2021-2022学年初三（上）期中考试数学试卷 (五)与详细参考答案

2020-2021学年河南省南阳市某校初三（上）期中考试数学试卷

一、选择题

1.方程%2=%的解是（）

】

A.%=3,x2=—3B.%i=1,x2=0

C.xt=1,x2=-1D.%i=3,x2=—1

2.下列计算正确的是（）

A.V2+V3=V5B.2+V3=2^3C.3V5-V5=3D历段=1

V3

3.将一元二次方程/-8x-5=0化成（x+a）2=b（a,b为常数）的形式，则a,b

的值分别是（）

A.-4,21B-4,11C.4,21D.-8,69

4.下面四组线段中，成比例的是（）

A.a=2,b=3,c=4,d=5

B.a=1,b=2,c=2,d=4

C.a=4,b=6,c=5,d=10

D.a=V2,b=V3,c=3,d=\[2

5.如图，△ABC是等边三角形，点D,E分别在BC,AC上，B.Z.ADE=60°,48=9,

BO=3,则CE的长等于（）

BgClD.2

6.如图，在平面直角坐标系中，RtACMB的斜边。4在第一象限，并与x轴的正半轴夹

角为30。，为。4的中点，BC=1,则点A的坐标为（)

A.(V3,V3)B.(V3,1)C.(2,1)D.(2,V3)

7.直线，:y=(m—3)x+n-2（m,n为常数）的图象如图，化简：|m-3|一

C.-lD.m+九一5

8.在实数范围内定义运算国;其规则为Q团b=2a一炉，则方程（2团1）团久=-10的

解为（）

A.±4B.±3C.±2D.±l

9.如图，在△48C中，乙1BC=9O。，AB=8cm,BC=6cm.动点P,Q分别从点4B

同时开始移动，点P的速度为lcm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，

点P也随之停止运动.下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15sn2的是（）

A.2秒钟B.3秒钟C.4秒钟D.5秒钟

10.如图，在矩形ABCD中，点E为4。上一点，且4B=8,4E=3,BC=4,点P为

4B边上一动点，连接PC,PE,若△PAE与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的

试卷第2页，总21页

个数为（）

A.lB.2C.3D.4

二、填空题

若二次根式斥右有意义，贝收的取值范围是________.

观察表格，一元二次方程/-尤-1.1=0最精确的一个近似解是（精确到

0.1).

X1.31.41.51.61.71.81.9

X2—X—1.1-0.71-0.54-0.35-0.140.090.340.61

如图,AZOB三个顶点的坐标分别为4（5,0）,0（0,0）,8（3,6）,以点。为位似中心,

将44。8缩小为原来的|,则点B的对应点的坐标是_______.

如图，一根竖直的木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成37。角,

则木杆折断之前高度约为m.（参考数据:sin37°«0.60,cos37。«0.80,

tan370®0.75）

你知道吗？对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法，以方程一+

5x-14=0,即x（x+5）=14为例加以说明.数学家赵爽（公元3~4世纪）在其所

著的《勾股圆方图注》中记载的方法是构造图（如下面左图）中大正方形的面积是

（%+x+5）2,其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4x14+52,

据此易得x=2.那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网

格格点上）中，能够说明方程x2-4x-12=0的正确构图是（填序号）.

三、解答题

已知y=77^8+倔=三+18,求代数式近-方的值.

画图题.在下面的网格中，每个小正方形的边长都是1.请画出符合下列要求的图形：

图I图2

（1）图1中将三角形4的各条边按1:3放大，得到三角形B；

（2）图2中将长方形。的各条边按2:1缩小，得到长方形O.

某市新区某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为250元，每桶水的进价

是5元，规定销售单价不得高于12元/桶，也不得低于7元/桶，调查发现日均销售量p

（桶）与销售单价》（元）的函数图象如图所示.

（1）求日均销售量p（桶）与销售单价4（元）的函数关系；

（2）若该经营部希望日均获利1350元，那么销售单价是多少？

试卷第4页，总21页

如图，RtAZBC中，44cB=90。，AC=BC.P为△ABC内部一点，且NZPB=

乙BPC=135°.

(1)求证：&PAB〜4PBe；

(2)求证：PA=2PC.

