2023人教版新教材高中数学B选择性必修第二册同步练习-4.2.5 正态分布

2023人教版新教材高中数学B选择性必修第二册

4.2.5正态分布

基础过关练

题组一正态曲线及其特点

1(-1)2

1.若随机变量bN3,/),其概率密度函数为(p(x)=；e-F-(x£R),!^o=()

2V27r

A.lB.2C.4D.8

2.如图是当O取三个不同值6,02,03时的三种正态曲线，那么的大小关系

是()

A.Ol>l>O2>O3>0B.0<O1<O2<1<O3

C.Ol>O2=l>O3>0D.0<O|<O2=l<O3

3.(2021山东济南H^一校联考)设随机变量X〜N(O,1),定义f(x)=P(XNx),其中x>0,则

下列等式成立的是()

A.f(2x)=2f(x)

B.f(-x)=l-f(x)

C.P(X<x)=2f(x)-l

D.P(|X|>x)=2-f(x)

4.(2020江苏扬州大桥高级中学期中)若随机变量X服从正态分布N(O,1),且X在

区间(-2,-1)和(1,2)上取值的概率分别为P|,P2,则P1,P2的大小关系为.

题组二正态分布的概率计算

5.(多选)(2022河北石家庄一模)正态分布N(1Q2)的密度曲线如图所示，则下列选项

中，可以表示图中阴影部分面积的是()

A.^-P(X<0)

B.^-P(X>2)

C.1P(X<2)-1P(X<O)

D.^-P(1<X<2)

6.(2022安徽亳州一中期末)已知随机变量匕服从正态分布N(3,°2),若P化<4)=0.78,

贝!JP(2<&<3)=()

A.0.2B.0.24C.0.28D.0.32

7.(2021吉林四模)已知随机变量X〜N(5,l),且P(n-o<X<n+o)-0.683,P(|i-

2o0XWn+2o)M).954,贝ijP(6<XW7)为()

A.0.1358B.0.1355

C.0.2716D.0.2718

8.(2020福建厦门线上质量检查)设随机变量X〜N(禺(A若

P(XSl)=0.3,P(l<X<5尸04,则产()

A.lB.2C.3D.4

题组三正态分布的实际应用

9.甲、乙两类水果的质量(单位:kg)分别服从正态分布N(同,□彳),N(眼,□打其正态曲

线如图所示，则下列说法错误的是()

A.甲类水果的平均质量同=0.4kg

B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右

C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小

D.乙类水果的质量服从正态分布的参数6=1.99

10.（2020山东济南期末）某工厂生产的零件外直径X（单位:cm）服从正态分布

N（10,0.04）,今从该厂上午、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分

别为9.75cm和9.35cm厕可认为（）

A.上午生产情况异常，下午生产情况正常

B.上午生产情况正常，下午生产情况异常

C.上、下午生产情况均正常

D.上、下午生产情况均异常

11.（2021江苏苏州星海实验中学期中）某班有60名学生，一次考试后的数学成绩自

近似服从正态分布N（110Q2）,若p（ioog岳no尸0.35,则估计该班学生数学成绩在

120分以上的人数为（）

A.10B.9C.8D.7

12.（多选）（2022江苏南京第五中学月考）已知在某市的一次学情检测中，学生的数

学成绩X服从正态分布N（100,100）,其中90分为及格线,120分为优秀线,下列说

法正确的是（）

附:若随机变量自服从正态分布则P（p-o<^<|i+o）-0.683,P（|i-

2oW0+2o户0.954,P"3o旦孕+3o）M）.997.

A.该市学生数学成绩的标准差为100

B.该市学生数学成绩的均值为100

C.该市学生数学成绩的及格率超过0.8

D.该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等

13.（2022江苏南通期中联考）已知某校高三女生的身高X（单位:cm）近似地服从正

态分布N（163,5?）.若随机选择一名该校的女生，其身高不高于168cm的概率

为.

注:若X〜Ng,/),贝ijp(p,-o<x<|j.+o)~0.683.

14为了解一种植物的生长情况，抽取一批该植物样本测量高度(单位:cm)淇频率

分布直方图如图所示.

