选修系列2介绍（湖南0804－05高中数学培训）

普通高中课程标准实验教科书数学选修系列1、2〔A版〕简介人教Ａ版教材讲师团深圳中学郭慧清笑容常用逻辑用语普通高中课程标准实验教科书选修1－1、2－1一、内容与要求〔1〕命题及其关系①了解命题的逆命题、否命题与逆否命题．②理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系．〔2〕简单的逻辑联结词通过数学实例，了解逻辑联结词“或〞“且〞“非〞的含义．〔3〕全称量词与存在量词①通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义．②能正确地对含有一个量词的命题进行否认．变化:新增了“全称量词语与存在量词〞的内容，更加重视了对意义的理解以及通过数学实例或生活中的实例理解相关概念．如要求“理解必要条件、充分条件与充要条件的意义〞、“通过数学实例，了解逻辑联结词“或〞“且〞“非〞的含义〞、“通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义〞．1.课时(共8课时)二、内容安排及说明命题及其关系约2课时充分条件与必要条件约2课时简单的逻辑联接词约2课时全称量词与存在量词约2课时2.对内安排的说明

(1)命题、四种命题及其相互关系是逻辑学的根底知识．数学学科包含了大量的命题，了解命题的根底知识，认识命题的相互关系，对于掌握具体的数学学科知识很有帮助．教科书首先通过实例介绍了命题，也是通过实例说明了判断一个语句是否是命题的依据：“陈述句〞和“可以判断真假〞．通过对“假设p，那么q〞形式命题的条件和结论的讨论，认识了四种命题；通过对四种命题的条件和结论之间关系的讨论，认识了四种命题的相互关系；通过对“假设p，那么q〞形式命题真假性的讨论，认识了充分条件和必要条件，并通过命题条件与结论间的相互推出关系，认识了充要条件．(2)认识了命题，教科书接着介绍命题间的联接词“或〞、“且〞、“非〞．这些联结词含义和用法的介绍，都是通过学生熟悉的数学实例讲授的，以使学生理解其含义，体会表述的准确性和简洁性，防止对其含义和用法的机械记忆和抽象解释．(3)对于某些含有变量因而无法判断其真假的语句，如果对变量加以限制，这些语句就可以成为命题了．教科书介绍了对变量加以限制的两类量词：全称量词和存在量词，指出判断全称命题和特称命题真假的方法，并介绍了如何对只含有一个量词的全称命题和特称命题进行否认．对此，旨在让学生体会全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否认．对上面三局部内容的介绍，可以让学生更去除的认识数学中大量存在的命题，学会分析命题的条件与结论，认识四种命题以及借助几个简单逻辑词联结的命题间的关系，体会逻辑用语表述数学内容的准确性和简洁性．通过判断由逻辑联结词联结的命题的真假或含有量词的命题的真假，可以帮助学生进一步体会逻辑联结词以及全称量词与存在量词的意义，体会命题之间的关系．要让学生体会到三局部内容之间的联系，而不是孤立的学习和机械记忆．(4)增强本段内容学习的兴趣和亲和性,让看似枯燥无味的内容的学习变得津津有味起来．3.重点、难点重点:重点是命题及其关系，充分条件、必要条件、充要条件的意义，逻辑联结词“或〞“且〞“非〞的含义，全称量词与存在量词.难点:理解必要条件的意义，能正确的对含有一个量词的全称命题或特称命题进行否认．4.教材编写的考虑(1)通过大量数学实例的介绍，加强对根本概念意义的理解(2)给学生提供充分的思考、探究的空间(3)强调数学知识间的前后联系

(4)注重数学符号语言的运用

5.对教学的几点建议:〔1〕防止追求概念的形式化定义，无视对概念意义的理解．〔2〕联系日常生活实例或已有知识学习新内容．〔3〕注意自然语言、文字语言、符号语言三者的结合运用．圆锥曲线与方程普通高中课程标准实验教科书选修1－1、2－1一、内容与要求选修1-1（12课时）选修2-1（16课时）内容椭圆及其标准方程，椭圆的简单几何性质；双曲线及其标准方程，双曲线的简单几何性质；抛物线及其标准方程，抛物线的简单几何性质；圆锥曲线的简单应用．椭圆及其标准方程，椭圆的简单几何性质；双曲线及其标准方程，双曲线的简单几何性质；抛物线及其标准方程，抛物线的简单几何性质；直线与圆锥曲线的位置关系；曲线与方程，求曲线的方程．圆锥曲线的简单应用．选修1-1选修2-1要求（1）了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．（2）经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质．（3）了解抛物线、双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质．（4）通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想．（5）了解圆锥曲线的简单应用．（1）了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．（2）经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质．（3）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质．（4）能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题．（5）通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想．（6）结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想．二、主要特点1.“圆锥曲线与方程〞强调解析几何的根本思想：曲线与方程，方程与曲线的关系“曲线与方程〞“方程与曲线〞的关系反映了空间形式与数量关系之间的关系，用数及其运算为工具，在平面直角坐标系下，用代数方法研究几何问题，是数形结合的重要方面．2．“圆锥曲线与方程〞中介绍三种圆锥曲线时，注意引入的过程，对过程进行分析．在过程的分析中引导学生自主探索，从分析每种曲线的典型几何特征入手，选择适当的平面直角坐标系，建立每种曲线的标准方程3．在三种圆锥曲线的简单几何性质的研究中，从直观入手，用代数方法研究它们的几何性质，并注意代数方法与几何直观相结合4．“圆锥曲线与方程〞实例丰富，注重实际背景和应用三、几个值得注意的问题

