工程数学复变函数

复变函数1第一章复数与复变函数§1复数及代数运算21.复数的概念在实数范围,方程

x2=-1是无解的.因此引进一个新数i,称为虚数单位,并规定

i2=-1从而i是方程x2=-1的一个根.对于任意二实数x,y,称z=x+iy或z=x+yi为复数,x,y分别称为z的实部和虚部,记作

x=Re(z),y=Im(z)3当x=0,y0时,z=iy称为纯虚数;当y=0时z=x+0i,将其看作是实数x.

两个复数相等,是指的它的实部和虚部分别相等.复数z=0,是指的实部和虚部都是0.

2.复数的代数运算两个复数z1=x1+iy1,z2=x2+iy2的加法,减法和乘法定义为

(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1

x2)+i(y1

y2)(1.1.1)

(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)

(1.1.2)

称上面二式右端为z1,z2的和,差与积

当z1,z2为实数时,上二式与实数的运算一致.4称满足

z2z=z1 (z20)

的复数z=x+iy为z1除以z2的商,复数运算满足交换律,结合律和分配律:z1+z2=z2+z1,z1z2=z2z1;z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3),z1(z2z3)=(z1z2)z3;z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.5把实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数,与z共轭的复数记作z6§2复数的几何表示1.复平面由于一个复数z=x+iy由一对有序实数(x,y)碓一确定,所以对于平面上的直角坐标系,复数的全体与该平面上的点的全体成一一对应关系,从而复数z=x+iy可以用该平面上的坐标为(x,y)的点来表示,这是复数的一个常用表示方法.此时,x轴称为实轴,y轴称为虚轴,两轴所在的平面称为复平面或z平面.这样,复数与复平面上的点成一一对应,并且把"点z"作为"数z"的同义词,从而使我们能借助于几何语言和方法研究复变函数问题.7在复平面上,复数z还与从原点指向点z=x+iy的平面向量一一对应,因此复数z也能用向量OP来表示.向量的长度称为z的模或绝对值,记作OxyxyqPz=x+iy|z|=r8显然,下列各式成立OxyxyqPz=x+iy|z|=r9在z0的情况,以正实轴为始边,以表示z的向量OP为终边的角的弧度q称为z的轴角,记作

Arg

z=q

这时,有OxyxyqPz=x+iy|z|=r10任何一个复数z0有无穷多个幅角,如果q1是其中的一个,则

Arg

z=q1+2kp(k为任意整数)(1.2.3)

给出了z的全部幅角,在z(0)的幅角中,将满足-p<q0

p的q0称为Arg

z的主值,记作

q0=arg

zOxyxyqPz=x+iy|z|=r11当z=0时,|z|=0,而幅角不确定.

arg

z可由下列关系确定:12由复数运算法则,两个复数z1和z2的加减法和相应的向量的加减法一致.Oxyz1z2z1+z2成立不等式|z1+z2||z1|+|z2|(三角不等式),(1.2.5)13减法:Oxyz1z2z1-z2-z2|z1-z2|||z1|-|z2|| (1.2.6)14一对共轭复数z和z在复平面内的位置是关于实数轴对称的,因而|z|=|z|,如果z不在负实轴和原点上,还有arg

z=-arg

zOxy15利用直角坐标与极坐标的关系:

x=r

cosq,y=r

sinq,

可以将z表示成三角表示式:

z=r(cosq+sinq), (1.2.7)

利用欧拉公式eiq=cosq+isinq得指数表示式:

z=reiq (1.2.8)OxyxyqPz=x+iy|z|=r162.复球面NSOxyPz17除了复数的平面表示方法外,还可以用球面上的点来表示复数.

取一个与复平面切于原点z=0的球面,球面上的一点S与原点重合.通过S作垂直于复平面的直线与球面相交于另一点N.称N为北极,S为南极.

对复平面内任一点z,用直线将z与N相连,与球面相交于P点,则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系,

而N点本身可代表无穷远点,记作

.

