初中数学【二次函数的图象与性质(共7课时)】教学设计

初中数学【二次函数的图象与性质】教案教学设计

二次函数的图象与性质(1)

［本课知识要点］

会用描点法画出二次函数y=的图象，概括出图象的特点及函数的性质.

［MM及创新思维］

3

我们已经知道，一次函数y=2x+l,反比例函数y=-的图象分别

x

是___________、

,那么二次函数y=%2的图象是什么呢？

(1)描点法画函数y=/的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中

心？当x取互为相反数的值时，y的值如何？

(2)观察函数y=/的图象，你能得出什么结论？

［实践与探索］

例1•在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它

们有何共同点？有何不同点？

(1)y=2/(2)y^-2x2

解列表

X.・・-3-2-10123•・・

2

y-2x…188202818•••

2

y=-2x-18-8-20-2-8-18…

分别描点、连线，画出这两个函数的图象，这两个函数的图象

者B是抛物线，如图26.2.1.

共同点：都以y轴为对称轴，顶点都在坐标原点.

不同点：y=2/的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线

自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升.

y=-2/的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线

自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降.

回顾与反思在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象

是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的11质序连接.

例2.已知y=伏+是二次函数，且当尤〉()时，y随x的增大而增大.

(1)求k的值；

(2)求顶点坐标和对称轴.

解(1)由题意，得卜+1=2,解得k=2.

(2)二次函数为y=4/,则顶点坐标为(0,0),对称轴为y轴.

例3.已知正方形周长为Cem,面积为Senr.

(1)求S和C之间的函数关系式，并画出图象；

(2)根据图象，求出S=1cm：时，正方形的周长；

(3)根据图象，求出C取何值时，S>4加.

分析此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图

象时，自变量C的取值应在取值范围内.

解(1)由题意，得5=二。2(。>0).

C2468・・・

]_9

S=—C214

1644

描点、连线，图象如图26.2.2.

(2)根据图象得S=1cm?时，正方形的周长是4cm.

(3)根据图象得，当C>8cm时，S>4cm2.

回顾与反思

(1)此图象原点处为空心点.

(2)横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S,不要习惯地写成x、y.

(3)在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分.

［当堂课内练习］

1.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并分别写出它们的开口方向、对称轴

和顶点坐标.

(l)y=3/(2)y=-3尤2(3)y=^x2

2.(1)函数y=：/的开口,对称轴是,顶点坐标是________；

(2)函数y=-工/的开口______,对称轴是________,顶点坐标是_________.

4

3.已知等边三角形的边长为2x,请将此三角形的面积S表示成x的函数，并画出图象

的草图.

［本课课外作业］

A组

1.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象.

(1)y=-4/(2)y=\x2

4

2.填空：

(1)抛物线V=-5x2,当x=时，y有最____值，是.

(2)当m=时，抛物线y=(加—Dx'/f开口向下.

(3)已知函数y=(k2+Q/Ji是二次函数，它的图象开口当x时,

y随x的增大而增大.

3.已知抛物线〉=取中，当x>()时，y随x的增大而增大.

(1)求女的值；(2)作出函数的图象(草图).

4.已知抛物线y=*经过点(1,3),求当y=9时，x的值.

B组

5.底面是边长为x的正方形，高为0.5cm的长方体的体积为yen?.(1)求y与x之

间的函数关系式；(2)画出函数的图象；(3)根据图象，求出y=8cm：'时底面边长x

的值；(4)根据图象，求出x取何值时，y".5cm3.

6.二次函数V=a/与直线y=2x—3交于点P(1,b).

(1)求a、b的值；

(2)写出二次函数的关系式，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减小.

1.一个函数的图象是以原点为顶点，y轴为对称轴的抛物线，且过M(-2,2).

(1)求出这个函数的关系式并画出函数图象；

(2)写出抛物线上与点M关于y轴对称的点N的坐标，并求出/MON的面积.

［本课学习体会］

二次函数的图象与性质(2)

［本课知识要点］

会画出y=ax2+k这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质.