1．注意知识内容的前后衔接?数学2?、系列4中的“选修4-4坐标系与参数方程〞2．圆锥曲线的第二定义、圆锥曲线的统一定义以及非标准形式的圆锥曲线方程不作教学要求空间向量与立体几何普通高中课程标准实验教科书选修2－1一．内容与要求〔一〕本章内容全章共分两节：3．1空间向量及其运算3．2立体几何中的向量方法

3.1节主要内容空间向量的定义空间向量的加减运算、数乘运算、数量积空间向量的正交分解及其坐标表示〔包括空间向量根本定理〕空间向量运算的坐标3.2节主要内容立体几何中的向量方法〔三部曲〕1.向量表示；2.向量运算;3.回归几何.例1~4本章教学时间约需12课时3.1空间向量及其运算5课时3.2立体几何中的向量方法5课时小结2课时

本章所需主要预备知识：1．

必修2中的空间几何体；

2．

必修4中的平面向量．空间向量运算的几何表示空间向量的定义及其运算立体几何中向量方法空间向量运算的坐标表示用空间向量表示点、直线、平面空间位置关系与空间向量的联系全章知识结构框图

空间向量〔根本概念〕实际背景线性运算数量积基本定理坐标表示简单应用2.1节知识结构框图

2.2节知识结构框图

向量表示点、直线和平面的位置向量表示直线、平面间平行、垂直关系及夹角大小立体几何中向量方法“三部曲〞向量方法与坐标方法结合解决立体几何问题

〔二〕要求1．课程目标空间向量为处理立体几何问题提供了新工具和新方法．通过学习本章，可以使学生在对平面向量已有认识的根底上，进一步学习空间向量，并运用空间向量研究立体几何中的问题，进一步体会向量方法在解决几何问题中的作用．2．学习目标〔1〕经历向量及其运算由二维向三维推广的过程．〔2〕了解空间向量的概念，了解空间向量的根本定理，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．〔3〕掌握空间向量的线性运算及其表示．〔4〕掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线〔平行〕与垂直．〔5〕理解直线的方向向量与平面的法向量．〔6〕能用向量语言描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．〔7〕能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的一些定理．〔8〕能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角及距离等的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用．二．编写思想与教材特点

〔一〕编写思想

1．本章从数量表示和几何意义两方面，把对向量及其运算的认识从二维情形提升到三维情形．这是“由此及彼，由浅入深〞的认识开展过程．

2．本章以立体几何问题为载体，表达向量的工具作用和向量方法的根本步骤和原理，再次渗透符号化、模型化、运算化和程序化的数学思想．

〔二〕教材特点1．注重知识间的联系，温故而知新，运用类比的方法认识新问题

从回忆平面向量的相应内容说起表达方式：“与平面向量一样……〞“类似于平面向量……〞“比照平面向量……〞问题中有许多与平面向量有关从引言到小结都关注空间向量与平面向量的联系．重视纵向联系，强调“推广〞和“开展〞，实现正向迁移，到达温故知新．

2．强调通性通法，突出一般规律，渗透根本数学思想

从扩充对于“数〔量〕与运算〞的认识的角度反映空间向量及其运算；

表达引入向量为解决某些几何中问题提供了通法．三．几点教学建议〔一〕把重点放在空间向量和向量方法上；〔二〕注意数与形的关联；〔三〕深化理解向量运算的作用.设直线a,b的方向向量分别为a,b，平面X,Y的法向量分别为X,Y，那么线线平行a∥ba∥ba=kb线面平行a∥Xa⊥Xa•X=0面面平行X∥YX∥YX=kY线线垂直a⊥ba⊥ba•b=0线面垂直a⊥Xa∥Xa=kX面面垂直X⊥YX⊥YX•Y=0aaXX向量是躯体，运算是灵魂.没有运算的向量只能起路标作用.普通高中课程标准实验教科书〔A版〕选修1-1，2-2导数及其应用简介一、内容结构二、教学目标三、对一些关键问题的处理四、几个需要注意的问题导言导数和定积分都是微积分的核心概念，它们有极其丰富的背景和广泛的应用。本章通过大量实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，体会导数的思想，理解导数的含义。通过用导数研究函数的单调性、极值等性质和解决各种最优化问题，体会导数在解决数学问题和实际问题中的广泛应用和强大力量。本章还初步介绍定积分的概念及其简单的应用，学生也将初步体会定积分的思想及其丰富内涵，为进一步学习微积分打下根底.此外，通过对微积分开展史的渗透和介绍，使学生体会微积分在人类思想、文化开展史上的价值。文科〔16课时〕：3.1变化率与导数约4课时3.2导数的计算约4课时3.3导数在研究函数中的应用约3课时3.4生活中的优化问题举例约3课时实习作业约1课时小结约1课时一、内容结构理科(24课时)：1.1变化率与导数约4课时1.2导数的计算约4课时1.3导数在研究函数中的应用约3课时1.4生活中的优化问题举例约3课时1.5定积分的概念约4课时1.6微积分根本定理约2课时1.7定积分的简单应用约2课时实习作业约1课时小结约1课时二、教学目标(1)体会导数的思想及其内涵通过分析实例，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。(2)通过函数图象直观地理解导数的几何意义。2.能根据导数定义，求函数

的导数，能利用根本初等函数的导数公式和导数的四那么运算法那么求简单函数的导数，能求简单的复合函数〔仅限于形如f(ax+b)〕的导数。3.(1)结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间。

