直径，弦BD,C4的延长线相交于点尸垂直84的延长线于点尸.求证:

AB?=BEBD-AEAC

14.在+的展开式中，各项系数之和为64,则展开式中的常数项为.

3x-y-2>0

15.若实数x,y满足约束条件+y-2Ko,则z=x+2y的最大值为.

x+4jy+4>0

16.的展开式中，常数项为；系数最大的项是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图，直三棱柱ABC-A与G中，分别是的中点，AA=AC=CB=^AB=y[2.

2

（1）证明：BCJ平面ACO；

（2）求二面角。-AC-E的余弦值.

18.（12分）如图A3是圆。的直径，Q4垂直于圆。所在的平面，C为圆周上不同于A,8的任意一点

（1）求证：平面平面P8C；

（2）设PA=AB=2AC=4,。为的中点，M为AP上的动点（不与A重合）求二面角A-BM-。的正切值的

最小值

19.（12分）秉持“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，为推动新能源汽车产业迅速发展，有必要调查研究

新能源汽车市场的生产与销售.下图是我国某地区2016年至2019年新能源汽车的销量（单位：万台）按季度（一年四

个季度）统计制成的频率分布直方图.

（1）求直方图中”的值，并估计销量的中位数；

（2）请根据频率分布直方图估计新能源汽车平均每个季度的销售量（同一组数据用该组中间值代表），并以此预计

2020年的销售量.

20.（12分）已知函数/（X）=|X-M-|X+2|（MWR）,不等式-2）20的解集为（-oo,4].

（1）求加的值；

(2)若a>0,b>0,C>3,S.a+2b+c=2m,求(a+l)(b+l)(c-3)的最大值.

21.（12分）如图，在四棱锥P-ABCO中，底面ABCO是矩形，M是R4的中点，平面A8CO,且

PD=CD=4,AD=2.

（1）求AP与平面所成角的正弦.

（2）求二面角M—CB-P的余弦值.

22.（10分）如图1,AADC与AABC是处在同-个平面内的两个全等的直角三角形，

ZACB=ZACD=30°ZABC=ZADC=90°,AB=2,连接是BD,E边上一点，过E悴EF//BD,交CD

于点尸，沿反将ACE尸向上翻折，得到如图2所示的六面体P-

p

I)

图I图2

(D求证：80_LAP;

—■—.、/?

(2)设BE=2EC(2eR),若平面PEF工底面ABEFD，若平面Q45与平面HD尸所成角的余弦值为5-,求2的

值；

(3)若平面PEF，底面ABEFD，求六面体P-ABEED的体积的最大值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

根据题意P到两个平面的距离相等，根据等体积法得到S"BW=S"CM,得到答案.

【详解】

二面角/>-AM-8与二面角P-AM-C的平面角相等，故尸到两个平面的距离相等.

故，P-AB，M=I'P-ACM,即〃弓-PCM,两三棱锥高相等，故与阳"=初，

故8下=CP,故P为CB，中点.

故选：4

【点睛】

本题考查了二面角，等体积法，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

2.C

【解析】

首先绘制出可行域，再绘制出目标函数，根据可行域范围求出目标函数中z的取值范围.

【详解】

2x+y>4

由题知x,>满足,》一>2-1,可行域如下图所示,

x-2y<2

可知目标函数在点A（2,0）处取得最小值，

故目标函数的最小值为2=工+、=2,

故z=x+y的取值范围是［2,48）.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了线性规划中目标函数的取值范围的问题，属于基础题.

3.B

【解析】

可判断函数“X）在R上单调递增，且Z媪AlAOZgAOAlogosZ,所以c<A<a.

【详解】

0303

/(%)=生==1--—在R上单调递增，且2>1>O.2>0>log032,

e*+1ex+1

所以c<6<a.

故选：B

【点睛】

本题主要考查了函数单调性的判定，指数函数与对数函数的性质，利用单调性比大小等知识，考查了学生的运算求解

能力.

4.C

【解析】

根据丁='[(2x-1)+1F，再根据二项式的通项公式进行求解即可.

【详解】

因为V=*](2x-1)+1?，所以二项式[(2X—D+1F的展开式的通项公式为：

5rr5r

Tr+,=C；.(2x-l)~-l=C；­(2x-l)-,令厂=3,所以(=Cj(2x_l)2,因此有

1「31「215x45

&=—G=—•G=—x------=—.

