初一数学知识手册（下册）

初一数学知识手册

相交线与平行线

相

交

线

知识体系与

平

行

邻补角线

本章节，我们会分三个部分进行学习.

第一部分，我们将学习相交线的相关概念和性质，主要研究相交线所成的角的位置关系和

数量关系，具体包括邻补角、对顶角、同位角、内错角、同旁内角等概念和性质，以及垂线及

其画法.其中，角的位置关系和数量关系是本章节的重点，需要牢固掌握和理解.垂直是相交的

特殊情形，它在实际生产和生活中具有广泛的应用，学习这一部分内容时，可以联系生活中的

实际场景，理解掌握.

3

XDF.CM

第二部分，我们将学习平行线的判定和性质.包括平行线的概念、平行线的判定、平行线的

性质和命题、定理、证明的相关概念.我们借助两条直线被第三条直线所截形成的同位角、内错

角和同旁内角研究平行线的判定和性质.平行线的判定和性质是重点和难点，在解决几何问题中

相经常用到，需牢固掌握.

交

线第三部分，我们将学习平移的概念和性质，以及简单的平移作图.

与

学习本章时，要注意观察实物、模型和图形，通过观察、测量、实验、归纳、对比、类比

平

行等来寻找图形中的位置关系和数量关系，从而发现图形的性质.同时，还要注意体会通过“推理”

线

获得数学结论的方法，培养言之有据的习惯和有条不紊的思考、表达能力.

初一数学知识手册

相交线与平行线

相

交

相交线线

与

平

两条直线相交行

线

(1)相交线：只有一个公共点的两直线是相交线；

相交是同一平面内两条直线的一种位置关系，如图1.1,力8与CD相交，两条直线相交有

且只有一个交点.

邻补角

(1)邻补角的概念：

如图1.1,Z1和Z2有一条公共边0C,它们的另一边互为反向延长线，具有

这种位置关系的两个角，互为邻补角；

图1.1中，互为邻补角的还有Z2和』3,23和Z4,Z4和ZL

(2)邻补角的性质：互为邻补角的两个角互补.

(3)邻补角的识别方法:

互为邻补角的两个角必须具备两个条件：①有一条边为公共边;

5

XDF.CM

②另一条边互为反向延长线.

相

交对顶角

线

与(1)对顶角的概念：

平

行

如图中，和有一个公共顶点并且的两边分别是的两边的反向延长

线1.1Z1230,Z123

线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角.

图1.1中，22和24也互为对顶角.

(2)对顶角的性质：对顶角相等.

注：

①对顶角是成对出现的，一个角的对顶角只有一个；

②对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角.

垂线及其画法

(1)垂线的定义：

当两条相交线形成的角为90。时，称这两条直线互相垂直，如图1.2.

①垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂

线，它们的交点叫做垂足；

②图1.2中，直线皿如互相垂直，记作"AB\CD'',读作""垂直于应”，垂

足为0.

--------------B

D

图1.2

6

初一数学知识手册

(2)垂线的画法一一“一落、二移、三画”

①“一落”：让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合；

相

②“二移”：沿直线移动三角尺，使其另一条直角边过已知点；交

线

③“三画”：沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线.与

平

注：行

线

①垂直是指两条直线互相垂直，而线段与线段、线段与射线、射线与射线的垂直是指它们所

在的直线互相垂直；

②垂直的定义具有判定和性质的双重作用，即知直角得两线垂直，知两线垂直得直角；

③画互相垂直的直线时，注意标明直角符号和垂足字母.

(3)垂线的性质

性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.

简单说成：垂线段最短，

注：同一平面内，一条已知直线的垂线有无数条，经过一点画已知直线的垂线有

且只有一条.

(4)点到直线的距离

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.

注：点到直线的距离是长度，是一个数量(且为正值)，而不是图形(线段)，所以不能画距离，

只能测量距离.

同位角、内错角、同旁内角

如图1.3,两条直线48、CZ)被第三条直线既所截，构成八个角，简称“三线八角”.

