【试卷】福建省莆田市2023届高三毕业班第四次教学质量检测数学试题

要求的.2．集合P=xx<2}，Q={y|y=+1}，则PnQ=()6A．c<a<bB．a<b<cC．c<b<aD．b<c<a4．已知向量=(3,2)，=(5,λ)，若」()，则λ=()A．y2=6xB．y2=6xC．y2=3xD．y2=3x7．在三棱锥PABC中，已知△ABC是边长为8的等边三角形，PA」平面ABC，PA=14，则AB与平面PBC所成角的正弦值为()8．某地区一个家庭中孩子个数X的情况如下.X1230P 每个孩子的性别是男是女的概率均为，且相互独立，则一个家庭中男孩比女孩多的概率为()部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得09．已知(3x2)2023=a0+a1x+a2x2+...+a2023x2023，则().52023+1aaaa10．已知函数f(x)=cos(x+)(0<<10,0<<π)图象的一个对称中心是A,0，点B在f(x)的图象上，则()A．f(x)=cos(|（2x+B．直线x=是f(x)图象的一条对称轴11．若函数y=f(x)在定义域内给定区间[a,b]上存在x0(a<x0<b)，使得f(x0)=，则称x ex函数y=f(x)是区间[a,b]上的“平均值函数”，x0是它的平均值点．若函数x ex+m在区间[0,2]上A．-B．-C．-D．-ee22e2e212．设定义在R上的函数f(x)与g(x)的导函数分别为f，(x)和g，(x)，若g(x)-f(3-x)=2，fA．g(-1)=g(3)B．f(2)+f(4)=-4C．g(2022)=1D．f(k)=-4043三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．写出一个被直线x-y=0平分且与直线x+y=0相切的圆的方程：.盖为子口，器为母口，器口成长方形，平沿，器身自口部向下略内收，平底、长方形 ~12.7）相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．已x+y=1，则C的蒙日圆O的方程为；若过圆O上的动点M作C的两条切线，分别与圆O交于P，Q两点，则△MPQ面积的最大值为.16．英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛．若数列{xn}满足xn+1=xn-，则称数列{xn}为牛顿数列．若f(x)=，数列{xn}为牛顿数列，且x1=1，xnn123456789（1）求A；（2）若a=，△ABC的面积为-1，求△ABC的周长.对的概率为0.6，甲可以选择从A组中任选2道题或从B组中任选2道题.（1）若甲选择从A组中任选2道题，设X表示甲答对题目的个数，求X的分布列和期望；（2）以答对题目数量的期望为依据，判断甲应该选择哪组题答题.△PAD为正三角形，PC=.（1）证明：平面PAB平面ABCD.（2）求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值.(n+T<n20．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=(n+T<nn ++…+SaSaSa243SaSaSan+2.1（1）若f(x)在R上单调递减，求a的取值范围；<（2）当0≤a<1时，求证f(x)在(0,+伪)上只有一个零点x0，且x0<ea+1F（2）设D为双曲线C的右顶点，直线l与双曲线C交于不同于D的E，F两点，若以EF为直径的圆经过点D，且DG」EF于G，证明：存在定点H，使GH为定值.123456789DBACADAABCDACDADABD13．(x-1)2+(y-1)2=2（答案不唯一，符合题意即可，答案的一般形式为(x-a)2+(y-a)2=2a2）【解析】由题意可得：z=(2-i)(1-i)=1-3i，所以复数z对应的点为(1,-3)，位于第四象限．故选：D.所以PnQ={x|1≤x<2}．故选：B.【解析】因为 12<log555<log53<log55=1，即<a<1，b=0.2-0.3=(0.2-1)0.3=50.3>1，c=log1=log62，且0<log61<log62<log6=，即0<c<，所以c<a<b．故选：A.-=(-2,-2-λ)，若」(-)，则3根(-2)+(-2)根(-2-λ)=0，解得λ=1.【解析】依题意可设C的标准方程为y2=-2px(p>0)，因为C的焦点到准线的距离为3，所以p=3，所以C的标准方程为y2=-6x．故选：A【解析】由图可知，猪肉、鸡蛋、鲜果、禽肉、为根(-21.2%+7.6%+3%+8.5%+9.6%+10.4%+34.4%)>1根(-22%+7%+3%+8%+9%+10%+34%)=1根49%=7%，所以D正确．