2021届重庆一中高考数学押题试卷(二)(含答案解析)

2021届重庆一中高考数学押题试卷(二)

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分)

1.己知集合U=R,A=[x\x2<5,x€Z},B={x\x<2且x丰0},则图中阴影部分表示的集合为

()

A.{2}B.{1,2}C.[0,2}D.{0,1,21

2.已知函数/(%)是定义在R上偶函数，且在(一8,0)内是减函数，若f(2)=0,则满足f(x+2)<0

的实数x的取值范围为()

A.(—4,0)B.(—2,0)

C.(―8,-4)U(0,+8)D.(-2,0)U(2,+00)

3.当a>0时，直线x-a2y一a=o与圆(x—a)2+(y—=1的位置关系是()

A.相交B.相切C.相离D.相切或相离

4.国际冬奥会和残奥会两个奥运会将于2022年在北京召开，这是我国在2008年成功举办夏季奥

运会之后的又一奥运盛事.某电视台计划在奥运会期间某段时间连续播放5个广告，其中3个不

同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且2个奥运

宣传广告不能相邻播放，则不同的播放方式有()

A.120种B.48种C.36种D.18种

5.设F为抛物线y2=5x的焦点，P是抛物线上x轴上方的一点，若|PF|=3,则直线PF的斜率为

()

A.3V3B.V30C.V35D.2V10

»<》的部分图象1

6,已知函数/'(x)=Asin(^a)x+(p)(xER,a)>0,0<a

如图所示.则函数/(x)的解析式为()

°AAj

A./(x)=2sin(2x+g)

B./(%)=2sin(2x+g)

C./(x)=2sin(2x-6

o

D./(x)=2sin(2x-g)

7.已知数列｛an｝的通项公式即=f2tt_^2w,n(n6N*),S”为数列｛%>｝的前〃项和，满足5>J(ne

N*),则〃的最小值为()

A.2B.3C.4D.5

8.己知y=/(x)是定义域为&+8)的可导函数，/⑴=-3)=1,/。)的导数为/'(x),且xe弓,2)

时，f(x)<0；xe(2,+8)时，/'(x)>0,则不等式组4”一2y所表示的平面区域的

1/(2%+y)<1

面积等于()

A.%B.5C.\D.1

552

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分)

9.若复数z=Q+bi(a,bER),z为其共辄复数，定义：二=-a+bi.对任意的2=a+bi,下列结

论正确的是()

A.\z\=\z\=|—|B.z+—=0

C.z-z=z'—D.若bH0,则I；为纯虚数

10.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,5,8,…，

该数列的特点是前两个数都是1,从第三项起每一个数是前面两个数的和，人们把这样的数组

成的数列｛Q九｝交斐波那契数列，并将数列｛斯｝中各项除以4所得的余数按照原来的顺序组成的数

列记为｛%｝,则下列结论正确的是()

A.h2021=1

B.Q21a23—^22+Q20a22—a21=。

C.瓦+C2+「3+…+^2019=2688

D.al+aj+aj+-al019=a2019a2020

11.下列不等式中正确的是()

A.In3<V3Zn2B.Inn<C.2代<15D.3eln2>8

12.如图，在四棱锥P-4BCD中，底面A8CD是正方形，241平面ABC。，伏

PA=AB,点E为PA的中点，则下列判断正确的是()/产、\

A.PB与CD所成的角为60°:鸟)

B.BD1平面PAC

C.PC〃平面BDE

D.VB-CDE-^P-ABCD=1：4

三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.函数f（x）=F°s*$讥1的最小正周期7=____

^sinxcosxi

14.如图，正六边形ABC。匹尸中，有下列四个命题:

A.AC+AF=2BCB.JD=2AB+2AF

c-AC*AD=AB»ADD-（AF•AD）EF=（EF»AF）AD

其中真命题的代号是.（写出所有真命题的代号）

15.已知^neN*）的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为p,q,则p+64q

的最小值为.

