2023年新教材高中数学人教A版必修第二册6 .4 .3 余弦定理、正弦定理（第2 课时）正弦定理

6.4.3余弦定理、正弦定理（第2课时）正弦定理

【夯实基础】

一、单选题

1.（2023・高一课时练习）在一中，sinA:sinB:sinC=Z:（Z+l）:2k（%w0）,则上的取值

范围是（）

A.（2,+oo）B.（-»,0）C.f-pOjD.（g,+8）

【答案】D

【分析】利用正弦定理和三角形成立的条件求解.

【详解】由正弦定理知sinA:sinB:sinC=a:b:c,

所以a:b:c=Z:（Z+l）:2Z:,

2k+k>k+l

根据三角形成立的条件可知-k+斤+l>2k,解得%>；,

k+1+2k>k

2.(2023・高一课时练习)在中，若满足sir?A=si/B+sinasinC+sii?C,则A=()

A.30°B.60°

C.120°D.150°

【答案】C

【分析】利用正弦定理将已知条件角化边，然后再利用余弦定理即可求解.

【详解】解:在一43c中，因为sin?A=sin?b+sinHsinC+sin?C,

所以由正弦定理得/=从+bc+c2f即6+°2一/=_bCf

所以由余弦定理有cosA=F4二"=W,

因为Ae（0,120）,所以A=120。，

3.（2023•高一课时练习）在MC中，若C=28,则任羽等于（）

sinB

b-aa—c

A.-B.-C.-D.一

abca

【答案】B

【分析】先结合已知条件和两角和的正弦公式展开，然后结合正弦定理和余弦定理化简整理

即可.

【详解】因为C=2B,所以鬻=sin(23+8)_sin(C+B)_sinCcosB+cosCsinB

sinBsinBsinB

结合正弦定理与余弦定理可得

a2+c2-b2b2+cr-c2,a2+c2-b2b2+a2-c2

•oDc---------------------1---------------------b--------------------1--------------------

sm38=2ac2ba=2a2a=£，

sinBbbb

4.（2023・高一课时练习）在解三角形中，己知A、。、b,给出下列说法：

①若AN90。，且aWA,则此三角形不存在；

②若A290。，则此三角形最多有一解：

③当A=90。，a<b,则三角形不一定存在；

④若A<90。，且。=8sinA,则此三角形为直角三角形，且3=90。；

⑤当A<90。，且。sinAvaVb,则三角形有两解.

其中正确的说法有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】由已知的A、a、b,根据正弦定理表示出sin8,根据大边对大角和大角对大边与

三角形的内角和定理即可判断①②③④；对于⑤，取一个特例。=方时，A=B,由A为锐角，

得到B也为锐角，由此可得结论.

【详解】解：根据正弦定理三=上得：sinB=g^

sinAsinBa

对于①若AN90。，且根据大边对大角有8NAN90。，与内角和定理矛盾，则此三角

形不存在，故①对；

②若AN90。，则A为直角或钝角，则B一定为锐角，即此三角形最多有一解，故②对；

③当A=90。，a<b,根据大边对大角有B>A=90。，与三角形的内角和定理矛盾，则三角

形一定不存在，故③错；

④若A<90°,且a=6sinA,则sin8=l,则3=90。，故④对；

⑤当。=力时，A=5,此三角形为等腰三角形，只有一解，当A<90。，且从inA<小。时，三

角形不一定有两解，故⑤错；

则其中正确说法的个数为3个.

5.（2023•高一课时练习）在“ABC中，若6=2夜,“=2,且三角形有两解，则4的取值范

围是（）

A.0°<A<30°B.0°<A<45°C.0°<A<90°D.30°<A<60°

【答案】B

【分析】由正弦定理结合三角形解的个数求解即可.

【详解】/?=20,a=2,且三角形有两解，则£>sinA<"6,ER2>/2sinA<2,sinA<>

00<A<45°.

6.（2023・高一课时练习）如图，已知A,B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的

河岸边另选定一点C,测得AC=50m,ZACB=45，ZCAB=105,则A、B两点的距离为

()

••

-----------------------A

A.50且mB.25GmC.25万mD.5072m

【答案】D

【详解】试题分析：由已知，ZABC=3()，由正弦定理得:

=AB=d°sm45=5。板.

sin45sin30sin30

二、多选题

7.(2022春・广西柳州•高一校考阶段练习)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,

己知(6+c):(c+a):(a+b)=4:5:6,则下列结论正确的是()

__uuutK.au

A.sinA:sinB:sinC=7:5:3B.CA-CB<0

C.若c=6,则ABC的面积是15D.若b+c=8,则ABC外接圆半径是亚

3

【答案】AD

,753.

