直线与圆复习

直线与圆复习课高三文科2023.

[备考方向要明了]考

什

么1.理解直线的倾斜角和斜率的概念及相互间的关系，掌握过两点的直线斜率的计算公式．2.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.怎

么

考1.直线方程的求法是命题的热点．多与两直线的位置关系，直线与圆的位置关系相结合交汇命题．2.题型多为客观题，难度中等，着重考查学生的综合应用

能力.一、直线的倾斜角与斜率1．直线的倾斜角(1)定义：x轴

与直线

的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为

.(2)倾斜角的范围为

．正向向上0°[0，π)正切值tanα二、直线方程的形式及适用条件名称几何条件方程局限性点斜式过点(x0，y0)，斜率为k不含的直线斜截式斜率为k，纵截距为b不含的直线两点式过两点(x1，y1)，(x2，y2)，(x1≠x2，y1≠y2)不包括

的直线y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b垂直于x轴垂直于x轴垂直于坐标轴名称几何条件方程局限性截距式在x轴、y轴上的截距分别为a，b(a，b≠0)不包括

和

的直线一般式垂直于坐标轴过原点Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)答案：B答案：A3．直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，那么a的值是 ()A．1 B．－1C．－2或－1 D．－2或1答案：D5．(教材习题改编)过点M(3，－4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．1．直线的倾斜角与斜率的关系斜率k是一个实数，当倾斜角α≠90°时，k＝tanα.直线都有斜倾角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为90°的直线无斜率．2．直线方程的点斜式、两点式、斜截式、截距式等都是直线方程的特殊形式，其中点斜式是最根本的，其他形式的方程皆可由它推导．直线方程的特殊形式都具有明显的几何意义，但又都有一些特定的限制条件，如点斜式方程的使用要求直线存在斜率；截距式方程的使用要求横纵截距都存在且均不为零；两点式方程的使用要求直线不与坐标轴垂直．因此应用时要注意它们各自适用的范围，以防止漏解．[答案]

B[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)答案：B[冲关锦囊]1．求倾斜角的取值范围的一般步骤(1)求出斜率k＝tanα的取值范围．(2)利用三角函数的单调性，借助图像或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围．2．求倾斜角时要注意斜率是否存在.[精析考题][例2](2023·龙岩期末)△ABC中，A(1，－4)，B(6,6)，C(－2,0)．求：(1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程；(2)BC边的中线所在直线的一般式方程．答案：A3．(2023·温州模拟)A(－1,1)，B(3,1)，C(1,3)，那么△ABC的BC边上的高所在直线方程为()A．x＋y＝0 B．x－y＋2＝0C．x＋y＋2＝0 D．x－y＝0答案：

B答案：A求直线方程的方法主要有以下两种(1)直接法：根据条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；(2)待定系数法：先设出直线方程，再根据条件求出待定系数，最后代入求出直线方程.[冲关锦囊][精析考题][例3]直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)假设直线l不经过第四象限，求k的取值范围；[自主解答](1)证明：法一：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，故无论k取何值，直线l总过定点(－2,1)．法二：设直线过定点(x0，y0)，那么kx0－y0＋1＋2k＝0对任意k∈R恒成立，即(x0＋2)k－y0＋1＝0恒成立，所以x0＋2＝0，－y0＋1＝0，解得x0＝－2，y0＝1，故直线l总过定点(－2,1)．[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)5．(2023·东北三校联考)直线l过点M(2,1)，且分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，O为原点．(1)当△AOB面积最小时，直线l的方程是__________；(2)当|MA|·|MB|取得最小值时，直线l的方程是________________．答案：(1)x＋2y－4＝0

(2)x＋y－3＝0[冲关锦囊]1．解决直线方程的综合问题时，除灵活选择方程的形式外，还要注意题目中的隐含条件．2．与直线方程有关的最值或范围问题可以数形结合也可从函数角度考虑构建目标函数进而转化求最值．

[备考方向要明了]考

什

么1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．2.会求两直线的交点坐标．3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.怎

么

考1.两条直线的平行与垂直，点到直线的距离，两点间距离

是命题的热点．2.对于距离问题多融入解答题中，注重考查分类讨论与数

形结合思想．题型多为客观题，难度中低档.一、两条直线的位置关系k1≠k2A1B2－A2B1k1k2＝－1A1A2＋B1B2k1＝k2斜截式一般式A1B2－A2B1B2C1－B1C2A1B2－A2B1A1C2－A2C1b1＝b2斜截式一般式重合

且

A1＝A2，B1＝B2，C1＝C2(≠0)(当A2B2≠0时，记为)b1＝b2k1＝k2相交交点坐标无解平行三、几种距离1．两点间的距离:平面上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式d(A，B)＝|AB|＝.2．点到直线的距离：点P(x1，y1)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝

