2023高等数学试题及答案

2023中南高校现代远程数化课程考试复习题及参考答案

高等数学

一、填空题

i.设，则函数的图形关于对称。

sinx—2<x<0

2.若v=1，贝U.

3.极限。

4.已知，则a=,h=o

5.已知x->0时，（1+。/尸一1与cosx-l是等价无穷小，则常数。=

6.设，其中。可微，则Qz二=

6y

7.设"=e*yz2,其中z=z（x,y）由x+y+z+盯z=0确定的隐函数，则

8.设z=!/（个）+y^（x+具有二阶连续导数，则。

X

9.函数/(x,y)=xy-xy2-/y的可能极值点为和。

2

1。.设于(x,y)=xsiny+(/一1)J|孙|则fy(1,0)=.

11.jx2sin2xdx=.

12.在区间［0,不］上曲线>=cosx,y=sinx之间所围图形的面积为.

13.若，则k=

14.设D：/+V<1,则由估值不等式得<JJ(x2+4y2+lWy<

D

15.设。由y=y=2x?,y=1,y=2围成（x20）,则在直角坐标系下的两种积分次序

为和.

16.设。为0Wy41—x,0WxWl,则的极坐标形式的二次积分为.

17.设级数收敛，则常数p的最大取值范围是.

c「I八X2X4X6.,

18.Ix(l---F--------F,--)dx=

Jo1!2!3!

19.方程的通解为

20.微分方程4丁“-20了+25=0的通解为.

21.当n=时，方程y'+p(x)y=q(x)y"为一阶线性微分方程。

22.若4x4阶矩阵A的行列式为|A|=3,A*是A的伴随矩阵，则IA*|=.

23.设A“*"与凡”曲均可逆，则。=也可逆，且仁|=—.

24.设，且AX-E=3X,则*=.

25.矩阵的秩为.

26.向量a=(—1,0,3,—5),(3=(4,—2,0,1),其内积为.

27.n阶方阵A的列向量组线性无关的充要条件是.

28.给定向量组/=(111),[2=(。02),%=(132),若名,生,％线性相关，

则a,人满意关系式.

29.己知向量组(I)与由向量组(U)可相互线性表示，则r(I)与r(II)之间向量个数的大小关系

是.

30向量7=(2,1)T可以用a=(0,l)T与夕=(1,3尸线性表示为.

31.方程组Ax=0有非零解是非齐次方程组AB=b有无穷组解的条件.

32.设A为mXn矩阵，非齐次线性方程组小=b有唯一解的充要条件是r(A)

r(A|。)=.

33.已知〃元线性方程组AX=b有解，且r(A)<〃，则该方程组的一般解中自由未知量的个

数为.

34.设%是方阵A的一个特征值，则齐次线性方程组(4E-A)x=0的都是A的属

于乙的特征向量.

35.若3阶矩阵A的特征值为1,2,-3,则4T的特征值为.

36.设A是n阶方阵，|A|W0,A*为A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵，若A有特征值儿,则

(A*)3+2E必有特征值;l=.

37.,分别为实对称矩阵A的两个不同特征值为,友所对应的特征向量，则与的内积

(,)=.

38.二次型f(x],x2,x3,x4)=xtx4+x2x3的秩为.

39.矩阵为正定矩阵，则2的取值范围是.

40.二次型f(xl,x2,xi')=2x^+3%2+■+2*也+22毛是正定的，则f的取值范围是.

41.A、B、C代表三事务，事务“A、B、C至少有二个发生”可表示为.

42.事务A、B相互独立，且知P(A)=0.2,尸(3)=0.5则尸(41；3)=.

43.若随机事务A和B都不发生的概率为p,则A和B至少有一个发生的概率为,

44.在相同条件下，对目标独立地进行5次射击，假如每次射击命中率为0.6,

那么击中目标k次的概率为(0<Z：<5).

45.设随机变量X听从泊松分布，且P{X=1}=P{X=2},则P{X=3}=.

xO<x<1

46.设随机变量X的分布密度为/(%)=,。一X1<%<2,贝,

0其它

47.若二维随机变量(X,Y)的联合分布律为

1

11/163/16

2ab

且X,Y相互独立，则常数a=,b=

48.设X的分布密度为/(x),则y=x3的分布密度为.

