第06讲 拓展一：数列求通项（解析版）

第06讲拓展一：数列求通项一、知识点归纳知识点一：数列求通项（法、法）1对于数列，前项和记为；①；②②：法归类角度1：已知与的关系；或与的关系用，得到例子：已知，求角度2：已知与的关系；或与的关系替换题目中的例子：已知；已知角度3：已知等式中左侧含有：作差法（类似）例子：已知求2对于数列，前项积记为；①；②①②：法归类角度1：已知和的关系角度1：用，得到例子：的前项之积.角度2：已知和的关系角度1：用替换题目中例子：已知数列的前n项积为，且.知识点二：累加法（叠加法）若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。具体步骤：将上述个式子相加（左边加左边，右边加右边）得：=整理得：=知识点三：累乘法（叠乘法）若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。具体步骤：将上述个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得：整理得：知识点四：构造法类型1：用“待定系数法”构造等比数列形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.标准模型：（为常数，）或（为常数，）类型2：用“同除法”构造等差数列（1）形如，可通过两边同除，将它转化为，从而构造数列为等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式.（2）形如，可通过两边同除，将它转化为，换元令：，则原式化为：，先利用构造法类型1求出，再求出的通项公式.（3）形如的数列，可通过两边同除以，变形为的形式，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式.知识点五：倒数法用“倒数变换法”构造等差数列类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得.类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符构造法类型1：用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.）知识点六：隔项等差数列已知数列，满足，则；（其中为常数）；或则称数列为隔项等差数列，其中：①构成以为首项的等差数列，公差为；②构成以为首项的等差数列，公差为；知识点七：隔项等比数列已知数列，满足，则；（其中为常数）；或则称数列为隔项等比数列，其中：①构成以为首项的等比数列，公比为；②构成以为首项的等比数列，公比为；二、题型精讲题型01法（用，得到）1．（多选）（2023秋·吉林长春·高三校考阶段练习）设为数列的前项和，已知，，，，则（

）A．是等比数列 B．C． D．【答案】BD【详解】因为，，，，所以，又，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，故D正确；当时，，当时，，不满足上式，所以，故A错误；因为，故B正确；因为，故C错误．故选：BD．2．（2023秋·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考阶段练习）已知数列的前项和，的通项公式为.【答案】【详解】当时，，当时，，不适合上式，故的通项公式为，故答案为：3．（2023秋·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考阶段练习）已知数列的前项和，．若是等差数列，则的通项公式为．【答案】【详解】由知，当时，；当时，，此时，当时，，当时，，而，若数列是等差数列，则，所以，则.故答案为：.4．（2023秋·甘肃庆阳·高二校考阶段练习）已知各项均为正数的数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【详解】（1）由得，故两式相减可得：，化简得，由于各项均为正数，所以，故（常数），又当时，，由于，故，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列；故．（2）由（1）得：时，；所以当时，；当也符合上式，故5．（2023秋·福建厦门·高三厦门大学附属科技中学校考阶段练习）已知各项为正的数列的前n项和为，满足.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，，，，，…，依此类推，求的通项公式.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为①，所以②②－①两得，即，又因，所以；当时，解得，所以.（2）设数列的前n项和为，数列的前n项和为.为中的n项之和，为中的前项和.，，当时，，.6．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）已知正项数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)将数列和数列中所有的项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列，求的前100项和.【答案】(1)(2)9089【详解】（1）依题意，当时，解得，，当时，有，作差得：，，，数列是首项为3，公差为2的等差数列，.（2）由（1）得，，又，同时，.所以的前100项和为9089.题型02法（将题意中的用替换）1．（多选）（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知数列的前n项和为，且满足，，则下列说法正确的是（

）A．数列的前n项和为B．数列的通项公式为C．数列不是递增数列D．数列为递增数列【答案】CD【详解】，则，即，故是首项为，公差为的等差数列，故，即，，.对选项A：，错误；对选项B：，错误；对选项C：，，故数列不是递增数列，正确；对选项D：，故数列为递增数列，正确；故选：CD.2．（2023·全国·高三专题练习）设数列的前n项和为，且，，则．【答案】【详解】由，得到，然后两边同除以得到，即，于是数列是公差为的等差数列．而，于是，进而得到，所以当时，有（）．综上所述，．故答案为：3．（2023秋·贵州黔东南·高三天柱民族中学校联考阶段练习）已知正项数列的前项和为，且.(1)求；(2)设，数列的前项和为，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）当时，，即，由数列为正项数列可知，，又，即数列是首项为1，公差为1的等差数列，即，则，当时，，当时，成立，所以（2）由（1）可知，，则，当时，，成立，，成立，当时，，即.综上可知，，得证.4．（2023春·河南许昌·高二统考期末）已知数列，，其前n项的和为，且满足．(1)求数列的通项公式；(2)证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）当时，，又因为，所以，即，则，又，所以数列是以3为首项，3为公差的等差数列，所以，则，从而当时，，显然，不符合上式，故数列的通项公式为（2）由（1）得，当时，，所以，故不等式成立.5．（2023春·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期中）设正项数列的前n项和为，且，当时，．(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足，且，求数列的通项公式．【答案】(1)(2)【详解】（1）由，得，因为，所以，所以是以为首项，1为公差的等差数列，所以，所以，当时，，当时，也满足上式，所以数列的通项公式为．（2）由知：当时，，①，则②，由得：，化简得：，当时，也满足上式，所以数列的通项公式为．6．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）已知数列的前n项和为，.(1)若，证明：数列为等差数列.(2)若，，求的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)33【详解】（1）（1）由已知，，，，所以，故数列为公差为1等差数列（2）因为，不满足条件，此时，，由（1）知数列为首项为1公差为1等差数列，所以，故，当时，，由，故，即，因为，所以.故满足的n最小值为33.题型03法（已知等式中左侧含有：）1．（多选）（2023秋·山东潍坊·高三统考阶段练习）已知数列满足，则（