［MM及创新思维］

同学们还记得一次函数y=2x与y=2x+1的图象的关系吗？

，你能由此推测二;欠函数y=/与y=/+］的图象之间的关系吗？

那么y=』与＞=--2的图象之间又有何关系？

［实践与探索］

例1.在同一直角坐标系中，画出函数y=2/与y=2/+2的图象.

解列表.

-3-2-10123

y=2x~188202818

y=2*2+2…20104241020

描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26.2.3所示,

回顾与反思当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映

在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？

探索观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有

哪些不同？你能由此说出函数y=2/与y=2/-2的图象之间的关系吗？

例2.在同一直角坐标系中，画出函数y=-/+1与y=-/-1的图象，并说明，通

过怎样的平移，可以由抛物线y=-x2+l得到抛物线y=-x2-].

解列表.

-3-2-10123

y=-x2+1-8-3010-3-8

y=-x2-1…-10-5-2-1-2-5-10

描点、连线，画出这两个函数的图象，如

图26.2.4所示.

可以看出，抛物线y=-x2-l是由抛物线y=-x2+1向下平移两个单位得到的.

回顾与反思抛物线y=-x2+1和抛物线y=-x2-\分别是由抛物线y=-x2向上、

向下平移一个单位得到的.

探索如果要得到抛物线y=-/+4,应彳降抛物线y=-x2-l作怎样的平移？

例3.一条抛物线的开口方向、对称轴与〉=(/相同，顶点纵坐标是-2,且抛物线经

过点(1,1),求这条抛物线的函数关系式.

解由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为(0,-2),

因此所求函数关系式可看作y=ax2-2(a>0),又抛物线经过点(1,1),

所以，1一2,解得。=3.

故所求函数关系式为y=3/一2.

回顾与反思y^ax2+k(a,k是常数，aHO)的图象的开口方向、对称轴、顶点坐

标归纳如下：

开口方向对称轴顶点坐标

y=ax2+kQ>0

a<0

［当堂课内练习］

1.在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：

1212c12c

y=—x,y=—x+2,y=—x-2.

222

观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置.你

能说出抛物线y=gV+攵的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？

2.抛物线y=工工2一9的开口____,对称轴是__________顶点坐标是_________,它

4

可以看作是由抛物线y=」/向—平移一个单位得到的.

4

3.函数y=-3/+3,当x时，函数值y随x的增大而减小.当x时,

函数取得最—值，最—值y=.

［本课课外作业］

A组

1.已知函数丫=］/，y=-x2+3,y=-x2-2.

3'33

(1)分别画出它们的图象；

(2)说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；

(3)试说出函数>=；/+5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标.

2.不画图象，说出函数＞=-1炉+3的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它是

由函数y=—4，通过怎样的平移得到的

3.若二次函数y=办2+2的图象经过点(-2,10)，求a的值.这个函数有最大还

是最小值？是多少？

4.在同一直角坐标系中y=ax2+〃与y=ax+b(a*Q,b丰0)的图象的大致位置是

()

5.已知二次函数y=8---l)x+Z-7,当k为何值时，此二次函数以y轴为对

称轴？写出其函数关系式.

［本课学习体会］

二次函数的图象与性质(3)

［本课知识要点］

会画出y=a(x-〃尸这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质.

［MM及创新思维］

我们已经了解到，函数y=以2+上的图象，可以由函数y=一的图象上下平移

所得，那么函数y=；(X-2)2的图象，是否也可以由函数,y=1x2平移而得呢？画图

试一试，你能从中发现什么规律吗？

［实践与探索］

例1•在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象.

y=,y=；(x+2)2,y=g(x—2)2，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点

坐标.

解列表.

它们的开口方向都向上；对称轴分别是y轴、直线X=-2和直线x=2;顶点坐标分别是

(0,0),(-2,0),(2,0).

回顾与反思对于抛物线)，=g(x+2)2,当X.时，函数值y随x的增大而减

小；当x时，函数值y随x的增大而增大；当x时，函数取得最

值，最―值丫=.