被誉为“中原第一高楼”的郑州会展宾馆(俗称“玉米楼”)坐落在风景如画的如意湖畔,

也是来郑州观光的游客留影的最佳景点.学完了三角函数知识后，刘明和王华决定用

自己学到的知识测量“玉米楼”的高度.如图，刘明在点C处测得楼顶B的仰角为45。，王

华在高台上的。处测得楼顶的仰角为40°.若高台OE高为5米，点。到点C的水平距离

EC为47.4米A,C,E三点共线,求“玉米楼”4,的高度.(参考数据：sin40°«0.64,

cos40"»0.77,tan40°»0.84,结果保留整数).

阅读材料：各类方程的解法

求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式.求解二元一次

方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为

解二元一次方程组.求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解.求解分

式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必

须检验.各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想-转化，把未

知转化为已知.

用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程.例如，一元三次方程/+/一

2x=0,可以通过因式分解把它转化为X(X2+X-2)=0,解方程x=0和％2+%一

2=0,可得方程婷+/一2x=0的解.

2

(1)问题：方程式+x-2x=0的解是Xi=0,x2=x3=；

(2)拓展：用“转化”思想求方程=x的解；

探索一个问题：“任意给定一个矩形4是否存在另一个矩形8,它的周长和面积分别

是已知矩形周长和面积的一半？”(完成下列空格)

(1)当已知矩形4的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：

设所求矩形的两边分别是x和y,

由题意得方程组：\X+y=2'

Ixy=3,

消去丫化简得：2x2-7x+6=0,

,/4=49-48>0,

••X1=--------1x2=--------»

；•满足要求的矩形B存在.

(2)如果已知矩形4的边长分别为2和1,请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的

矩形B.

(3)如果矩形力的边长为m,n,请你研究满足什么条件时，矩形B存在？

(1)如图1,菱形力EGH的顶点E,“在菱形ABCD的边上，且484。=60。，请直接写出

HD:GC:EB的结果；(不必写计算过程)

(2)将图1中的菱形AEGH绕点4旋转一定角度，如图2,求HD:GC:EB；

(3)把图2中的菱形都换成矩形，如图3,且4D:AB=4H:4E=1:2,此时HD:GC:EB

的结果与(2)小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果(不必写

计算过程)；若无变化，请说明理由.

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参考答案与试题解析

2020-2021学年河南省南阳市某校初三(上)期中考试数学试卷

一、选择题

1.

【答案】

B

【考点】

解一元二次方程-因式分解法

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：原方程可化为/一工=0,

即x(x-1)=0,

所以x=。或x-1=0,

解得与=1,x2=0.

故选B.

2.

【答案】

D

【考点】

二次根式的加法

二次根式的混合运算

二次根式的减法

【解析】

根据二次根式的加减法对4、B、C进行判断；利用二次根式的混合运算法则对。行判断.

【解答】

解：4或与旧不能合并，故A选项错误；

B,2与遮不能合并，故B选项错误；

C.3\/5-V5=2V5,故。选项错误；

故选。,

3.

【答案】

A

【考点】

解一元二次方程-配方法

【解析】

将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可

得出答案.

【解答】

解：：x2-8x-5=0,

x2—8%=5,

则/-8X+16=5+16,即(x-4)2=21,

a———4,b=21.

故选4

4.

【答案】

B

【考点】

比例线段

【解析】

如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段.对选

项一一分析，排除错误答案.

【解答】

解：4,2x5力3x4,故选项错误；

B,Ix4=2x2,故选项正确；

C,4x10K5x6,故选项错误；

D,V2X3V2xV3,故选项错误.

故选B.

5.

【答案】

D

【考点】

等边三角形的性质

相似三角形的性质与判定

【解析】

通过△4BD〜AOCE,可得篙=欲即可求解.

CDCE

【解答】

解：•・・△ABC是等边三角形，

・・・AB=BC=9,/-ABC=乙ACB=60°,

・・・BD=3,

JCD=6,

Z.ADC=^.ABC-V^BAD,

Z.ADC=Z-ADE+乙CDE=Z-ACD+ACDE,

：.乙BAD=Z.CDE,

.*•△ABDDCE,

,AB_BD

**CD~~CE'

-9_3

••6-CE1

・・・CE=2.

故选。.

6.