'32532532216

故选：C

【点睛】

本题考查了二项式定理的应用，考查了二项式展开式通项公式的应用，考查了数学运算能力

5.C

【解析】

由图象变换的原则可得g(x)=一;cos(2x—£)+；，由cos(2x—e[—1,1]可求得值域；利用代入检验法判断②③;

对g(%)求导，并得到导函数的值域,即可判断④.

【详解】

,.21-cos2x

由题"(x)=sinx=-----------,

jr1-cos2|x-----I/、

则向右平移白个单位可得，/、(12j

12£(x)=--------------------=——cos2x+—

226)2

cos(2x-看]W[-1,1],g(x)的值域为[0,1]，①错误；

TTTTTT

当x=不时,2x—7=0,所以尤=I；是函数g(x)的一条对称轴，②正确；

12612

当x=£时,2x—g=I，所以g(x)的一个对称中心是③正确；

362132,

g'(x)=sin(2x-看］e［—1,1］，则*,x2&R,g'(%)=-1,g'(%)=1，使得g'(%)•g\x2)=一1,则g(x)在x=%和

x=々处的切线互相垂直，④正确.

即②③④正确，共3个.

故选:C

【点睛】

本题考查三角函数的图像变换，考查代入检验法判断余弦型函数的对称轴和对称中心，考查导函数的几何意义的应用.

6.A

【解析】

求出双曲线的一条渐近线方程，利用圆P与双曲线。的一条渐近线交于M,N两点，且NMPN=90。，则可根据圆心

到渐近线距离为亚a列出方程，求解离心率.

2

【详解】

不妨设双曲线C的一条渐近线法-做=0与圆P交于M,N,

因为NMPN=90°,所以圆心P到加一劭=0的距离为：b=2=也。,

c2

即2c2—2/=缶,，因为e=£>l,所以解得6=啦.

a

故选A.

【点睛】

本题考查双曲线的简单性质的应用，考查了转化思想以及计算能力，属于中档题.对于离心率求解问题，关键是建立

关于a,c的齐次方程，主要有两个思考方向，一方面，可以从几何的角度，结合曲线的几何性质以及题目中的几何关

系建立方程；另一方面，可以从代数的角度，结合曲线方程的性质以及题目中的代数的关系建立方程.

7.C

【解析】

画出图形，将三角形面积比转为线段长度比，进而转为坐标的表达式。写出直线方程，再联立方程组，求得交点坐标,

最后代入坐标，求得三角形面积比.

【详解】

作图，设48与OP的夹角为。，则中AB边上的高与AABO中AB边上的高之比为丝当=丝,

OPsmdOP

.••沁•=》=①二"=①一1,设则直线"'：''=萧即>=女》，与y2=8px联立，解得

S.OPypyP{2pJ-yt

4y.

y°=4y,从而得到面积比为上-1=3.

故选：C

【点睛】

解决本题主要在于将面积比转化为线段长的比例关系，进而联立方程组求解，是一道不错的综合题.

8.C

【解析】

由题得£=6,又/+。2=,2,联立解方程组即可得/=5,〃=2(),进而得出双曲线

方程.

【详解】

由题得e=£=逐①

a

又该双曲线的一条渐近线方程为云-④=0，且被圆X2+必_2cx=0截得的弦长为2后,

=b=\lc2-5

所以②

又/+〃=<?③

由①@®可得：储=5,/=20,

22

所以双曲线的标准方程为三-二=1.

520

故选：C

【点睛】

本题主要考查了双曲线的简单几何性质，圆的方程的有关计算，考查了学生的计算能力.

9.C

【解析】

根据抛物线方程求得/点的坐标，根据M4//X轴、NZM=120。列方程，解方程求得，的值.

【详解】

不妨设M在第一象限，由于M在抛物线上，所以万J,由于以M为圆心的圆与C的准线相切于点A,根据

抛物线的定义可知，|则=附尸|、M4//X轴，且/"仁,。:由于NAA近=120。，所以直线叱的倾斜角a为⑵。，

所以％=tanl200=W"[=-6,解得〃=3,或“=?（由于＜一与＜0,〃＞1,故舍去）.所以抛物线的方程

-------322

22

为y2=6x.