16.在棱长为4的密封正方体容器内有一个半径为1的小球，晃动此正方体，则小球可以经过的空

间的体积为.

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

17.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,6Glasin21+dsin2=j

（I）求证：a,c,b成等差数列；

（II）若a-b=4,△ABC的最大内角为120。，求△ABC的面积.

18.已知数列｛即｝的前〃项和Sn=2n+1-2,数列｛“｝满足以=Sn(nEN*).

(1)求数列｛an｝的通项公式；

(2)求数列｛%｝的前〃项和

19.已知函数八%)=炉+2尤2.

(I)求函数/'(X)的极大值和极小值；

(11)若不等式/(%)>ax+4dnx恒成立，求实数a的取值范围;

4X1+14x2+14x3+1

(HI)证明:+^>ln(n+l)(ne/V).

4X124X224X32

20.有编号为1,2,3的三只小球，和编号为1,2,3,4的四个盒子，将三个小球逐个随机的放入

四个盒子中、每只球的放置相互独立.

(1)求三只小球恰在两个盒子中的概率；

(2)求三只小球在三个不同的盒子，且至少有两个球的编号与所在盒子编号不同的概率.

21.设函数/(x)=a/nx+x,g(x)=ex+x.

(I)讨论函数f(x)的单调性；

(n)^/t(x)=/(x)-5(x).当a=2时，证明h(x)<2"2—4.

22.已知函数f(x)=磊在％=1处取得极值2.

(1)求函数f(x)的表达式；

(2)当机满足什么条件时，函数f(x)在区间(m,2m+1)上单调递增？

(3)若P(&,y°)为/(%)=量；图象上任意一点，直线/与/。)=急的图象切于点P,求直线/的斜率

k的取值范围.

【答案与解析】

1.答案：C

解析：解：•••集合U=R,X={xGZ|x2<5}={-2,-1,0,1,2),

B={x\x<2,且x40},

QB={x\x>2或x=0},

•••图中阴影部分表示的集合为4n(QB)={0,2}.

故选：C.

先求出集合U=R,A={-2,—1,0,1,2},B={x|x<2,且x40},从而QB={x\x>2或x=0],

由此能求出图中阴影部分表示的集合AC(QB).

本题考查集合的求法，考查维恩图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

2.答案：A

解析：解：根据题意，函数/Q)是定义在R上偶函数，且在(-8,0)内是减函数，则/(x)在(0,+8)上

为增函数，

/■(X+2)<0=f(x+2)<f(2)=|x+2|<2,

解可得：-4Vx<0,即x的取值范围为(一4,0)；

故选：A.

根据题意，分析可得/(%)在(0,+8)上为增函数,据此可得/(X+2)<0=/(X+2)<f(2)=|x+

2|<2,解可得x的取值范围，即可得答案.

本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题.

3.答案：A

解析：

本题考查学生掌握直线与圆位置关系的判定方法，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，会利用

基本不等式求函数的最大值，属于中档题.

由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离

d,利用基本不等式求出4的最大值，判断4的最大值与半径的大小即可得到直线与圆的位置关系.

解：由圆的方程得到圆心坐标为(a[),

则圆心到直线：x—a2y—a=。的距离

d=总=谓；W%=¥<1(当且仅当a=1时取等号)，

所以直线与圆的位置关系是相交.

故选A.

4.答案：C

解析：解：根据题意，分3步进行分析：

①先将一条奥运宣传广告放在最后，有2种情况，

②将3个商业广告全排列，安排在奥运宣传广告之前，有“=6种情况，

③另一奥运广告插入3个商业广告之间，有3种情况，

则有2x3x6=36种播放方式，

故选：C.

根据题意，分3步进行分析：①先将一条奥运宣传广告放在最后，②将3个商业广告全排列，安排

在奥运宣传广告之前，③另一奥运广告插入3个商业广告之间，由分步计数原理计算可得答案.

