八年级数学第十二章全等三角形教案

课题：12.1全等三角形

【教学目标】

知识与技能目标：

掌握怎样的两个图形是全等形，了解全等形，了解全等三角形的的概念

及表示方法。。掌握全等三角形的性质。体会图形的变换思想，逐步培养动态

研究几何意识。初步会用全等三角形的性质进行一些简单的计算。

过程与方法目标：

围绕全等三角形的对应元素这一中心，。设计一系列问题，给出三组组合

图形，让学生找出它的对应顶点、对应边、对应角，进面引入本节问题的主

题，强化了本课的中心问题——全等三角形的性质，经历理解性质的过程。，

体会图形的变换思想，逐步培养学生动态研究几何图形的意识。

情感与态度目标：

学生在富有趣味的活动中进行全等三角形的学习，提供学生发现规律的

空间，激发学生学习兴趣。

教学重点：全等三角形的性质

教学难点：寻找全等三角形中的对应元素

教学方法:采用启发诱导，实例探究，讲练结合，小组合作等方法。

学情分析：这节课是学了三角形的基本知识后的一节课、只要实际操作

不出错、学生一定能学好。

课前准备：全等三角形纸片

【教学教程】

一、创设情境，引入新课

1、问题：各组图形的形状与大小有什么特点？

一般学生都能发现这两个图形是完全重合的。

归纳：能够完全重合的两个图形叫做全等形。

2.学生动手操作

⑴在纸板上任意画一个三角形ABC,并剪下，然后说出三角形的三个角、

三条边和每个角的对边、每个边的对角。

⑵问题：如何在另一张纸板再剪一个三角形DEF,使它与aABC全等？

3.板书课题：全等三角形

定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形

“全等”用“且”表示，读着“全等于”

如图中的两个三角形全等，记作：AABC/ADEF

二、探究

全等三角形中的对应元素

1.问题：你手中的两个三角形是全等的，但是如果任意摆放能重合吗？

该怎样做它们才能重合呢？

2.学生讨论、交流、归纳得出：

⑴.两个全等三角形任意摆放时，并不一定能完全重合，只有当把相同的

角重合到一起（或相同的边重合到一起）时它们才能完全重合。这时我们把

重合在一起的顶点、角、边分别称为对应顶点、对应角、对应边。

（2）.表示两个全等三角形时，通常把表示对应顶点字母写在对应的位置上,

这样便于确定两个三角形的对应关系。

全等三角形的性质

L观察与思考：

寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边

有什么关系？对应角呢？

全等三角形的性质：

全等三角形的对应边相等.

全等三角形的对应角相等.

2.用几何语言表示全等三角形的性质

如图：'.'△ABC之ADEF

.,.AB=DE,AC=DF,BC=EF（全等三角形对应边相等）

ZA=ZD,ZB=ZE,ZC=ZF（全等三角形对应角相等）

探求全等三角形对应元素的找法

1.动画（几何画板）演示

（1）图中的各对三角形是全等三角形，怎样改变其中一个三角形的位置,

使它能与另一个三角形完全重合？

归纳：两个全等的三角形经过一定的转换可以重合.一般是平移、翻折、

旋转的方法.

（2）说出每个图中各对全等三角形的对应边、对应角

归纳：从运动角度可以很轻松解决找对应元素的问题.可见图形转换的

奇妙.

2.动画（几何画板）演示

图中的两个三角形通过怎样的变换才能重合？用式子表示全等关系.并

说出其中的对应关系.A

（1）从运动角度看

a.翻折法：一个三角形沿某条直线翻折与另一个三角形重合，从而

发现对应元素.

b.旋转法：三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合，从

而发现对应元素.

c.平移法：沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素.