(2)结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超多三次的多项式函数的极大值、极小值，以及在给定区间上不超多三次的多项式函数的最大值、最小值。4.通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。5.从问题情景中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的根本思想，初步了解定积分的概念．6.通过实例〔变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系〕，直观了解微积分根本定理的含义，并能利用微积分根本定理计算简单的定积分．应用定积分解决一些简单的几何和物理问题．三.对一些关键问题的处理１．突出概念本质〔1〕导数——瞬时变化率〔2〕定积分曲面梯形面积定积分〔变速直线运动〕导数概念的引入反复通过大量实例，引导同学们经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，引入导数的概念，体会导数的思想，理解导数的含义：气球平均膨胀率；高台跳水的平均速度瞬时速度；函数的平均变化率瞬时变化率;(定义)曲线的割线斜率切线斜率。〔几何意义〕高台跳水问题〔一以贯之〕运发动相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t〔单位：秒〕存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.〔1〕用运发动在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态；〔2〕探究运发动在时间段内的运动状态平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。〔3〕如何求〔比方，t=2时的〕瞬时速度？通过列表看出平均速度的变化趋势

：

从平均速度过渡到瞬时速度

，得到瞬时速度的值为-13.1.从数学上来看，这个过程能够说明变化趋势，也是学生容易理解的(实际上利用了极限的描述性定义)，不追求严格的证明。

一般化：从函数的平均变化率到瞬时变化率。导数的几何意义通过观察曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的割线PPn的变化趋势，既获得切线定义，又得到割线PPn的斜率与切线PT的斜率k之间的关系：函数的平均变化率到瞬时变化率。将切线斜率和导数相联系，得到导数的几何意义〔又一次经历平均变化率到瞬时变化率的过程〕。定积分概念的引入着重揭示定积分的思想方法和求解问题的一般步骤〔1〕通过解决曲边梯形的面积、变速直线运动的路程这两个典型问题，着重揭示出定积分的思想方法：在每个局部小范围内“以直代曲〞“以不变代变〞和逼近的思想．事实上，这就是定积分概念中蕴涵的最本质思想，这也是应用定积分解决实际问题的思想方法．〔2〕给出求解这类问题的一般步骤——“四步曲〞：分割、近似代替、求和、取极限．

曲边梯形的面积问题的引出如何求由抛物线y=x2与直线x=1,y=0,所围成的平面图形局部的面积S？解决问题的关键〔思想方法〕通过回忆求一种特殊的曲边形——圆的面积的过程，通过类比启发学生得到解决问题的思想方法——局部小范围内“以直代曲〞“以不变代变〞和逼近的思想．解决问题的“四步曲〞第一步——分割把区间[0,1]等分成n个小区间，原来的曲边梯形就被分成n个小曲边梯形．第二步——近似代替在每个小区间上进行近似代替，“以直代曲〞，求出每个小曲边梯形面积的近似值〔用左段点处的函数值〕．第三步——求和求出所有这些近似值的和，就得到原来的曲边梯形面积的近似值．第四步——取极限对曲边梯形面积的近似值取极限得到曲边梯形的面积．

通过教科书中的图可以看出，随着分割越来越细，近似值不断趋向于曲边梯形的面积．教科书中给出的表可以使学生能够定量地看出，随着区间等分数n的增大，曲边梯形的面积趋向于常数．

变速直线运动的路程类比求曲边梯形面积的过程，从几何图象与物理意义两方面分析、解决问题。得到结果后，再从反方向上推断出该路程在数值上等于一个曲边梯形的面积，从而为给出定积分的几何意义作铺垫。

引入定积分概念

定积分的几何意义〔由两个引例自然地给出〕探究拓广〔正、负的情形可后置〕为利用定积分计算面积奠定根底2.强调几何直观，重视背景，表达应用关注用导数本质及其几何意义解决问题在导数的计算中，给出几个简单函数的导数的推导过程:

并给出前3个结果的几何意义或物理意义。直接给出根本初等函数的导数公式〔其余公式不作推导〕；直接给出导数运算法那么，不作推导。应用它们求一些简单函数的导数。〔2〕防止过度的形式化运算，教科书给出了一些应用导数解决实际问题的例题。〔3〕直接给出复合函数的求导公式，不作推导，且只要求利用公式求形如y=f(ax+b)的复合函数的导数。导数的应用导数在研究函数中的应用〔1〕函数的单调性——先研究跳水运动，进而从假设干个函数的几何图形上，利用导数的几何意义，观察、分析单调性与导函数符号之间的关系，总结出一般规律，并用来解决函数单调性〔包括实际问题〕，求一些简单函数的单调区间。应用导数探索函数的单调性、极值等性质及其在实际中的应用，感受导数在解决数学问题和实际问题中的作用。

〔2〕函数的极值——利用单调性，从函数的几何图形上观察、探究极值与导数之间的关系，总结出一般规律〔呈现方式与研究函数单调性类似〕，并用来求一些简单函数极值。〔3〕函数的最大〔小〕值——利用极值，从函数的几何图形上观察、探究最大〔小〕值与极值、两个端点处的函数值之间的关系，总结出一般规律，并用来求一些简单〔连续〕函数的最大〔小〕值〔其中多项式函数的次数不超过3次〕。导数方法的一般性和有效性在解决具体问题的过程中，将研究函数的导数方法与初等方法作比较，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。生活中的优化问题举例生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，它们都可以化归为求函数最大〔小〕值。两个目的〔1〕培养应用意识。运用导数，解决生活中的一些优化问题；〔2〕培养学生数学建模的思想：优化问题用函数表示的数学问题