本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题.

5.答案：C

解析：解：尸为抛物线y=5乂的焦点(J,。)，

设P点坐标为(x,y),y>0.

根据抛物线定义可知x+9=3,解得x=3代入抛物线方程求得y=苧.

直线尸产的斜率为：4^=735.

4-4

故选：C.

先设出该点的坐标，根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点

到直线的距离求得X的值，代入抛物线方程求得"然后求解斜率.

本题主要考查了抛物线的简单性质.在涉及焦点弦和关于焦点的问题时常用抛物线的定义来解决.

6.答案：A

解析：解：由5=：,生=^^一常求得3=2.

Nz(i)1Z1Z

根据五点法作图可得2x整+8=兀，求得@9

1Zo

再把点(0,1)代入可得ZsiW=1,求得4=2,

故函数的解析式为f(x)=2sin(2x+»O,

故选：A.

由周期求出3,由五点法作图求出3的值，根据图象经过特殊点求得A的值，从而得到函数的解析式.

本题主要考查由函数y=4sin(3X+0)的部分图象求解析式，由周期求出3,由五点法作图求出中的

值，根据图象经过特殊点求得A的值，属于基础题.

7.答案：D

解析：解：数列5｝的通项公式即=(2n7鼠=**一高),

所UL以t、lSc九=1—/Y(1--1-.-1----1-*F•••.H---1-------1-、)=-(1----1-)、=--M-.

n2、3352n-l2n+ly2、2n+ly2n+l

由于满足5n>g(71EN*),

所以三解得几>4,

2n+l9

所以〃的最小值为5.

故选：D.

首先把数列的关系式进行变换，进一步利用裂项相消法求和求出数列的和，解不等式可得所求最小

值.

本题考查的知识要点：数列的通项公式，裂项相消法的求和，主要考查学生的运算能力和转换能力

及思维能力，属于基础题型.

8.答案：D

解析：解：:y=f(x)是定义域为&+8)的可导函数，〃1)=〃3)=1,的导数为/'(©,且X6

(32)时，f(x)<0；%€(2,+8)时，［(x)>0,

说明f(x)在C，2)为减函数，在(2,+8)为增函数，在x=2取得极小值，

因为/⑴=f(3)=1，要使/'(2x+y)W1,可得lW2x+yS3①,

结合一2<x-2y<之②画出满足条件①②的可行域可得：

可知直线％-2y+2=0与2x+y=1、2x+y=3垂直，

所表示的平面区域是一个长方形，边长等于点(0,1)到直线2x+y=3的距离：&=悬=专，

另一条边等于：@=在

742

所以面积S=5x曰=1,

故选。.

此题关键是找出可行域，己知y=f(x)是定义域为©,+8)的可导函数，/(1)=/(3)=1,的导

数为/'(X),且XGC，2)时,/'(X)<0；x6(2,+8),说明/(X)在X=2处取得极小值，若/'(2x+y)<1,

可得lW2x+yW3,画出可行域，根据线性规划问题进行求解；

此题是一道线性规划问题，利用导数研究函数的单调性，找出可行域，是解决此题的关键，是基础

题.

9.答案：AB

解析：解：•・,z=a+bi,・•.z=a—bi,—=—a+bb

则|z|=|刁==>/a2+b2,故A正确；

•・,z=a—bi,———a4-bhz+—=0,故8正确；

22

•・•z•z==Q2+z.L-(Q+bi)(—Q+bi)=—a—b,

・•・z・zWz•4,故C错误；

又会誓『:『一；)丹■产,故。错误.

--a+bi(-a+bi)(-Q-bi)a2+b2

故选：AB.

由已知结合复数代数形式的乘除运算逐一分析四个选项得答案.

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查运算求解能力，是基础题.