E

相

交

线

与

平

行

线

图1.3

(1)同位角：

Z1和Z8两个角分别在直线AB、CQ的同一方，并且都在直线以的同侧，具有这种位置关系

的一对角叫做同位角.图1.3中，22和Z5,Z3和N6,Z4和』7也都是同位角.

(2)内错角：

23和Z8两个角都在直线AB、CZ)之间，并且分别在直线以两侧，具有这种位置关系的一对

角叫做内错角.图1.3中，24和Z5也是内错角.

(3)同旁内角：

Z3和25两个角都在直线如、CZ)之间，并且它们在直线欧的同一旁，具有这种位置关系的

一对角叫做同旁内角.图1.3中，Z4和容也是同旁内角.

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初一数学知识手册

注：

(1)两直线被第三条直线所截，构成的8个角中，有4对同位角，2对内错角,

相

2对同旁内角.这三种角的识别见下表：交

线

三线八角与

平

行

角的名称基本图形位置特征图形结构特征线

同位角在截线同侧，在被截两形如字母“尸’(或倒置、

直线的同一方反置、旋转)

内错角在截线两侧(交错)，形如字母N(或

在被截两直线之间倒置、反置、旋转)

同旁内角在截线同侧，在被截两直线形如字母(或

之间倒置、反置、旋转)

(2)这三种角讲的都是位置关系，而不是大小关系；通常情况下，其大小关系

是不确定的；

(3)这三种角也都是成对出现的，都没有公共顶点，但都有一条公共边.

平行线判定和性质

平行线

(1)平行线的定义:

9

XDI'.CM

在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.

注意：

相①两条直线平行必须同时具备两个条件：在同一平面内；不相交；

交

线

与②在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有平行和相交两种，重合的直

平

行线视为同一条直线，应特别注意“在同一平面内”这一条件；

线

③有些图形即使没画出交点，也不能说它们平行，如图2.1.

CD

图2.1图2.2

(2)平行线的表示方法

如图2.2,直线如与直线CZ)平行，记作“如//C。"，读作“如平行于CD”.

(3)平行线的画法一“一落、二靠、三移、四画”

一落：把三角尺一边落在已知直线上；

二靠：用直尺紧靠三角尺的另一边；

三移：沿直尺移动三角尺，使三角尺与己知直线重合的边过己知点；

四画：沿三角尺过已知点的边画直线.

平行公理及其推论

(1)平行公理：

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

(2)平行公理的推论：

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行；

如图2.3,如果b1/a,clla,那么c!lb.

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初一数学知识手册

图2.3

注意：

①同一平面内，过一点作已知直线的垂线和平行线，都是存在且唯一的.需注意相

交

的是，作垂线时点可以在直线上也可以在直线外，而作平行线时点必须在直线外；线

与

②平行公理的推论可以理解为平行线的传递性，可以用来说明两直线平行.平

行

线

平行线的判定方法

(1)判定方法1:

两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；简单说成：同位角相

等，两直线平行.

(2)判定方法2:

两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；简答说成：内错角相

等，两直线平行.

(3)判定方法3:

两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行；

简单说成：同旁内角互补，两直线平行.

注意：

①在平行线的判定中，同位角、内错角、同旁内角是根据两个角的位置而言的，相等或互补

是针对两个角的大小而言的；

②这三种方法都是由角的关系来判定直线平行，典型的由角的数量关系得到线的位置关系.

(4)总结：五种判定直线平行的方法：

①平行线的定义：同一平面内，不相交的两条直线平行；

11

XDF.CM

②平行公理的推论：平行于同一直线的两条直线平行；

③同位角相等，两直线平行；

④内错角相等，两直线平行；

⑤同旁内角互补，两直线平行.

平行线的性质

(1)性质1:两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；

简单说成：两直线平行，同位角相等.

(2)性质2:两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；

简单说成：两直线平行，内错角相等.