【答案】

试卷第8页，总21页

B

【考点】

坐标与图形性质

直角三角形斜边上的中线

含30度角的直角三角形

【解析】

根据题画出图形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB的值，再根

据勾股定理可得。8的值，进而可得点4的坐标.

【解答】

解：如图，过点4作轴，与％轴交于点

RtAOAB的斜边04在第一象限，并与x轴的正半轴夹角为30。,

，2。。=30°,

1

AD=^0A,

C为。4的中点，

AD=-0A=AC=0C=BC=1,

2

：.OA=2,

OD=V3,

则点4的坐标为：(V3,1).

故选B.

7.

【答案】

D

【考点】

一次函数图象与系数的关系

绝对值

二次根式的性质与化简

【解析】

先从一次函数的图象判断巾-3的正负值，n-2的正负值，然后再化简原代数式.

【解答】

解：由直线/：y=(m-3)x+n-2(m,n为常数)的图象可知，

m-3>0,n—2<0,

|m-3|-Jn2-4n+4

=m—3—'(九一2产

=ni—3+7i—2

=m4-n—5.

故选D

8.

【答案】

A

【考点】

解一元二次方程-直接开平方法

定义新符号

【解析】

根据新定义列出方程，利用直接开平方法解出方程.

【解答】

解：方程（2团1）团％=-10,

所以（2x2-12）12刀=-10,

所以3团％=-10,

所以2*3--=-10,

整理得,x2=16,

解得，%=±4.

故选4

9.

【答案】

B

【考点】

动点问题

三角形的面积

一元二次方程的应用一一几何图形面积问题

【解析】

设运动时间为"然后用含t的代数式表示出BP和BQ的长，最后根据面积公式即可列方

程解答.

【解答】

解：设运动时间为t秒时，△PBQ的面积为15cm2,

BP=8—t,BQ=2t,

根据题意，得与2=15,

解方程，得匕=3,12=5（舍去）.

当t=5时，BQ=2x5=10>6=BC,

不符合题意，舍去，

所以当运动时间为3秒时，APBQ的面积为15c/n2.

故选8.

10.

【答案】

C

【考点】

相似三角形的性质

【解析】

设AP=x,则8P=8—匕分△PAE〜APBC和APAE〜ACBP两种情况，根据相似

三角形的性质列出比例式，计算即可.

试卷第10页，总21页

【解答】

解：设AP=x,则BP=8-x,

当APAE〜APBC时，翌=第

解得，x=y；

当A/VIE〜△CBP时，翌=铁,

解得，x=2或6,

可得满足条件的点P的个数有3个.

故选C.

二、填空题

【答案】

【考点】

二次根式有意义的条件

【解析】

根据二次根式有意义的条件计算即可.

【解答】

解:•:二次根式斥权有意义，

:.3—4%>0,

解得x<*

故答案为：xS*

【答案】

1.7

【考点】

估算一元二次方程的近似解

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：由表格可知，

当x=1.7时，x2-x-l.l=0.09与/-%-1.1=0最接近.

故答案为：17

【答案】

(2,4)或(一2,-4)

【考点】

坐标与图形性质

位似的有关计算

【解析】

利用相似三角形的性质求解即可.

【解答】

,/AOAB-AOA'B',相似比为3:2,8(3,6),

B'(2,4),根据对称性可知，△。4'夕'在第三象限时，B"(-2,-4),

满足条件的点夕的坐标为(2,4)或(―2,-4).

故答案为：(2,4)或(一2,-4).

【答案】

8

【考点】

解直角三角形的应用

【解析】

在RM4PC中，由4C的长及sinB的值可得出力8的长，即可解答.

【解答】

解：如图：

AC=3m,Z-B=37°,

AABC=--A--C-y—3=5l(/m)、,

sm3700.6'八

•••木杆折断之前高度=AC+AB=3+5=8(m).

故答案为：8.

【答案】

②

【考点】

一元二次方程的应用

一元二次方程的解

【解析】

仿造案例，构造面积是(x+x-4)2的大正方形，由它的面积为4x12+42,可求出x

=6,此题得解.

【解答】

试卷第12页，总21页

解：：/一4%一12=0即％(x-4)=12,

•••构造如图②中大正方形的面积是(x+x-4)2,

•••它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，

4x12+42=(%+%-4)2,

解得x=6.

故答案为：②.