10.答案：ABD

解析：解：对于选项A：瓦=1,电=1,①=2,%=3,h5=1,b6=0,b7=1,b8=1,b9=2,

瓦0—3,瓦1=1，瓦2=0，…

所以数列｛%｝是以6为最小正周期的数列，

又2021=6x3364-5,所以62021=坛=1，故A正确，

对于选项B：斐波那契数列总有册+2=册+1+M，

所以“+2-an=dn+19

所以(a21a23)一(a22)2+(a20a22)一(a21)2=a21(a23—a21)—a22(a22—a20)=。21a22—022a21=

0,故8正确,

对于选项C：瓦+厉+83+…+62019=336x(1+1+2+3+14-0)+(1+1+2)=2692,故C

错误，

对于选项D:因为臼=。2，an+2=an+l+an^

所以(。1)2=。102，a2=a2(a3—al)=Q2Q3—。2@1，

a3~。3(Q4—。2)=Q3a4—Q3a2，•••

an+l=an+l(an+2—an)=an+lan+2—an+lan-

所以冠+Q弓+送H-----F«2019=ala2+(。2a3-ala2)+(ala4-a12)■*-----(a2018a2019一

a2018a2017)+(tt2019a2020—a2019a2018)=a2019a2020,故。正确，

故选：ABD.

由斐波那契数列的性质逐个判断即可得出答案.

本题考查斐波那契数列的性质，属于基础题.

11.答案：AC

解析：解：令/'(X)=誓，则/''(%)=m匕令/''(>)=0,得x=e,

易得/(x)在(0,e)上单调递增，在®+8)上单调递减，

所以①/(2)>/(旧)，即等〉曙，即百加2>2m我="3，故A正确；

②f(低)>f(心)，即喑〉噤，所以可得加兀〉J|，故8错误；

@/(V15)>/(4),即^^>—,即万15=2ZnV15>V15ln2,所以仇15>加2属，所以2危<

V1542

15,故C正确；

@/(V8)</(e),即嘿<等，即鬻<5,即好几2<2或，所以36n2<4虫，故。错误.

故选：AC.

构造函数f(x)=乎,利用导数分析其单调性，然后由/(2)>/(a)"(SF)>f(病，/(V15)>/(4)，

/(V8)</(e)得出每个选项的正误.

本题考查了是构造函数，利用函数的单调性比较大小，解题的关键是函数的构造和自变量的选择，

属于较难题.

12.答案：BCD

解析：解：对于A,「CD〃/IB,NPB4(或其补角)为PB与CQ所成角，

vPAABCD,ABc^F®ABCD,：.PALAB,\

在RtAPAB中，PA=AB,NPAB=45°,//；\\

即P8与CO所成角为45。，故A错误；///

匠,”A/

对于B,•••四边形ABC。为正方形，.•.aCIBD,二_--Y

vPA1•平面ABCD,BDu平面ABCD,PA1BD,

vPACtAC=A,PA,ACu平面PAC,：.BD_L平面PAC,故B正确；

对于C,连结AC,交BO于点凡则尸为AC的中点，连结EF,

•••E为PA的中点，EF〃PC,而EFu平面BQE,PCC平面BDE,

•••PC〃平面故C正确；

对于D,设48=PA=x,则VP-ABCD=|,AB-AD-PA=|x3,

VB-CDE=VE-BCD=^SABCDSE=|-1X2-\X=^x3.

^B-CDE:Up-4BCD=石/：-X3=1：4,故。正确.

故选：BCD.

由CD〃4B,得NPB4(或其补角)为PB与CD所成角，求出角的大小即可判断A；由线面垂直的判定

可得BO_L平面PAC,得到8正确；连结AC,交BD于点F,连结EF,得EF〃PC,由线面平行的判

定判断C；设4B=P4=x,分别求出三棱锥与四棱锥的体积，即可判断。正确.

本题考查了命题真假的判断与应用，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能

力，是中档题.