（2）根据位置元素来推理

a.有公共边的，公共边是对应边;

b.有公共角的，公共角是对应角；

c.有对顶角的，对顶角是对应角；

d.两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边也是对应边；\

e.两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角也是对应角；VVj

三、课堂练习ZXX

练习1.△ABDgZ\ACE,若NB=25°,BD=6cm,AD=4cm,B（

你能得出aACE中哪些角的大小，哪些边的长度吗？为什么？

练习2.AABC^AFED

A

⑴写出图中相等的线段，相等的角；/\

nB/

⑵图中线段除相等外，还有什么关系吗？请与同伴交

流并写出来.F

四、课堂小结

通过本节课学习，我们了解了全等的概念，发现了全等三角形的性质，

探索了找两个全等三角形对应元素的方法，并且利用性质解决简单的问题。

找对应元素的常用方法有三种：

（―）从运动角度看

1.平移法：沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素.

2.翻转法：找到中心线，沿中心线翻折后能相互重合，从而发现对应元

素.

3.旋转法：三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合，从而发

现对应元素.

（二）根据位置元素来推理

1.全等三角形对应角所对的边是对应边;两个对应角所夹的边是对应边.

2.全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角.

（三）根据经验来判断

1.大边对应大边，大角对应大角

2.公共边是对应边，公共角是对应角

五、课堂作业

必做题：课本第38页1、2、选做题：第3题

六、板书设计12.1全等三角形

一、概念二、全等三角形的性质三、性质应用例题

四、小结：找对应元素的方法

运动法：翻折、旋转、平移.

位置法;对应角f对应边，对应边f对应角.

经验：大边一大边，大角一大角.公共边是对应边，公共角是对应角。

【教学反思】

课题：12.2.1三角形全等的判定《1》

【教学目标】：

知识与技能：掌握三角形全等的“边边边”的条件;

过程与方法：经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获

得数学结论的过程.通过对问题的共同探讨,培养学生的协作精神.

教学重点:三角形全等的条件.

教学难点：寻求三角形全等的条件.

教学方法:采用启发诱导，实例探究,

讲练结合，小组合作等方法。

学情分析：这节课是学了全等三角形的

基本知识后的一节课、只要实际操作不出错、

学生一定能学好，根据之前的学情、学好这

一节课有把握。

课前准备全等三角形纸片、三角板、

【教学过程】:

一、创设情境，引入新课

［师］，回忆前面研究过的全等三角形.已知△ABCgAA'B'C,找

出其中相等的边与角.

［生］图中相等的边是：AB=AZB、BC=B,C'、AC=A'C.

相等的角是：NA=NA'、ZB=ZB,、ZC=ZC.

［师］很好,老师这里有一个三角形纸片，你能画一个三角形与它全等吗？

怎样画？

［生］能，先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数，再作出一个三角

形使它的边、角分别和已知的三角形纸片的对应边、对应角相等.这样作出

的三角形一定与已知的三角形纸片全等.

［师］这位同学利用了全等三角形的定义来作图.请问，是否一定需要六

个条件呢？条件能否尽可能少呢？现在我们就来探究这个问题.

1.只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），画出的两个

三角形一定全等吗？

2.给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三

角形一定全等吗？分别按下列条件做一做.

①三角形一内角为30°,一条边为3cm.

②三角形两内角分别为30°和50°.

③三角形两条边分别为4cm、6cm.

学生活动：分组讨论、探索、归纳，最后以组为单位出示结果作补充交

流.

结果展示：

1.只给定一条边时:

只给定一个角时：

2.给出的

两个条件可能

是：一边一内角、

两内角、两边.

可以发现按这些条件

画出的三角形都不能保证一定全等.

［师］那么，给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？

［生］四种可

能.即：三内角、③

三条边、两边一内

角、两内有一边.

［师］在大家刚才的探索中，我们已经发现三内角不能保证三角形全等.下

面我们就来逐一探索其余的三种情况.

二、探究：做一做：

已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、10cm.你能画出这个

三角形吗？把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？

学生活动：

1.讨论作法.

2.比较、验证结果.

3.探究、发现、总结规律.

教师活动：

教师可参与到学生的制作与讨论中，及时发现问题，因势利导.