49.二维随机变量(X,Y)的联合分布律为

X12

1a0.2

20.3

则a与£应满意的条件是，当X,Y相互独立时，a=.

50.设随机变量X与Y相互独立，且乂~双(1,2),丫~77(0,1).令Z=-Y+2X+3,则

O(Z)=.

51.已知随机变量X的数学期望E(X)=1,E(X2)=4.令Y=2X—3,则

D(Y)=.

二、单项选择题

1.设/(x)=x+l,则/(/(x)+l)=().

A.xB.x+1C.x+2D.x+3

2.下列函数中，()不是基本初等函数.

2D.y=yl~^

A.B.yInxC.

3.下列各对函数中，（）中的两个函数相等.

A.与B.y=InA?与g=21nx

C.y=-Jl-sin2x与g=cosxD.y=—与y=4xyl(x-V)

4.设了（X）在x=x（）处间断，则有（）

(A)/（%）在X=X。处肯定没有意义;

(B)f(xQ-0)^f(x+0);(即lim于(x)wlim/(%))；

X—>xoJC—>XQ

(C)limf(x)不存在，或limf(x)-oo；

(D)若/（X）在X=Xo处有定义，则X->Xo时，/（幻一/。0）不是无穷小

1-71+2%

_rzt0

5.函数/(x)=<'在x=0处连续，则A=().

k,x=0

A.-2B.-1C.1D.2

6.若，x=0为无穷间断点，x=l为可去间断点，则。=（).

（力）1(6)0(Oe(〃)e

7.函数z=ln（x、-2）+,4—X、—I、的定义域为（

).

A./+〉2H2口x2+y2*4x2+y2>2D2<x2+y2<4

B.'JrJ

8.二重极限（）

©等于;

（A）等于0（B）等于1（D）不存在

9.利用变量替换,肯定可以把方程化为新的方程（).

(A)（B）(0⑻

10.若/(%)=-/(-%)，在(0,+oo)内/'(%)>0,/"(%)>0,则f(x)在(-oo,0)内().

(A)/'(x)<0,/"(%)<0；⑻f'(x)<0,f"(x)>0;

(Q/'(x)>0,/"(x)<0,(D)/'(x)>o,/"(x)>o,

11.设/(处在％=0的某个邻域内连续，且/(0)=0,,则在点x=0处

/(x)().

3)不行导(6)可导，且/'(0)工0(O取得极大值(〃)取得微小值

12.设函数/(x),g(x)是大于零的可导函数，且/'(x)g。)一/(x)g'(x)<0,

则当a<x<。时，有().

(^)f(x)g(b)>f(b)g(x)(皮f(x)g(a)>f(a}g(x)

/(x)g(%)>f(b)g(b)(D)f(x)g(x)>/(a)g(a)

13.即(x)是连续函数且F(x)=J:则尸(x)=().

3)-e-xf(e-x)-f(x)(B)-e-xf(e-x)+f(x)

(C)一/(x)6e-xf(e-x)+f(x)

14.设/(x)在［1,2］上具有连续导数，且/⑴=1"⑵=l,J，(x)公=—1,

则Jy(x)dx=().

(/)2(B)1-1(〃)-2

15.设/(x)在［a,"上二阶可导，且/(x)>OJ'(x)<Q,f\x)<。.记

h

S］=\f(x)dxS2=f(b)(b-a),S3=〃")；"")g—a),则有().

(力)S1<S2Vs3(皮S2<S3<S,(C)S3<St<S2(〃)S,<53<S2

16.设某级数在x=—1处收敛.则此级数在》=2处().

(A)肯定收敛(B)条件收敛

(C)发散(。)收敛性不能确定

17.下列命题中，正确的是().

(4)若级数的一般项有对〈匕(“=1,2…)，则有

(B)若正项级数满意221(〃=1,2,…)，则之与发散

«=1

9若正项级数收敛，则

(〃)若幕级数的收敛半径为R(0<R<+oo),则.

18.设级数收敛，则级数().