13.答案:n

解析：解：/(x)=cos2x—sin2x=cos2x,

「3=2,

-T=7T.

故答案为：n

利用行列式的计算方法化简/（x）解析式，再利用二倍角的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，找

出3的值，即可求出最小正周期.

此题考查了二倍角的余弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及二阶行列式与逆矩阵，化简

函数解析式是解本题的关键.

14.答案：A、B、D

解析：本题考查平面向量数量积的运算，向量加减混合运算及其几何意义，是基础题.

解：对于A：；就+看=而=2就故A对；

对于B：取AD的中点0,有万=2n=2（荔-N）=2方-2万，故B对；

对于c：就,15一15•五=证一部）・万一石•荔=就<75千。故c错；

对于D："-'AD=2FE-'■^D,AF^=2（FE*AF'）EF=2TE（AF*'EF'）R故D对.

.•.真命题的代号是4,B,D

故答案为：A、B、D.

15.答案：16

解析：解：。一勺气代川）的展开式中，

所有项的二项式系数之和为p=2",

所有项的系数之和为q=（|）n=~

则p+64g=2n+g>2J2n端=16，

当且仅当2n=条即72=3时取“=”；

所以p+64q的最小值为16.

故答案为：16.

根据题意求出展开式中所有项的二项式系数之和与所有项的系数之和，

再利用基本不等式求出最小值.

本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了利用基本不等式求最值的应用问题.

16.答案：32+等

解析：解：••・在棱长为4的密封正方体容器内有一个半径为1的小球，晃动此正方体,

・•・小球可以经过的空间的体积：

K=43-(I2-xI2)x2x12-(8-i7T)=32+^.

故答案为：32+等.

利用正方体体积公式和球的体积公式能求出小球可以经过的空间的体积.

本题考查正方体中小球的可以经过的空间的体积的求法，考查正方体、球等基础知识，考查推理论

证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题.

17.答案：解：(I)由正弦定理和降帚公式，可得

^asin2：+bsin2?=：化为：sinA■+sinB-=jsinC

即—cosB)+sin8(l—cosA)=sinC,结合sinC=sin(71+B)

得siw4—sinAcosB+sinB—cosAsinB=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

，sinA+sinB=2(sinAcosB+cosAsinB)=2sizi(A+B)=2sinC

即sinA+sinB=2sinC,

再由正弦定理，得a+b=2c,故mc,人为等差数列...(6分)

(H)va—b=4,且Q+b=2c

•••联列｛汇可得真；工,

•・,最大内角为120。，且。为最大边

cosA=cosl20°=°+：一。=--»解之得c=5且b=3…(10分)

2bc2z

故AaBC的面积S—BC=4csinA=竺旧…(12分)

24

解析：(/)利用正弦定理和三角函数的降幕公式，化简已知等式得sin4(l-cosB)+sinB^l-cosA)=

sinC,再用诱导公式sinC=sin(4+B),化简整理得至iJsinA+sinB=2sinC,即得a+b=2c,故a,

c,b为等差数列；

(〃)将a—b=4与a+b=2c联解，得到a=c+2且b=c—2,从而得到a为最大边、A为最大角等

于120。，再利用余弦定理加以计算，得出Ac的长，利用正弦定理的面积公式即可算出△ABC的面

积.

本题给出三角形的边角关系式，求三边的等差关系并依此求三角形的面积.着重考查了三角恒等变

换公式、正弦定理和三角形的面积求法等知识，属于中档题.

n1+1

18.答案：解：(1);Sn=2+i—2,.,.当n=1时，ax=Sx=2—2=2；

n+1nn

当九N2时，Qn=Sn—Sn-i=2—2—2,

・・n

又•・,斯=2=2］，•an=2....(6分)

n+1

(2)由己知，bn=Sn=2-2,

T=b+b+b+-+b=(22+23+24+-+2n+1)-2n=_2n=2n+2-2n-

n123n1—2

4.…(12分)

解析：(1)求出数列的首项，利用数列的第"项与前〃项和的关系求解数列的通项公式.