活动结果展示：

1.作图方法：

先画一线段AB,使得AB=6cm,再分别以A、B为圆心，8cm、10cm为半

径画弧，两弧交点记作C,连结线段AC、BC,就可以得到三角形ABC,使得

它们的边长分别为AB=6cm,AC=8cm,BC=10cm.

2.以小组为单位，把剪下的三角形重叠在一起，发现都能够重合.这

说明这些三角形都是全等的.

3.特殊的三角形有这样的规律，要是任意画一个三角形ABC,根据前面

作法，同样可以作出一个三角形ABC',使AB=AB'、AC=AZC\BC=BC'.将4

ABC剪下，发现两三角形重合.这反映了一个规律：

三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”.

［师］用上面的规律可以判断两个三角形全等.判断两个三角形全等的推

理过程，叫做证明三角形全等.所以“SSS”是证明三角形全等的一个依据.请

看例题.

三、例题

［例］如图，AABC是一个钢架，AB=AC,AD是连结点A与BC中点D的支

架.

求证：△ABD^^ACD.

［师生共析］要证AABD丝AACD,可以看这两个三

角形的三条边是否对应相等.

证明：因为D是BC的中点

所以BD=DC

在AABD和4ACD中

AB=AC

BD=CD

AD=AO（公共边）

所以4ABD之4ACD(SSS).

生活实践介绍：用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状是固定不

变的，而用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的.三角形的这个性

质叫做三角形的稳定性.所以日常生活中常利用三角形做支架.就是利用三

角形的稳定性.例如屋顶的人字梁、大桥钢架、索道支架等.

四、课时小结

本节课我们探索得到了三角形全等的条件，发现了证明三角形全等的一

个规律SSS.并利用它可以证明简单的三角形全等问题.

五、布置作业

必做题：课本P43页习题12.2中的第1,选做题：第2题

六、板书设计：11.2.1三角形全等判定(1)

一、复习导入

二、尝试活动探索新知

三、应用新知解决问题

四、总结提高

【教学反思】

课题：12.2.2三角形全等的条件《2》

【教学目标】：

知识与技能：理解三角形全等的“边角边”的条件.掌握三角形全等的

“SAS”条件，了解三角形的稳定性.能运用“SAS”证明简单的三角形全等

问题.

过程与方法：经历探究全等三角形条件的过程，体会利用操作、归纳获

得数学规律的过程.掌握三角形全等的“边角边”条件.在探索全等三角形

条件及其运用过程中，培养有条理分析、推理，并进行简单的证明.

情感态度与价值观：通过画图、思考、探究来激发学生学习的积极性和

主动性，并使学生了解一些研究问题的经验和方法，开拓实践能力与创新精

神.

教学重点:三角形全等的条件.

教学难点：寻求三角形全等的条件.

教学方法:采用启发诱导，实例探究，讲练结合，小组合作等方法。

学情分析：这节课是学了全等三角形的边边边后的一节课、符中间的边

变为角探讨、学生一定能理解，根据之前的学情、学好这一节课有把握。

课前准备全等三角形纸片、三角板、

【教学过程】：

一、创设情境，导入新课

［师］在上节课的讨论中，我们发现三角形中只给一个条件或两个条件时,

都不能保证所画出的三角形一定全等.给出三个条件时，有四种可能，能说

出是哪四种吗？

［生］三内角、三条边、两边一内角、两内角一边.

［师］很好，这四种情况中我们已经研究了两种，三内角对应相等不能保

证两三角形一定全等；三条边对应相等的两三角形全等.今天我们接着研究

第三种情况：“两边一内角”.

（一）问题：如果已知一个三角形的两边及一内角，那么它有几种可能

情况？

［生］两种.

1.两边及其夹角.

2.两边及一边的对角.

［师］按照上节方法，我们有两个问题需要探究.