(8肯定收敛(6)条件收敛9发散(〃)敛散性不确定

19.微分方程(x+yXiZx-dy)=fZx+dy的通解是()

(A)x+y+ln(x+y)=c;(B)x-y+ln(x+y)=c;

(C)x+y-ln(x+y)=c;(D)x-y-ln(x+y)=c.

20.设y=/(x)满意微分方程y"—5y'+5y=0,若/(xo)<0"'(xo)=0,则函数/(x)在

点x()()

(A)取极大值；(B)取微小值；

(C)旁边单调增加；(D)旁边单调削减.

21.函数y=>(x)在点x处的增量满意

△)>=；八；+o(Ax)(Ax—>0)

且y(0)=乃，则y(l)=(D)

nn

(A)2肛(B)肛(C)>；(D)7ie^.

22.若含有s个向量的向量组线性相关，且该向量组的秩为r,则必有().

(A)r=s(B)r>s(C)r=s+l(D)r<s

23.已知向量组%=(1,1,1,0),%=(OM,0,1),%=(2,2,0,1),%=(0,0,2,1)线性相关,则

k=()

(A)-1(B)-2(C)0(D)1

24.向量组a”。?，线性相关的充分必要条件是()

(A)%,％，…，％中含有零向量

(B)ttptZj,中有两个向量的对应重量成比例

(C)4,4，-，4中每一个向量都可由其余5-1个向量线性表示

(D)中至少有一个向量可由其余5-1个向量线性表示

25.对于向量组(％,a2,,因为0%+0(»2++0%=0,所以叫,。?,，，小是［J.

(A)全为零向量；(B)线性相关；

(C)线性无关；(D)随意.

26.设4,B均为n阶矩阵，且48=。，则必有()

(A)4=O或B=O(B)M|=O或|8=0(0A+B=O(D)|川+伊|=0

27.若非齐次线性方程组4”“*=6的(),那么该方程组无解.

A.秩(A)=nB.秩(A)=w

C.秩(A)秩(X)D.秩(4)=秩(1)

28.若线性方程组的增广矩阵为，则当;1=()时线性方程组有无穷多解。

1

A.1B.4C.2D.-

2

29.设A=2是非奇异矩阵A的特征值,则有一个特征值是)

]_

(D)

4

30.若二次型

/(为,芍,与)=(&+1房+(2-2滋+(&-3谒正定，则()

(A)Z>T(B)k>\(C)k>2(D)k>3

31.已知a=(1,鼠1)，是矩阵的特征向量，则左=()

(A)1或2(B)-1或一2(C)1或一2(D)—1或2

32.在随机事务A,B,C中，A和B两事务至少有一个发生而C事务不发生的随机事务可表

示为()

(A)ACBC(B)ABC(C)ABCABCIJABC(D)ABC

33.袋中有5个黑球，3个白球，大小相同，一次随机地摸出4个球，其中恰有3个白球的

概率为()

3

(A)-(B)(C)

85

34.设A、B互为对立事务，且尸(4)>0,2(3)>0,则下列各式中错误的是()

(A)P(5|A)=0(B)P(A|6)=0(C)P(AB)=0(D)P(A|J6)=1

35.离散型随机变量X的分布列为P{才=A}=aZ,4=1,2,3,4.则。=()

(A)0.05(B)0.1(C)0.2(D)0.25

36.设随机变量X的分布函数为E(x)=a+Larctanx(-oo<x<8,a为常'数)则

71

=()

1112

(A)-(B)-(C)-(D)-

6323

37.设随机变量X听从N(M，4)，则尸{XW2+M},的值()

(A)随M增大而减小；(B)随〃增大而增大;

(C)随4增大而不变；(D)随〃削减而增大.

38.设随机变量X~N(〃Q2),则y=«X+b听从()

(A)N(N，6)(B)N(O,1)(C)(D)N(a/j+b,a2<y2)

39.对目标进行3次独立射击，每次射击的命中率相同，假如击中次数的方差为0.72,则

每次射击的命中率等于()

(A)0.1(B)0.2(C)0.3(D)0.4

I—/|x|<a

40.设随机变量X的概率密度为/(x)=乃J.2,a>0,则E(X)=().