故选：D7【解析】因为PA」平面ABC，且AB,AC仁平面ABC，所以PA」AB，PA」AC，由题意可得：PB=PC==2，在△PBC中，设边BC上的高为h，则h==2，所以△PBC的面积S△PBC=根8根2=8设点A到平面PBC的距离为d，32233223设AB与平面PBC所成角为θ,则sinθ= 【解析】一个家庭中男孩比女孩多有三种可能：“1个小孩，且为男孩”、“有2个小孩，且为男孩”、“3个小孩，3个男孩或2个男孩”，对于B：令x=1，可得a0+a1+a2+..结合选项B，两式作差，可得2(a1+a3+a5+...+a2023)=52023+1，π 4f(x)的图象上，所以f(0)=cosQ=．又0<Q<π,所以Q=π 4因为f(x)图象的一个对称中心是A,0，所以+=+kπ,keΖ,则=2+8k,keZ.f=cos=0，则直线x=不是f(x)图象的一条对称轴，B不正确.当xe,时，2x+e[2π,3π]，单调递减，C正确.f一【解析】因为函数y=+m在区间[0,2]上有两个不同的平均值点，=m，则f(x)=+m=f(2一(0)=+一m=有两个不同的根，整理得一=m，构建g(x)=一,xe(0,2)，则原题意等价于g(x)与y=m有两个不同的交点，xe因为g,xe,令g,(x)<0，解得0<x<1；令g,(x)>0，解得1<x<2；则g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，2<m<12e因为<<<ee2e2e2e2e2【解析】因为f,(x)=g,(x一1)，所以f(x)+a=g(x一1)+b．因为g(x)一f(3一x)=2，所以g(x)=f(3一x)+2，用3一x去替x，所以f(x)=g(3一x)一2，所以g(3一x)一2+a=g(x一1)+b.g(2一x)=g(x)，所以g(x)的图象关于直线x=1对称，所以g(一1)=g(3)，故A正确；因为g(x+2)为奇函数，则g(x+2)过(0,0)，图像向右移动两个单位得到g(x)过(2,0)，故g(x)图像关于(2,0)对称，g(2)=0，所以g(x+2)=一g(一x+2)，且g(2)=0．因为g(2一x)=g(x)，所以g(x+2)=一g(x)，则g(x)的周期T=4，所以g(2022)=g(2)=0，故C错误；因为f(x)=g(3一x)一2，f(x+4)=g(3一x一4)一2=g(3一x)一2=f(x)，所以f(x)的周期也为4，B正确；因为f(1)=g(2)一2=一2，f(2)=g(1)一2=一1，f(3)=g(0)一2=一2，f(4)=一3，f(k)=f(1)+f(2)+...+f(2022)=505x(8)+f(1)+f(2)=4043，故D正确．故选：ABD.2=2（答案不唯一，符合题意即可）在直线xy=0上，所以该圆被直线xy=0平分；又因为圆心(1,1)到直线x+y=0的距离d===r，【解析】由题意可得：V台体=x(24一8)x(13.5x12+12.5x10.5+)=x16x(162+131.25+)心2342.9(cm3)，V锥体=x8x13.5x12=432(cm3)，所以几何体的体积V=V台体+V锥体=2342.9+432=2774.9(cm3)．故答案为：2774.9.【解析】由题意可知，点(2,2)一定在蒙日圆O上，所以蒙日圆O的半径r==2，所以蒙日圆O的方程为x2+y2=12.因为M，P，Q都在圆O上，且经PMQ=，所以PQ为圆O的直径，所以PQ=4，显然，圆O上的点M到直线PQ距离的最大值为圆O的半径，故△MPQ面积的最大值为x4x2=12．故答案为：x2+y2=12；12. 【解析】因为f(x) x所以{xn}是首项为x1=,所以f,(x)=1n+1=xn f(xn)一f,(xn)=xn x n一1x22xn令Sn=2n一1≤2023，则2n≤2024，因为210=1024<2024，211=2048>2024，所以n≤10，所以最大正整数n的值为1则sinA=2cosA(sinBcosC+sinCcosB)=cosAsinA，·······································3分又因为Ae(0,π)，则sinA子0，得1=cosA，即cosA=，···································4分4（2）因为△ABC的面积S△ABC=bcsinA，即bcx=一1，可得bc=4一2，····7分π因为a=，A=，π4所以a2=5=b2+c2一2bccosA=(b+c)2一(2+)bc=(b+c)2一4，·解得b+c=3，所以△ABC的周长为3+.· 2=，················所以X的分布列为：X012P727236故X的期望E(X)=0x+1x+2x=.