）A．B．的前项和为C．的前100项和为D．的前20项和为284【答案】ABD【详解】当时，，当时，，两式相减可得：，所以，当时，满足，故，故A正确；的前项和为，故B正确；令，的前100项和为：，故C错误；令，所以的前20项和为：，故D正确.故选：ABD.2．（2023秋·天津津南·高二校考期末）已知数列满足，，记数列的前项和为，则（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由题设且(n≥2)，故且，所以，又也满足，故，则，所以.故选：B3．（2023秋·湖北·高三黄石二中校联考阶段练习）数列满足，，且.(1)求数列的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）解：，当时，，作差，得，即.因为，，所以，满足，即为常数列，即，.4．（2023春·湖北恩施·高二校联考期中）已知数列的前项之积为，且．(1)求数列和的通项公式；【答案】(1)，【详解】（1）①，②，①②可得也满足上式，③．数列的前项之积为当时，，代入③可得，．5．（2023秋·四川眉山·高三校考开学考试）已知数列的前项和为，，．(1)求数列的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）数列的前项和为,①,当时,②,①②得：，所以,又，也满足上式，故．6．（2023春·河南南阳·高二校考阶段练习）已知数列满足．(1)求的值；【答案】(1)【详解】（1）由题意可知：数列的前n项和，当时，可得，所以；当时，可得．所以；又因为也符合，所以．题型04累加法1．（2023秋·江苏无锡·高二江苏省南菁高级中学校考阶段练习）已知数列满足，则的通项公式为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】∵，∴，∴，故选：C.2．（2023春·辽宁朝阳·高二建平县实验中学校考阶段练习）已知各项均为正数的数列满足，，则取最小值时，（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【详解】由已知可得，，…，，,将上面式子左右两边分别相加可得，，令，，，当时，为减函数，时，为增函数，且，又，，且∴，故当时，取得最小值.故选：B.3．（2023秋·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）已知数列满足，，则．【答案】【详解】因为数列满足，所以，，…，，当时，；当时，，满足上式．综上所述，．故答案为：．4．（2023·全国·高三专题练习）若数列满足：，，则数列的通项公式为．【答案】/【详解】由，得，所以当时，，而满足上式，所以.故答案为：.5．（2023秋·重庆九龙坡·高三重庆实验外国语学校校考阶段练习）已知数列{}中，，且.其中，(1)求数列{}的通项公式；【答案】(1)，；【详解】（1）（法一）由題意知，，则，累加得：且，又，故，而符合上式，故.（法二）由题意知，则，所以则.6．（2023秋·高二课时练习）在数列中，，且，求数列的通项公式．【答案】【详解】由题设，所以且，显然满足上式，所以7．（2023·全国·高三专题练习）若在数列中，，，求通项．【答案】.【详解】由，得以上个式子相加，又，所以．题型05累乘法1．（2023秋·福建漳州·高二校考阶段练习）已知数列满足，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以，上述各式相乘得，因为，所以，经检验，满足，所以.故选：D.2．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，若，，则的通项公式为．【答案】【详解】由题意知，故，故，故答案为：3．（2023·全国·高二专题练习）在数列中，（n∈N*），且，则数列的通项公式.【答案】【详解】解：由，得，则，，，，累乘得，所以.故答案为：.4．（2023·全国·高二专题练习）若数列的首项，且，则数列的通项公式为.【答案】【详解】解：数列中，，，，．故答案为：．5．（2023秋·江苏·高二专题练习）已知：，（）求数列的通项.【答案】.【详解】在数列中，，当时，，显然，则，，也满足上式，所以数列的通项是.6．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足：，，求数列的通项公式.【答案】.【详解】由题意得，当时，，又也满足上式，所以.故.题型06构造法1．（2023春·河南许昌·高二校考阶段练习）已知数列满足，则的通项公式（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由得，而，故是首项为2，公比为2的等比数列，所以，即.故选：D2．（2023·全国·高二专题练习）已知数列中，，则等于（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】所以所以数列是一个以2为首项，以4为公比的等比数列，所以.故选：C3．（2023秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）已知数列满足，，则满足的最小正整数．【答案】5【详解】由，解得，又，所以．另一方面由，可得，所以是首项为，公比为3的等比数列，所以，易知是递增数列，又，，所以满足的最小正整数．故答案为：5．4．（2023春·江西南昌·高二南昌二中校考阶段练习）数列中，，，则此数列的通项公式.【答案】【详解】因为，所以，又，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，则.故答案为：5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则数列的通项公式．【答案】【详解】∵，∴，即．又，，∴数列是以3为首项，1为公差的等差数列，∴，∴数列的通项公式．故答案为：.6．（2023秋·福建龙岩·高二福建省连城县第一中学校考阶段练习）已知在数列中，，，则．【答案】【详解】因为，，所以，整理得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，解得．故答案为：.题型07倒数法1．（多选）（2023春·湖南岳阳·高二校考开学考试）已知数列满足，则下列结论正确的有（）A．为等比数列B．的通项公式为C．为递增数列D．的前n项和【答案】ABD【详解】因为，所以+3，所以，又因为，所以数列是以4为首项，2为