[0\x\>a

(A)-1(B)0(C)1(D)以上结论均不正确

三、解答题

x<0

1.设x=0,已知/(x)在x=O处连续可导，

x>0

试确立a,b并求/'*)

2.设z=/(2x-y,ysinx),其中/(“,v)具有二阶连续偏导数，求

cxoy

3.设忘pi+y』探讨f(x,y)在(0,0)

[o,x2+y2=0

(1)偏导数是否存在。

(2).是否可微。

4.在过点尸(1,3,6)的全部平面中，求一平面，使之与三个坐标平面所围四面体的体

积最小.

5.

6.,其中。为圆域V+y2《9。

7.设/(x,y)在/+y241上连续，求证：1-1f|7(x,y)dcr=/(0,0)。

…H-相

证明£>={(x,y)|d+y24正}

8.求嘉级数收敛区间及和函数S(x)：

1+y2

9.求解y'=——号，y⑴=0；

xy+xy

10.求解xy'+xtan上V一y=0,火1)=7—t.

x2

11.求解4y"+4y'+y=0满意y(0)=2,y<0)=0.

12.求解y〃一3v+2y=2"满意y(0)=1,/(0)=-1;

13.设二阶常系数线性微分方程了+«/+例=/的一个特解为y=e2*+(l+x上"试确

定.a,0,y,并求该方程的通解.

14.计算下列行列式，

15.计算下列行列式

111

abc=(a+h+c)(h-a)(c-a)(c-b)

33

16.证明：/ah°cc

17.设AX+E=A2+x,且4=,求X.

i]\bi]_r67

18.已知矩阵Oj'|_O16求常数a,b.

3

19.将向量B表示成的线性组合:

⑴a,=(1,1-1),a2=(1,2,1),a3=(0,0,1),J3=(1,0,-2)

20.问Q日取何值时，齐次方程组

有非零解？

21.设线性方程组

试问c为何值时，方程组有解？若方程组有解时，求一般解。

22.求一个正交变换化下列二次型为标准型：

⑴f=2x：+3x；+3x；+4X2X3

23.某工人看管甲、乙、丙3台机器，在1小时内，这3台机器不需照管的概率分别为0.8,

0.9,0.6,设这三台机器是否需照管是相互独立的，求在1小时内

(1)有机床须要工人照管的概率；(2)机床因无人照管而停工的概率.

A

24.设随机变量X的分布密度为/(幻=——(-8<%<+8)

1+X7

求(1)常数A；(2)X的分布函数；.

25.设二维随机变量(X,Y)在区域04%41,〉2«》内听从匀称分布.求

(1)(X,Y)的联合分布密度；

(2)X与Y的边缘分布密度，并问它们是否相互独立？

26.设X,Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为

fx(x)=[11,0,0<其x它<l

求随机变量Z=X+Y的概率密度函数.

27.一工厂生产的某种设备的寿命X(以年计)听从指数分布，密度函数为

为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换，若售出一台设备，工

厂获利100元，而调换一台则损失200元.求工厂出售一台设备赢利的数学期望.

28.设随机变量(X,Y)听从正态分布，且X和Y分别听从正态分布N(l,3?)

和N(0,4?),X与Y的相关系数,求Z的数学期望£(Z)和方差Z)(Z):

参考答案

一、填空题

1.设，则函数的图形关于对称。

解：/(X)的定义域为(—8,+8)，且有

g-x+g-(-x)ax+a~x

/(-x)=/(x)

22

即/(x)是偶函数，故图形关于y轴对称。

sin尤-2<x<0

2.若y,则・

x~+10<x<2

解：。

3.极限o

2.1

xsin—11v-I1V-

ft？：lim------=lim(xsin-----)=limxsin--lim----=0x1=0

sosinxxsinx…xsinx

留意：(无穷小量乘以有界变量等于无穷小量)

