2021中考数学系统复习28讲：第16讲 三角形的基本知识全等三角形

火速出击第16讲三角形的基本知识全等三角形

【试试火力】

1.（2017•宁德）在3BC中，AB=5,AC=8,则BC长不可能是（）

A.4B.8C.10D.13

2.（2017贵州）如图,zACD=120°,zB=20°,则NA的度数是（）

A.120°B,90℃.100°D.30°

3.（2017江苏徐州）AABC中，点D,E分另（］是AB,AC的中点,DE=7,贝U

BC=14.

4.如图,AC=AE,zl=z2,AB=AD.求证：BC=DE.

【把握火苗】

火点1三角形的概念及其分类

概念：由不在同一直线上的三条线段①连接

所得到的图形叫做三角形.

’②角三角形

V

按角分类,③角三角形

④角三角形

分类■

‘不等边三角形

按边分类,’底与腰不相等的等腰三角形

等腰三角形，

⑤三角形

火点2与三角形有关的线段

⑥__________三角形的三条高相交于三角形的内部直角三角形

的三条高相交于⑦，钝角三角形的三条高相交于三角

形的外部.

中线三角形的三条中线相交于⑧__________，每一条中线都将三角形

分成面积⑨的两部分.

角平分线三角形的三条角平分线相交于⑩__________，这个点是三角形的

⑪_________，这个点到三边的距离⑫_________.

三边关系三角形的两边之和⑬―第三边，三角形的两边之差⑭

第三边.

稳定性三角形具有稳定性，四边形没有稳定性.

三角形的定义连接三角形两边或________的线段叫做三角形的中位

中位线线.

性质三角形的中位线®_________第三边，并且等于第三边

的空__________.

火点3考点3与三角形有关的角

定三角形三个内角的和等于&_________.

理

推直角三角形的两个锐角型_________.

论三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的理_________.

火点4:全等三角形的性质与判定

性全等三角形的对应边型__________,对应角a_________.

质

判判定1：三边分别相等的两个三角形全等（简写成"边边边"或"SSS"）;

定判定2:两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边"或

"SAS"）;

判定3:两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（简写成"角边角"或

"ASA"）;

判定4:两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等（简写成“角角边"

或"AAS"）;

判定5:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角

边"或"HL"）.

【易错提示】“SSA"和"AAA”不能判定三角形全等.

【掌握火候】

1.判断给定的三条线段能否组成三角形，只需判断两条较短线段的和是否大于最

长线段即可.

2."截长法"和"补短法”是证明和差关系的重要方法，无论用哪一种方法都是

要将线段的和差关系转化为证明线段相等的问题，因此添加辅助线构造全等三角

形是通向结论的桥梁.

【突破火点】

燃点1三角形中的线段

例1（2017广西河池）三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分

的是（）

A.中线B.角平分线C.高D.中位线

【考点】K3:三角形的面积；K2:三角形的角平分线、中线和高.

【分析】根据等底等高的三角形的面积相等解答.

【解答】解：•三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形，

•••三角形的中线将三角形的面积分成相等两部分.

故选A.

【思路点拨】不管是哪种类型的三角形，三角形的角平分线、中线和中位线都在

三角形内部，但是锐角三角形的三条高在三角形内部，直角三角形的一条高在三

角形内部，其余两条高与直角边重合，钝角三角形的一条高在三角形内部，其余

两条高在三角形外部.

方法归纳：解答本题的关键是熟练掌握三角形高、角平分线和中线的画法.

燃点2三角形中的角

例2（2017湖南株洲）

如图,在SBC中，zBAC=x°,NB=2X°,zC=3x°,贝!JNBAD=()

A.145°B,150°C.155°D.160°

【考点】K7:三角形内角和定理.

【分析】根据三角形内角和定理求出x,再根据三角形的外角的等于不相邻的两

个内角的和，即可解决问题.

【解答】解：在MBC中,-.zB+zC+zBAC=180°,zBAC=x°,zB=2x°,z

C=3x°,

.,.6x=180,

.1.x=30,

•.zBAD=zB+zC=5x=150°,

故选B.