（二）探究1：先画一个任意aABC,再画出一个△ABC,使AB=AB\

AC=AZC\NA=NA'（即保证两边和它们的夹角对应相等）.把画好的三角形

AB'C剪下，放到aABC上，它们全等吗？

探究2：先画一个任意△ABC,再画出△ABC',使AB=AB\AC=A©、

NB=NB（即保证两边和其中一边的对角对应相等）.把画好的△ABC'剪下,

放到aABC上，它们全等吗？

学生活动：

1.学生自己动手，利用直尺、三角尺、量角器等工具画出AABC与△ABC,

将△ABC剪下，与AABC重叠，比较结果.

2.作好图后，与同伴交流作图心得，讨论发现什么样的规律.

教师活动：

教师可学生作完图后，由一个学生口述作图方法，教师进行多媒体播放

画图过程，再次体会探究全等三角形条件的过程.

二、探究

操作结果展示：

对于探究1：

画一个△ABO,使AB'=AB,A6=AC,ZAZ=ZA.

1.画NDA'E=NA；

2.在射线AD上截取AB=AB.在射线A,E上截取AC=AC；

3.连结BU.

将△AB/C剪下，发现AABC与△AB/C全等.这c

就是说:两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全/

等（可以简写为“边角边”或“SAS"）.L_

A

小结：两边和它们的夹角对应角相等的两个

三角形全等.简称“边角边”和“SAS”.

如图，在aABC和4DEF中,

AB=DE

NB=NEf\ABC三\DEF

BC=EF

对于探究2：

学生画出的图形各式各样，有的说全等，有的说不全等.教师在此可引

导学生总结画图方法：

1.画NDBE=NB；

2.在射线BD上截取BA,=BA；

3.以A，为圆心，以AC长为半径画弧，此时只要NCW90°,弧线一定

和射线B,E交于两点C,、F,也就是说可以得到两个三角形满足条件，而两个

三角形是不可能同时和4ABC全等的.

也就是说：两边及其中一边的对角对应相等的两

个三角形不一定全等.所以它不能作为判定两三角形

全等的条件.

归纳总结：

“两边及一内角”中的两种情况只有一种情况能判定三角形全等.即:

两边及其夹角对应相等的两个三角形全等.(简记为“边角边”或“SAS”)

三、应用举例

［例］如图，有一池塘,要测池塘两端A、

B的距离，可先在平地上取一个可以直接到

达A和B的点C,连结AC并延长到D,使

CD=CA.连结BC并延长到E,使CE=CB.连

结DE,那么量出DE的长就是A、B的距离.为

什么？

［师生共析］如果能证明△ABCWADEC,就可以得出AB=DE.

在AABC和ADEC中，AC=DC、BC=EC.要是再有N1=N2,那么AABC与

△DEC就全等了.而N1和N2是对顶角，所以它们相等.

证明：在AABC和ADEC中

AC=DC

<Nl=N2

BC=EC

所以△ABCgZ\DEC(SAS)

所以AB=DE.

1.填空：

⑴如图3,已知AD〃BC,AD=CB,要用边角边公理证明△AB'ACDA,需

要三个条件，这三个条件中，已具有两个条

件，一是AD=CB（已知），二是；

还需要一个条件（这个条件

可以证得吗？）.

（2）如图4,已知AB=AC,AD=AE,Z1=Z2,要用边角边公理证明aABD

会ACE,需要满足的三个条件中，已具有两个条件：

（这个条件可以证得吗？）.（

四、练习

1.已知：AD〃BC,AD=CB（图3）.05

求证：△ADCgACBA.

2.己知：AB=AC、AD=AE、N1=N2（图4）..

求证：△ABD四△ACE./i

五、课堂小结/

1.根据边角边公理判定两个三角形全等，要找出两边

及夹角对应相等的三个条件.CUn

2.找使结论成立所需条件，要充分利用已知条件（包括给出图形中的隐

含条件，如公共边、公共角等），并要善于运用学过的定义、公理、定理.