【分析】设b+c=4f,c+a=5t,a+b=6t,，>0,求出。=T,b=—t,c=—t,根据正

222

弦定理可判断A正确；根据平面向量数量积和余弦定理可判断B不正确；根据余弦定理和三

角形面积公式可判断C不正确；根据余弦定理和正弦定理可判断D正确.

【详解】设Z?+c=4f,c+a=5t,a+b=6t,f>0,

753

则a=b=-t,c=-t,

753

对于A,sinA:sinB:sinC=6r:/?:c=—r：-r：—r=7:5:3,故A正确；

222

对于B,CACB=bacosC-ab-a——巳=［（¥，+0*-3产）=黑»>0,故B不正

2ab24448

确;

对于C,若c=6,则f=4,a=14,Z?=10,

a2+b2-c2196+100-36i0.:1693G

所以cosC=—,所以sinC=-cos?C=

2ab2x14x1014-196

所以一ABC的面积是，出?sinC=—xl4xl0x^^-=15\/3，故C不正确;

2214

53

对于D,若。+c=8,贝ij二f+二£=8,贝卜=2,贝ija=7,h=5,c=3,

22

a2+/?2-c2'16935/3

所以cosC=鹏小©E二1--------=--------

lab19614

c3_ly/3

所以ABC外接圆半径为而王=—访=T'.故D正确.

2x-----

14

8.（2022・全国•高一假期作业）在"BC中，内角4民。所对的边分别为下列各组条

件中使得「ABC有两个解的是（）

A.。=26，b=4,cosA=-B.a=2百,b=8,cosA=

44

C.a=\[\5,b=4,A=yD.a=2A/3,b=49

6

【答案】CD

【分析】根据题意先求出sinA的值，根据正弦定理可推得sin3=驷4,当sinBvl,且人“

a

时，B有两个解，即「A3C有两个解.

【详解】A项：因为sin4>0,所以sinA=Jl-cos2A

4

叵

上可得,

由正弦定理急._£>sinA*43无解，A错误;

sinBsinB=--------=------=

a2V3

B项：因为sinA>0,所以sinA=J1-cos?A=

4

义B

由正弦定理一r3h可得,sima=）=］，只有一个解，B错误;

C项：因为sinA=sin工=也，由正弦定理三=刍可得，,沁〃bsinA”了2指

32sinAsinBsin3=---------=—=-=——<1

a7153

又">“，所以8>A,此时8有两个解，即ABC有两个解，C正确;

D项：因为sinA=sinJ=:，由正弦定理上7=—勺可得，/a一加A_2甘

62sinAsinBsin6-—-<1

又心“,所以8>A,此时8有两个解，即ABC有两个解，D正确.

9.（2022秋•山东聊城•高一聊城二中校考阶段练习）已知用△ABC的斜边长为2.则下列关

于2ABe的说法中，错误的是（）

A.周长的最大值为2+2及B.周长的最小值为2+2&

C.面积的最大值为2D.面积的最小值为1

【答案】BCD

【分析】由勾股定理，得出三边关系，根据基本不等式求周长和面积最值.

【详解】解：由题知，设斜边为。，则c=2,a2+b2=4.

先研究面积：S=D.立2=1,

222

当且仅当即a=。=及时取等号，

所以面积的最大值是1.

C、D选项都是错误的；

再研究周长：a2+b2=4,(<7+/>)2-2ab=4,

(a+6)2-2(学)<4,(a+h)2<8,a+b<2y/2,

当且仅当I：；',%，即a=。=后时，取等号，

所以a+b的最大值为2正，周长的最大值为2+2近，故B选项错误.

综上，选BCD.

三、填空题

10.(2023•高一课时练习)在，ABC中，已知。=gcsinB,贝I]C=.

22

【答案】arcsin§或兀一arcsiri]

【分析】利用正弦定理即可求解.

【详解】在ABC中，因为

所以由正弦定理得：sinB=|sinCsinB,

因为sin3〉0,

2

所以sinC=§,又0<C〈兀，

_2—2

所以C=arcsin—^C=TI-arcsin—,

22

故答案为：arcsin或冗一arcsin-

11.（2023•高一课时练习）在中，若bsin8=csinC,则43c的形状是.

