向量法解决空间立体几何

向量法解决空间立体几何…点存在性问题-教师版1、如图所示，在直三棱柱ABC-A^1CX中，ZACB=90°,AA=BC=2AC=2.若。为AA］中点，求证：平面BXCD±平面⑵在AA］上是否存在一点。，使得二面角Bi-CD-Ci的大小为60°?解：(1)证明：如图所示,以点。为原点,CA,CB,cq所在直线分别为X,y,z轴建立空间直角坐标系.则C(0,0,0),A(l,0,0),鸟(0,2,2),C/0,0,2),0(1,0,1),fiPCB=(0,2,0),DC=(-1,0,1),CD=(1,0,1)■ii i由CLt・CD=(O,2,QM1A1)=0+0+0-^0,得CB±CD,即CB\CD.ii ii 11由Z>CL-GD>=(-1,0,1)-(1,0,1)=-l+0+l=0UtDC-^CD,HPDCiCD.i i 1又屿孑B]=Cx，/.CD±平面鸟。]。.又CQU平面鸟£刀下孑面BXCD±平面8号.(2)存在.当AD=^AA10寸,二面角B1-CD-C1的大小为60。.理由如下：设AD=a，则。点坐标为(1,0,a),CD=(1,0,a),CB=(0,2,2),i设平面8］CQ的法向量为m= ,ymCB-mCB-0

1mCD=0令z=-1,得m=(o,l,-1).x+az=0,又.CB=(0,2,0)为平面CCQ的—法向量则cos60°="栏I=「 ,\m\-\CB\、静+2z解得a=\[2（负值舍去）,故AD-\fl-^AA：.在AA上存在一点。满足题意.2.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AAXCXC是边长为4的正方形，平面ABC

上平面AAXCXC,AB=3,BC=5.求证：AAX±平面A8G求二面角A1-BC1-B1的余弦值；RD证明：在线段BCh存在点。，使得AD±AB,并求而r的值.解：(1)证明：因为四边形AA］C］。为正方形,所以AAX±AC.因为平面A8C1平面AAXCXC,且AA］垂直于这两个平面的交线AC,所以AAq平面ABC.(2)由(1)知AA{±AC,AA]±A8.由题知AB=3,BC=5,AC=4,所以如图，以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，则8(0,3,0),A](0,0,4),鸟(0,3,4),。1(4,0,4),AB=(0,3,-4),AC=(4,0,0).设平面ABCy的法向量为〃=3,y,z),11111