探索抛物线y=g(x+2)2和抛物线y=g(x-2尸分别是由抛物线y=gd向左、向

右平移两个单位得到的.如果要得到抛物线y=；(x-4)2,应将抛物线y=g/作怎

样的平移？

例2.不画出图象，你能说明抛物线y=-3/与y=-3(x+2-之间的关系吗？

解抛物线＞=-3/的顶点坐标为(0,0);抛物线y=-3。+2)2的顶点坐标为(-

2,0).

因此,抛物线y=-3/与y=-3(x+2＞形状相同，开口方向都向下，对称轴分别是

y轴和直线x=-2.抛物线y=-3(x+2＞是由y=-3炉向左平移2个单位而得的.

回顾与反思y=a(x-h)2(a、h是常数，aHO)的图象的开口方向、对称轴、顶点

坐标归纳如下：

开口方向对称轴顶点坐标

y=a(x-h)2a>0

a<0

［当堂课内练习］

1.画图填空：抛物线y=(x-的开口,对称轴是,顶点坐标

是_________,它可以看作是由抛物线y=/向—平移个单位得到的.

2.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象.

y=-2x2,y=-2(x-3)2,y=-2(x+3)2,并指出它们的开口方向、对称轴和顶

点坐标.

［本课课外作业］

A组

1.已知函数＞=_白2,y=_；(x+l)2,y=_g(x_］)2.

(1)在同一直角坐标系中画出它们的图象；

(2)分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；

(3)分别讨论各个函数的性质.

2.根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y=/得到抛

物线y=_］(x+］)-和y=—'(X—1)-?

3.函数y=-3U+1)2,当x时，函数值y随x的增大而减小.当x时,

函数取得最—值，最—值y=.

4.不画出图象，请你说明抛物线y=5/与y=5(x-4)2之间的关系.

B组

5.1各抛物线y=ax?向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为-2,且新抛物线经过

点

(1,3),求。的值.

［本课学习体会］

二次函数的图象与性质(4)

［本课知识要点］

1,掌握把抛物线y="2平移至y=©X-力)2+k的规律；

2.会画出y=a(x-h)2+k这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质.

［MM及创新思维］

由前面的知识，我们知道，函数y=2无2的图象，向上平移2个单位，可以得到

函数y=2/+2的图象；函数y=2x2的图象，向右平移3个单位，可以得到函数

y=2(x-3尸的图象，那么函数y=2/的图象，如何平移，才能得到函数

、=2(》一3)2+2的图象呢？

［实践与探索］

例1.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象.

y=^x2,y=；(x—1)2,y=；(x—l)2_2，并指出它们的开口方向、对称轴和顶

点坐标.

描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26.2.6所示.

它们的开口方向都向对称轴分别为、_顶

点坐标分别为、、,请同学们完成填空，并观察三个图

象之间的关系.

回顾与反思二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数y=a(x-h)2+k中k的

值；左右平移，只影响h的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的

改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径.此外，图象的平移与平移的顺序

无关.

探索你能说出函数y=a(x-/7)2+k(a、h、k是常数，aHO)的图象的开口方向、

对称轴和顶点坐标吗？试填写下表.

开口方向对称轴顶点坐标

y=a(x-h)2+ka>Q

a<0

例2.把抛物线y=/+法+。向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线

y=V,求b、c的值.

分析抛物线y=Y的顶点为(0,0),只要求出抛物线y=/+"+c的顶点，根

据顶点坐标的改变，确定平移后的函数关系式，从而求出b、c的值.

的2/_2,b-b2仁、b2

y=x+bx+c=x+bxH-------Fc=(xH—)+c---.

4424

Ah2

向上平移2个单位，得到y=(x+Z)2+c——+2,

24

再向左平移4个单位，得到y=(无+^+4)2+。-彳+2,

卜A2

其顶点坐标是(-2-4,，-丁+2)，而抛物线>=/的顶点为(0,0),则

24

---4=0

2

c--+2=0

4

b=-S

解得

c=14

探索把抛物线y=x2+bx+c向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物

线>=一,也就意味着把抛物线y=/向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得

到抛物线y=/+云+c.那么，本题还可以用更简洁的方法来解，请你试一试.