x111

==一—=-=1,其中=1是第一个重要极限。

i°sinx3sinx「sinx1

----lim「

xx

4.已知，则。=,b—___

由所给极限存在知,4+2a+5=0,得b——2a—4,又由

I.x2+ax+b「X+Q+2+4

lim—；-------------=lim-------------------=2,知a=2,b=—8

12x-x-212x+1

5.已知XfO时，（1+。炉尸一1与COSX—1是等价无穷小，则常数4=

(1+♦)3-13

解=lim

xfOA->0/\2/

cosx-1-x2(1+ax2)3+(1+ar2)3+12

6.设，其中夕可微，贝(IT~=_______

dy

dzI

—y—z-l

dz,dy

解2oz—=(p+y(p-----------

Syy

7.设〃=6*”2,其中z=z(x,y)由x+y+z+Ayz=O确定的隐函数，则

I+0+—+yz+xy—=0,

dxdx

duc2rx-l-yz

—=eyz4-2ze'•\、-----

dx\+xy

x=O,y=l时，z=-I

8.设z='/(町)+>9(X+丁),7,0具有二阶连续导数，则

x

解：

dzT,/、y//、，/、

—=-f(xy)+-f(xy)+y(p(x+y)

oxxx

Q2z—II...“

=—f(盯)+—/(盯)+3/(盯)+。(x+y)+y。(尢+y)

oxoyxx

=y[f(孙)+夕'(x+y)]+夕(x+y)

9.函数f(x,y)=xy-xy2-/y的可能极值点为和。

2X-

解fx=y-y-2xy=y(1-2x-y)=0fx=Ofx=Ofx=l3

1

fy=x-lxy-x=x(\-x-2y)=0[)=0[J=l[y=0_J_

-V-3

l-2y-2x

人=-2、，fxy=\-2y-2x,f=-2x,H=

>yl-2y-2x-2x

不是，不是

不是

负定，极大值(」，，)

331-1/3-2/3)33

10.设/(x,y)=Ysiny+(x2-1)71xy\则f\.(1,0)=

解：因为/(l,y)=siny,故/；(l,0)=处可5=1

11.[x2sin2xdx=.

解：原式=卜%(_于052工)=-万工2cos2x+Jxcos2xdr

=一;x2cos2x+J"(gsin2x)=cos2x+gxsin21一；Jsin2xdx

12cl.c1C

=——xcos2x+—xsin2x+—cos2x+C.

224

12.在区间[0,万]上曲线y=cosx,y=sinx之间所围图形的面积为.

7Cn

解：A=J：|(，cosx-sin^A=JW(cos%-sinjr)公+卜(sin九一cosx)6fc

■4

=(sinx+cosx)|^+(-cosx-sinx)|Z=V2-1+1+V2=272.

4

13.若，贝I]A:=o

答案：•.J=「'eAlr=lim-,厂e心d(-左x)

2Joz?—>+ookJ。

r1-kx\^1rl-kb1

=lim—e=—lim—e=一

22k10kb.2kk

:•k=2

14.设D：x2+y2<l由估值不等式得<JJ(x2+4y2+V)dxdy<

D

解/(x,y)=x2+4y2+1<4(x2+y2)+1,又D:x2+y2<1

nmax{/(x,y)}=4x1+1=5,min{/(x,y)}=1

(x.y)eD(x,>•)€/?

由m(y<JJ/(x,y)dcr<Ma,(y-SD-7t\-n

D

7T<I<571

15.设。由y=f,y=2x2,y=l,y=2围成（xNO）,则在直角坐标系下的两种积分次序

为和.

解D：(X—型)=DI+D2，，

/=也F(X,y)dy+Jjdxjjf(x,y)dy

品

D：(Y一型)

16.设。为0<y4l-x,0<x<l,则的极坐标形式的二次积分为一.

ft[

解：D：,/=JJd^Jjin<,+cos9f(r)ixir

17.设级数收敛，则常数p的最大取值范围是.

解：由p级数的敛散性知，仅当2+/?>1即〃〉-1时，级数收敛，其他情形均发散.

解：因为1-----1----------F,••=e'>所以原积分

1!2!3!

\xe=e'd\-x2}---ex|J)=-—(eI-1)

o2()22

19.方程的通解为arcsinv+arcsiqy=c;

5

2

20.微分方程4/-20y+25=0的通解为y=(j+c2x>'.