方法归纳：当问题中含有平行线时，可利用平行线的性质将其转化为其他角；当

该角是一个三角形的外角或内角时，根据三角形外角的性质和三角形内角和定理

进行计算.

燃点3三角形的中位线

例3.（2017湖北宜昌）如图，要测定被池塘隔开的A,B两点的距离.可以在

AB外选一点C,连接AC,BC,并分别找出它们的中点D,E,连接ED.现测

得AC=30m,BC=40m,DE=24m,贝UAB=()

B

A.50mB.48mC.45mD.35m

【考点】KX:三角形中位线定理.

【分析】根据中位线定理可得：AB=2DE=48m.

【解答】解：-.D是AC的中点，E是BC的中点，

二.DE是AABC的中位线，

••.DE=2AB,

；DE=24m,

.-.AB=2DE=48m,

故选B.

方法归纳：解答本题的关键是要依据题目条件，活用中位线定理的结论.

燃点4全等三角形的性质与判定

例4如图,AABC是直角三角形，且NABC=90。，四边形BCDE是平行四边形，

E为AC中点，BD平分工ABC,点F在AB上，且BF=BC.求证：

(1)DF=AE;

(2)DF±AC.

A

【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质.

【专题】证明题.

【分析】（1）延长DE交AB于点G,连接AD.构建全等三角形^AED兴DFB

（SAS）,则由该全等三角形的对应边相等证得结论；

（2）设AC与FD交于点0.利用（1）中全等三角形的对应角相等，等角的补

角相等以及三角形内角和定理得到NEOD=90。，即DF±AC.

【解答】证明：（1）延长DE交AB于点G,连接AD.

•••四边形BCDE是平行四边形，

.-.EDllBC,ED=BC.

•・•点E是AC的中点,zABC=90°,

.".AG=BG,DG_1_AB.

.,.AD=BD,

.,.zBAD=zABD.

•/BD平分NABC,

.-.zABD=zBAD=45°,即NBDE=NADE=45°.

又BF=BC,

.-.BF=DE.

'AD=BD

.•在MED与△DFB中,<ZADE=DBF,

ED=FB

・•.△AED?DFB(SAS),

.-.AE=DF,即DF=AE;

(2)设AC与FD交于点O.

••・由(1)知,SED*DFB,

.1.zAED=zDFB,

.-.zDEO=zDFG.

■.zDFG+zFDG=90°,

.-.zDEO+zEDO=90°,

.-.zEOD=90°,即DF±AC.

【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质.全等三角形

的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全

等时，关键是选择恰当的判定.

方法归纳：证明两条边或两个角相等时，若两条边或两个角分别在两个三角形当

中，通常证明这两条边或两个角所在的三角形全等.

【冰火不容】

1.（2017甘肃张掖）已知a,b,c是3BC的三条边长，化简|a+b-c|-|c-

a-b|的结果为（）

A.2a+2b-2cB.2a+2bC.2cD.0

2.（2017江苏盐城）在"三角尺拼角"实验中，小明同学把一副三角尺按如图

所示的方式放置，则Nl=式0°.

3.（2017毕节）如图，RfABC中,zACB=90°,斜边AB=9,D为AB的中

点，F为CD上一点，且CF=|CD,过点B作BEIIDC交AF的延长线于点E,

则BE的长为（）

4.（2017四川眉山）如图,在AABC中，NA=66。，点I是内心，则NBIC的大

小为（）

A.114°B,122°C.123°D.132°

5.如图,AF=DC,BCllEF,只需补充一个条件BC=EF,就得AABC^DEF.

6.如图，已知N1=N2,AC=AD,请增加一个条件，使MBC¥AED，你添加的

条件是AE=AB

D

7.（2017浙江湖州）已知一个多边形的每一个外角都等于72。，则这个多边形

的边数是5.

8.如图,AB=AE,zl=z2,zC=zD.

求证:AABC乎AED.

2

1.D

BF.