六、布置作业

必做题：课本P43一—44页习题12.2中的第3,选做题：第4题题

七、板书设计

12.2.2三角形全等判定（2）

一、复习导入

二、尝试活动探索新知

三、应用新知解决问题

四、总结提高

【教学反思】

课题：12.2.3三角形全等的判定《3》

【教学目标】：

知识与技能：理解三角形全等的条件：角边角、角角边.三角形全等条

件小结.掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件.能运用全等三角形的

条件，解决简单的推理证明问题.

过程与方法：经历探究全等三角形条件的过程，进一步体会操作、归纳

获得数学规律的过程.掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件.能运用

全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题.

情感态度与价值观：通过画图、探究、归纳、交流，使学生获得一些研

究问题的经验和方法，发展实践能力和创新精神

教学重点：已知两角一边的三角形全等探究.

教学难点：灵活运用三角形全等条件证明.

教学方法:采用启发诱导，实例探究，讲练结合，小组合作等方法。

学情分析：这节课是学了全等三角形的边边边、边角边后的一节课、有

全面的学习经验、探讨出角边角（ASA）角角边（AAS）学生一定能理解。

课前准备全等三角形纸片、三角板、

【教学过程】：

一、创设情境，导入新课

1.复习：（1）三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？

三个角、三个边、两边一角、两角一边.

（2）到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各是什

么？

三种：①定义；②SSS；③SAS.

2.［师］在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今

天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？

二、探究

［师］三角形中已知两角一边有几种可能？

［生］1.两角和它们的夹边.

2.两角和其中一角的对边.

做一做：

三角形的两个内角分别是60°和80°，它们的夹边为4cm,你能画一

个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它

们是不是全等，你能得出什么规律？

学生活动：自己动手操作，然后与同伴交流，发现规律.

教师活动：检查指导，帮助有困难的同学.

活动结果展示：

以小组为单位将所得三角形重叠在一起，发现完全重合，这说明这些三

角形全等.

规律：

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或

“ASA”）.

［师］我们刚才做的三角形是一个特殊三角形，随意画一个三角形ABC,

能不能作一个△AB/C',使NA=NA'、ZB=ZB\AB=AB呢？

［生］能.

学生口述画法，教师进行多媒体课件演示，使学生加深对“ASA”的理解.

［生］①先用量角器量出NA与/B的度数，再用直尺量出AB的边长.

②画线段AB,使AB=AB.

③分别以A7、B为顶点，AB为一边作NDAB、ZEBA,使NDAB=NCAB,

ZEBA=ZCBA.

④射线AD与BE交于一点，记为C

即可得到△Age'.

将△ABC'与AABC重叠，发现两三角形全等.

［师］于是我们发现规律：

EnD

两角和它们的夹边对应相等的两三角C‘浅

形全等（可以简写成“角边角”或“ASA"）.

这又是一个判定三角形全等的条件./\/--------'

kBAB

［生］在一个三角形中两角确定，第三个

角一定确定.我们是不是可以不作图，用“ASA”推出“两角和其中一角的对

边对应相等的两三角形全等”呢？

［师］你提出的问题很好.温故而知新嘛，请同学们来验证这种想法.

三、练习

如图，在aABC和aDEF中，ZA=ZD,ZB=ZE,BC=EF,△ABC与△DEF

全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？

证明：VZA+ZB+ZC=ZD+ZE+ZF=180°

ZA=ZD,ZB=ZE

/.ZA+ZB=ZD+ZEAD

.•.ZC=ZF

BCE

在AABC^ADEF中

NB=NE

<BC=EF

NC=NF

.,.△ABC^ADEF(ASA).

于是得规律：

两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角

角边''或"AAS”).

四、例题

［例］如下图，D在AB上，E在AC上，AB=AC,ZB=ZC.

求证：AD=AE.

［师生共析］AD和AE分别在4ADC和4AEB中，所以要证AD=AE,只需证

明AADC丝AAEB即可.

学生写出证明过程.

证明：在aADC和4AEB中

NA=NA

<ACAB

NC=NB

所以△ADCgAAEB(ASA)

所以AD=AE.

［师］请同学们把三角形全等的判定方法做一个小结.

学生活动：自我回忆总结，然后小组讨论交流、补充.