【答案】等腰三角形

【分析】首先根据正弦定理角化边公式得到b=c,即可得到答案.

【详解】由题知：fesinS=csinC=>Z>2=c2=>b-c^

则,.ABC为等腰三角形.

12.（2023•高一课时练习）在中，4=45,NC=30,c=10,则。=.

【答案】10&

【分析】利用正弦定理可求得”的值.

10sin45

【详解】由正弦定理可得二―故〃==10技

sinZAsinZCsin30

qin/A2

13.（2023・高一课时练习）己知。、人为的边，A、8分别是。、〃的对角，且一

sinB3

则呼=__________.

b

【答案】I

【分析】结合正弦定理得到空=;,然后结合分式的性质即可得到结果.

b3

【详解】因为警=],结合正弦定理得由分式的性质得半=。，

sinB3b3b3

14.（2023・全国•高一专题练习）在ABC中，a,b,c分别是内角A,B,C所对边的长，已

知tanB=豆，cosC=1,b=3R,则边A8的长是.

【答案】8

【分析】由tan8=6得B=J,由cosC=:得sinC=2也，在ABC中使用正弦定理求出

333

AB.

【详解】因为tanB=6,8e（O,7t）,所以8=g,sinB=巫，

J2

又因为cosC=2,所以sinC=Jl-cos2c

33

又因为人=36，在中由正弦定理得48=变华=8.

sinB

15.（2023・高一单元测试）已知点A（T—2）,8（2,2）,C（-2,-l），则一ABC的面积为.

【答案】:7

【分析】先计算出三角形的边长，再用余弦定理计算出cosB,进而得到sinB,再套用三角

形面积公式即可求解.

【详解】点A（—1,—2）,3（2,2）,0（-2,-1）

AB=5,WC=62BC，COSB=A^C^=25125-2=24

2ABBC2x5x525

sinB=71-cos2B=—,

25

1177

S.=-y4BBCsin^=-x5x5x—=-

ZReC22252

16.（2023・高一课时练习）在一ABC中，若A=120。，c=10,如果ABC可解，则边。的取

值范围是.

【答案】（10,―）

【分析】由题意确定0°<C<60。，由正弦定理可求得sinC=速，结合JU3C可解以及C

a

的范围，列出不等式，求得〃的范围.

【详解】由题意在中，若A=120。，则0。<（7<60°,

-ac.「csinA10sin1205V3

由正弦定理得----=-----smC=--------=---------=，-，

sinAsinCaaa

ABC可解，则需有0<sinC=%^<，^,解得〃>10,

a2

故边〃的取值范围是（10,”），

17.（2023•高一课时练习）的外接圆半径为3,则±+"C

sinBc

【答案】?73

0

b

【分析】根据正弦定理—.=2/?即可求解.

smAsinBsinC

【详解】因为ABC的外接圆半径为3,

b

由正弦定理可得：=2H=6,

sinBsinC

则有二1=12,sinC1

——,

sinB6

2bsinC173

所以而十k5+不二,

18.（2023・高一单元测试）若/U3C中，已知a=2百，b=2,S物=上，则门.

【答案】2或2币

【分析】由三角形面积公式可得角C,再由余弦定理即可得结果.

【详解】因为a=2>/J,b=2,SfcsinC=A/5,

即sinC=1，由于Ce（O,7t）,所以C=£或学，

266

当C=5时，c2=a2+/j2-2«/?cosC=12+4-2x2^x2x—x：4,即c=2：

62

当C专时,=/+〃-2"COSC=12+4-2X26X2XH|=28,即°=2/，

即c的值为2或2万，

19.（2023•高一课时练习）若等腰三角形一腰长是底边长的4倍，则底角的正弦是.

【答案】辿##：/

88

【分析】设底边长为。，则腰长为4〃，设底角为6,则顶角大小为兀-加，由正弦定理可得

4tza1

硒=丽F，解得cos。/，即可得底角的正弦•

【详解】解：若等腰三角形一腰长是底边长的4倍，设底边长为a,则腰长为4〃，设底角为

0,则，«0,兀）

4aa4aaa

则顶角大小为兀-26,由正弦定理可得：嬴（兀-2。广硒=痂T2sin0<os。'

35

所以cos0=—,贝!|sin0—>/1-cos20—J1—

则底角的正弦是迈.

8

20.（2023・高一课时练习）在，A3C中，若匕=2a,B=A+^,则人=.