故选:C

【点睛】

本小题主要考查抛物线的定义，考查直线的斜率，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.

10.C

【解析】

根据［2£+B卜K+M两边平方|23+邛=,+,，化简得2蔡=一3(1/，再利用数量积定义得到

2abcos(a,=-3(a)求解.

【详解】

因为平面向量ZB,满足忖=；/=1,且|22+q=口+q，

所以|2£+B/=W+d，

所以2a6=—3(a),

所以2azcos(a,5)=一3(a),

所以cos(£,B)=_；,

所以Z与B的夹角为笄.

故选：C

【点睛】

本题主要考查平面向量的模，向量的夹角和数量积运算，属于基础题.

11.C

【解析】

由7s2=4S,可得3(4+4)=4(6+%),故可求4的值.

【详解】

因为7s2=4S4，所以3(4+tz2)=4(S4-S2)=4(6!3+£Z4),

故/=',因｛叫为正项等比数列，故q>0,所以q=与,故选C.

【点睛】

一般地，如果｛%｝为等比数列，S“为其前〃项和，则有性质：

(1)^m,n,p,qeN*,m+n=p+q,则"“=<%；

(2)公比qwl时，则有S,,=A+8q",其中A,B为常数且A+B=0；

(3)S„,52/,-S„,S3n-52„,-为等比数列(S“H0)且公比为q".

12.D

【解析】

如图，将四面体ABC。放到直三棱柱中，求四面体的外接球的半径转化为求三棱柱外接球的半径，然后确定球心在上

下底面外接圆圆心连线中点，这样根据几何关系，求外接球的半径.

【详解】

△ABC中，易知A6=4,CD-AD-BD-2

翻折后=25

ZADB=120。，

设A4Z汨外接圆的半径为广,

如图：易得CD,平面43。，将四面体ABCD放到直三棱柱中，则球心在上下底面外接圆圆心连线中点，设几何体

外接球的半径为R,

22222

7?=r+l=2+l=5，

四面体ABCO的外接球的表面积为S=4兀R2=20万.

故选：D

【点睛】

本题考查几何体的外接球的表面积，意在考查空间想象能力，和计算能力，属于中档题型，求几何体的外接球的半径

时，一般可以用补形法，因正方体，长方体的外接球半径容易求，可以将一些特殊的几何体补形为正方体或长方体,

比如三条侧棱两两垂直的三棱锥，或是构造直角三角形法，确定球心的位置，构造关于外接球半径的方程求解.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.证明见解析.

【解析】

ADAr

试题分析：A2旦F四点共圆，所以BDBE=BABF,又&ABCS^AEF,所以=即

AEAF

ABAF^AEAC,得证.

试题解析：

A.连接AD,因为为圆的直径，所以

又EFLAB,则A,D,E,E四点共圆，

所以BDBE=BABF.

又AABC^^AEF,

ARAC

所以一=—,即4B・AF=AE・AC,

AEAF

；.BEBD-AEAC^BABF-ABAF^AB(BF-AF^AB2.

14.15

【解析】

利用展开式各项系数之和求得〃的值，由此写出展开式的通项，令指数为零求得参数的值，代入通项计算即可得解.

【详解】

的展开式各项系数和为2"=64,得〃=6,

所以，(&+J)的展开式通项为•(五=爱了等,

令葭-=o,得r=2,因此，展开式中的常数项为c；=15.

故答案为：15.

【点睛】

本题考查二项展开式中常数项的计算，涉及二项展开式中各项系数和的计算，考查计算能力，属于基础题.

15.3

【解析】

作出可行域，可得当直线z=x+2y经过点A(l,l)时,z取得最大值，求解即可.

【详解】

3x—y_2—0

作出可行域(如下图阴影部分)，联立-c-，可求得点4(1,1),

x+y-2=0

当直线z=x+2y经过点A(l,l)时,Za=l+2xl=3.

故答案为：3.

【点睛】

本题考查线性规划，考查数形结合的数学思想，属于基础题.

16.60240/

【解析】

求出二项展开式的通项，令指数为零，求出参数的值，代入可得出展开式中的常数项；求出项的系数，利用作商法可

求出系数最大的项.

