2020高中数学 22 导数的实际应用（含解析）

课时分层作业（二十二）导数的实际应用

（建议用时：40分钟）

[_基础达标练]

1.以长为10的线段力8为直径作半圆，则它的内接矩形面积

的最大值为（）

A.10B.15C.25D.50

C[如图，设/NO8=为则矩形面4—积s=5sin

0'2'5cos6=50sin0cos£=25sin26,当sin20=1时，函数取得最

大值此时夕，故

25,=45°5max=25.]

2.某箱子的体积与底面边长x的关系为？（吊=?错误!（。＜^＜60）,

则当箱子的体积最大时，箱子底面边长为（）

A.30B.40C.50D.60

3

B[V（X）=—5/+60、=一错误!x（x—40）,

因为0＜牙＜60,所以当0＜牙＜40叱V（x）＞0,此时P（x）

单调递增；

当40Vx＜60时，V（吊＜0,此时V{x）单调递减，所以x=

40是的极大值，即当箱子的体积最大时，箱子底面边长为40o]

3.设底为正三角形的直棱柱的体积为匕那么其表面积最小时，

底面边长为（）

A.B.错误！C.错误！D.2错误！

C[设底面边长为x、侧棱长为/则！/=错误!A2•sin60°-1,：.1

=错误！,「.S表=（•sin600+3•x•/=错误!幺+错误!,6表=错误!x—

错误!。令S表=0,.'.^—4^即X=错误!.又当xC（0,错误!）时，S表

<0,当x€（错误!，+8）时S表>0,...当X=错误!叱表面积最小.]

4.某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可

以利用原有的墙壁（墙壁足够长），其他三边需要砌新的墙壁，若使

所用的材料最省,则堆料场的长和宽应分别为（）

A.32米，16米B.30米，15米

C.64米,8米D.36米,18米

A[要使材料最省，则新砌的墙壁的总长度应最短.设堆料场

宽为X米,则长为错误!米,因此新墙总长£（x）=2x+错误!（x>0）,则L'

（x）=2一错误!。令£'（x）=0,解得x=16（x=-16舍去）.故当

x=16时，L（x）取得最小值，此时长为错误!=32（米）.]

5.某银行准备新设一种定期存款业务，经预算,存款量与存款利

率的平方成正比，比例系数为《攵〉0）.已知贷款的利率为0。0486,

且假设银行吸收的存款能全部放贷出去.设存款利率为x,xC

(0,0.0486),若使银行获得最大收益，则x的取值为(

A.0.0162B.0o0324

C.0.0243D.0o0486

B［依题意，得存款量是底，银行支付的利息是h3,获得的贷

款利息是0。0486^,其中xC(0,0。0486).

所以银行的收益是y=0.0486&-&(0〈x<0.0486),则y'=

0.0972kx—3k?Q<x<0.0486).

令y'——0,得x=0.0324或x=0(舍去).

当0VxV0.0324时，y>0；

当0。0324Vx<0.0486时，y<0.

所以当x=Qo0324时/取得最大值，即当存款利率为0.0324

叱银行获得最大收益.］

6.某商品每件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元

出售，可卖出(200—匈件，当每件商品的定价为元时，利润

最大.

115［由题意知，利润S(另=(x-30)(200—x)=—V+230x

-6000(30<x<200),所以S(x)=—2x+230。令S(x)=0,

解得x=115。

当30<x<115时，S(A)>0；当115〈xW200时,S(x)<0.

所以当x=115时，利润S(x)取得极大值，也是最大值.]

7.用长为18米的钢条围成一个长方体的框架，要求长方体的

长与宽之比为2:1,则该长方体的长、宽及高分别为时，

框架的体积最大.

2米、1米和错误!米[设长方体的宽为X米,则长为2x米，

_18-12%

高为=错误!一3源误！,

则•2x•错误！=9d—6A3,

令M=18x—18A2=0,解得x=l,或x=0(舍去).

3

当o〈x〈i时，V>0；当ivx<5时，V<0

L-io

所以X=1时体积V取得极大值，也就是最大值，

此时长方体的长为2米，高为错误!米.]

8.某厂生产某种产品x件的总成本。(x)=1200+错误!V(万

元)，已知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的

产品单价为50万元，则产量定为件时，总利润最大.

25[设产品的单价为夕万元，根据已知，可设尸=错误!，其中

女为比例系数.

因为当x=100时，0=50,所以斤=250000,

所以严=错误！，夕=错误！，X>0.

设总利润为y万元，

则J/=错误！•X—1200一错误!V

=500错误！一错误!f—l200o

求导数得，y=错误!一错误!A2.

令/=0得x=25.

故当X<25时，y'〉0；当X〉25时，y<0o

因此当x=25叱函数y取得极大值，也是最大值.]

9.某工厂共有10台机器，生产一种仪器元件，由于受生产能力

和技术水平等因素限制，会产生一定数量的次品.根据经验知道，

每台机器产生的次品数P（万件）与每台机器的日产量x（万件）

（4<xV12）之间满足关系：P=0oIf—3.21nx+3.已知每生产1万

件合格的元件可以盈利2万元，但每产生1万件次品将亏损1万

元.（利润=盈利一亏损）

（1）试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润万元）表示

为x的函数；

（2）当每台机器的日产量x（万件）为多少时所获得的利润最大,

最大利润为多少?