［当堂课内练习］

1.将抛物线y=2(x-4)2-l如何平移可得到抛物线y=2/

()

A.向左平移4个单位，再向上平移1个单位

B.向左平移4个单位，再向下平移1个单位

C.向右平移4个单位，再向上平移1个单位

D.向右平移4个单位，再向下平移1个单位

2.把抛物线y=-1/向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函

数关系式为.

3.抛物线y=l+2x-^x2可由抛物线y=-g/向平移个单位，再向

平移个单位而得到.

［本课课外作业］

A组

1.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象.

y=,y=—3(x+2/，y=—3(x+2)2—l,并指出它们的开口方向、对称轴和

顶点坐标.

2.将抛物线y=-/+2%+5先向下平移1个单位，再向左平移4个单位，求平移后

的抛物线的函数关系式.

1Q1

3.将抛物线)，+X+］如何平移，可得到抛物线y=一］*2+2X+3?

B组

4.把抛物线〉=/+-+，向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线

y=x2-3x+5,则有

()

A.b=3,c=7B.b=一9,c=-15C.b=3,c=3D.b=一9,c=21

2

5.抛物线y=-3/+hx+c是由抛物线y=-3x-hx+\向上平移3个单位，再向左

平移2个单位得到的，求b、c的值.

6.将抛物线y=ax\a丰0)向左平移网个单位，再向上平移闷个单位，其中h>0,k

<0,求所得的抛物线的函数关系式.

［本课学习体会］

二次函数的图象与性质(5)

［本课知识要点］

1,能通过配方把二次函数y=++Zu+c化成y=a(x-/?)2+k的形式，从而确定开

口方向、对称轴和顶点坐标；

2.会利用对称性画出二次函数的图象.

［MM及创新思维］

我们已经发现，二次函数y=2(x-3)2+1的图象，可以由函数y=2x2的图象先

向一平移一个单位，再向—平移一个单位得到，因此，可以直接得出：函数

y=2(x-3)2+1的开口,对称轴是________顶点坐标是,那么,

对于任意一个二次函数，如y=——+3》一2,你能很容易地说出它的开口方向、对称

轴和顶点坐标，并画出图象吗？

［实践与探索］

例1.通过配方，确定抛物线y=-2%2+4x+6的开口方向、对称轴和顶点坐标，再

描点画图.

ft?y——2x~+4x+6

=-2(/-2x)+6

=—2(尸—2.x+1—1)+6

=_[2(X-1)2_1]+6

=-2(x-l)2+8

因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=l,顶点坐标为

(1,8).

由对称性列表：

x…-2；01234

y=-2x2+4x+6...1006860

描点、连线，如图26.2.7所示.

回顾与反思(1)列表时选值，应以对称轴x=l为中心，函数值可由对称性得到，.

(2)描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，

然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点.

探索对于二次函数y=a/+以+c,你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？

请你完成填空：对称轴,顶点坐标.

例2.已知抛物线y=——(〃+2)x+9的顶点在坐标轴上，求a的值.

分析顶点在坐标轴上有两种可能：(1)顶点在x轴上，则顶点的纵坐标等于0;(2)

顶点在y轴上，则顶点的横坐标等于0.

解y=/-(a+2)x+9=(x-a+2)2+9-(4+2),

24

则抛物线的顶点坐标是空2,9-丝空.

24

当顶点在x轴上时，有-生工=0,

2

解得a=-2.

当顶点在y轴上时，有9-("户=0,

4

解得。=4或。=一8.

所以,当抛物线y=x2-(a+2)x+9的顶点在坐标轴上时,a有三个值，分别是-2,

4,8.

［当堂课内练习］

1.(1)二次函数y=---2x的对称轴是_______.

(2)二次函数y=2——2x-1的图象的顶点是___________当x时，y随X

的增大而减小.

(3)抛物线y=♦_以_6的顶点横坐标是-2,贝!］a=.

2.抛物线y=ax2+2x+c的顶点是(g,-1),则a、c的值是多少？

［本课课外作业］

A组

1.已知抛物线y=3/-3x+|,求出它的对称轴和顶点坐标，并画出函数的图象.