9.如图,在SBC中，zABC=66°,NACB=54°,BE是AC上的高，CF是AB

上的高，H是BE和CF的交点，求NABE、ZACF和NBHC的度数.

10.(1)如图1,把AABC沿DE折叠,使点A落在点A'处,试探索N1+/2

与NA的关系.(不必证明).

(2)如图2,BI平分NABC,CI平分NACB,把SBC折叠，使点A与点I重合,

若N1+N2=130°,求NBIC的度数;

(3)如图3,在锐角AABC中，BFLAC于点F,CG^AB于点G,BF、CG交

于点H,把AABC折叠使点A和点H重合，试探索NBHC与N1+N2的关系,并

证明你的结论.

【展示火情】

【试试火力】

1.（2017・宁德）在AABC中，AB=5,AC=8,则BC长不可能是（）

A.4B,8C.10D.13

【考点】K6:三角形三边关系.

【专题】11:计算题.

【分析】根据三角形三边的关系得到3<BC<13,然后对各选项进行判断.

【解答】解：-.AB=5,AC=8,

..3<BC<13.

故选D.

【点评】本题考杳了三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边.

2.（2017贵州）如图,zACD=120°,zB=20°,则NA的度数是（）

【考点】K8:三角形的外角性质.

【分析】根据三角形的外角的性质计算即可.

【解答】解：zA=zACD-zB

=120°-20°

=100°,

故选：C.

3.（2017江苏徐州）AABC中，点D,E分别是AB,AC的中点，DE=7,则

BC=14.

【考点】KX:三角形中位线定理.

【分析】根据三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边

的一半可知，BC=2DE,进而由DE的值求得BC.

【解答】解：.D,E分别是』ABC的边AC和AC的中点,

・・.DE是AABC的中位线，

•.DE=7,

.-.BC=2DE=14.

故答案是：14.

4.如图,AC=AE,zl=z2,AB=AD.求证：BC=DE.

【考点】全等三角形的判定与性质.

【专题】证明题.

【分析】先证出NCAB=NDAE,再由5人5证明3人8空人£,得出对应边相等

即可.

【解答】证明：.•.ZL=N2,

.,.zCAB=zDAE,

'AC=AE

在ABAC和ADAE中,ZCAB=ZDAE,

AB=AD

・•.△BAC•DAE(SAS),

・•.BC=DE.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质;熟练掌握全等三角形的判定方法,

证明三角形全等是解决问题的关键.

【把握火苗】

①首尾顺次②锐③直④钝⑤等边⑥锐角⑦直角顶点⑧一点⑨

相等⑩一点⑪心睡等般于⑭d、于耕点硼行E一半

比180°19互余20和困■相等22相等

【冰火不容】

1.（2017甘肃张掖）已知a,b,c是“BC的三条边长，化简|a+b-c|-|c-

a-b|的结果为（）

A.2a+2b-2cB.2a+2bC.2cD.0

【考点】K6:三角形三边关系.

【分析】先根据三角形的三边关系判断出a-b-c与c-b+a的符号，再去绝

对值符号，合并同类项即可.

【解答】解：•.？、b、c为AABC的三条边长，

/.a+b-c>0,c-a-b<0,

.,.原式=a+b-c+（c-a-b）

=0.

故选D.

2.（2017江苏盐城）在"三角尺拼角"实验中，小明同学把一副三角尺按如图

所示的方式放置,则Nl=式0°.

【考点】K8:三角形的外角性质;K7:三角形内角和定理.

【分析】根据三角形的外角的性质计算即可.

【解答】解：由三角形的外角的性质可知，zl=90°+30°=120°,

故答案为：120.

3.（2017毕节）如图,RfABC中,zACB=90°,斜边AB=9,D为AB的中

点，F为CD上一点，且CF=|CD,过点B作BEIIDC交AF的延长线于点E,

0

则BE的长为（）

A.6B,4C.7D.12

【考点】KX:三角形中位线定理；KP:直角三角形斜边上的中线.

