2021-2022学年度高中数学必修第二册练习题一含详解

试卷主标题

姓名：班级：考号：

一、选择题(共8题)

1、若向量［=。2)万=7),则3+1的坐标为()

A.(2,3)B.(0,3)

C.(0,1)D.(3,5)

2、用力行推动一物体水平运动嬴，设至与水平面的夹角为8,则对物体所做的功为()

A.函MB.瓦。s8C,瓦)sm6D.用用cos0

3、若1(l+D=3r,则z=()

A.l-2iB.l+2iC.1+iD.l-i

4、哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数(素数指大于1的自然数

中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数)的和“，如18=7+11,在不超过16

的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是()

4_2JL

A.15B.15C.TOD.To

5、如图，“BC中，AB=2AC=6,P,。分别是EC的三等分点，若ACAP=-3,则

ABAQ=()

A.-IB.2C.3D.6

6、已知平面向量［与否的夹角为60-,3=(2,0),|』=1,则卜一回的值为()

A.同.2C.4D.2

7、如图，正方体加8-4片G4的棱长为2,E、F、G分别为EC、8、劭i的中

点，则（）

A.4G〃平面j^p

B.三棱锥夕-HGE的体积为2

C.异面直线4G与EF所成角的正切值为3

D.点G到平面顶的距离是点C到平面顶的距离的3倍

8、设4,Z?,Z3为复数，2尸0.下列命题中正确的是（）

A.若%|=%|,则Z2=±Z3B.若Z/2=Z/3,则Z2=Z3

C.若）2=Z3,则.若Z/2=kf,则4=4

二、填空题（共4题）

1、若加、n是两条不重合的直线，小户为两个不重合的平面，给出下列命题:

①若m/fn,mf/a）则nna.②若mlla,nl!P，mHn则allfi.

③若mlln.nla,则〃J_a；（4）若mLa,nL^,mLn则aJ■户.

上面命题中，真命题的序号是.（写出所有真命题的序号）.

cos=—

2、在“BC中，角力，B,。的对边分别是a,b,c,若16,c=①,则

sin2C-sin2B

3、已知非零向量a,1满足同=羽，且则&与d-W的夹角的余弦值为

4、一个数字不重复的三位数的百位、十位、个位上的数字依次记为叫b,c,当且仅当

a,b,。中有两个不同数字的和等于剩下的一个数字时，称这个三位数为“有缘数”(如

213,341等).现从1,2,3,4这四个数字中任取三个数组成一个数字不重复的

三位数,则这个三位数为“有缘数”的概率是.

三、解答题(共4题)

1、如图所示，圆台母线49长为20cm,上、下底面半径分别为5cm和10cm,从母线AB

的中点"拉条绳子绕圆台侧面转到6点，求这条绳长的最小值.

2、如图，已知M*1■平面ABC,竭/铀，AB=AC=3,BC=2^5,9=",BB、=2币，

点E分别是8c的中点.

(1)求证：松，平面BCB、；

(2)求直线4为与平面BC用所成角的大小.

3、斜三棱柱/c-48G中，侧面曲GC的面积为5,且它与侧棱刈1的距离为h,求

此三棱柱的体积.

4、求函数-2x+5+G7i的最小值,以及y取最小值时的X的值.设想，把原函

数改为y=J/-2x+5-7?TI,能够形成怎样的问题？如何求解？

============参考答案============

一、选择题

1、B

【分析】

直接根据向量加法的坐标运算法则计算可得；

【详解】

解：因为3=(L2)范=(TD,所以a+i=(l,2)+(-l,l)=(0,3)

故选：B

2、D

【分析】

直接用向量的数量积即可求得.

【详解】

力万对物体所做的功为W=R刁可同cos®.

故选：D.

3、B

【分析】

根据因为)(1+】)=3-，，利用复数的除法化简求解.

【详解】

因为z(l+i)=3-i,

——T厂」一21

所以1+1

所以z=\+2i,

故选：B

4、B

【分析】

确定不超过16的素数，写出任取2上的基本事件，同时得出和为16的基本事件，由概率

公式计算概率.