.3．两条平行线间的距离：两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝.答案：

D答案：A2．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是(

)A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0答案：

A解析：由a×1＋1×(－2)＝0，∴a＝2.4．(教材习题改编)假设两直线x＋ay＋3＝0与3x－2y＋a＝0平行，那么a＝________.5．与直线7x＋24y－5＝0平行，并且到它的距离等于3的直线方程是________．答案：7x＋24y－80＝0或7x＋24y＋70＝01.一般情况下，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋n＝0，在用待定系数法求直线方程时，这种设法可以防止对斜率是否存在的讨论．2.在使用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式时直线方程必须先化为Ax＋By＋C＝0形式后才能指出A，B，C的值，否那么会出错．[答案]

1[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)1．(2023·长沙模拟)过点A(－2，m)和点B(m,4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3.假设l1∥l2，l2⊥l3，那么实数m＋n的值为()A．－10 B．－2C．0 D．8答案：

A2．(2023·深圳第一次调研)p：直线l1：x－y－1＝0与直线l2：x＋ay－2＝0平行，q：a＝－1，那么p是q的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：由于直线l1：x－y－1＝0与直线l2：x＋ay－2＝0平行的充要条件是1×a－(－1)×1＝0，即a＝－1.答案：A[冲关锦囊](1)充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决此题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2，l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.假设有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．(2)①假设直线l1和l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，那么：直线l1⊥l2的充要条件是k1·k2＝－1.②设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.那么：l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.[精析考题][例2](2023·北京高考)点A(0,2)，B(2,0)．假设点C在函数y＝x2的图像上，那么使得△ABC的面积为2的点C的个数为 ()A．4 B．3C．2 D．1[答案]

A答案：B答案：

①③④(1)对于直线恒过定点的探索，可转化为两条直线的交点

问题，即取两种特殊情况的直线求其交点即可．(2)利用两平行线间距离公式时注意C1，C2的值是x，y的系数相同且直线方程都是一般式时对应的值．[冲关锦囊][精析考题][例3](2023·皖南八校联考)直线2x－y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是 ()A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0C．2x＋y－5＝0 D．x＋2y－5＝0[自主解答]

由题意可知，直线2x－y＋1＝0与直线x＝1的交点为(1,3)，直线2x－y＋1＝0的倾斜角与所求直线的倾斜角互补，因此它们的斜率互为相反数，直线2x－y＋1＝0的斜率为2，故所求直线的斜率为－2，所以所求直线方程是y－3＝－2(x－1)，即2x＋y－5＝0.[答案]

C将本例条件变为求直线2x－y＋1＝0关于直线x－2y－1＝0的对称的直线方程．[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)答案：

A解析：由条件知以(10,0)和(－6,8)为端点的线段的垂直平分线为y＝2x，那么求与点A(－4,2)重合的点即为求点(－4,2)关于直线y＝2x的对称点，求得为(4，－2)．答案：A[冲关锦囊][考题范例](2023·安庆模拟)平面直角坐标系中，与点A(1,1)的距离为1，且与点B(－2，－3)的距离为6的直线条数为________．[巧妙运用]∵|AB|＝5，∴以A为圆心，半径为1的圆(x－1)2＋(y－1)2＝1与以B为圆心，半径为6的圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝36内切．∴与A距离为1，与B距离为6的直线只有过两圆公共切点并与两圆都相切的一条直线．答案：1[题后悟道]解决此题时，假设直接设出直线方程利用A点与B点到其距离去求解，无从入手，思路会受阻．假设将点到直线的距离转化为圆心到直线的距离即所探求的直线转化为同时以A、B为圆心的圆的切线问题，思路便清晰且易解决．

[备考方向要明了]考

什

么1.掌握圆的标准方程和一般方程．2．初步了解用代数方法处理几何问题.

怎

么

考1.求圆的方程或已知圆的方程求圆心坐标，半径是高考的

热点，多与直线相结合命题，着重考查待定系数法求圆的方程，同时注意方程思想和数形结合思想的运用．2．多以选择题、填空题的形式出现，属中、低档题.一、圆的定义及方程定义平面内与

的距离等于

的点的集合(轨迹)限定条件标准方程圆心：(

)，半径：r>0一般方程圆心：()，半径：

D2＋E2－>0定点定长(x－a)2＋(y－b)2＝r2x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0a，br二、点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系(1)假设点M(x0，y0)在圆上，那么；(2)假设点M(x0，y0)在圆外，那么；(3)假设点M(x0，y0)在圆内，那么.(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2(x0－a)2＋(y0－b)2>r2(x0－a)2＋(y0－b)2<r21．(教材习题改编)圆心在y轴上，半径为1且过点(－1,2)的圆的方程为 (

)A．x2＋(y－3)2＝1

B．x2＋(y－2)2＝1C．(x－2)2＋y2＝1 D．(x＋2)2＋y2＝1答案：

B解析：设圆心(0，b)，半径为r.那么r＝1.∴x2＋(y－b)2＝1.又过点(－1,2)代入得b＝2，∴圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.2．过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是 (

