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文档简介
奥数综合除法与余数定理
【内容综述】
数学运算既要求正确,还要求迅速。简化运算方法与步骤,是速算的一种重要途
径。例如,应用正负数的概念,可以把有理数的加减法统一为加法,即求代数和,把
两种运算转化成一种运算,就是一种了不起的简化。同样地,整式的加减法也可以统
一成加法,即合并同类项,进而简化为求同类项系数的代数和,把代数式的运算转化
为数的运算,又是一种了不起的简化。本期主要介绍一种简便的综合除法运算方法。
【要点讲解】
1、综合除法
在课本上已学习了用竖式计算两个一元多项式相除的问题。由多项式除法我们可
以推得了0)(此处用/(X)表示关于X的多项式)除以X-8的商式系数和余数有如下
规律:商式的最高次项系数就是/Q)(按降基排列后)的第一项系数,把这个数乘以
b加/(x)的第二项系数得商式的次高次项系数,以此类推最后得余数。
★例1计算(3/+5/-2)+(x+3)
分析把除式变成x-B形式用综合除法,
解:...x+3=x-(-3),
-3350-2
-9+12
3一+1|2|-38.......余式
二商式为3/-4x+12,余式为一38
说明用综合除法计算时要注意:
(1)被除式与除式按降暴排列后的缺项要用0补足;
(2)除式要变成x-B的形式(b可以是负数)
★★例2用综合除法计算
(1)(8?-2x+x*-14)+(x+l).
⑵(2/+5--24--15)+(2x7)
解:(1)8x2-2x+x4-14=%4+0,x3+8x2-2%-14
%+1=x-(x-l)
-11+0+8-2-14
_______-1+1-9+11
-i4+9-u|-3
.••商式为/_x+9x_ll,余式为-3
⑵用(2x7)除(2x4+5/-24,+15),只需先以..除丛联每+⑹,
再把求得的商用2除,而余数不变。
2
2
2
-34%-巴39
,商式为24,余式为4。
x士区
说明一般地,多项式除以一次二项式Px±[,用综合除法先将多项式除以p,
所得的商式除以p就是所求的商式,所得的余数就是所求的余数。
2、余数定理
若多项式f(x)除以X-5的商式为p(x),余数为r,则〃x)=(x-5)P(x)+,
当x=5时,fg=o、p@)+r=r(此处表示多项式中x用数值b代入后计
算出的数值),从而有下面的定理。
余数定理多项式/(X)除以(X-B)所得的余数等于〃与。
特别地,当/0)=°时,我们称多项能被X-小整除,即(X-5)是/GO的因
式,这也称为因式定理。
_b
由余数定理易知多项式/(X)除以ax-Max。)的余数就是a的多项式
/(-)
的值a。
余数定理告诉我们,可以不做除法求,(X)除以x-B的余数;反过来在了(切计算
复杂时也可以用综合法求产伯)。
★★★例3一个关于x的二次多项式,(X),它被(x-1)除余2,它被('-3)除时
余28,它还可被(x+l:整除,求/(X)。
C/(I)=a+b+c=2,
If(3)=9a+3b+c=28,
解:设/。)="+双+,由题意得f(-1)=a-b+c=0,
解得a=3,b=l,c=2o
=3/+X-2
说明因了(x)能被(X+D整除,所以(X+D是/(x)的因式,于是可设
〃x)=(x+l)(ax+3,再由/(1)=2,-3)=28,列出a,b的方程求解。
★★★★例4利用余数定理判断a*一/能否被a-b,a+b整除。
分析含/位)=1-公,即把/-5”看成是含字母a的多项式/(a),要判断了(a)
能否被a-b,a+b整除,即判断了伯),了(一切是否为零。
解:令『3=a"-I1K
"b时,.—。,故历…能被…余;
-0,当n为偶数;
K
f(-b)=(rby-b1一2/,当n为奇数.
当a=-b时>
故当n为偶数时,从能被a+b整除,当n为奇数时,一公不能被a+b整除,
余式为-2/.
★★★★例5试确定a和b,使/+ax2-8+2能被,+3x+2整除。
解:由于一+3X+2=(X+1)(X+2),因此,若设/(x)=x4+a--"+2,
假如/O)能被r+3x+2整除,则x+1和x+2必是/(X)的因式,因此,当x=-l,
■A7)=。,即
1+。+8+2=0,①
当x=-2时,〃-2)=0,即
16+4a+28+2=0(2)
a=-6
由①,②联立,则得I"=3时,/+以2-"+2能被,+3x+2整除。
思维训练题
A级
★1、当多项式r-2除以多项式/-2时,其余式为()。
(A)2(B)-2(C)2x-2(D)-2x-2
★★2、多项2/+3X-4除以多项式x-3所得余数为()。
(A)-71(B)71(C)-59(C)59
★★3、若多项式x+加工+滋76含有因式x-1和x-2,则mn=。
★★4、求(9,+5x>-8,-8小+18/〉)除以(3x-2y)的商式和余式.
B级
★★5、设x=F_22+3?-4?+5?---19882+19892,以1991除x,所得余
数是()。
(A)0(B)1(C)2(D)4
★★★6、已知(3x+以=a/+双4+=3+办2+公+/,则白+c+e
值为()。
(A)30(B)-30(C)32(D)-32
★★★7、如果/+1_2=0,则+2/-212+x—[=o
★★★8、已知&+丁-2)是二元二次式/+“>+如2_5x+y+6的一个因式,
则a+b=o
★★★★9、已知/-6/+ax+力能被*一1)(钎3)整除,试求a,b的值。
参考答案
A级
1、(C)。
2、(D),提示:利用余数定理。
3、-100,提示:利用余数定理,得1+活+附-16=0,16+8加+2/-16=0,从而
m=-5,n=20o
4、商式=3/+8芯5+7»2+2广余式
B级
5、(B),提示:
X=1+(-22+3a)+(心2+52)+---+(-1988
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