(3)性质3:两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；

简单说成：两直线平行，同旁内角互补.

注意：

①只有当两直线平行时，才会有同位角相等、内错角相等和同旁内角互补；

②平行线的性质和判定是直线的位置关系和角的数量关系之间的相互转换，不同的是性质是

以平行为条件，即由平行得到角相等或互补；判定是以平行为结论，即由角相等或互补得到两

直线平行.

命题

(1)命题的定义：

判断一件事情的语句，叫做命题；

(2)命题的构成：

命题是由题设和结论两部分组成的；题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项；

命题通常可以写成“如果……那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是题设，“那么”

12

初一数学知识手册

后接的部分是结论.

13

XDF.CM

(3)命题的分类：

如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题；

相

当题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.交

线

注意：与

平

①命题是用语句的形式对某件事情作出肯定或否定的判断，这些判断包含“是"或“不行

线

是”，“具有”或“不具有”的特点；

②命题是一种判断，这种判断可能正确也可能错误；

③在找命题的题设和结论时，要分清命题的“已知事项”和“推出事项”.

定理和证明

(1)定理:

一些命题，它们的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理，即所有的定理都是真

命题；

(2)证明：

一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明.

注意：

①真命题不一定是定理，但定理都是真命题；

②判定一个命题是假命题，只要举出一个反例即可.该反例符合命题的题设，但不满足结

论；

③命题的证明过程中的每一步推理都要有根有据，这些根据可以是已知条件，也可以是已经

学过的定义、基本事实、定理等.

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初一数学知识手册

平移

相

交平移的概念

线

与(1)平移：

平

行把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全

线

相同.图形的这种移动，叫做平移.

新图形中的每一个点都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应的点.

(2)平移的要素：一是平移的方向，二是平移距离.

注意：①图形的平移是一种位置变换，平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小；②图

形的平移方向不一定是水平的，也可以竖直平移和斜向平移.

平移的性质

①平移后得到的新图形与原图形的大小、形状完全相同；

②连接各组对应点的线段平行(或在同一条直线上)且相等；

③平移前后两个图形中的对应线段相等，对应角也相等.

注意：”将一个图形沿某一方向移动一定的距离”意味着“图形上的每一个点都沿同一方向移

动了相同的距离”.

平移作图

平移作图的基本步骤：

①确定平移的方向和距离；

②找出确定图形形状的关键点；

③按平移的方向和距离确定各关键点平移后的对应点；

④按原图的顺序连接各对应点；

⑤写出结论.

15

确定一个图形平移后的位置需要三个条件：①图形原来的位置；②平移的方向;

③平移的距离.三个条件缺一不可，因为只有这样，平移后的图形才唯一确定.

相

交

线

与

平

行

线

16

初一数学知识手册

实数

知识体系

算术平方根的概念

算术平方根的非负性

平方根T平方根的概念

平方根的性质

立方根的

立方根的性质

立方根

立方根的规律

无理数的定义

无理数的呈现形式

-------------------------

实数-实数的概念及分类

实数与数轴上的点

章节概述

本章节，我们会分三个部分进行学习.

第一部分，我们将会学习平方根的概念以及一种新的运算——开平方，我们会重点

研究算术平方根和平方根的性质.

第二部分，我们将会学到另外一种运算一一开立方，在这部分我们还会重点研究这

种运算的规律.

第三部分，我们会学习到一类新的数一一无理数，通过无理数的常见形式来加强对

无理数的概念的理解.与此同时，我们对数的理解也将扩大到一个新的范畴一一实数，

实数包含了有理数和无理数.在有理数与数轴的关系中遗留已久的问题，在这部分也将

得到解答.

17

实数

平方根决

算术平方根的概念

(1)一般地，如果一个正数X的平方等于。，即注=口，那么这个正数X叫做。的算术平方

根.

(2)6/的算术平方根记为恁读作“根号。”其中。叫做被开方数.

算术平方根的非负性

算术平方根是一个非负数，且在石中，。也是一个非负数，即6/20,4a>0.