三、解答题

【答案】

解：由题意得，x—8>0,8—x>0,

则x=8,y-18,

Vx-7?=V8-V18=2>/2-3V2=-y/2.

【考点】

二次根式有意义的条件

二次根式的混合运算

【解析】

根据二次根式有意义的条件列出不等式，求出工、乂根据二次根式的性质计算即可.

【解答】

解：由题意得，x—8>0,8—x>0,

则x=8,y-18,

Vx-5/y=V8-V18=2V2-3V2=-y/2.

【答案】

解：(1)如图，三角形B即为所求：

【考点】

作图-位似变换

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：（1）如图，三角形B即为所求：

【答案】

解：（1）设日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数关系为p=kx+b,

解得k=-50,b=850,

所以日均销售量P（桶）与销售单价x（元）的函数关系为p=-50x+850.

（2）根据题意得（x-5）（-50x+850）-250=1350,

解得与=9,外=13.

销售单价不得高于12元/桶，也不得低于7元/桶，

x-13不合题意，

答：若该经营部希望日均获利1350元，那么销售单价是9元.

【考点】

待定系数法求一次函数解析式

一元二次方程的应用一一利润问题

【解析】

（1）设日均销售P什甬）与销售单价x（元）的函数关系为：P=kx+b（k芋0）,把

（7,500）,（12,250）代入，得到关于一b的方程组,解方程组即可；

（2）设销售单价应定为x元，根据题意得，（％-5）”—250=1350,由（1）得到

p=-50x+850,于是有（％-5）-（-50工+850）-250=1350,然后整理，解方程得

到%=9,x2=13,满足7<%<12的x的值为所求；

【解答】

试卷第14页，总21页

解：(1)设日均销售量p(桶)与销售单价X(元)的函数关系为P=kx+b,

根据题意得｛配宣需

解得k=-50,b=850,

所以日均销售量P(桶)与销售单价x(元)的函数关系为p=-50x+850.

(2)根据题意得(x-5)(-50x+850)-250=1350,

解得X]=9,x2=13,

V销售单价不得高于12元/桶，也不得低于7元/桶，

x=13不合题意，

答：若该经营部希望日均获利1350元，那么销售单价是9元.

【答案】

证明:⑴；Z.ACB=90°,AB=BC,

：./.ABC=45°=4PBA+乙PBC,

又乙4PB=135°,

/.PAB+/.PBA=45°,

乙PBC=4PAB,且NAPB=Z.BPC=135°,

△PAB-△PBC.

(2)V4PAB〜4PBC,

.«.-P-A-=_--P-B-=_--A-B-

PBPCBC

在RtAABC中，BC=AC,

：.AB=y[2BC,

：.PB=V2PC,PA=V2PB,

：.PA=2PC.

【考点】

相似三角形的判定

相似三角形的性质与判定

【解析】

(1)由三角形的内角和定理可证APBC=NP4B,即可证APABSAPBC；

(2)由相似三角形的性质可得案=宾=桨，且AB=&BC,可得结论.

rDrC&C

【解答】

证明：(I)：乙ACB=90°,AB=BC,

：./.ABC=45°=Z.PBA+乙PBC,

又ZJ1PB=135°,

.・・"/8+"84=45°,

・・・乙PBC=^PAB,且乙4PB=NBPC=135。，

・・・APAB〜△PBC.

(2)VAPAB〜APBC、

,PA_PB_AB

•・PB~PC~BC'

在RM48C中，BC=AC,

：.AB=V2BC,

JPB=V2PC,PA=y/2PB,

・・・PA=2PC.

【答案】

解：作DM148于M,交BC于F,作CG1DM于G,

设=x米，

由题意得，DG=47,4,CG=5,Z,BFM=45°,Z.BDM=40°,

贝IJG〃=CG=5,DF=DG+GF=52.4,FM=BM=%,

BMx

DM=

tanz.BDM0.84'

'/DM-FM=DFt

----x=52.4,

0.84

解得，x«275,

275+5=280（米）.

【考点】

解直角三角形的应用-仰角俯角问题

【解析】

作于M,交BC于凡作CG_LDM于G,设BM=x米，根据题意和正切的定义

表示出DM、FM,列出方程，计算即可.