2.利用配方法，把下列函数写成y=a(x-/z)2+k的形式，并写出它们的图象的开口

方向、对称轴和顶点坐标.

(1)y——x~+6x+1(2)y=2r—3x+4

(3)y=-x1+njc(4)y=x1px+q

3.已知y=(左+是二次函数，且当尤>0时，y随x的增大而增大.

(1)求k的值；(2)求开口方向、顶点坐标和对称轴.

B组

4.当a<0时，求抛物线y=x2+2ax+l+2a2的顶点所在的象限.

5.已知抛物线y=x2-4x+h的顶点A在直线y=-1上，求抛物线的顶点坐标.

［本课学习体会］

二次函数的图象与性质(6)

［本课知识要点］

1.会通过配方求出二次函数,V=ax2+bx+c{a丰0)的最大或最小值；

2.在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实

际问题中的最大或最小值.

［MM及创新思维］

在实际生活中，我们常常会碰到一些带有"最"字的问题，如

问题：某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可销出约100

件.该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润.经过市场调查，发现这种

商品单价每降低1元，其销售量可增加约10件.将这种商品的售价降低多少时，能使

销售利润最大？

在这个问题中，设每件商品降价x元，该商品每天的利润为y元，则可得函数关系式

为二次函数y=-10x2+100x+2000.那么，此问题可归结为：自变量x为何值时函

数y取得最大值？你能解决吗？

［实践与探索］

例1.求下列函数的最大值或最小值.

(1)y=2x2-3x-5；(2)y=-x2-3x+4.

分析由于函数y=2/一3x-5和y=-x2-3x+4的自变量x的取值范围是全体实

数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值.

解(1)二次函数>=2/_3x-5中的二次项系数2>0,

因此抛物线y=2/-3%-5有最低点，即函数有最小值.

349

因为y=2x2-3x-5=2(x——)2------,

48

349

所以当x==时，函数y=2/一3x-5有最小值是——.

48

(2)二次函数y=-x2-3x+4中的二次项系数-1<0,

因此抛物线>=---3x+4有最高点,即函数有最大值.

因为y=~x~—3x+4——(x+—)~+,

所以当户-士时，函数y=一3x+4有最大值是f.

24

回顾与反思最大值或最小值的求法，第一步确定a的符号，a>0有最小值，a<0有

最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值.

探索试一试，当2.5<x<3.5时，求二次函数y=/-28-3的最大值或最小值.

例2.某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售

量y(件)之间关系如下表：

X(元)130150165

y(件)705035

若日销售量V是销售价X的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为

多少元？此时每日销售利润是多少？

分析日销售利润=日销售量X每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量.

解由表可知x+y=200,

因此，所求的一次函数的关系式为y=r+200.

设每日销售利润为s元，则有

s=y(x-120)=—(x—160)2+1600.

因为一x+20020,x-120N0，所以120Wx<200.

所以，当每件产品的销售价定为160元时，销售利润最大，最大销售利润为1600元.

回顾与反思解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研

究所得的函数，得出结果.

例3.如图26.2.8,在Rt/ABC中,ZC=9O°,BC=4,AC=8，点D在斜边AB上,分别

作DE±AC,DF±BC,垂足分别为E、F,得四边形DECF,设l)E=x,DF=y.

(1)用含丫的代数式表示人£；A

(2)求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；/\

(3)设四边形DECF的面积为S,求S与x之间的函数关系，并/

求出S的最大值.4——E

解(1)由题意可知，四边形DECF为矩形，因此/

BpC

AE=AC-DF=S-y.图26.2.8

(2)由阳心得器嚏，即日空,

所以，y=8-2x,x的取值范围是0<x<4.

(3)S-xy=x(8-2x)--2A:2+8x=-2(x-2)2+8,

所以，当x=2时，S有最大值8.

［当堂课内练习］

1.对于二次函数y=x2-2x+m，当x=时，y有最小值.