21.当n=时，方程y'+p(x)y=g(x)y"为一阶线性微分方程。

解〃=0或1.

22.若4x4阶矩阵A的行列式为|A|=3,A"是A的伴随矩阵，则|A*上.

答案：27

23.设与8,“"，”均可逆，则。=也可逆，且C-=—.

答案：；

24.设，且AX-E=3X,则X=.

答案：

25.矩阵的秩为.

解答：将矩阵化成阶梯形，可知填写：2o

26.向量a=(―1,0,3,-5),B=(4,-2,0,1)淇内积为.

答案：—9

27.n阶方阵A的列向量组线性无关的充要条件是.

答案r=n，或|A|#0;

28.给定向量组?=(11l),a2=(o0b),ai=(132),,若线性相关，

则。，匕满意关系式.

答案：a-26=0

29.已知向量组(I)与由向量组(II)可相互线性表示，则r(l)与r(II)之间向量个数的大小关系

是.

答案：相等；

30向量7=(2,1尸可以用a=(0,l)T与£=(1,3)T线性表示为.

答案:/--5a+2/3；

31.方程组Ax=0有非零解是非齐次方程组AB=b有无穷组解的条件.

答案：必要不充分；

32.设A为mXn矩阵，非齐次线性方程组Ar=6有唯一解的充要条件是r(A)

r(4步尸.

答案：r(A)=r(A:b)=n；

33.已知〃元线性方程组AX=8有解，且r(A)<〃，则该方程组的一般解中自由未知量的个

数为.

解答：〃一r(A)

34.设%是方阵A的一个特征值，则齐次线性方程组(4E-A)x=0的都是A的属

于冬的特征向量.

答案：非零解；

35.若3阶矩阵A的特征值为1,2,-3,则的特征值为.

答案：；

36.设A是n阶方阵，|A|N0,A"为A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵，若A有特征值人,则

(A*/+2£必有特征值2=.

答案：.

37.,分别为实对称矩阵A的两个不同特征值乙,4所对应的特征向量，则与的内积

(,)=.

答案：0

38.二次型f(xt,x2,x3,x4)=x,x4+x2x3的秩为.

答案：4.

39.矩阵为正定矩阵，则/I的取值范围是.

答案：—<A<>/3

40.二次型f(xt,x2,x,)=2xf+3xf+txj+2XIX2+2X/3是正定的，则t的取值范围是

3

答案：t>—

5

41.A、B、C代表三事务，事务“A、B、C至少有二个发生”可表示为AB+BC+AC

42.事务A、B相互独立，且知2(4)=0.2,0(6)=0.5则/>(4^18)=.

解：•.•A、B相互独立，：.P(AB)=P(A)P(B)

：.P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.2+0.5-0.1=0.6

43.若随机事务A和B都不发生的概率为p,则A和B至少有一个发生的概率为

解：P(A+B)=1—P(A+B)—1—P(^A.B)—\—p

44.在相同条件下，对目标独立地进行5次射击，假如每次射击命中率为0.6,

那么击中目标k次的概率为(0<k<5).

解：设X表示击中目标的次数，则X听从二项分布，其分布律为：

45.设随机变量X听从泊松分布，且P{X=1}=P{X=2},贝UP{X=3}=.

解：：X听从泊松分布，其分布律为P{X=&}=(七0,1,2,…，；1>0)

由已知得：，求得4=2

,P{X=3}=

x0<x<l

46.设随机变量X的分布密度为/(x)=<a-x14尤<2,则。=.

0其它

解：由性质「/。心=1

J-8

(,0fl:2(•+<»

即J0公+[无公+](。一1)公+工Odx

1cC1…

=一+2。-2——=。­1=1

22

解得：a=2

47.若二维随机变量(X,Y)的联合分布律为

2

11/163/16

2ab

且X,Y相互独立，则常数a=,b=

解：•••x,y相互独立

...P(X=1,Y=1)=P(X=1)­P(Y=1)

即：—

16

・・a=一

16

又v

48.设x的分布密度为y(x),则y=x3的分布密度为.