【答案】g

6

【分析】由正弦定理把b=2a转化为sinB=2sinA,然后将B4+?代入化简可求出角A

【详解】解：因为在中，b=2a,

所以由正弦定理得sin8=2sinA,

因为B=A+0,所以sin（A+（）=2sinA,

所以sinAcos£+cosAsin£=2sinA,化简得走cos4=asinA,

3322

所以tanA=,

3

因为Ae(O,i),所以A=J,

6

四、解答题

21.（2023•全国•高一专题练习）在ABC中，a,b,c分别是三个内角4,B,C所对边的长,

已知b=4,面积5人叱=且，求。的值.

2AtiC2

［答案］a=叵或叵

22

【分析】利用三角形的面积公式，求出sinA,利用平方关系求出COSA,最后利用余弦定理

求出a.

【详解】S.=—Z?csin—=—x—x4xsinA=>sinA=—,

„ABC22222

0<A<TT,/.cosA=±—,

2

当cosA=~!"时，

2

=>a2=b2+c2-2Z?ccosA=­,〃=正^,

42

当cosA=--时，

2

73

=>a2=b2+c2-2bccosA=—,

4

综上所述，故答案为.=母或遮

22

22.（2023•高一单元测试）如图，半圆。的直径为2,点A在直径MN延长线上，且04=2,

3为半圆圆周上任意一点.以AB为边作等边三角形ABC（4、B、C按顺时针方向排列），问

/AQ?为多少时，四边形O4CB的面积最大？这个最大面积是多少？

【答案】当NA08=?时，四边形OACB的面积取到最大值2+%叵

64

【分析】利用余弦定理进行边化角，根据三角形面积公式结合三角恒等变换化简整理得

5伽8=2sin（a-1]+乎，再根据正弦函数的有界性运算求解.

【详解】设NAO8=a,ae（O,兀）,

在.HOB中，AB2=OA2+OB2-20A-OB-cosZAOB=5-4cosa,

则=S-B+=J3.OB.sina+gAB.AC•sinNBAC

=sina+手(5-4cosa715y/3

H-------,

34

jr

ae(0,n),则

.•.当。兰噎即"朝时，S噜取到最大值2+乎.

故当NAO8=手时，四边形OAC3的面积取到最大值2+任.

64

23.（2023•高一课时练习）在锐角/WC中，a=2bsmA.

（1）求B；

（2）若a=3G，。=5,求A8C的面积.

【答案】（1）g;（2）幽.

64

【分析】（1）由于锐角:ABC中，a=2bsinA,利用正弦定理将等式两边的边化成相应角的

正弦即可；

（2）利用sABC=gacsinB可求二ABC的面积.

【详解】解：（1）锐角45c中，a=2bsinA,由正弦定理得：

sinA=2sinBsinA,又sinA不为0,

z.si♦nBn=一1,

2

又8为锐角，

・'•吟

(2)a=3y/3,c=5,8=30°,

SA.„r=iacsinB=—x5x3\/3xi=1^1

f2224

【能力提升】

一、单选题

I.（2023•高一课时练习）在一MC中，若a=2,c=l,则C的取值范围是（）.

【答案】A

【分析】先由题意，得到C为锐角，由正弦定理求得sinC=《sinA4!，即可得出结果.

【详解】解：因为c=l<2="，所以C为锐角，

由正弦定理可得：sinC=%4=4sinA,

a2

又Ae（0,7t）,所sinAe（O,l],因此0<sinC=；sinAwg,

因为C为锐角，所以Ce（0词.

3.（2022春.上海杨浦•高一复旦附中校考期末）已知一ABC中，角A、B、C的对边分别为〃、

,什tanCtanC1a2+b2，士“/

b、c,若--+--=则rill—--的值为（)

tanAtan83c

A.3B.4C.'7D.8

【答案】C

【分析1先化为一二+一1=二二，将切化弦,…人十，目N[cosAcosBcosC

结合正弦定理得到----+——=——,

tanAtanB3tanCab3c

再利用余弦定理求出力+从=7。2,得到答案.