平方根的概念

(1)一般地，如果一个数的平方等于。，那么这个数叫做。的平方根或二次方根，即如果

疽=口，那么X叫做。的平方根.

(2)正数。的平方根表示为“土石”，读作“正、负根号a”.

平方根的性质

(1)正数有两个平方根，它们互为相反数.

(2)0的平方根是0.

(3)负数没有平方根.

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XDP.CM

立方根

立方根的概念

(1)一般地，如果一个数的立方根等于。，那么这个数叫做々的立方根或三次方根，即如果

疽=。，那么X叫做。的立方根.

(2)一个数。的立方根用符号表示，读作“三次根号々"，其中。是被开方数，3是

根指数，不可省略.

注意：E的根指数是2,通常省略不写.

立方根的性质

一个数的立方根只有一个，即正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.

立方根的规律

开立方时，被开方数的小数点每向左或向右移动三位，其立方根的小数点向相应的方向移动一

位.

注意：开平方时，被开方数的小数点每向左或向右移动两位，其平方根的小数点向相应的方向

移动一位.

实数

无理数的定义

无限不循环小数叫做无理数.

无理数的呈现形式

19

初一数学知识手册

(1)开方开不尽的方根，如扼，扼,-

(2)含有，，的数，如3i■-

(3)具有特定结构的数，如0.1010010001...(每两个1之间依次多一个0)

实数的概念与分类

(1)实数的概念：有理数和无理数统称实数.

注意：所有的数都是实数这句话是错误的，在高中数域还会扩大.

(2)实数的分类

①按定义分类：

「整数

「有理数-

实数-L分数一有限小数或无限循环小数

L无理数一无限不循环小数

②按符号分类：

「正有理数

「正实数-

L正无理数

实数-0

「负有理数

L负实数-

L负无理数

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初一数学知识手册

实数与数轴上的点

实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴

上的每一个点都表示一个实数.

21

»F.Chf

注意：有理数与数轴上的点一一对应是错误的.

22

、初一数学知识手册

平面直角坐标系

平

知识体系面

直

角

坐

平面直角坐标系相关概念

标

坐标的几何意义系

本章节，我们会分三个部分进行学习.

第一部分，我们学习一个新的内容一一平面直角坐标系，包括平面直角坐标系相关

概念、坐标的几何意义、特殊直线和中点坐标公式.其中，直角坐标系概念是本章的基

础，坐标的几何意义是重点和难点，是解决坐标系中几何问题的关键.在掌握平面直角

坐标系的概念和几何意义的基础上，我们将拓展学习坐标系中的几种特殊直线和中点坐

标公式的推导.

第二部分，我们将学习坐标的三种常见应用.包括用坐标表示地理位置、坐标系中

点的平移和点的对称变换.用坐标表示地理位置较简单，点的对称和平移变换是重点和

难点.

平面直角坐标系，是图形与数之间的桥梁，将为几何问题和代数问题的相互转化打

下基础.同时，平面直角坐标系具有广泛的应用，也是数学中的一个重要工具，所以我

们需要牢固掌握本章节的知识.

23

XDP.CM

平面直角坐标系

平

面平面直角坐标系

直

角平面直角坐标系的相关概念

坐

(1)平面直角坐标系：

标

系平面内两条互相垂直并且原点重合的数轴，组成平面直角坐标系.

注意：水平的数轴称为X轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向

上为正方向；两坐标轴的交点叫做平面直角坐标系的原点.

(2)象限：

坐标平面被两条坐标轴分成I、II、IILIV四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第

三象限、第四象限.

注意：两个坐标轴不属于任何一个象限.

(3)点的坐标：

把有顺序的两个数X与y组成的数对，叫做有序数对，记作(x,y).如果有序数对(x,y)

表示坐标平面内的点A,那么有序数对(x,y)叫做A的坐标.其中，x叫做A点的横坐标；

y叫做A点的纵坐标.