有五种判定三角形全等的条件.

1.全等三角形的定义

2.边边边(SSS)

3.边角边(SAS)

4.角边角(ASA)

5.角角边(AAS)

推证两三角形全等，要学会联系思考其条件，找它们对应相等的元素，这样

有利于获得解题途径.

练习：图中的两个三角形全等吗？请说明理由.

五、课堂小结

我们有五种判定

⑴

三角形全等的方法：

1.全等三角形的定义

2.判定定理：边边边(SSS)边角边(SAS)角边角(ASA)角角边

(AAS)

六、布置作业

必做题：课本P44页习题12.2中的第6,选做题：第11题

七、板书设计

11.2.3三角形全等判定(3)

一、复习导入

二、尝试活动探索新知

三、应用新知解决问题

四、总结提高

【教学反思】

课题：12.2.4三角形全等的判定《4》

【教学目标】：

知识与技能：直角三角形全等的条件：“斜边、直角边”.

过程与方法：经历探究直角三角形全等条件的过程，体会一般与特殊的

辩证关系.掌握直角三角形全等的条件：“斜边、直角边”.能运用全等三角

形的条件，解决简单的推理证明问题.

情感态度与价值观：通过画图、探究、归纳、交流使学生获得一些研究

问题的经验和方法.发展实践能力和创新精神

教学重点:运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

教学难点：熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

教学方法:采用启发诱导，实例探究，讲练结合，小组合作等方法。

学情分析：这节课是学了全等三角形的边边边.边角边.角边角边后的

一节课、根据直角三角形的特点、探讨出“HL”.学生一定能理解。

课前准备全等三角形纸片、三角板、A

【教学过程】：

一、提出问题，复习旧知BC

1、判定两个三角形全等的方法：、、、

2、如图，RtaABC中，直角边是、,斜边是

3、如图，AB_LBE于C,DELBE于E,

(1)若NA=ND,AB=DE,

则4ABC与ADEF（填“全等”或“不全等”)

根据（用简写法）

（2）若NA=ND,BC=EF,

则AABC与ADEF（填“全等”或“不全等”

根据（用简写法）

(3)若AB=DE,BC=EF,

则aABC与4DEF（填“全等”或“不全等”）

根据（用简写法）

（4）若AB=DE,BC=EF,AC=DF

则aABC与4DEF（填“全等”或“不全等”）

根据（用简写法）

二、创设情境，导入新课

如图，舞台背景的形状是两个

直角三角形，工作人员想知道这两

个直角三角形是否全等，但两个三

角形都有一条直角边被花盆遮住

无法测量.（播放课件）

(1)你能帮他想个办法吗?

(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗?

(1)［生］能有两种方法.

第一种方法：用直尺量出斜边的长度，再用量角器量出其中一个锐角的

大小，若它们对应相等，根据“AAS”可以证明两直角三角形是全等的.

第二种方法：用直尺量出不被遮住的直角边长度，再用量角器量出其中

一个锐角的大小，若它们对应相等，根据“ASA”或“AAS”，可以证明这两个

直角三角形全等.

可是，没有量角器，只有卷尺，那么他只能量出斜边长度和不被遮住的

直角边边长，可是它们又不是''两边夹一角的关系”，所以我没法判定它们全

等.

［师］这位师傅量了斜边长和没遮住的直角边边长，发现它们对应相等,

于是他判断这两个三角形全等.你相信吗?

三、探究

做一做:

已知线段AB=5cm,BC=4cm和一个直角，利用尺规做一个直角三角形，使

ZC=90°,AB作为斜边.做好后，将4ABC剪下与同伴比较，看能发现什么

规律?

（学生自主完成后，与同伴交流作图心得,然后由一名同学口述作图方

法.老师做多媒体课件演示，激发学习兴趣）.

作法:

第一步：作NMCN=90°.

第二步：在射线CM上截取CB=4cm.

第三步：以B为圆心，5cm为半径画弧交射线CN于点A.

第四步：连结AB.