【详解】

(2/+/J的展开式的通项为c：.(2x2p=C>£k.x12-3\

令12-3攵=0,得左=4,所以，展开式中的常数项为屐-22=60；

小〃6Ja"-a"-'fq.26-n>cr'-27-fl

令％十2(…心6),令［?%，即怎2K

47

解得Q〃wN,，〃=2,因此，展开式中系数最大的项为C；-2Lx6=24()f.

故答案为：60；240/.

【点睛】

本题考查二项展开式中常数项的求解，同时也考查了系数最大项的求解，涉及展开式通项的应用，考查分析问题和解

决问题的能力，属于中等题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)证明见解析(2)昱

3

【解析】

(1)连接4G交4C于点尸，由三角形中位线定理得8CJ/力尸，由此能证明8CJ/平面4。。.

(2)以C为坐标原点，04的方向为X轴正方向，C8的方向为y轴正方向，CG的方向为Z轴正方向，建立空间直

角坐标系C-xyz.分别求出平面4。的法向量和平面ACE的法向量，利用向量法能求出二面角o-AC-E的余

弦值.

【详解】

证明：证明：连接AG交4c于点尸，

则户为AC1的中点.又。是AB的中点，

连接OE,则

因为。Eu平面ACO,平面A。。，

所以BCJ/平面AC。.

(2)由A4,=AC=C8=3AB=0,可得：AB=2,即+

所以AC_L8C

又因为ABC-A4cl直棱柱，所以以点C为坐标原点，分别以直线CA、CB、CG为'轴、轴、二轴，建立空间直

角坐标系，则C(0,0,0)、D-^-,-^-,0、E0,^2,-^-

C^=(V2,0,V2),CD

设平面4。。的法向量为3=(x,y,z),则/丽=o且/"=o,可解得y=-x=z,令x=i,得平面4。。的

一个法向量为n=(1,-1,-1),

同理可得平面ACE的一个法向量为五=(2,1,-2),

则cos<n,m>=3'

3

本题主要考查直线与平面平行、二面角的概念、求法等知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

18.(1)见解析(2)巫

3

【解析】

(1)推导出AC_LBC,PALBC,从而3。_1_平面24。，由面面垂直的判定定理即可得证.

(2)过A作Ax_LAB,以A为坐标原点，建立如图所示空间坐标系，设M(0,0,/)fe(0,4],利用空间向量法表示出

二面角的余弦值，当余弦值取得最大时，正切值求得最小值；

【详解】

(1)因为B4_LO<9,8Cu面。。

.-.PAA.BC

-.BC±AC,ACcR4=A,ACu平面PAC,弘u平面PAC,

.•.BC_L平面PAC,

又BCu平面PBC,

平面Q4C_L平面PBC；

(2)过A作Ax,AB,以A为坐标原点，建立如图所示空间坐标系,

则A(0,0,0),。(6,1,0),3(0,4,0),设M(0,0,)e(0,4],

BC=(8,—3,0),BM=(0,-4,r)

则平面AMB的一个法向量为m=(1,0,0)

设平面BMC的一个法向量为，?=(x,y,z)

nBC=0y/3x-3y=0人「.-

则___,即＜，令％=v39•.〃=

n-BM-0-4y+fz=0

如图二面角A——C的平面角为锐角，设二面角A—3M—C为氏

,•」=4时cos。取得最大值，最大值为姮，贝！Jtan。最小值为叵

53

【点睛】

本题考查面面垂直的证明，利用空间向量法解决立体几何问题，属于中档题.

19.(1)4=0.1125,中位数为16；(2)新能源汽车平均每个季度的销售量为17万台，以此预计2020年的销售量约

为17万台.

【解析】

(1)根据频率分布直方图中所有矩形面积之和为1可计算出。的值，利用中位数左边的矩形面积之和为0.5可求得销

量的中位数的值；

(2)利用每个矩形底边的中点值乘以相应矩形的面积，相加可得出销量的平均数，由此可预计2020年的销售量.

【详解】

(1)由于频率分布直方图的所有矩形面积之和为1,

贝！J(0.0125+a+0.075+0.025x2)x4=1,解得a=0.1125,

由于(0.0125+0.1125)x4=0.5,因此，销量的中位数为16；

(2)由频率分布直方图可知，新能源汽车平均每个季度的销售量为

10x0.05+14x0.45+18x0.3+22x0.1+26x0.1=17(万台)，

由此预测2020年的销售量为17万台.