优化问题的答案用导数解决数学问题

微积分根本定理突出微积分根本定理的探究过程,分别从物理意义和〔导数〕几何意义两个角度，直观地了解微积分根本定理的含义，同时又一次经历了数学知识的发现过程．反映微积分根本定理的根本思想,不给出严格证明。

物体的位移是函数在两个端点处的函数值之差，即从几何意义上看，由导数的几何意义知求和得近似值取极限，由定积分的定义得进而把所得的结论一般化，给出微积分根本定理

强调微积分根本定理的重要意义不能仅仅从简便、有效地计算定积分的角度认识微积分根本定理的意义，教师应引导学生认识到，更为重要的是它给出微分〔导数〕和积分〔定积分〕之间的内在联系：微积分根本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效方法.微积分根本定理是微积分学乃至高等数学中最重要的定理，它的作用怎么说都不为过．３.定积分的简单应用定积分在几何中的应用平面图形面积．在这局部的教学中，应特别注意利用定积分的几何意义，注意借助于图形直观，数形结合．定积分在物理中的应用变速直线运动的路程：举例复习变速直线运动的路程；变力所作的功：利用定积分的思想方法，解决变力作功的问题，对于变力作功的公式，教科书中给出了一个＂探究＂，未给出证明，主要是考虑到重点应放在公式的应用上，而不是在公式的推导上．在这局部的教学中，应特别注意利用这些问题的物理意义，有时也要注意借助于定积分的几何意义，数形结合解决问题．４.关注微积分的文化价值〔1〕引言介绍了与微积分紧密相关的“四大问题〞〔2〕拓展栏目牛顿法——用导数方法求方程的近似解〔3〕实习作业走进微积分四.几个需要注意的问题1.不专门讲极限

从数学逻辑体系上看，导数、定积分概念学习的起点是极限，即从数列的极限，到函数的极限，再到导数、定积分。这种概念建立方式具有严密的逻辑性和系统性，但学生很难理解极限的形式化定义。因此也影响了对导数、定积分本质的理解。不介绍极限的形式化定义及相关知识，而是用直观形象的方法定义导数、定积分。

〔1〕通过列表计算、直观地把握函数变化趋势(蕴涵着极限的描述性定义)，学生容易理解；〔2〕所涉及到的数列或函数都很简单，学生容易观察出其变化趋势；〔3〕如果讲极限的-定义，就特别抽象，难度急剧增大，加大学生对导数、定积分概念的本质认识的难度。需在教学中检验！2.强调本质、几何意义、物理意义理解导数的本质〔含义〕，从几何直观、物理意义上理解概念，借助几何直观、物理意义分析问题、解决问题。“数形结合〞是学习和研究数学的一种重要的思想方法，借助几何直观可以更好地学习、理解数学概念，并提高应用数学概念解决实际问题的能力3.防止过量的形式化的运算防止过度的形式化运算，防止将导数、定积分仅仅作为一些规那么和步骤来学习，忽略它们的思想和价值。4.控制难度控制导数、定积分计算的难度，严格控制定积分应用的广度和难度。普通高中课程标准实验教科书(A版)选修1-2，2-2推理与证明简介一、内容结构二、教学目标三、编写特点与教学建议四、需要注意的问题一、内容结构“推理与证明〞是数学的根本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式．推理一般包括合情推理和演绎推理．在本章中，学生将通过对已学知识的回忆，进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的根本方法,包括直接证明的方法〔如分析法、综合法、数学归纳法〕和间接证明的方法〔如反证法〕；感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯。文科〔10课时〕2.1合情推理与演绎推理约5课时2.2直接证明与间接证明约4课时小结约1课时理科〔8课时〕2.1合情推理与演绎推理约3课时2.2直接证明与间接证明约3课时2.3数学归纳法约2课时推理合情推理（或然性推理）演绎推理（必然性推理）归纳（部分到整体、特殊到一般）类比（特殊到特殊）三段论（一般到特殊）证明直接证明间接证明综合法分析法反证法数学归纳法（理科、2课时）二、教学目标1.了解合情推理和演绎推理的含义。2.能正确地运用合情推理和演绎推理进行简单的推理。3.了解合情推理与演绎推理之间的联系与差异。4.了解直接证明的两种根本方法——分析法和综合法的思考过程、特点。5.了解间接证明的一种根本方法──反证法的思考过程、特点。6.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。以已学知识为载体，讲推理和证明方法。证明方法〔除数学归纳法外〕是学生在以前的学习中遇到过的，但对它们的特点和内涵不很明确，被动地、不自觉地使用。任务：明确化、显性化，主动地、自觉地使用。

三、编写特点与教学建议通过具体例子〔已学的内容〕总结各种证明方法的思考过程和特点、明确它们的内涵，通过应用进行强化，逐步主动、自觉地使用。1.结合实例了解推理〔引入、应用〕紧密结合已学过的数学实例和生活中的实例，以具体的例子为载体，了解合情推理和演绎推理，防止空泛地讲推理。归纳推理歌德巴赫猜测的提出过程：3＋7＝10，3＋17＝20，13＋17＝30，10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17．偶数＝奇质数＋奇质数6＝3+3，8＝3+5，10＝5+5，12＝5+7，14＝7+7，16＝5+11，…，1000＝29+971，…⑴一个偶数〔大于6〕总可以表示成两个奇质数之和；⑵没有发现反例。歌德巴赫猜测：

任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和。

总结特点：这种由某类事物的局部对象具有某些特征，推出该类事物也具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，通常称为归纳推理〔简称归纳〕．简言之，归纳推理是由局部到整体、由个别到一般的推理．归纳推理的一般步骤：⑴对某类事物的局部对象(有限的资料)进行观察、分析、整理；⑵提出猜测；⑶检验猜测!!!总结特点：

这种由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对象的某些特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理〔简称类比〕．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．类比推理的一般步骤：⑴找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；⑵用一类对象的特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜测；⑶检验猜测(通过证明确认猜测的正确性,或举出反例否认猜测)!!!