(2)化简通项公式，然后求解数列的和即可.

本题考查数列求和，通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力.

19.答案：解：(1)vf'(x)=3x2+4x=x(3x+4),x(3x+4)>0

可得XG(—8,-g)和(0,+8).

/(X)在(一8,和(0,+8)上递增，在(一£0)上递减

.♦•/0)的极大值为/(一》=||

/(%)的极小值为f(0)=0....(4分)

(2)/(%)>ax4-恒成立，

即+2x2-4xlnx>QX对VxG(0,+8)恒成立.

也即a<%24-2x—4lnx^fxE(0,+8)恒成立.

令g(%)=%2+2x-4lnx,只需a<即可•

g，(x)=2x+2-；20-y,%e(o,+00),

y=g(x)在(0,1)上递减，(L+8)上递增

g(x)min=g(l)=3,a43….(9分)

(3)由(2)知x>0时,x2+2%—4lnx>3恒成立.

即(x—1)(%4-3)>4lnx即6-1丁+.”>恒成立.

令％=14--得>ln(l+-),

n4xn2'ny

即菽获-1n(n+1)-lnn

4(n-l)+l

故>Inn—ln(n—1)

4(n-l)2

把以上〃个式子相加得

、］，­、一彳八、

4/x1+1+,/4x2+1+,R4x3+1+,…+,4^xnr+2l1nS+l)….(14分)

解析：(1)求出函数导函数/'(X),判断函数的单调性，然后求出极值.

(2)/(%)>ax+4%仇》恒成立，转化为Q<%2+2%-4，nx对％6(0,+8)恒成立.通过函数的导数求

出函数的最值即可.

(3)利用(2)知x>0时，久2+2乂-41nx23恒成立.推出舞21noi+1)-/nn,通过累加法证明所

证明的不等式即可.

本题考查函数的导数的综合应用，函数的最值，构造法以及单调性的应用，难度比较大，是一个类

型的常用方法.

20.答案：解：(1)设“三只小球恰在两个盒子中”为事件A,

则P⑷=且等1=

(2)设“恰有两个球的编号与盒子编号不同”为事件B,“三个球的编号与盒子的编号不同”为事件

C,

则“至少有两个球的编号与所在盒子编号不同”为事件：B+C.

2+cx3

P(B)=也普=2,P(C)=与互斥,

kJ4364k743j=64—,BC

故P(B+C)=P(B)+P(C)=2+着

解析：(1)设“三只小球恰在两个盒子中”为事件A,利用古典概型能求出三只小球恰在两个盒子中

的概率.

(2)设“恰有两个球的编号与盒子编号不同”为事件B,“三个球的编号与盒子的编号不同”为事件

C,则“至少有两个球的编号与所在盒子编号不同”为事件：口+0再由^与^^互斥，由此能求出三

只小球在三个不同的盒子，且至少有两个球的编号与所在盒子编号不同的概率.

本题考查概率的求法，考查古典概型、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是

基础题.

21.答案：解：(I)alnx+x,x>0,

当aNO时,f(x)>0,函数f(%)在(0,+8)上单调递增,

当a<0时，令，/'(无)=0可得％=—a,

当・•./'(%)>0时，解得%>-a,

令・•./'(%)<0可得，0<%V—Q,

所以函数/(%)在(-兄+8)上单调递增，在(0,-a)上单调递减，

(H)/i(x)=f(x)—g(x)=alnx—ex,

当a=2时/i(x)=2lnx—ex,//(%)=j-e”,

令y=h![x)=x~e%,则=—卷—e*<0，

所以九'(%)在(0,+8)上单调递减.

取.=p不=1，则九'(}=4—Ve>0,"(1)=2—e<0,

所以函数”(x)存在唯一的零点用G弓,1),

即无(&)=---ex