)A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4答案：

C答案：

B4．圆心在原点且与直线x＋y－2＝0相切的圆的方程为________．答案：x2＋y2＝25．假设点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，那么实数a的取值范围是________．答案：

(－1,1)解析：由条件知(1－a)2＋(1＋a)2<4，即2＋2a2<4.∴a2<1.即－1<a<1.1．方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是：(1)B＝0

(2)A＝C≠0

(3)D2＋E2－4AF>0.2．确定圆的方程时，常用到的圆的几个性质(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．[精析考题][例1](2023·辽宁高考)圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，那么C的方程为________．[答案]

(x－2)2＋y2＝10[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)1．(2023·济南模拟)假设圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，那么该圆的标准方程是()A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1D．(x－3)2＋(y－1)2＝1答案：

A2．(2023·银川模拟)圆心在y轴上且通过点(3,1)的圆与x轴相切，那么该圆的方程是 ()A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0解析：设圆心为(0，b)，半径为R，那么R＝|b|，∴圆的方程为x2＋(y－b)2＝b2.∵点(3,1)在圆上，∴9＋(1－b)2＝b2，解得：b＝5.∴圆的方程为x2＋y2－10y＝0.答案：

B[冲关锦囊]1．利用圆的几何性质求方程：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．2．利用待定系数法求圆的方程：(1)假设条件与圆的圆心和半径有关，那么设圆的标准方程，依据条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；(2)假设条件没有明确给出圆的圆心或半径，那么选择圆的一般方程，依据条件列出关于D，E，F的方程组，从而求出D，E，F的值.[答案]

B答案：

A[冲关锦囊][精析考题][例3](2023·广东高考)设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，那么C的圆心轨迹为 ()A．抛物线 B．双曲线C．椭圆 D．圆[答案]

A将本例条件变为“圆C与圆O1x2＋(y－3)2＝1和圆O2x2＋(y＋3)2＝9都外切〞，仍然求圆C的圆心的轨迹．解：设圆C的圆心为(x，y)，半径为r.由O1(0,3)，r1＝1，O2(0，－3)，r2＝3.∴|CO2|－|CO1|＝2<6，故圆心C的轨迹为以O1，O2为焦点的双曲线的上半支．[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)5．(2023·温州模拟)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1答案：

A[冲关锦囊]求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下做法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据直线、圆、圆锥曲线等定义列方程．(3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与点的关系，代入点满足的关系式等．数学思想数形结合定“圆形〞，巧设方程求半径[考题范例](2023·重庆高考)设圆C位于抛物线y2＝2x与直线x＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，那么圆C的半径能取到的最大值为________．[题后悟道]1．此题重点考查了数形结合思想在求圆的半径(方程)中的应用．2．解决此题需要分两步走：第一步：定形，即确定圆的半径最大时圆C的位置和形状．第二步：定量，在确定圆的位置和形状后，利用待定系数法求出圆的圆心坐标和半径．3．此题求解过程中易忽条件3－a<a，忽略这一点，圆C有可能不在题目要求的封闭区域内．

[备考方向要明了]考

什

么1.能判断直线与圆、圆与圆的位置关系．2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．3.初步了解用代数方法处理几何问题.怎

么

考1.直线与圆的位置关系，特别是直线与圆相切一直是高考

考查的重点和热点．2.多以选择题和填空题的形式出现，有时也出现在综合性

较强的解答题中.一、直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)相离相切相交图形量化方程观点

0

0

0几何观点d

rd

rd

r＜＝＞＞＝＜二、圆与圆的位置关系(⊙O1、⊙O2半径r1、r2，d＝|O1O2|)相离外切相交内切内含图形量的关系d＞

r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|1．(教材习题改编)直线l：y－1＝k(x－1)和圆x2＋y2－2y＝0的位置关系是 (

)A．相离B．相交C．相切

D．相切或相交答案：

B答案：

D3．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有(

)A．1条

B．2条C．3条

D．4条答案：

B解析：可判断圆C1与C2相交，故公切线有两条．4．(教材习题改编)直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＋4x－4y－8＝0截得的弦长等于________．5．圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，那么两圆的公共弦所在的直线方程为________，公共弦长为________．解析：设两圆的交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，那么A、B两点满足方程x2＋y2＋2x－6y＋1＝0与x2＋y2－4x＋2y－11＝0，将两个方程相减得3x－4y＋6＝0，即为两圆公共弦所在直线的方程．易知圆C1的圆心(－1,3)，半径r＝3，用点到直线的距离公式可以求得点C1到直线的距离为：2．两圆的方程组成的方程组有一解或无解时．不能准确地判定两圆的位置关系，当两圆方程组成的方程组有一解时，两圆有外切和内切两种可能情况．当方程组无解时，两圆有相离和内含两种可能情况