2.已知二次函数y=a(x-l)2+b有最小值-1,则a与b之间的大小关系是

()

A.a<bB.a=bC.a>bD.不能确定

3.某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40件，为了扩大销售，增

加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查发现，如果每

件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.

(1)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

(2)每件^彩降价多少元时，商场平均每天盈利最多?

［本课课外作业］

A组

1,求下列函数的最大值或最小值.

(1)y=-x2-2x;(2)y=2x2-2x+l.

2.已知二次函数y=J—6x+m的最小值为1,求m的值.，

3.心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之

间满足函数关系：y=-O.lx2+2.6x+43(0<x<30).y值越大，表示接受能力越强.

(l)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力

逐步降低？

(2)第10分时，学生的接受能力是多少？

(3)第几分时，学生的接受能力最强？

B组

4.不论自变量x取什么数，二次函数y=2/-6x+m的函数值总是正值，求m的取

值范围.

5.如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a为10m),围成中间

隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB为xm,面积为Sm2.

(1)求$与*的函数关系式；k---------a------

I////////////////////

AlD

(2)如果要围成面积为45k的花圃，AB的长是多少米？

BC

(3)能围成面积比45球更大的花圃吗？如果能，请求

出

最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由.

6.如图，矩形ABCD中,AB=3,BC=4,舜殳EF在对角线AC

上,EG±AD,FH±BC,垂足分别是G、H,且EG+FH=EF.

(1)求线段EF的长；

(2)设EG=x,/AGE与/CFH的面积和为S,

写出S关于x的函数关系式及自变量x的取值范围,

并求出S的最小值.

［本课学习体会］

二次函数的图象与性质(7)

［本课知识要点］

会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式.

［MM及创新思维］

一般地，函数关系式中有几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件才

能求出函数关系式.例如：我们在确定一次函数y=kx+b(k丰0)的关系式时，通常

需要两个独立的条件：确定反比例函数y=-(k^Q)的关系式时，通常只需要一个条

X

2

件：如果要确定二次函数y=ax+bx+c(a丰0)的关系式,

又需要几个条件呢？

［实践与探索］:

/6\x

例1,某涵洞是抛物线形，它的截面如图26.2.9所示，现测

得水面宽1.6m,涵洞顶点0到水面的距离为2.4m,在图中

直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？

图26.2.9

分析如图，以AB的垂直平分线为y轴，以过点()的y轴的垂线为x轴，建立了直角

坐标系.这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可

设它的函数关系式是y=ax\a<^.此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的

函数关系式.

解由题意，得点B的坐标为(0.8,-2.4),

又因为点B在抛物线上，将它的坐标代入y=ax2(a<0),得

—2.4=ax0.82

所以a=~—.

4

因此，函数关系式是y=-"/.

4

例2.根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式.

(1)已知二次函数的图象经过点A(0,-1).B(1,0)、C(-l,2)；

(2)已知抛物线的顶点为(1,-3)，且与y轴交于点(0,1)；

(3)已知抛物线与x轴交于点M(-3,0)、(5,0)，且与y轴交于点(0,-3)；

(4)已知抛物线的顶点为(3,-2)，且与x轴两交点间的距离为4.

分析(1)根据二次函数的图象经过三个已知点，可设函数关系式为

y=ax2+bx+c的形式;(2)根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为

y=a(x--3,再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值；(3)根据抛物线与x

轴的两个交点的坐标，可设函数关系式为y=a(x+3)(x-5),再根据抛物线与y轴的

交点可求出a的值；(4)根据已知抛物线的顶点坐标(3,-2),可设函数关系式为

y=a(x-3)2-2,同时可知抛物线的对称轴为x=3,再由与x轴两交点间的距离为4,

可得抛物线与x轴的两个交点为(1,0)和(5,0),任选一个代入

y=a(x-3)2-2,即可求出a的值.

解(1)设二次函数关系式为y=ax2+Z?x+c,由已知，这个函数的图象过(0,-

1),可以得到c=-1.又由于其图象过点(1,0)、(T,2)两点，可以得到

Q+/?=1

a-h=3

解这个方程组，得

a=2,b二一1.

所以，所求二次函数的关系式是y=