⑴求该植物样本高度的平均数可和样本方差s3同一组中的数据用该组区间的中

点值作代表)；

⑵假设该植物的高度Z(单位:cm)服从正态分布N3，/),其中p近似为样本平均数

方,人近似为样本方差s1利用该正态分布求P(64.5<Z<96).

附:若Z〜N(mo2),贝ijP(H-O<Z<H+O)~68.3%,P(H-2O<Z<H+2O)=95.4%,VH0=10.5.

频率

W.

0.020

0.010

0.005

5060708090100高度加

能力提升练

题组一正态分布及其概率计算

1.（2021湖南三湘名校教育联盟联考）已知连续型随机变量Xi〜N（限，□分（i=l,2,3）,其

正态曲线如图所示,则下列结论正确的是（）

A.p（Xi<g2）<P（x2<m）

B.P（X2印2）>P（X3印3）

C.P（Xl<g2）<P（X2<g3）

D.p（|ii-2oi<Xi<|ii+2oi）=p（nn+1-2nn+1<nn+1<nn+j+2n0+1）（i=i,2）

2.（2022江苏海门期末）若对某物理量做n次测量，最后结果的误差Xn~N（0」）,则

为使|Xng的概率控制在0.046以下,至少要测量的次数为（）

附:随机变量X〜NQ,4）,则p（|i.a<X<n+o）=0.683,P（g-2o<X<g+2o）=0.954,P（n-

3o<X<n+3c>）=0.997.

A.32B.64C.128D.256

题组二正态分布的实际应用

3.（2022江西八校联考）江西某中学为测试高三学生的数学水平，组织学生参加了

联考，共有1000名学生参加,已知该校上次测试中，成绩X（满分150分）服从正态

分布N（100,4）,且120分及以上的人数为160.假设这次考试成绩和上次成绩的分

布相同，那么可推测这次数学成绩优异的人数为（成绩在140分及以上为优异）

)

注:若X〜则p(|i-o<x<|i+o)=0.68,P(|i-2o<X<|i+2o)=0.95,P(|i-3o<X<

p,+3o)=0.99.

A.20B.25C.30D.40

4.（2021吉林白城期末）某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内

径Z（单位:cm）的数据如下:87,87,88,92,95,97,98,99,103,104.设这10个数据的平均

值为出标准差为<5.

（1）求R与。；

⑵假设这批零件的内径Z（单位:cm）服从正态分布NS,。）

①从这批零件中随机抽取5个，设这5个零件中内径大于107cm的零件个数为X,

求D（2X+1）;

②若该车间又购进一台新设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径（单

位:cm）分别为76,85,93,99,108,以原设备生产性能为标准，试问这台设备是否需要

进一步调试?说明你的理由.

参考数据:0.9974M.99.若X〜NQ,（j2）,则P（n-2o<X<n+2o）-0.954,P（g-

3oWX印+3。户0.997.

5.在创建“全国文明城市”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情

况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次），通过随机抽样,得到参

加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：

[30,[40,[50,[60,[70,[80,[90,

40)50)60)70)80)90)100]

⑴由频数分布表可以大致认为,此次问卷调查的得分X〜N(p,198)小近似为这100

人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表).

①求的值；

②利用该正态分布求P(74.5<X<88.5);

(2)在⑴的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制订如下奖励方案：

①得分不低于R的可以获赠2次随机话费，得分低于n的可以获赠1次随机话费;

②每次获赠的随机话费和对应的概率如下：

获赠的随机话费

(单位:元)

31

44

现有市民甲参加此次问卷调查，记Z(单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费,

求Z的分布列与数学期望.

参考数据:若X〜N(PQ2),则P(|i-o<X<n+o)-0.683,P(n-2o<X<g+2o)=0.954,P(n-

3o<X<n+3o)=0.997.V198=14.

6.(2021陕西西安中学模拟)公平正义是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主

义法治观念的价值追求.考试作为一种公平公正选拔人才的有效途径正被广泛采

用.某企业准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用300名应聘人员，其中

275个高薪职位,25个普薪职位.已知此次招聘中，实际报名人数为2000,考试满分

为400分,考试成绩的部分统计结果如下:考试平均成绩是180分,360分及以上的

高分考生有30名(一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布).