【详解】

不超过16的素数有2、3、5、7、11、13,满足“和”等于16的有(3,13)、

(5,11)共有2组，

总的有(2,3)、(2,5)、(2,7)、(2,11)、(2,13)、(3,5)、(3,

7)、(3,11)、(3,13)、(5,7)、(5,11)、(5,13)、(7,11)、(7,

13)、(11,13),

P=—

所以15,

故选：B.

5、D

【分析】

以荏，而为基底，表示出酢，而，根据数量积公式代入数据化简即可.

【详解】

ACAP=AC-

由题意得,

—*■(2—*1—►2,—*1—*-22—*—*

^AC\^AB^-AC\=-ACAB+-AC=-ACAB+3=-3

U3J333，所以-ACAB=-6

3

冠质=初（诟+;可=后（港+|就_|可=说.（译+£记）

所以

=—ABAC+—AB=—6+—x62=6

333

故选:D

6、B

【分析】

先求出同=2,由平面向量的数量积可求得ab,计算卜-%f=（a-24的值，再开方即可求

解.

【详解】

因为*=（2，°）,所以卜卜2,

〜a5=|a||J|cos60'=2xlx—=1

所以112

]——P.——\2―2—2——

,一以「=\a-2b\=a-Aab

所以+48

=|a|+4忖—2?=22+4—4x1=4

所以口一国=2,

故选：B.

7、AC

【分析】

作出完整的截面延映,证明得线面平行，判断卜；用换顶点法求棱锥体积判断

B,证明异面直线AG与£尸所成的角为乙40日或其补角，在梯形的'口中求出乙44P的

正切值判断C；利用8与EF的交点间距离的比值可得GC到平面花F的距离比，从而

判断D.

【详解】

连接应,印,连接3G,因为E,F所在棱中点，因此EFI/BClf

又正方体中易得皿〃g,所以SF/ZAD^因此平面的）即为截面题入

G是班1中点，则GF与8G、44平行且相等，AGFD】是平行四边形，狗3,

4G。平面花尸，马尸u平面谢，因此有4G“平面AEF,A正确；

GSF=—GFX.BG=—X2X1=1=匕-RF=]$!宓=]Xlx2=5B俨.

由APHD^F.EFIIAD^因此异面直线型?与船所成的角为乙4鼻尸或其补角，

在梯形血。中，皿=26,EF=贬,AE=D\F=布,它是等腰梯形,

雨2一’2―一历

tanZZD.F=----------：——<-=3

2V2-V2

所以—2—,C正确;

理-2

如图，在矩形BC阳中，BCWEF,E是8c中点得，CH，所以G到平面々尸的距

离等于C到平面々尸距离的2倍，D错.

故选：AC.

8、BC

【分析】

对于A：取特殊值%=1，Z3=i判断A不成立；

对于B、C、D：直接利用复数的四则运算计算可得.

【详解】

对于A：取zz=l，Z3=\满足hl=h|,但是句=垃3不成立，故A错误；

对于B：当Z/2=Z]Z3时，有Zi（Z「Z3）=0,又Z尸0,所以Z2=Z3,故B正确；

对于C：当Z2=Z3时，则Z?=W,所以

匕闻2-匕内『=卜/2）（2/2卜（平3乂2/3卜/2乎2-2/3乎3=0,故c正确.

对于D：当Z/2=kf时,则Z/2=kf=Z/i,可得2内-2卢严（/厂21）=0

因为z尸0,所以不％故D错误

故选：BC

二、填空题

1、③④.

【分析】

根据线面平行和垂直的判断和性质依次分析即可得出.

【详解】

解：对于①，若mMHa,则%ua或nlla,故选项①错误；

对于②，若用/心潭“回加"3则。与£平行或相交，如图所示，故选项②错误;

a

对于③，若mHn,nLa,根据两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个

平面，故掰，出故选项③正确；

对于④，若mLa,nL^mLn1直线m,n的方向向量即为平面的法向量，因为

幽_1万，则两个平面的法向量垂直，故a_L凡故选项④正确.