（2）若甲选择从B组中任选2道题，设Y表示甲答对题目的个数，则Y-B(2,0.6)，············9分所以Y的期望E(Y)=2x0.6=1.2，·············································································11分AC2=AB2+BC2一2AB.BC.cos经ABC=12+16一2x2x4x=4，即AC=2，则AB2+AC2=BC2，可得AB」AC，······················································1分由题意可得：PA=AD=AC=，······································································2分则AC2+AP2=PC2，可得AP」AC，·······································································3分2θ=则coscos2θ=则coscos,===又：ABnAP=A，AB,AP一平面PAB，则AC」平面PAB，······································4分且AC一平面ABCD，所以平面PAB」平面ABCD.·····················································5分（2）过点D作DQ」AB于Q，连接PQ.因为DQ」AB，平面PAB」平面ABCD，平面PABn平面ABCD=AB，所以DQ」平面PAB，所以DQ」PQ.························································在△PDQ中，PD=2，DQ」PQ，DQ=1，所以PQ=1．因为PQ=AQ=1，PA=，所以PQ」AQ，又DQnAQ=Q，所以PQ」平面ABCD.················································8分如图，以A为坐标原点，以AB，AC的方向分别为x，y轴的正方向建立空间直角坐标系，则设平面PAB与平面PCD的夹角为θ,Cn所以平面PAB与平面PCD夹角的余弦值 ,3n=2n一22）证明见解析.因为n=2，nn=2，ⅆ,=2ann解法二：因为nan+1=(n+1)an+2．所以=+，n所以Tn=++…+2435n+12435n+1n+3nn8因为Tn在n=N*时单调递增，所以T≥T1=，故nn8【解析】（1）因为f(x)=(2-x)ex-ax-2，所以f,(x)=(1-x)ex-a.····························1分由f(x)在R上单调递减，得f,(x)≤0，即(1-x)ex-a≤0在R上恒成立.······················2分令g(x)=(1-x)ex-a，则g,(x)=-xex.·····································································3分当x=(-伪,0)时，g,(x)>0，g(x)单调递增；当x=(0,+伪)时，g,(x)<0，g(x)单调递减．4分故g(x)max=g(0)=1-a≤0，解得a≥1，即a的取值范围为[1,+伪).···················（2）由（1）可知，f,(x)在(0,+伪)上单调递减，且f,(0)=1-a>0，f,(1)=-a≤0，当x=(0,x1)时，f,(x)>0，函数f(x)单调递增；当x=(x1,+伪)时，f,(x)<0，函数f(x)单调递减.·······················································7分因为f(0)=0，f(2)=-2a-2<0，所以f(x)在(0,2)上只有一个零点x0，故函数f(x)在(0,+伪)上只有一个零点x0.····································································8分因为0<x0<2，所以要证x0<，即证ax0+x0-e<0，即证ax0+2-e≤0.·············9分因为f(x0)=(2-x0)ex0-ax0-2=0，得(2-x0)ex0=ax0+2，所以(2-x0)ex0≤e，故需证(2-x0)ex0-e≤0即可.····················································10分令h(x)=(2-x)ex-e，0<x<2，则h,(x)=(1-x)ex.·················································11分当x=(0,1)时，h,(x)>0，h(x)单调递增；当x=(1,2)时，h,(x)<0，h(x)单调递减.故h(x)max=h(1)=0．即(2-x0)ex0-e≤0，原不等式即证.·························