放缩法在解答数列题中的应用技巧(十一种放缩方法全归纳)讲义-2023届高三数学二轮复习

放缩法在解答数列题中的应用技巧（十一种放缩方法全归纳）证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材.这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩.一、放缩技巧(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(11)(12)(13)(14)(15)(16)二、经典试题解析（一）、经典试题01、裂项放缩1．（1）求的值；（2）求证:.2．求证:.3．求证:.4．求证:5．求证：6．求证:.7．已知，求证:.8．已知，，求证:.9．已知，，求证:.02、函数放缩10．求证：.11．求证:.12．求证:.03、分式放缩13．证明姐妹不等式:和（也可以表示成为和）14．证明:04、分类放缩15．求证:.16．在平面直角坐标系中，轴正半轴上的点列与曲线上的点列满足，直线在x轴上的截距为.点的横坐标为，.（1）证明>>4，；（2）证明有，使得对都有<.17．已知函数，若的定义域为[－1，0]，值域也为[－1，0].若数列满足，记数列的前项和为，问是否存在正常数A，使得对于任意正整数都有？并证明你的结论.18．设不等式组表示的平面区域为，设内整数坐标点的个数为.设，

当时，求证:.05、迭代放缩19．已知，，求证:当时，.20．设，求证:对任意的正整数k，若k≥n恒有:|Sn+k－Sn|<.06、借助数列递推关系21．求证:.22．求证:07、分类讨论23．已知数列的前项和满足，，证明：对任意的整数，有.08、线性规划型放缩24．设函数.若对一切，，求的最大值.09、均值不等式放缩25．已知，求证：.26．已知函数，若，且在[0，1]上的最小值为，求证：27．已知为正数，且，试证：对每一个，.10、二项放缩，，28．已知证明.29．已知a+b=1，a>0，b>0，求证：.30．已知函数fx的定义域为[0，1]，且满足下列条件：①对于任意[0，1]，总有，且；②若则有（1）求f0的值；（2）求证：fx≤4；（3）当时，试证明：.31．已知：，求证：.11、部分放缩（尾式放缩）32．求证:.33．设求证：34．已知数列的首项，，、、．（1）证明：对任意的，，、、；（2）证明：.12、经典题目方法探究35．已知函数.若在区间上的最小值为，令.求证:.36．设函数，如果对任何，都有，求的取值范围37．若，其中且，，求证:.38．已知函数，若对任意恒有，求的取值范围.39．证明:.40．已知证明.41．已知函数，若证明42．已知函数是在上每一点处均可导的函数,若在上恒成立.(Ⅰ)①求证:函数在上是增函数;②当时,证明:;(Ⅱ)已知不等式在且时恒成立,求证:43．若，求证:.44．求证：.45．已知，求证:46．已知，求证:47．若，求证:.48．已知函数，.对任意正数，证明：．49．求证:.（二）、详细解析1.【分析】（1）根据裂项相消求和即可；（2）根据放缩再求和即可【详解】(1)因为，所以(2)因为，所以2.【分析】根据放缩后利用裂项相消求和即可【详解】因为，故，故3.【详解】由根据得所以4.【分析】利用分式放缩法证明出，进而利用数学归纳法证明即可.【详解】由，得，所以，要证，只需证，下面利用数学归纳法证明：累加相消，可得.故得证.6.【分析】先证右边，根据放缩，再证左边，根据放缩，讨论和时的情况即可【详解】一方面:因为，所以另一方面:当时，，成立当时，，当时，，所以综上有7.【分析】由分析可知要证明的不等式等价于，只需证，即，证明对于恒成立，即可求证.【详解】首先可以证明:令，则，当时，恒成立，符合题意；当时，由可得，因为，所以，可得在单调递增，由可得，可得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即对于恒成立，因为，所以要证，只要证：，只需证，只需证，即等价于，，因为，所以和显然成立，所以原命题成立.8.【分析】由题意求出，通过化简、裂项求得，进而可证明.【详解】所以从而9.【分析】分奇偶代入，再根据与放缩求和即可【详解】证明:，因为，所以所以10.【分析】观察不等式，构造函数不等式，变形得，累加，再放缩即可得证.【详解】先构造函数，，易知在递增，在递减，所以所以有，从而所以11.