nAB-nAB-0,1 即＜nAC-0.V, ■ ,Ax—0.令z=3,贝iJi=0,y=4,所以nAx—0.同理可钦平面BBC的一个法向量为m-(3,4,0).所以cos<n,m>=1625-由题知二面角A-BC-B｝为锐角,所以二面角A-BC-B｝的余弦值为共._L _L_L -L 11 Z/J(3)证明：设,y,z)是直线BC］上—点,且BD=ABC.所以(x,y-3,z)=A(4,-3,4).解得x=4A，心U=42_ Q所以AD=(4A,3-3A,4A).由AD•AB=0,HP9-25A=0,解得4=*.因为耘［。,1］,所以在线段_E存在京力,使得AD±A.B,BD__9BCi~A~253、如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PADL底面A8CQ,侧棱PA=PD=^2,PA±PD,底面ABC。为直角梯形，其中BC//AD,AB±AD,AB=BC=1,。为AQ中占I八、、•求直线PB与平面POC所成角的余弦值；求B点到平面PCD的距离；线段PD上是否存在一点Q,使得二面角Q-AC-D的余弦值为*?若存在，解：(1)在中，,。为AQ中点，所以POrAD.y.侧面底面ABCD,平面PADE平面ABCD=AD,P0平面PAD,所以尸0_L平面ABCD.又在直角梯形A8CQ中，连接0C,易得OC±AD,所以以。为坐标原点,0C,0D，。户所在直线分别为尤，y,［轴建立空间直角坐标系，则P(O,O,1),A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(l,0,0),D(0,l,0),PB=(1,-1,-1),易证QAl平面POC,OA=(0,-1,0)是平面POC的法向—-cos〈PB,OA>乙要”幻=*.••直线和与平面尸OC所成角的余弦值为来TOC\o"1-5"\h\zIPB\\OA\3 3(2Tro~(0,l,-CP=(-1,0,1)■设平面PQC的一个法向量为〃= ,z), —- —-uCP=-x+z=0,则 取z=1,得w=(1,1,1).：.B点到平面PCD的距离为d=uPD=y-z=0,\BP叱寸TOC\o"1-5"\h\z\u\ 3-(3)假设存在一点Q，则设PQ=XPD(0<A<l).PD=(0,1,-1),•■-Pfi=(0,A,-A)=OQ—QP=(0,A,—4),..2(0,A,1-A).好面CAQ的一个法心村=3於，z),又AC=(1,1,0),Ag=(0U+1,1-A),mAC=x+y=0, 一则 取z=A+l,得m=(l-4,4-1,4+1),mAQ=(A+l)y+(1-A)z=0.又平面瓦£>的一个法向量为/I=(0,0,1),二面角Q-AC-D的余弦值为普，所以Icos{m,n)I=答兽二袈，得3A2-10A+3=0,解得A=:或A=3(舍),\aat11〃ID D所以存在点己，且卷4、如图1,A,Q分别是矩形AlBCDl上的点，AB=2AA=2AD=2,DC=2DDf把四边形AlADDlAD折叠，使其与平面ABCD垂直，如图2所示，连接D]C得几何体ABAfDCDv(1)当点E在棱AB上移动时，证明：71在棱AB上是否存在点E,使二面角D「EC-D的平面角为&?若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由.解：(1)证明，如图，以点D为坐标原点,DA,DC,DD]所在直线为尤轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Q-xyz,则2(0,0,0),A(l,0,0),C(0,2,0),A/1,0,1),D/0,0,1).设顼1",0),则=(1 -1),AD=(-1,0,-1),DEAD=1X(-l)+rX0+(-1)X(-1111(2)假设存在符合条件的点E.设平面Q]EC的法向量为〃 ,y,z)，由⑴知EC=(-1,2-t,0),令";，则炉1项，z二nEC=0, -x+(2令";，则炉1项，z二叫 得<nDE=0x+ty-z=0,• ，I，1]是平面QEC的一个法向量，显然平面EC。的一个法向量为皿=(0,0,1),1In-DDI . 1 兀 扣则cos<n,DD)=|||危|= 1、1==cosg，解得t=2-3(0&W2).—\[1-砰+尸1故存在点E,当AE=2-时，二面角D]-EC-D的平面角为g5、如图是多面体ABC-A1B1C1和它的三视图.侧视图侧视图(1)线段Cq上是否存在一点使上平面A1CC1?若不存在，请说明理由,若存在，请找出并证明；(2)求平面与平面A]CA夹角的余弦值.解：(1)由题意知AA^AB,AC两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),A](0,0,2),8(-2,0,0),C(0,-2,0),q(-1,-1,2)，则CC=(-1,1,2),AC=(-1,-1,0),AC=(0,-2,-2).设顼入,y,z),则庭斗,y+2,z),TOC\o"1-5"\h\z >EC=(-1-x,-1-y,2-z).设CE—AEC(A>0),i i—-A-Axj *v -A-2-A2A贝Uy+2=-A-Ay, 贝UE*, , ,,1+41+4 1+4/。=2A-Xz,2+4-2-A24TOC\o"1-5"\h\zBE=——, ,——(1+4 1+4 1+4/2+42+4r -—+ =0,BEAC=0, < 1+41+4解得4=2,由〈11解得4=2,BE*AC=0, -2-A22—'—I +—=0,1+4 1+4所以线段CC1±存在一点CE=2EC,使8诳平面ACC.1111—> > m-AC-0,(2)设平面CAC的法向量为血=3,y,z),则由11得[m^AC=0,取i=l,则”-1,z=1.故m=(1,-1,1),而平面A]CA的一^法向量为n=(1,0,0),则cos<m,n>=品=土=半，故平面与平面夹角的余弦值为11711\nI\13 11 16、如图1,正的边长为4,CQ是A8边上的高，E,尸分别是AC和8C边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B(如图2).图1A图2图1A图2yy(1)试判断直线A8与平面QEF的位置关系，并说明理由;(2)求二面角E-DF-C的余弦值;在线段BC±是否存在一点P,^APIDE?如果存在，求出泣的值；如果不存在，请说明理由.［解］(1)在^48。中，由E,F分别是AC,BC中点，得EF^AB.又ABG平面DEF,Egu平面DEF,./剧|平面DEF.(2)以点Q为坐标原点，以直线QB,DC,DA分别为尤轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系，则A(0,0,2),8(2,0,0),C(0,2弟，0),E(0,a/3,1),F(1,a/3,0),DF=(1,V3,0),DE=(0,^3,1),DA=(0,0,2).平面CQ尸的法向量为庭二(0,0,2).设平面ED互的法向量为〃=Jy,z),DF-n=0,x+\{3y=0,则 即l 取孩=(3,-寸，3),、DE-n=0, [\)3y+z=0,cos{DA,n)二:二，所以