［解］⑴由题意得，所获得的利润为尸=10［2(x-P)-P］

=20x—3A2+961nx—90(4WxW12).

(2)由(1)知，y=错误!=错误!.

当4Wx<6时，y>0,函数在［4,6］上为增函数；当6Vx<12时，

y〈0,函数在［6,12］上为减函数，

所以当x=6时，函数取得极大值，且为最大值，最大利润为y

=20X6-3X62+961n6-90=961n6—78(万元)

即当每台机器的日产量为6万件时所获得的利润最大，最大利

润为961n6-78万元.

10.如图所示，48。是正方形空地，边长为30m,电源在点

夕处，点夕到边4D,48距离分别为9m,3m.某广告公司计划在

此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF,MN：NE=16：9.线

段AW必须过点R端点"，N分别在边力48上，设4N=xm,

2

液晶广告屏幕户的面积为5mo

⑴用含x的代数式表示AM;

⑵求S关于x的函数关系式及该函数的定义域;

（3）当x取何值时，液晶广告屏幕7WEF的面积S最小？

［解］⑴力但错误！（10VxW30）.

（2）=+=V+错误!.

班为MN：NE=\6：9,所以NE=错误!MV,

所以S=MN,NE=错误!儿凶=错误!错误!，定义域为［10,30］.

9

（3）S=77错误！=错误！X错误！,

16

令S=0,得x=9+3错误!或x=0（舍去）.

当10Wx<9+3错误!时，S<0,S为减函数；当9+3^!<X<30

时，S>0,S为增函数，

3

所以当x=9+3#时，S取得最小值.

［能力提升练］

1.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品.若该

商品零售价定为夕元，销售量为Q,则销量Q（单位：件）与零售

价R单位：元）有如下关系：Q=8300—170〃一/,则最大毛利润为

（毛利润=销售收入一进支出）（）

A.30元B.60元

C.28000元D.23000元

D［毛利润为(,一20)Q,

即=(P-20)(8300—170〃一〃)，

f'(乃=-3/一300〃+11700

=-3(P+130)(P-30).

令，(乃=0,得夕=30或夕=一130(舍去)，

当20<P<30时，/(乃〉0,当P>30时，f'(P)<0.

故当夕=30时，毛利润最大，

所以f(a)max=(30)=23000(元).］

2.某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位

的产品，成本增加100元，若总收入火与年产量x的关系是H(吊

=1--+400^0WxW390,,90090x>390,则当

总利润最大叱每年生产产品的单位数是()

A.150B.200

C.250D.300

D［由题意当年产量为x时，总成本为20000+100x,

又总收入火与年产量x的关系是

R(X)=错误！

「•总利润Q（吊=

错误！

即Q（X）=错误！

①当0WxW390时，Q'（另=一错误!+300,令Q'（x）=0得x

=300,

由300VxW390得。（x）<0,此时Q（x）是减函数；

由0<x<300得Q'（x）>0,此时Q。）是增函数，

・••当0WxW390时，Q（吊max=<2（300）=40000（元）；

②当x>390时，Q（吊=-100x+70090是减函数，

：.Q（x）<Q（390）=31090（元）；

.•.当x=300时，Q（x）的最大值为40000。］

3.将边长为1m的正三角形薄片沿一条平行于底面的直线剪成

两块，其中一块是梯形，记5=错误!，则S的最小值是.

错误！［设剪成的小正三角形的边长为X,

则S（勾=错误！=错误！•错误！

W（用=错误！•错误！=错误！•错误！，令S（匈=0（0<xVl），得X

1

=1。当xW错误!时S（X）<0,S（刈单调递减;当xC错误!时，S（X）

>0,S（»单调递增，故当x=错误!时，S取得最小值，是错误!.］

4.已知某商品生产成本。与产量夕的函数关系式为。=100+

4夕，价格p与产量q的函数关系式为0=25—错误!夕。则产量q为

时，利润/最大.

84[“攵入尺=族=州误！=25g一错误！/。

利润£=尺一0=错误!一(100+4功=一错误!一+219—100(0<夕<

200),

法一：C=一错误!g+21,令£'=0,即一错误!g+21=0,解得q

=84.

当0<g<84时，£'>0;当84VgV200时，t<0,

所以当夕=84时，/取得最大值，即产量为84时，利润上最大.

法二：L——错误!+21g—100

=一错误！(/—168g+84^+错误！一100

=一错误！(q-84)2+782(0<q<200),

所以当夕=84时，/取最大值782。

故产量为84时，利润上最大.]

5.经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电

商行业的大型集体促销盛宴.为迎接2019年“双十一”网购狂欢节，

某厂家拟投入适当的费用，对网上所售产品进行促销.经调查测算，

该促销产品在“双十一”期间的销售量P万件与促销费用X

2

(0<a,a为正常数)万元满足夕=3—~^■.已知生产该批产品夕

万件需投入成本(10+20)万元(不含促销费用)，产品的销售价格定

为错误!元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求.

(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；

(2)投入促销费用多少万元时，厂家获得的利润最大？

［解］(1)由题意知尸=错误!p—x—(10+20)=2p—x-\-10,

将0=