【分析】构造函数，得到，再证明，由此可得，求和后可以得到答案.【详解】构造函数，则，∴当时，，函数在上为减函数，又，，∴，∴，即，设，则，当时，，函数在上为减函数，又时，∴，即，∴，∴，，…，，∴，∴，∴12.【分析】构造函数先证明，得到，再叠加求和即可证明【详解】构造函数，则，故当时，单调递减；当时，单调递增故，故，所以，令，则，故，即故三、分式放缩姐妹不等式:和记忆口诀”小者小，大者大”，解释:看b，若b小，则不等号小于号，反之.13.【分析】根据放缩证明即可【详解】利用假分数的一个性质可得即故，即，故，即14.【分析】进行两次放缩，再相乘化简即可【详解】运用两次次分式放缩:因为，故，所以两式相乘，可以得到:，故即所以有15.【分析】根据放缩即可【详解】当时，，故16.【分析】（1）根据轴正半轴上的点列与曲线上的点列满足得出，再根据直线在轴上的截距为求解即可（2）设，代入化简，利用放缩方法得到，再设，证明当时即可证明【详解】（1）依题设有：，由得：，又直线在轴上的截距为满足故，显然，对于，有(2)证明：设，则设，则当时，.所以，取，对都有：故有<成立.17.【分析】首先计算出，再利用放缩法求出.【详解】因为的定义域为[－1，0]，值域也为[－1，0]所以∵∴∵，，…，故当时，，因此，对任何常数A，设是不小于A的最小正整数，则当时，必有.故不存在常数A使对所有的正整数恒成立.18.【分析】容易得到，所以，要证只要证，由于，进而记，得故，所以原命题得证【详解】因为，，所以，即，所以或所以内整数坐标点在直线和上，所以与的交点纵坐标为，有整数点个，与的交点纵坐标为，有整数点个所以内整数坐标点的个数为因为，所以所以，即，所以，即所以，记，则所以要证，即证，所以只需证，因为所以当时，求证:成立.19.【分析】推导出数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，求得，分析可知，当时，，结合等比数列的求和公式可证得结论成立.【详解】因为，，且，所以，数列是等比数列，且首项和公比均为，所以，，解得，所以，，当时，，，因为数列为递增数列，为递减数列，故数列为递增数列，当时，，故，所以，，因此，.相加后就可以得到:所以22.【分析】利用分式放缩法证明出，进而利用数学归纳法证明即可.【详解】由，得，所以，要证，只需证，下面利用数学归纳法证明：当时，左边=，右边=，因为，所以<，不等式成立；假设时不等式成立，即，那么当时，，要证，只需证，即证，也就是证：3<4，此时显然成立.所以当时不等式成立.综上所述，，所以23.【分析】由与的关系，结合待定系数法可求得，由于通项中含有，考虑分项讨论，分析得出当且为奇数时，，然后分为奇数和偶数进行分类讨论，结合放缩法以及等比数列的求和公式可证得所证不等式成立.【详解】当时，，解得，当时，由可得，两式作差得，即，设，即，所以，，得，所以，，故数列是公比为的等比数列，且首项为，所以，，故，由于通项中含有，很难直接放缩，考虑分项讨论：当且为奇数时，（减项放缩）.①当且为偶数时，；②当且为奇数时，所以，.因此，对任意的整数，有.24.【分析】根据导数求出的最值，对一切，的充要条件是，得到约束条件，结合线性规划可得的最大值.【详解】由题意得，，当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减，故的极小值，极大值.又当时，；当时，，所以的最小值为，最大值为，故对一切，的充要条件是，即，满足约束条件，作出可行域，如图所示，当直线过点时，取得最大值，且最大值为5．25.【分析】构造函数，通过计算判断单调性，可得，进而可得；构造函数，通过计算判断单调性，可得，进而可得.【详解】证明构造函数，则，故单调递减，于是，即.同理，构造函数，则，故单调递减，于是，即.26.【分析】根据，结合单调性与最值求得，再根据放缩，累加求和证明即可【详解】因为，故，即，故所以在[0，1]上为单调函数，又，故，，故代入可得，故，又27.【分析】根据与基本不等式可得，再根据二项展开式构造，倒序相加求和再结合基本不等式证明即可【详解】由得，又，故，而，令，则=，因为，倒序相加得=，而，则，所以，即对每一个，.28.【分析】分当和时两种情况，当时，根据与进行放缩，得到再累加证明即可【详解】当时，；当时，.设，则，故在上单调递减，故，故.令，则，即29.【分析】由题意可认为成等差数列，设，结合基本不等式可得，整理即可.