类比推理举例直角三角形3个面两两垂直的四面体∠C＝90°3个边的长度a，b，c

2条直角边a，b和1条斜边c∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°4个面的面积S1，S2，S3和S

3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜测．归纳推理、类比推理统称为合情推理.

演绎推理举例归纳出演绎推理的含义特点：前提和推理形式〔规那么〕正确，结论正确！证明函数f(x)=－x2＋2x在(－∞，1〕内是增函数．分析：证明本例所依据的大前提是：在某个区间〔a,b〕内，如果f’(x)>0,那么函数f(x)在这个区间内单调递增．小前提是f(x)=－x2＋2x在(－∞，1〕内满足f’(x)>0，这是证明本例的关键．注：很多情况下，省略大前提。2.纠正典型错误，进一步理解推理⑴合情推理的结论不一定正确费马猜测：任何形如〔n∈N*〕的数都是质数．反例：〔初步体验证明的必要性〕

“平面内，两组对边分别相等的四边形是平行四边形〞；

“平面内，同时垂直于一条直线的两条直线互相平行〞．“空间中，两组对边分别相等的四边形是平行四边形〞；“空间中，同时垂直于一条直线的两条直线互相平行〞．类比⑵演绎推理的形式正确，大前提错误，结论也是错误的3.结合实例讲“证明〞通过熟悉的例子总结各种证明方法的特点、明确它们的内涵，并应用于数学证明，使学生真正作到“论证有据〞：回忆遇到过的某类证明方法的特点通过证明典型且简单的数学问题或实际问题，体验证明方法的特点总结特点，给出证明方法的定义证明的流程框图〔提炼特点〕证明数学命题〔强化、自觉使用〕综合法〔1〕回忆、描述在数学证明中，我们经常从条件和某些学过的定义、定理、公理等出发，通过推理推导出所要的结论．〔2〕举例——体验特点〔3〕总结特点一般地，利用条件和某些已经学过的定义、公理、定理等，经过一系列的推理、论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。〔4〕证明数学命题〔强化、自觉使用〕分析法〔1〕回忆、描述在数学证明中，我们还经常从要证的结论出发，反推回去，寻求保证结论成立的条件，知道找到一个明显成立的条件为止．〔2〕举例、体验特点〔3〕总结特点一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件〔条件、定理、定义、公理等〕为止，这种证明的方法叫做分析法．〔4〕证明数学命题〔强化、自觉使用〕

反证法

反证法的特点(选修1-2)：

选修2-2中的引例稍复杂,解决问题的过程均为:假设原结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立．

应用反证法证明数学命题〔强化、自觉使用〕应用反证法的情形：直接证法难找到证明思路〔例题〕、需分成很多类进行讨论〔引例〕．

数学归纳法数学归纳法是一种特殊的证明方法，主要用于证明与正整数有关的数学命题。

特点：通过有限个步骤的推理，证明n取无限多个正整数的情形．归纳出数学归纳法的原理一个数学问题〔需要探索新的证明方法〕“对于数列｛an｝，a1＝1，an+1＝〔n＝1，2，…〕，通过对n=1，2,3,4前4项的归纳，我们已经猜测出其通项公式为an＝．〞逐一验证是不可能的，需要寻求一种方法：通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立．“多米诺骨牌〞全部倒下的原理使“多米诺骨牌〞全部倒下的两个条件：⑴第一块骨牌倒下；⑵任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．两个条件的作用：条件⑴：奠基；条件⑵：递推关系

利用“多米诺骨牌〞原理证明这个数学猜测〔经历利用合情推理提出猜测逻辑推理进行证明〕数学归纳法的原理：⑴〔归纳奠基〕：命题对n=n0成立(n0为使猜测成立的最小的正整数)；⑵〔归纳递推〕：命题假设对n=k成立，那么对k＋1也成立〔k≥n0〕．学生普遍存在的问题：为什么第二步能在假设下进行证明？第二步实际上是证明一个命题：“假设n=k〔k≥n0〕时命题成立，证明当n=k＋1时命题也成立．〞其本质是证明一个递推关系，归纳递推的作用是从前往后传递.４.合情推理与逻辑推理的联系与差异通过合情推理去探索、猜测结论，但合情推理所得结论的正确性需要演绎推理〔包括数学证明〕进行证证明。合情推理往往提供证明思路四、需要注意的问题1.推理局部的教学重点(发现问题、解决问题)〔1〕教学的重点在于通过具体实例理解合情推理与演绎推理，而不追求对概念的抽象表述。〔2〕用合情推理探索、猜测结论，并体会证明的必要性通过实例，引导学生运用合情推理去探索、猜测一些数学结论，并用演绎推理确认所得结论的正确性，或者用反例推翻错误的猜测。〔这也是学习和研究的一般方法〕2.根据命题的特点，选择证明方法，并体会证明的必要性〔1〕充分重视解决问题的分析过程，引导学生分析命题中条件与结论的特点，选择适宜的证明方法。使学生逐步由被动地、不自觉地进行证明，转向主动地、自觉地利用所学方法进行证明。〔2〕综合利用各种方法进行证明在证明一些数学问题时，仅用单一的证明方法很难解决问题，往往需要综合利用各种方法进行证明。例如：“两头挤〞把分析法和综合法结合起来使用：根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q．假设由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立．3.以已学知识为载体，讲推理、证明方法.例题是以前所学的内容，通过挖掘、提炼、明确其中的推理方法和证明方法，详细分析推理和证明的思路，而不只是表述解题的过程。4.对证明的技巧性不宜作过高的要求(讲清楚数学归纳法的原理，但只需用数学归纳法证明一些简单的数学命题。)5.文理差异数系的扩充与复数的引入普通高中课程标准实验教科书选修数学1-2,2－21.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾〔数的运算规那么、方程理论〕在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；2.理解复数的根本概念以及复数相等的充要条件；3.了解复数的代数表示法及其几何意义；4.能进行复数代数形式的四那么运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。一、内容与要求数系扩充引入复数复数的概念复数代数形式的四那么运算