(1)求此次招聘中的最低录用分数(结果保留整数)；

⑵已知考生甲的成绩为286分,试判断甲能否被录用，若被录用，进一步判断其能

否获得高薪职位.

附:①当X〜NQd)吐令丫=二，则Y〜N(0,l);②当Y-N(0,l)

时,P(Y<2.17户O.985,P(Y<1.28户0.900,P(Y<1.09户O.863,P(Y<1.04户

0.85.

答案与分层梯度式解析

基础过关练

1.B

2.D由正态曲线的性质及曲线所表示的意义可知，当x=0时，曲线所对应的函数

取得最大值卷，所以6=1.当时，正态曲线与y轴交点的纵坐标大于焉;当

<7>1时，正态曲线与y轴交点的纵坐标小于意.

故选D.

3.B因为随机变量X~N(O,1),

所以此正态曲线关于直线产0对称.

因为兀x)=P(XN%)(%>0),

所以根据正态曲线的对称性可得/(-%)=P(XN-%)=P(XSr)=l/X),故B正确；

42x)=P(XN2x),"%)=2P(X》)『(忍2%)与2尸(X》)不一定相等，故A错误；

P(XW%)=1-P(6)=1次r),故C错误；

P(|X|m)=P(XN%或XS-%)=Mx),故D错误.

故选B.

4.答案尸尸尸2

解析根据标准正态曲线的特点，该曲线关于直线A0对称,所以随机变量X在区

间(-2,-1)和(1,2)上取值的概率相等，即尸尸尸2.

5.ABC易知此正态分布密度曲线关于直线户1对称，故图中阴影部分可表示为

P(O<XS1)=尸(XS1)-P(XSO)W-P(XWO),故A正确；

P(0<X<lh1-P(X<0)=1-P(X>2)>B正确；

P(0<X<lh1[P(X<2)-P(X<0)],i^C正确；

了(10X02)=P(XSO)=尸(XN2),故D错误.

故选ABC.

6.C易知正态曲线的对称轴为直线％=3.

由。(&4)=0.78,得。(殳4)=P(%2)=1-0.78=0.22,贝ij尸(2<34)=1-2x0.22=0.56,

故P(2<e<3)=1p(2<e<4)=1x0.56=0.28.

故选C.

7.B由随机变量X-N(5,D知”5,户1,

所以P(4<X<6)=0.683,P(3<X<7)=0.954,

所以P(6<X<7)=1[P(3<X<7)-P(4<X<6)]~|x(0.954-0.683)=0.1355,故选B.

8.C由题意得P(XN5尸1-P(X01)-P(1<X<5)=1-O.3-O.4=O.3=P(XW1),根据正态曲线

的对称性可知从=等=3.故选C.

9.D由题图可知，甲类水果的平均质量〃产0.4kg,乙类水果的平均质量偿=0.8kg,

故A,C中说法正确;由题图可知B中说法正确;乙类水果的质量服从的正态分布的

参数满足岛:1.99,，6#1.99,故D中说法不正确.

故选D.

10.B•.•X服从正态分布N(10,0.04),(7=0.2,.*.Xe[10-0.2x3,10+0.2x3],EPX

£[9.4,10.6],...上午生产情况正常，下午生产情况异常，故选B.

11.B由题意得。(110W120)=0.35,

所以P(^>120)=-x(1-0.35-0.35)=0.15,

所以估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为0.15x60=9.

12.BC由X服从正态分布N(100,100),可得〃=100,(7=10,故A错误,B正确；

P(X<90)=P(X<//-cr)=|[l-P(//-a<X^/+cr)]~|x(l-0.683)=0.1585,

P(X>90)=l-P(X<90)=l-0.1585=0.8415>0.8,故C正确；

P(X>120)=尸(X>〃+2c)Wx(l-0.954)=0.023,故优秀率约为0.023,而及格率约为0.841

5,故D错误.故选BC.