【详解】因为a+b=1，a>0，b>0，可认为成等差数列，设，则，所以，当且仅当时取等号，即，所以.30.【分析】（1）令，由①，②可得（2）任取且设结合已知条件可得，所以在[0，1]上递增，所以，（3）先用数学归纳法证明：，而当时，，结合函数的单调性可得结论【详解】（1）解：令，由①对于任意[0，1]，总有，∴又由②得即∴（2）解：任取且设则因为，所以，即∴.∴在[0，1]上递增，∴当[0，1]时，.（3）证明：先用数学归纳法证明：当n=1时，，不等式成立；假设当n=k时，由得即当n=k+1时，不等式成立由（1）、（2）可知，不等式对一切正整数都成立.于是，当时，，而[0，1]，单调递增∴，所以，31.【分析】通过构造对偶式：，，首先证明，然后构造，从而利用基本不等式证明.【详解】构造对偶式：令，，则，所以，又因为，所以，所以.32.【分析】利用放缩法，结合等比数列的求和公式即可求证【详解】，33.【分析】利用放缩法得，又，结合裂项相消求和法即可证明.【详解】证明：因为，所以，又（只将其中一个变成，进行部分放缩），所以，所以34.【分析】（1）推出数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，可求出数列的通项公式，进而可求得的通项公式，然后利用配方法可证得结论成立；（2）取，由（1）中的结论结合等比数列求和可证得所证不等式成立.【详解】（1）对任意的，，则，因为，可得，，，以此类推，可知，对任意的，，且有，所以，数列是等比数列，且首项为，公比为，所以，，解得，，对任意的，，，得证；（2）由（1）可知，对任意的，有取，所以，，故原不等式成立.35.【分析】确定，再证明，相加相消，即可证明结论．【详解】证明：，，的单调减区间为，在上单调递减，，，，即有，．36.【分析】令，由题意可得对于恒成立，求，分别讨论、和时，的单调性与最值，即可求解.【详解】因为，所以，因为，，则，①当时，恒成立，在上单调递增，，所以当时，恒成立.②当时，，因此当时，不符合题意；③当时，令，则，故当时，，在上单调递增，故，即，所以当时，，所以不符合题意；所以综上有的取值范围是.37.【分析】由三角恒等变换的公式化简得到，令，利用导数求得函数在单调递增，得出，进而得到，结合题意，即可证明.【详解】由，当时，令，则，所以当时，，所以单调递增，所以，即，可得，即，所以，因为，所以38.【分析】先确定函数的定义域，求导函数，判定函数的单调性，按0＜a≤2，a＞2，a≤0进行分类讨论，即可得到结论．【详解】函数的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），求导函数可得，当0＜a≤2时，f′（x）＞0，函数在（﹣∞，1）和（1，+∞）上为增函数，对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞f（0）＝1；当a＞2时，函数在（﹣∞，﹣），（，1）和（1，+∞）上为增函数，在（﹣，）上为减函数，取x0＝∈（0，1），则f（x0）＜f（0）＝1；当a≤0时，对任意x∈（0，1）恒有且e﹣ax≥1，∴.综上，当a∈时，对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1．39.【分析】构造函数，求导分析单调性可证明，再令累加求和即可【详解】构造函数，求导，可以得到:，令有，令有，所以，所以，令有，所以，故，所以40.【分析】分当和时两种情况，当时，根据与进行放缩，得到再累加证明即可【详解】当时，；当时，.设，则，故在上单调递减，故，故.令，则，即41.【分析】根据题意，设函数，得到，利用导数求得函数的单调性与最小值，得到，进而得到，再令，代入即可求解.【详解】设函数，因为，所以，则，可得，令，则有，即，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的最小值为，即总有，又由所以，即，令，则所以，即42.【分析】(I)①先利用导数的四则运算,求函数的导函数,结合已知证明导函数在上恒成立,即可证明其在上是增函数;②利用①的结论,且时,,且,得,从中解出、即可证得结论;构造一个符合条件的函数,利用(I)的结论,得,令,再将放缩,即可证得所证不等式【详解】(Ⅰ)①

，在上恒成立,

从而有在上是增函数.

②由①知在