【详解】因为吗+理5=!,所以一二+」]

tanAtan83tanAtan83tanC

cosAcos8cosC

o即n----+----=-----,

sinAsin33sinC

，.十cosAcosBcosC

由正弦定理得：——

ab3c

4A5入E砥/+。2-〃2+c2_^22+^2_2

由余弦定理得：————+————=—a———c，

2abe2abcbabe

整理得：a2+b2^lc2,

所以,+丁=7

C

53

4.(2022秋•天津南开•高一统考期末)已知,ABC中,sinA=—,cosB=—,则cosC=()

16T,56c16-56n16f56

A.一或一B.——C.——D.——或——

656565656565

【答案】B

【分析】先利用三角函数的基本关系式求得$in8,再利用正弦定理推得A为锐角，从而可求

得cosA,再利用余弦的和差公式即可求得cosC.

【详解】因为在ABC中，OvBc%,所以sin5=Jl-cos?B=1,

所以sin3>sinA,由正弦定理可得故故A为锐角，

所以cosA=J1-sin?A=—,

1235416

所以cosC=-cos(7t-C)=-cos(A+8)=-cosAcos3+sinAsin3=x-d-----X—

13513565

二、多选题

5.（2022春•广西百色・高一校考期中）在ABC中，角48,。的对边分别为。也c.根据下列

条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（）

A.a=5,b=[c=3,有唯一解

B.b=18,c=20,3=60°,无解

C.。=81=8&,8=45。，有两解

D.a=30,6=25,A=150。，有唯一解

【答案】AD

【分析】根据三边确定可判断A选项；由正弦定理，在结合大边对大角可判断B,C,D选

项.

【详解】解：选项A,a=52=7,c=8,已知三边三角形确定，有唯一解，A正确；

20

选项B,由正弦定理得：上=三，则.「csinBXT5g再由大边对大

sinBsinCsinC=---=——+=——<1

b189

角可得C>3,故C可以为锐角，也可以为钝角，故三角形有两解，B错误；

a人队0

选项C,由正弦定理得：三二三，则“sinB1,且a<"由大边对

sinAsinBsinA=---==-<l

大角可得A<3,则A只能为锐角，故三角形有唯一解，C错误；

3y°ab.„ftsinA25sinl50°5,,_,

选项D,由正弦定理得：——,sinB=-------=————=—<1,由于Aa=150。，则

smAsmBa3012

B是锐角，有唯一解，D正确.

6.（2022春.广西玉林•高一校考阶段练习）在中，若a:〃:c=4:5:6,下列结论中正确

的有（）

A.sinA:sinB:sinC=4:5:6B.MC是钝角三角形

C.ABC的最大内角是最小内角的2倍D.若c=6,则，A3C外接圆的半径为上上

7

【答案】ACD

【分析】根据正弦定理，余弦定理逐一判断即可.

【详解】根据正弦定理由a：6：c=4:5:6=>sinA:sinB:sinC=4:5:6,因此选项A正确；

设a=4k,b=5k,c=6k,所以C为最大角，

+〃2_r2]6*2+25*2_36*2I

cosC=^-^~-=°M~”=_1>0,所以c为锐角，因此43c是锐角三角

2ab2-41c-5k8

形，因此选项B不正确；

2

方+。2一片25k、36k-16k3

cosA=显然A为锐角,

2・5k・6k

—=-^=cosA

cosC=2cos2-----1=>cos—

因此有g=AnC=2A,因此选项C正确；

2

由cosC=-=>sinC=V1-cosC=A/l--=,

8V648

1c168>/7

---------——x-------=-----

外接圆的半径为：2sinC23后7.因此选项D正确，

4一

三、填空题

7.(2023•高一单元测试)在，43C中，已知(a+b+c)(a+8—c)=3"，且d/c,则

【分析】根据条件结合余弦定理求解出C的值，再根据正弦定理可得sinAsin8的关系，最

后利用正弦定理进行边化角求解出结果.

【详解】因为(a+0+c)(a+6-c)=3a6,所以化简可得c?+从一必，

TT

又c?=4?+从一加力cosC,所以2cosc=1,所以C=§,

又因为a=bc，所以sin?A=sin8sinC,所以sin?A=—sin8,

2

b_sinfi_sinB_2A/3

所以asinA-sin?]-g.一一亍，

——sinB

2

8.（2023•高一课时练习）在，4?C中，已知5=60。，C=45°,BC=8,A318C于/）,则

AD的长为.

【答案】12-4^##-45/3+12.

【分析】在43c中，根据正弦定理求出A8=8白-8.然后在RtAD8中，即可求出A。的长.