24

平面直角坐标系内所有的点与坐标一一对应.、初一数学知识手册

点P(x,y)坐标的几何意义：

(1^P(x,y)到x轴的距离是|y|;

(2)点P(x,y)到y轴的距离是|x|;

特殊直线上的点的坐标特点：

(1)过(0,a)且平行于x轴的直线上点的纵坐标都等于a；

25

初一数学知识手册

(2)过(b,0)且平行于y轴的直线上点的横坐标都等于b；

(3)一三象限角平分线上点的坐标满足y=x；

(4)二四象限角平分线上点的坐标满足y=-x.平

面

直

中点坐标公式：若点A,B的坐标分别为(知凹)，(易况)，则线段AB的中角

坐

点的坐标为M(x,_y)：x=也尹，标

系

坐标的应用

用坐标表示地理位置

利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的方法：

①建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；

②根据具体问题确定单位长度；

③在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点名称.

点的平移

点(x,y)向右平移a个单位长度得到点(x+a,y);

点(x,y)向左平移a个单位长度得到点(x-a,y);

点(x,y)向上平移a个单位长度得到点(x,y+a)；

点(x,y)向下平移a个单位长度得到点(x,y-a).

点的对称

(1)如果平面直角坐标系中的两个点关于x轴对称，则这两个点的横坐标相等，纵坐标互为相

反数.

26

»F.Chf

(2)如果平面直角坐标系中的两个点关于y轴对称，则这两个点的横坐标互为相反数，纵

坐标相等.

平(3)如果平面直角坐标系中的两个点关于原点对称，则这两个点的横坐标互为相反数，纵

面

坐标互为相反数.

直

角

坐

标

系

27

XDF.CM初一数学知识手册

元一次方程组

二

元

知识体系一

次

方

程

组

二元一次方程

28

章节概述

本章对二元一次方程组的学习主要分为以下五个部分.

二

元第一部分，了解二元一次方程、二元一次方程的解、二元一次方程组、二元一次方

一

次程组的解四个概念，同时能够根据定义对方程（组）或方程（组）的解进行判定；

方

程第二部分，掌握解二元一次方程组的基本方法一一代入消元法和加减消元法，重点

组

是如何利用消元思想将“二元”转为“一元”，进而求出方程的解.

第三部分，学习含参方程组中解的讨论以及通过解的情况确定参数的值，包括同解

问题、整数解问题等，这个部分是本章节的难点和易错点.

第四部分，学习利用二元一次方程组解决实际问题，通过分析问题中的各种等量关

系，引进适当的未知量，建立相应的方程组.

第五部分，在熟悉了二元一次方程组的解法后，进一步借助消元思想学习解三元-

次方程组的方法.

29

XDF.CM初一数学知识手册

二元一次方程组

二

元

二元一次方程组相关概念一

次

方

程

二元一次方程组

含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1,像这样的方程叫做二元一次方程.

二元一次方程组

方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1,

并且一共有两个方程，这样的方程组叫做二元一次方程组.

二元一次方程的解

一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.

二元一次方程组的解

一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。

注意：二元一次方程组的解要写成“”的形式.

30

初一数学知识手册

消元一一解二元一次方程组

二代入消元法

元

(

次先把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方

方

程程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.

组

用代入消元法解二元一次方程组的基本步骤

(1)变形：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数(如勿，用另一

个未知数(如X)的代数式表示出来，即写成“y=”的形式；

(2)代入：将变形后的方程代入另一个方程中消去转化成一个关于x的一元一次方程；

(3)求解：解这个一元一次方程，求出未知数x的值；

(4)回代：把求得的x的值代入变形后的方程，求出y的值；

(5)写解：把x,y的值用大括号联立起来，写出方程组的解；

(6)检验：将x,y的值代入另一方程进行检验.

方法总结：用代入法解二元一次方程组时，注意观察两个方程中未知数系数的常点，若含未知数

的系数为1或-1的方程，则通常选择该方程进行变形.

加减消元法

当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相