【解答】

解：作DM148于M,交BC于F,作CG1DM于G,

B

ECA

设BM=x米，

由题意得，DG=47.4,CG=5,^BFM=45°,/.BDM=40°,

IjJljGF=CG=5,DF=DG+GF=52.4,FM=BM=x、

DCM,,=---B-M--4

tanz.BDM0.84'

•・•DM-FM=DFt

Xx—52.4,

0.84

试卷第16页，总21页

解得，x«275,

275+5=280(米).

【答案】

-2,1

(2)V2x+3=x,

方程的两边平方，得2x+3=/.

即/—2%—3=0,

(x-3)(x+1)=0,

%—3=0或％+1=0,

X1=3,x2=-1,

当x=-1时，V2x+3=Vl=1*-1,

所以-1不是原方程的解.

所以方程房不I=x的解是x=3.

【考点】

一元二次方程的应用

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：⑴/+%2—2%=0,

x(x2+x—2)=0,

x(x+2)(x-1)=0,

所以x=0或x+2=0或x—1=0,

X-L=0,%2=-2,x3=1.

故答案为：-2；1.

(2)V2x+3=x,

方程的两边平方，得2x+3=%2,

即X2—2x—3=0,

(%-3)(x+1)=0,

x—3=0或x+1=0,

Xi=3,x2=-1,

当x=-1时，V2x+3="=1*-1,

所以-1不是原方程的解.

所以方程A/2X+3=x的解是x=3.

【答案】

21-2

(2)设所求矩形的两边分别是x和y,

由题意得卜+y=£

Uy=1,

消去y,化情得2/-3%+2=0,

4=9-16<0,

・•・不存在矩形8.

(3)设所求矩形的两边分别为％和y,

(.m+n

%+y=——>

由题意得

(划=fmn

消去丫化简得2产-(m+n)x+mn=0,

要使矩形B存在,则4=(m-n)2-4mn>0.

即4=(m-n)2-4mn>。时，矩形B存在.

【考点】

一元二次方程的应用

根的判别式

【解析】

首先根勾股定理求得B的长，后三函数的定义即可求解.

【解答】

解：(1)由上可知(x-2)(2%-3)=0,

r3

=

X1=2,X22-

故答案为：2；|,

(2)设所求矩形的两边分别是x和y,

由题意得卜+y=T'

Uy=1,

消去y,化简得2/-3%+2=0,

,/4=9-16<0,

・,・不存在矩形8.

(3)设所求矩形的两边分别为％和y,

.rn+n

X+y=r>

mn

1孙二三，

消去丫化简得2--(m+n)x4-mn=0,

要使矩形B存在，=(m-n)2-4mn>0.

即/=(m-n)2-4mn>0时，矩形B存在.

【答案】

图1

・・,菱形AEGH的顶点E,H在菱形A8CD的边上，且乙84。=60。，

£.GAE=Z.CAB=30°,AE=AH,AB=ADy

・•・A,G,C共线，AB-AE=AD-AH,

：.HD=EB,

延长HG交BC于点M,延长EG交DC于点N,连接MN,交GC于点0,贝IjGMGV也为菱形,

JGC1MN,4NG。=乙AGE=30°,

...—=cos30°=—,

GN2

GC=2OG,

.GN_1

••GCV5,

试卷第18页，总21页

"GND为平行四边形，

/.HD=GN,

：.HD:GC:EB=1：V3:1.

(2)如图2,连接4G,AC,

DC

图2

•••AAOC和AAHG都是等腰三角形，

AD-.AC=AH-.AG=1:^3,ADAC=^HAG=30°,

：.^DAH=^CAG,

/.△DAHCAG,

JHD:GC=AD:AC=1：V3,

・・・Z.DAB=Z.HAE=60°,

JADAH=Z.BAE,

在△D4H和△BAE中，

AD=ABr

Z-DAH=乙BAE,

AH=AEf

：.△DAH=△BAEVAS)

：.HD=EB,

：.HD-.GC-.EB=1：V3:1.

(3)有变化.如图3,连接AG,AC,

图3

'/AD\AB=AH\AE=1:2,乙ADC=^AHG=90°,

：.XADC〜〉AHG、

：.AD-.AC=AH'.AG=1:^5,

・・•ADAC=Z.HAG,

：.Z-DAH=^CAGt

：.ADAH〜△C4G,

，HD:GC=AD:AC=1：V5,

♦・・^DAB=^HAE