所以真命题的是③④.

故答案为：③④.

2、2

【分析】

a=-b

根据题意，结合余弦定理得2,再根据正弦定理边角互化即可得答案.

【详解】

cos/一卫

解：根据题意，c=%，及C°16

.b2+c2-a2/+4/_/5b2-a211

cosA=---------------=------------------=------z—=一

所以得2%2b2bAb116,解得

Abi-b2

故sin4sin8ab2

故答案为：2

也

3、14

【分析】

由9YU,得到.=W,再由同=2也求得5.(13叫左叫，再由夹角公式求解.

【详解】

因为向一万皿，

所以伍一-苫=0,即工£=机

又同=2同,

所以a-(a-3b\=52-33&=|^|2

|j-3b\=^{a-3bf=杷-6不J+(翦j=#同

8GA町邛

所以

故答案为：14

工

4、2.

【分析】

求出任意三位数的个数，再确定两个数字和等于第三个的3个数的数组，从而求得“有缘

数”的个数，然后可计算出概率.

【详解】

从1,2,3,4这四个数字中任取三个数组成一个数字不重复的三位数的个数为

a=24,

1,2,3,4这四个数字中两个的和等于第三个的有123,134,因此“有缘数”个

数为4+4=12,

F_£_1

所示概率为242.

故答案为：I.

三、解答题

1、50cm.

【分析】

作出圆台的侧面展开图，根据乩0融与人。3相似，得到Q4=20cm,设ZBOB'=a,求

2

得初的长度20开cm为所在圆周长的4,得到a=对，结合勾股定理，即可求解.

【详解】

作出圆台的侧面展开图，如图所示，

OA_5

由轴截面中也0必与RtaOQB相似，得04+15=10,可求得04=20cm.

设Z.BOB'=a,由于5?的长与底面圆0的周长相等，而底面圆0的周长为2”xl0cm,扇

形的半径为OA+AB=20+20=40cm,

扇形。旗'所在圆的周长为27rx40=80衣m.

所以初的长度20元cm为所在圆周长的4,所以OBJ.OB,.

所以在Rt/lB'OM中，B'M2=40、302,

所以B'M=50cm,即所求绳长的最小值为50cm.

B'

2、(1)证明见解析；(2)30。.

【分析】

推导出AELBC,从而竭，平面近,进而BB1±AS?由此能证明AS1.平面BCB、；

(2)取即中点M和4c中点过,连接4叫4叱NE,推导出四边形4/皿是平

行四边形，从而A"MAE,进而4"_L平面BCB、,乙衰由即为直线44与平面8c4所成

角，最后根据已知条件求出来即可.

【详解】

(1)证明：AB=AC,£为比'中点，AE±BC

•；平面ABC,明〃M

55i±平面ABC

：.55i±AE

又BCn8瓦二B

：.AE1平面BCB、

如图，取竭中点M和4G中点N,连接4》，NE

•；N和后分别为用C和比'的中点，”以先砧

.NE//A.A

♦・=

四边形4画是平行四边形

,ANHAE

又AE±_平面BOB、

平面BCB\

...乙M科即为直线4名与平面8匿1所成角,

在A/BC中，可得AE=2

4凶=AE=2

•；BM//AAVBM=AAX

AXM//AB\M=AB

又由'BB、

在及△村朋筑中，=加庐+4M2=4

在反△4网中，

sinN48i"=4"=1

平12

...乙0囚=30。，即直线与平面8cBi所成角的大小为30。

【分析】

解法一：以侧面及QC为公共面补上一个三棱柱/QC-4AG,使两个三棱柱拼成一个平行

六面体细CD-A\B\GD"然后以仍。。为底面求解；

解法二：连接加1、鸣,则截面曲q将此三棱柱分割成一个三棱锥人-445和一个四棱锥

阳c。求解.

【详解】

解法一：如图所示:

以侧面为公共面补上一个三棱柱使两个三棱柱拼成一个平行六面体

ABCD-AMD

以劭GC为底面，则及1到平面助Q。的距离即为平行