二、内容安排及说明1.充分展现了从实数系到复数系的扩充过程。2.从多元联系的角度认识复数。三、编写时考虑的几个问题1.加强复数引入过程的教学，表达实际需求与数学内部的矛盾〔数的运算规那么、方程理论〕在数系扩充过程中的作用。2.加强复数与实数、有理数、平面向量及其加减运算、多项式及其加减运算之间的联系。3.削减传统内容〔复数的三角形式、乘法的几何意义〕，防止繁琐的计算与技巧的训练。

四、对教学的几个建议计数原理普通高中课程标准实验教科书选修2－3一、内容与要求1．分类加法计数原理、分步乘法计数原理通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题．2．排列与组合通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题．3．二项式定理能用计数原理证明二项式定理；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．*与“大纲〞比较，“课标〞对组合数的两个性质不作要求．二、课时安排及说明1．本章有三节内容，共14课时，具体分配如下〔供参考〕：1．1两个计数原理约4课时1．2排列与组合约6课时1．3二项式定理约3课时小结约1课时2．对本章内容的几点说明〔1〕分类加法计数和分步乘法计数是处理计数问题的两种根本思想方法．〔2〕返璞归真地看两个计数原理，它们实际上是加法运算与乘法运算的推广，是解决计数问题的理论根底．〔3〕排列、组合是两类特殊而重要的计数问题，解决它们的根本思想和工具就是两个计数原理．〔4〕二项式定理的学习过程是应用两个计数原理解决问题的典型过程，其根本思路是“先猜后证〞．〔5〕“学以致用〞的思想始终贯穿本章内容．两个计数原理几乎是一种常识，这样简单朴素的原理易学、好懂、能懂、好用，但要到达会用的境界，那么需要经过一定量的应用性训练．3．本章重点和难点〔1〕重点：两个计数原理，排列、组合的意义及排列数、组合数计算公式，二项式定理．两个计数原理是最根本而重要的．〔2〕难点：正确运用两个计数原理以及排列、组合概念分析和解决问题．三、编写中考虑的几个问题1．加强根本概念的发生开展过程．“问题情境——引导探究——归纳概括〞2．强调数学思想方法的渗透和总结．本章内容涉及分类、化归、从特殊到一般、多元联系表示等众多数学思想方法．3．强调对根本概念的本质的理解．4．加强用两个计数原理解决问题的根本思想方法