【详解】

由已知可得，ABAC=1800-B-C=180°-60°-45°=75°.

sin75=sin（45+30）=sin450cos30"+cos450sin30"

=与旦与L丑史,

22224

ABBC

在.ABC中，由正弦定理布

sinCsinZ.BAC

A/2

8x——

,_BCsinC

可得,AB=----L---2-=86-8.

sinZBAC5/6+V2

因为3=60。，在RtAD8中，sinB=——,

AB

所以AO=A8sinB=（8g-8）x.=12-4"

35

9.（2023・高一课时练习）在“5C中，6=3,cosA=-,cosB=三，贝"=.

14

【答案】y

【分析】由cosA与cosB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA和sin8的值，进

而求出sinC的值，再由人的长，利用正弦定理求出。的长即可.

3s

【详解】解：在A3C中，cosA=-,cos5=^,

412

sinA=—,sinB=——,

513

/.sinC=sin(A+8)=sinAcosB+cosAsin^=—x—+—x——=—,

51351365

又。=3,

56

bZ>sinC3X65_14

由正弦定理得：c

sinBsinCsinB-12一-•

13

4.i_R

10.(2023・全国•高一专题练习)在ABC中，若tan—^=sinC,给出下列四个论断：

①tanAcotB=l；®l<sinA+sinB<5/2;®sin2A+cos2B=l；@cos2A+cos2B=sin2C.其中

正确论断的序号有.

【答案】②④

【分析】先利用三角形内角的关系和三角形恒等变换得到。=微，然后计算每一个论断判断

正误即可.

,A+BC

…⑼、A+B+C71,A+Bsin-rCOS?A+B.c

【详解】由题可知——-——=—>c所r以xltan-；一=三==—六,因为Ian、一=smC,

222cosA+Bsinc2

22

C

cos_

所以一g=sinC=2singeos显然在一4?(?中cos^x0,所以有2疝2§=1,得

sin-2222

2

l-2sin2-1=0,所以cosC=0,故。=5；①因为sin(A+B)=sinC=l,所以有

sinAcos3+cosAsin8=1;由tanAcotB=1得sinAcos8+cosAsin8=0与题意矛盾，故①错误；

②因为C=',所以sinA+sin8=sinA+sin71Aj=sinA+cosA=&sin(A+?),显然

0<A磴得卜A+$率所以l<Bsin（A+讣&,即l<si"+sinBM夜,故②正

确；③因为C=',所以sin'A+cos,B=sin)+cos2|-AU2sin2A,显然2sin2A不一定等

于1,故③错误；④因为C=g,所以有4+。2=02,A+B=J,所以有sin%+sin2B=sin2c

（正弦定理），sinA=cosB,sinB=cosA（诱导公式）；所以有co/A+c^Busirc，故④正

确；

11.(2022秋.江西赣州.高一赣州市赣县第三中学校考阶段练习)在锐角ABC中，角

所对的边分别为。力,c,S为ABC的面积，且2s=/-伯-4,则&的取值范围.

C

【答案】居)

【分析】利用三角形面积公式与余弦定理，可得2cosA=2-sinA,再根据同角关系式可得

4

sinA,cosA,tanA,然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得出，结合

ctanC5

条件可得tanC的取值范围，进而即得.

【详解】因为2s="—e―c)\且S=^?csinA,

所以bcsin4="-(/>-c)2,即〃+c°-a1=/?c(2-sinA),

由余弦定理得：cosA=LJ

2bc

所以28sA=2-sinA,又cos?A+sin2A=1,

所以sin?A+(l-—sin/A)2=1,

2

4

解得：sin/l=—ngsinA=0,

因为ABC为锐角三角形,

•4/-----------3

所以sinA=g,cosA=vl-sin2A=一,

5

“…▲sinA4

所以tanA=------=-,

cosA3

因为A+8+C=7t,

所以sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

由正弦定理得：IsinB_sinAcosC+cosAsinC

sinCsinC

434

—cosC+-sinC-o

5=^+3>

sinCtanC5

因为ABC为锐角三角形,

0<B<-A+汨

2

所以,即

0<C<-0<Y

2

所以

cosA3

所以tanC>tan

sinA4

14

所以0<----<—

tanC3

44

所以0<工<3,35,

九5+-<-

tanC155tanC53

四、解答题

12.(2023・高一课时练习)在3ABe中，已知(2b-Gc)cosA=&zcosC.

(1)求A;

(2)现给出三个条件：①a=2；②8=45。；③c=®.试从中选出两个可以确定A3C的

条件，写出你的选择并以此为依据求A