【点睛】

本题考查利用频率分布直方图求参数、中位数以及平均数的计算，考查计算能力，属于基础题.

20.(1)m=6(2)32

【解析】

(1)利用绝对值不等式的解法求出不等式的解集，得到关于根的方程，求出，〃的值即可；

⑵由(1)知m=6可得,a+»+c=12,利用三个正数的基本不等式a+b+c>3疝，构造和是定值即可求出

(a+l)(/7+l)(c-3)的最大值.

【详解】

(1)V/(X)=|X-MJ|-|X+2|,

/(x-2)=|x-tn-2|--2+2|,

所以不等式/(x-2)>0的解集为(―，4],

即为不等式k―加―2|-忖20的解集为S，4],

二k一m-2|*国的解集为(-00,4],

即不等式(x—m-2)2>x2的解集为(y，4],

化简可得,不等式+2)(根+2-2力20的解集为(-co,4],

)71+2

所以——=4,即机=6.

2

(2),:m=6,.二a+2Z?+c=12.

又h>0,C>39

(a+1)­)=(a+D咒2)(7)

<1(a+l)+(2n+2)+(c-3)§_J/a+24+。]'_\_(12V_

~2[3]-2V-3)i，

当且仅当。+1=给+2=仁-3,〃+2/?+。=12等号成立,

即a=3,h=l9c=7时，等号成立，

，(a+1)伍+l)(c-3)的最大值为32.

【点睛】

本题主要考查含有两个绝对值不等式的解法和三个正数的基本不等式a+b+c>3疾的灵活运用;其中利用

〃+%+o=12构造出和为定值即（。+1）+（却一2）+（。-3）为定值是求解本题的关键；基本不等式4+/,22点取最值

的条件:一正二定三相等是本题的易错点；

属于中档题.

4

21.（1）二.

⑵迎.

10

【解析】

分析：（1）直接建立空间直角坐标系，然后求出面的法向量和已知线的向量，再结合向量的夹角公式求解即可；（2）

先分别得出两个面的法向量，然后根据向量交角公式求解即可.

详解：

（1）•••438是矩形，

:.AD1CD,

又•:平面ABCD,

APD±AD,PDA.CD,即P。，AD,CD两两垂直，

.••以。为原点，DA,DC,Z）P分别为x轴，轴，z轴建立如图空间直角坐标系，

由尸。=CD=4,AD=2,得4（2,0,0）,B（2,4,0）,C（0,4,0）,D（0,0,0）,P（0,0,4）,A/（1,0,2）,

贝用=（-2,0,4）,BC=（-2,0,0）,Affi=（l,4,-2）,

设平面。08的一个法向量为勺=（xl,yl,z1）,

\BC-n=Qf-2%=0八〜

则《许一yC，即<..八，令必=1，得玉=0,Z|=2,

MB-nt=01x+4x-2Z1=0

/.晴=（0,1,2）,

...cos（而，点）=APn,8_4

|丽|同=2巡.6=丁

4

故AP与平面CMB所成角的正弦值为y.

(2)由(1)可得定=(0,4,T),

设平面PBC的一个法向量为&=(x2,y2,z2),

BCn^=Q

-2X2=0

则___1，即〈[4%-4z2=。'令%=1，得马=°，4=1，

PC-rt,=0

••n-,=（0,1,1）,

33厢

••cos（%%）-———=-----9

、/V5.V210

故二面角M-CB-P的余弦值为主叵.

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点睛：考查空间立体几何的线面角，二面角问题，一般直接建立坐标系，结合向量夹角公式求解即可，但要注意坐标

的正确性，坐标错则结果必错，务必细心，属于中档题.

22.（1）证明见解析（2）2=-（3）竺3

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【解析】

(1)根据折叠图形，BDLAC,由线面垂直的判定定理可得BD_L平面PAN,再根据APu平面PAN,

得到BD_LAP.

(2)根据砂_LAC,以N为坐标原点，加4,NE,NP为x,y,z轴建立空间直角坐标系，根据

AB=AD=2,BD=BC=2y[3,AM=i,CM=3,灰=2反可知，EF=^~,PN=CN=-^-,表示相应点

1+21+2

|5-4/1|《求解.

的坐标，分别求得平面ABP与平面。尸尸的法向量，代入卜os(加力

V5.^12+（4A+1）2

⑶设所求