案例：二项式定理的猜测与证明过程〔1〕在“探究〞中提出如何利用两个计数原理得出n=2，3，4的展开式的问题；〔2〕详细写出用多项式乘法法那么得到n=2展开式的过程，并从两个计数原理的角度对展开过程进行分析，概括出项数以及项的形式；〔3〕用组合知识分析展开式中具有同一形式的项的个数，从而得出用组合数表示的n=2展开式；〔4〕让学生模仿上述过程推导n=3，4的展开式；〔5〕得出关于二项式展开式的猜测，给出证明．5．选择具有时代性的事例，增强学生的应用意识．四、对教学的几个建议1．准确把握教学要求与“大纲〞比较，“课标〞不要求掌握“组合数的两个性质〞．另外，“课标〞对本章内容的定位是用计数原理、排列与组合概念解决“简单的实际问题〞．所以，教学中一定要把握好这种定位，防止在技巧和难度上做文章．2．注意认真剖析概念所谓“剖析概念〞，就是对概念内涵的深入分析，也就是要对概念的各种属性及其关系进行认真分析．〔1〕两个计数原理中的“完成一件事情〞．〔2〕排列概念中的“一定顺序〞．〔3〕“排列数〞与“一个排列〞、“组合数〞与“一个组合〞．3．注意用联系的观点看待和分析问题，强调最根本的数学思想方法的应用数学根本概念的概括、根本原理〔公式、法那么、定理等〕的推导过程最集中地表达了数学思想方法的作用，这是进行数学思想方法教学的最好时机．案例：组合数公式的推导以问题“从集合{a，b，c，d}中取出3个元素组成三元子集，共有多少不同的子集？〞为载体，设置如下台阶：〔1〕借助树形图用列举法得出答案；〔2〕细致分析从a，b，c，d中取出3个元素的排列与组合之间的关系；〔3〕以“等式的两边是对同一个问题作出的两个等价解释〞为指导，分析等式的实际意义，得出“从4个不同元素中任取3个的排列的两个步骤〞；〔4〕推广到一般情形，得出组合数公式．4．注意从不同角度思考和解决计数问题从不同角度思考，给出一个问题的不同解法，既加深对问题本质的理解，又检验解答的正确性，而且培养学生思维的灵活性，提高他们分析和解决问题的能力等．一题多解；构造直观模型；等等．随机变量及其分布普通高中课程标准实验教科书选修2－3157教学目标结构设置与课时分配教材内容的变化与特点教学建议1581.教学目标在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布对于刻画随机现象的重要性．通过实例，理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．在具体情景中，了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题．159通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．通过实际问题，借助直观，认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．1.教学目标160教学目标结构设置与课时分配教材内容的变化与特点教学建议161随机变量及其分布（12学时）二项分布及其应用︵4课时︶正态分布与小结︵2课时︶离散型随机变量的均值与方差︵3课时︶离散型随机变量及其分布列︵3课时︶2.结构设置与课时分配162教学目标结构设置与课时分配教材内容的变化与特点教学建议1633.教材内容的变化与特点知识的引入的变化具体内容的变化知识的应用1643.教材内容的变化与特点知识的引入的变化：注重利用学生熟悉的实例和具体情景，以引发学生的学习兴趣；通过思考或探究栏目提出问题，调动学生解决问题的积极性(培养学生们创造性思维的能力)．具体内容的变化知识的应用1653.教材内容的变化与特点知识的引入的变化具体内容的变化：以取有限值的离散型随机变量为知识载体；增加了超几何分布模型(应用背景：产品质量、抽奖游戏设计．理论意义：帮助理解独立性的概念)．知识的应用1663.教材内容的变化与特点知识的引入的变化具体内容的变化知识的应用．通过案例表达概率模型的应用价值；利用思考、探究等栏目引导学生理解案例本质，提高他们解决实际问题能力．167教学目标结构设置与课时分配教材内容的变化与特点教学建议1684.教学建议在教学过程中要交待引入随机变量的原因〔章引言中：利用数学工具、建模〕；注意通过边框问题引导学生了解：对于同一个实际问题，可以用不同的随机变量来描述〔原那么：用简单的有实际意义的随机变量解决实际问题．如掷一枚硬币〕；通过与函数的比较加深对随机变量的理解〔从映射的角度比较〕；169通过取有限值的随机变量为载体，介绍有关随机变量的概念，重点在概念含义的理解及应用〔离散型、分布、条件概率、事件独立性等〕；离散型随机变量的定义使用了“取值可以一一列出〞的描述性语言，主要是为了防止“可数集〞概念；4.教学建议170注意产生超几何分布与二项分布模型背景的差异：〔问题：袋中有a个红球b个黑球，任意摸出m个球中仅有k个红球的概率是什么？答案不唯一！像这类问题给标准答案时一定要倍加小心，不出过失〕超几何分布：不放回任意模出m个球中的红球个数；二项分布：放回任意模出m个球中的红球个数．4.教学建议171注意解释随机变量均值〔方差〕与样本均值(方差)的关系：两者都表示各自的平均位置(变化剧烈程度)；样本均值和方差具有随机性，而随机变量的均值和方差没有随机性〔通常作为估计对象〕；通常可用样本均值和方差估计总体均值和方差．4.教学建议1724.教学建议结合例3使学生们体会概率统计的根本概念在实际问题中的应用方法与结论的正确理解．每种方案导致的损失是随机变量用平均损失比较各个方案的好坏〔在此例中，随机变量的均值可以计算出来〕结论的正确理解〔采取最优方案2之后，下一年的损失一定最小吗？所得到的结论应该用随机变量均值的含义来解释．〕例3根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失6万元，遇到小洪水时要损失1万元．为保护设备，有以下3种方案：方案1：运走设备，搬运费为3800元；方案2：建保护围墙，建设费为2000．但围墙只能防小洪水；方案3：不采取措施，希望不发生洪水．试比较哪一种方案好．173在高尔顿钉板试验中，课文中说“随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会越来越像一条钟形曲线〞．越来越接近于钟形曲线的离散化，即二项分布的密度图像．4.教学建议统计案例普通高中课程标准实验教科书选修1－2、2－3175教学目标结构设置与课时分配回归分析独立性检验1761.教学目标通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的根本思想、方法及其初步应用．通过典型案例的探究，了解独立性检验〔只要求2×2列联表〕的根本思想、方法及其初步应用．177教学目标结构设置与课时分配回归分析独立性检验178统计案例（10课时）独立性检验模型（3课时）回归分析模型（4课时）实习作业与小结（3课时）2.结构设置与课时分配179教学目标结构设置与课时分配回归分析独立性检验1803.回归分析比?数学3?中“回归〞增加的内容回归分析知识结构图回归分析教学建议181画散点图最小二乘法的思想求回归直线方程用回归直线方程解决应用问题必修?数学３?已学回归内容比?数学3?中“回归〞增加的内容182引入线性回归模型y＝bx＋a＋e了解模型中随机误差项e产生的原因了解相关指数R2和模型拟合的效果之间的关系了解残差图的作用利用线性回归模型解决一类非线性回归问题正确理解统计分析方法与分析结果选修新增内容比?数学3?中“回归〞增加的内容1833.回归分析比?数学3?中“回归〞增加的内容回归分析知识结构图回归分析教学建议184b.回归分析知识结构图问题背景分析线性回归模型两个变量线性相关最小二乘法两个变量非线性相关非线性回归模型残差分析相关指数散点图线性相关系数应用1853.回归分析比?数学3?中“回归〞增加的内容回归分析知识结构图回归分析教学建议186回归分析教学建议函数模型与“回归模型〞的关系散点图与模型的选择残差变量与模型选择解释残差变量的来源正确理解相关指数的含义注意提炼案例所蕴含的统计思想应用统计方法解决实际问题需要注意的问题187函数模型与“回归模型〞的关系函数模型：回归模型：样本点在函数曲线上样本点不在回归函数曲线上188函数模型与“回归模型〞的关系函数模型：因变量y完全由自变量x确定回归模型：