13.答案0.8415

解析由题意可得〃=163,k5,

故P(158<X<168)=P(i/-cF<X<//+6r)=0.683,

所以P(163<X<168)=P(//<X<«+cr)=0.3415,

又尸(X<163)=尸(X<〃)=0.5,

所以P(X<168)=P(X<163)+P(163<X<168)=0.5+0.3415=0.8415.

14.解析(1)由题意可得平均数三=55x0.1+65x0.2+75x0.35+85x0.3+95x0.05=75,

?=(55-75)2XO.1+(65-75)2XO.2+(75-75)2XO.35+(85-75)2XO.3+(95-75)2XO.O5=11O.

(2)由(1)知,Z〜N(75,l10),从而P(64.5<Z<75)=|xP(75-

11

10.5<Z<75+10.5)^x68.3%=34.15%,P(75<Z<96)=ixP(75-

1

2x10.5*075+2x10.5)苦x95.4%=47.7%,

所以P(64.5<Z<96)=P(64.5<Z<75)+P(75<Z<96h34.15%+47.7%=81.85%.

能力提升练

1.D对于A,P(XI%2)表示题中产小%)的图象在第二条竖向虚线左侧的部分与工

轴围成的图形的面积，尸(X20/1)表示题中产丛X)的图象在第一条竖向虚线左侧的部

分与％轴围成的图形的面积，

由题图可知P(X192)>P(X2&/1),故A错误；

对于B,P(X2孕2)《,P(X3孕3)三,则P(X2孕2)=P(X3型3),故B错误；

对于C,与A中分析相同,P(Xi&/2)>尸(X20/3),故C错误；

对于D,由于正态分布中，随机变量X落在某区间的概率表示曲线和入轴及对应直

线围成的图形的面积，与i或Z+1无关，

故2Mx国汁2内=尸(出+1-26+10左+13出+1+2/+1)。=1,2)成立,故D正确.

2.C由题意得P(|Xn|>：)<0.046,

所以P(|Xn|V1)={—；<xn<i)>l-0.046=0.954.

因为〃=0,所以尸(-2把XW2。户0.954,

所以2三三=k伊』=>应128.故选C.

3.B因为该校上次测试的成绩X服从正态分布Ml。。,冷,且120分及以上的人

数为160,所以80分及以下的人数也为160,

故P(80<X<120)=i厂6。=0.68,

由此可知(7=20,X〜N(I。。？。?)，

所以P(60<X<140)=0.95,

故推测这次数学成绩优异的人数为"叱詈却段=25,故选B.

4.解析(1)//磊x(87+87+88+92+95+97+98+99+103+104)=95,

否小[(87-95)2+(87-95)2+(88-95)2+(92-95)2+(95-95)2+(97-95)2+(98-95)2+(99-

95)2+(103-95)2+(104-95)2]=36,

则(7=6.

⑵①由题可知Z〜N(956),

所以P(Z>107)=P(Z>〃+2。户0.5-等=0.023,

则X〜8(5,0.023),

所以£)(X)=5x0.023x(1-0.023)=0.112355,

故D(2X+l)=4D(X)=0.44942.

②需要.理由如下：

因为P(//-3EX3z+3cr户0.997,

所以5个零件中恰有1个零件的内径不在k3a,〃+3司内的概率为禺x0.9974x(l-

0.997户5x0.99x0.003=0.01485.

因为762[//-36//+3司=[77,113],所以试生产的5个零件中出现了1个零件的内径

不在4-364+3用内,出现的频率是巳=0.2,大概是0.01485的13倍，根据“3。原则”可

知,这台设备需要进一步调试.

5.解析(1)①由题意得

1

〃=y^x(30x2+40x13+50x21+60x25+70x24+80x11+90x4)=60.5.

②易知r7=7198=14,

11

.,.P(X>88.5)=P(X>//+2cr)=j[l-P(^-2a<X<r/+2(7)]-jx(l-0.954)=0.023,

。(60.5美74.5)『"登+叽等=0.34]5,

.,.P(74,5<X<88.5)=0.5-P(60.5<X<74.5)-P(X>88.5)=0