【分析】先根据直角三角形的性质求出CD的长，再由三角形中位线定理即可得

出结论.

【解答】解：・「RfABC中，zACB=90°,斜边AB=9,D为AB的中点，

.-.CD=|AB=4.5.

••-CF=|CD,

.•.DF=-|cD=-|x4.5=3.

0o

•/BEIIDC,

.,.DF是MBE的中位线，

.-.BE=2DF=6.

故选A.

4.（2017四川眉山）如图，在-ABC中，NA=66。，点I是内心,则NBIC的大

小为（）

A.114°B.122°C.123°D.132°

【考点】MI:三角形的内切圆与内心.

【分析】根据三角形内角和定理求出NABC+NACB,根据内心的概念得到N

IBC=|zABC,zICB=|zACB，根据三角形内角和定理计算即可.

【解答】解：../A=66°,

.•.zABC+zACB=114°,

,.点I是内心,

.•.NIBC=*NABC,NICB=]NACB,

.-.zIBC+zICB=57°,

.1.zBIC=180°-57°=123°,

故选：C.

5.如图，AF=DC,BCllEF,只需补充一个条件BC=EF,就得AABC^DEF.

【专题】开放型.

【分析】补充条件BC=EF,首先根据AF=DC可得AC=DF,再根据BCllEF可

得NEFC=NBCF,然后再加上条件CB=EF可利用SAS定理证明AABSADEF.

【解答】解：补充条件BC=EF,

•.AF=DC,

.-.AF+FC=CD+FC,

即AC=DF,

•.BCllEF,

.-.zEFC=zBCF,

・•・在AABC和ADEF中,

'EF=BC

<ZEFC=ZBCF,

AC=DF

・・.△ABC¥DEF(SAS).

故答案为：BC=EF.

【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的

一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.

注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有

边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.

6.如图,已知N1=N2,AC=AD,请增加一个条件，使AABC*AED，你添力口的

条件是AE=AB.

【考点】全等三角形的判定.

【专题】开放型.

【分析】添加条件AE=AB,根据等式的性质可得NBAC=NEAD,然后再用SAS

证明ABAC*EAD.

【解答】解：添加条件AE=AB,

•.zl=z2,

.,.zl+zEAB=z2+zEAB,

.,.zBAC=zEAD,

在ABCA和AEDA中,

'AC=AD

-ZBAC=ZEAD,

AE=AB

・•.△BAC^EAD(SAS).

故答案为：AE=AB.

【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、ASA、AAS、HL.

注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时，必须有

边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.

7.(2017浙江湖州)已知一个多边形的每一个外角都等于72。，则这个多边形

的边数是5.

【考点】L3:多边形内角与外角.

【分析】用多边形的外角和360。除以72。即可.

【解答】解：边数n=360°+72°=5.

故答案为：5.

8.如图，AB=AE,zl=z2,zC=zD.

求证：AABC^AAED.

【考点】全等三角形的判定.

【专题】证明题.

【分析】首先根据N1=N2可得NBAC=NEAD,再力口上条件AB=AE,zC=zD

可证明^ABC当AED.

【解答】证明：•./1=N2,

.,.zl+zEAC=z2+zEAC,

即NBAC=NEAD,

•.在SBC和AAED中,

'ND=NC

-ZBAC=ZEAD,

AB=AE

...△ABC%AED(AAS).

【点评】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方

法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.

注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有

边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.

9.如图，在SBC中,NABC=66°,NACB=54°,BE是AC上的高，CF是AB

上的高，H是BE和CF的交点,求NABE、ZACF和NBHC的度数.

A

E

公

RC

【考点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理.

【分析】由三角形的内角和是180。，可求NA=60。.又因为BE是AC边上的高,

所以NAEB=90°,所以NABE=30°.同理，zACF=30度，又因为NBHC是4EH

的一个外角，所以NBHC=120°.

【解答】解：・「NABC=66。，zACB=54°,

.-.zA=180°-zABC-zACB=180°-66°-54°=60°.

又••BE是AC边上的高,所以N