解：；尸{yWy}=P(X3Wy)=P(XW#7)=吊(J7)

r=x3的分布密度为

夕。)=，y#o

49.二维随机变量(X,Y)的联合分布律为

X12

1a0.2

2夕0.3

则a与夕应满意的条件是，当X,Y相互独立时，a=.

解,/0尸a+/?+0.2+0.3=1即有a+/?=0.5

Ij

当x,y相互独立P(X=1,丫=1)=P(X=I)P(y=i)

a=(a+0.2)(a+p)a=0.2

50.设随机变量X与Y相互独立，且X~N(l,2),y~N(0,l).令Z=-、+2X+3,则

O(z)=.

解X与y相互独立，,D(Z)=D(-y+2X+3)=D(-y)+D(2X+3)

=(-l)2D(y)+4D(X)=1+4x2=2。

51.已知随机变量X的数学期望E(X)=1,E(X?)=4.令Y=2X—3,则

°(丫)=.

解D(y)=Q(2X-3)=4£)(X)=4{£(X2)-[E(X)]2}=4(4-12)=12»

二、单项选择题

I.设./•(%)=x+i,则y(/(x)+i)=().

A.xB.x+1C.x+2D.x+3

解由于y(x)=x+i,得/(/(%)+1)=(/(%)+1)+1=y(x)+2

将/(%)=x+l代入，得/(/(x)+l)=(x+l)+2=x+3

正确答案：D

2.下列函数中，()不是基本初等函数.

A.B.y=Inx2C.D.y=

解因为y=ln/是由^=1〃，“=/复合组成的，所以它不是基本初等函数.

正确答案：B

3.下列各对函数中，()中的两个函数相等.

A.与B.y=In/与g=21nx

C.y=-sin?%与g=cosxD.y=-1)与y=6J(x-1)

解：A

4.设/(x)在处间断，则有()

(A)/(x)在x=x()处肯定没有意义：

(B)/(%-0)#f(x+0);(即lim/(%)*limf(x))；

Jt—>XQX-

(C)limfix')不存在，或limf(x)=oo；

Xf0XT两

(D)若/(x)在尤=x()处有定义，则x->Xo时，/(x)-/(x())不是无穷小

答案：D

'X*在x=0处连续，则上=().

x=0

A.-2B.-1C.1D.2

答案：B

6.若，X=0为无穷间断点，X=1为可去间断点，则4=().

(/)1(00⑷e(〃)e"

解：由于X=0为无穷间断点，所以("一4尤0声°，故。。1-若。=0，则％=1也是无穷

间断点.由X=1为可去间断点得a=e.故选(。.

7.函数z=ln(>2+y2—2)+^4—x?—y2的定义域为().

22222222

Ax+y^2B%+y?f：4Cx+y>22<x+y<4

解：z的定义域为：

92c八

工+y-2>o9

■■=>2<x2+y2<4选D

4-x2-y2>0

8.二重极限()

(A)等于0(B)等于1(C)等于！

(D)不存在

2

D)

解：与女相关，因此该极限不存在

9.利用变量替换，肯定可以把方程化为新的方程().

(A)(B)(C)(D)

解z是x,y的函数，从〃=x,丫=上可得x=",y=uv>故z是”，丫的函数，又u=x,

x

U=2故z是的复合函数，故包=包.1+文.？，，从而

xdxdudvx

十,,dzdzdzydzydzdzdz

左•二xFy—=x-------1---=x—=u—

dxdyduxdvxdvdudu

因此方程变为：“当=z

du

选A

io.若/(x)=，在(0,+8)内f\x)>0,/"(%)>o,则f(x)在(一8,0)内().

(A)/'(x)<0,/"U)<0;(B)/'(x)<0,/"(x)>0;

(O/'(x)>0,/"(x)<0,(D)/,U)>0,/"(x)>0,

解：选(0.

11.设/(x)在x=0的某个邻域内连续，且/(0)=0,,则在点x=0处

/(X)().

3)不行导(况可导，且/'(0)工09取得极大值(〃)取得微小值

解：因为，则/(幻>0=/(0)在x=0的邻域内成立，所以f(0)为了(X)的微小值.故选

(9.

12.设函数f(x),g(x)是大于零的可导函数,且f'(