预报变量y完全由解释变量x和模型误差e确定无法得到残差变量的值，但可以对它进行估计和分析．189回归分析教学建议函数模型与“回归模型〞的关系散点图与模型的选择残差变量与模型选择解释残差变量的来源正确理解相关指数的含义注意提炼案例所蕴含的统计思想应用统计方法解决实际问题需要注意的问题190

散点图与模型的选择案例2：红铃虫的产卵数与温度这些散点更像是集中在一条指数曲线或二次曲线的附近．散点图帮助确定可供选择模型的范围，模型的比较那么基于残分析在实际应用中，模型只有好坏之分，没有对错之分．统计学的目标是寻求效果更好的模型191回归分析教学建议函数模型与“回归模型〞的关系散点图与模型的选择残差变量与模型选择解释残差变量的来源正确理解相关指数的含义注意提炼案例所蕴含的统计思想应用统计方法解决实际问题需要注意的问题192

残差变量与模型选择

残差图的制作及作用在残差图中寻找异常点残差图的趋势性分析残差图帮助确定异常点，以及模型的改进方向．193残差图的制作用．制作：坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择．横轴为编号：可以考察残差与编号次序之间的关系，常用于调查数据错误．横轴为解释变量：可以考察残差与解释变量的关系，常用于研究模型是否有改进的余地．作用：判断模型的适用性假设模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域．194在残差图中寻找异常点可能由错误数据引起异常点可能由模型误差引起异常点异常点身高与体重残差图195残差图具有趋势性，模型有改进的余地，模型中应该添加二次项

残差图的趋势性分析196回归分析教学建议函数模型与“回归模型〞的关系散点图与模型的选择残差变量与模型选择解释残差变量的来源正确理解相关指数的含义注意提炼案例所蕴含的统计思想应用统计方法解决实际问题需要注意的问题197残差变量的来源：其它因素的影响．如影响身高y的因素不只是体重x，可能还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素．选用的回归模型近似真实模型所引起的误差．预报变量的观测误差．身高y的测量有误差．198回归分析教学建议函数模型与“回归模型〞的关系散点图与模型的选择残差变量与模型选择解释残差变量的来源正确理解相关指数的含义注意提炼案例所蕴含的统计思想应用统计方法解决实际问题需要注意的问题199

相关指数是度量模型拟合效果的一种指标．

在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的能力．

正确理解相关指数的含义200相关指数是度量模型拟合效果的一种指标．相关指数它越大，模型拟合效果越好．〔解释变量数目相同的情况下，教材上的解释变量只有一个是x〕选修2－3在线性回归模型中，它代表了解释变量对预报变量变化所做奉献的百分比201回归分析教学建议函数模型与“回归模型〞的关系散点图与模型的选择残差变量与模型选择解释残差变量的来源正确理解相关指数的含义注意提炼案例所蕴含的统计思想应用统计方法解决实际问题需要注意的问题202

注意提炼案例所蕴含的统计思想如在例1结尾提到“用身高预报体重时，需要注意以下问题：……〞，这些论述适用于所有的回归模型.

模型适用的总体；模型的时间性；

样本的取值范围对模型的影响；模型预报结果的正确理解.203

注意提炼案例所蕴含的统计思想又如教科书上所列“建立回归模型的根本步骤〞，不仅适用于线性回归模型，也适用于所有的回归模型.

对研究对象的背景分析；利用散点图判断模型类别；

估计模型参数；残差分析，模型诊断.204回归分析教学建议函数模型与“回归模型〞的关系散点图与模型的选择残差变量与模型选择解释残差变量的来源正确理解相关指数的含义注意提炼案例所蕴含的统计思想应用统计方法解决实际问题需要注意的问题205

应用统计方法解决实际问题需要注意的问题通过红铃虫产卵数例2，说明如下结论：

对于实际数据，无法知道它来自什么模型，任何统计模型只是近似描述这些数据的工具．对于同样的数据，有不同的统计方法进行分析，要用最有效的方法分析数据．在讲完例2通过引导学生们讨论“是不是还有其它的效果更好的模型来拟合例2中的数据？〞，获得上述结论．206教学目标结构设置与课时分配回归分析独立性检验207独立性检验庞加莱的故事假设检验问题求解假设检验问题独立性检验反证法原理与独立性检验原理独立性检验知识结构图教学建议208数学家庞加莱每天都从同一家面包店买一块1000g的面包，并记录下买回的面包的实际质量．一年后，这位数学家发现，所记录数据的均值为950g．于是庞加莱推断这家面包店的面包份量缺乏．庞加莱的故事209庞加莱的推断原理：假设“面包份量足〞，那么一年购置面包的质量数据的平均值应该不少于1000g；“平均值不大于950g〞是一个与假设“面包份量足〞矛盾的小概率事件；这个小概率事件的发生使庞加莱得出推断结果．庞加莱的故事独立性检验本节研究的是两个分类变量的独立性检验问题．在生活中，我们常常关心分类变量之间是否有关系：例如，吸烟是否与患肺癌有关系？性别是否对于喜欢数学课程有影响？等等．211b.假设检验问题假设检验问题由两个互斥的假设构成，其中一个叫做原假设，用H0表