这样的球面称作复球面.18关于的四则运算作如下规定:

加法:a+=+a=(a)

减法:a-=-a=(a)

乘法:a=a=(a0)19§3复数的乘幂与方根20乘积与商设有两个复数

z1=r1(cosq1+isinq1),z2=r2(cosq2+isinq2),

z1z2=r1r2(cosq1+isinq1)(cosq2+isinq2)

=r1r2[(cosq1cosq2-sinq1sinq2)

+i(sinq1cosq2+cosq1sinq2)]

=r1r2[cos(q1+q2)+isin(q1+q2)]

于是 |z1z2|=|z1||z2| (1.3.1)

Arg(z1z2)=Arg

z1+Argz2, (1.3.2)

定理1

两个复数乘积的模等于它们的模的乘积,两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和.21z1z2相当于将z1的模扩大|z2|倍并旋转一个角度Arg

z2q2q2z2q1z1z1z21Oxy22如果用指数形式表示复数:由此逐步可证,如果23按照商的定义,当z10时,有定理二两个复数的商的模等于它们的模的商,两个复数的商的辐角等于被除数与除数的幅角之差.24如果用指数形式表示复数:定理二可简明地表示为252.幂与根n个相同复数z的乘积称为z的n次幂,

记作zn则根据(1.3.4),对任意正整数n,我们有

zn=rn(cos

nq+isin

nq). (1.3.7)如|z|=1,则(棣莫弗(DeMoivre)公式).(cosq+isinq)n=cosnq+isinnq. (1.3.8)26设z为己知,方程wn=z的根w称为z的n次根,如n为正整数,则一个复数的n次根不止有一个,而是有n个,这是很麻烦的事情.例如在几何上,z1/n的n个值就是以原点为中心,r1/n为半径的圆的内接正n边形的n个顶点27§4区域281.区域的概念平面上以z0为中心,d(任意的正数)为半径的圆: |z-z0|<d内部的点的集合称为z0的邻域,而称由不等式0<|z-z0|<d所确定的点集为z0的去心邻域.dz029包括无穷远点自身在内且满足|z|>M的所有点的集合,其中实数M>0,称为无穷远点的邻域.

即它是圆|z|=M的外部且包含无穷远点本身.不包括无穷远点本身的仅满足|z|>M的所有点称为无穷远点的去心领域,也记作M<|z|<.M0|z|>M30设G为一平面点集,z0为G中任意一点.如果存在z0的一个邻域,该邻域内的所有点都属于G,则称z0为G的内点.

如果G内的每个点都是它的内点,则称G为

开集31平面点集D称为一个区域,如果它满足下列两个条件:

1)D是一个开集;

2)D是连通的,就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连接起来.区域z2z1不连通32设D为复平面内的一个区域,如果点P不属于D,但在P的任意小的邻域内总包含有D中的点,这样的点P称为D的边界点.D的所有边界点组成D的边界.区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的.C3C2zg1g2C333区域D与它的边界一起构成闭区域或闭域,记作D.

如果一个区域可以被包含在一个以原点为中心的圆里面,即存在正数M,使区域D的每个点z都满足|z|<M,则称D为有界的,否则称为

无界的.xyDO34满足不等式r1<|z-z0|<r2的所有点构成一个区域,而且是有界的,区域的边界由两个圆周

|z-z0|=r1和|z-z0|=r2构成,称为圆环域.如果在圆环域内去掉一个(或几个)点,它仍然构成区域,只是区域的边界由两个圆周和一个(或几个)孤立的点所构成z0r2r135无界区域的例子xyxyxy上半平面:Imz>0角形域:0<argz<jjab带形域:a<Imz<b362.单连通域与多连通域

平面曲线在数学上,经常用参数方程来表示各种平面曲线.如果x(t)和y(t)是两个连续的实变函数,则方程组

x=x(t),y=y(t),(a

t

b)

代表一条平面曲线,称为连续曲线.如果令

z(t)=x(t)+iy(t)

则此曲线可用一个方程

z=z(t) (a

t

b)

来代表.这就是平面曲线的复数表示式.37如果在区间a

t

b上x'(t)和y'(t)都是连续的,且对于t的每一个值,有

[x'(t)]2+[y'(t)]20

这曲线称为光滑的,由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线,称为按段光滑曲线.连续不连续光滑不光滑38设C:z=z(t)(a

t

b)为一条连续曲线,z(a)与z(b)分别为C的起点与终点.对于满足a<t1<b,a

t2

b的t1与t2,当t1

t2而有z(t1)=z(t2)时,点z(t1)称为曲线C的重点.没有重点的连续曲线C,称为简单曲线或若尔当(Jardan)曲线.如果简单曲线C的起点与终点闭合,即z(a)=z(b),则曲线C称为简单闭曲线.z(a)=z(b)简单,闭z(a)z(b)简单,不闭z(a)=z(b)不简单,闭不简单,不闭z(a)z(b)39任意一条简单闭曲线C把整个复平面唯一地分成三个互不相交的点集,其中除去C外,一个是有界区域,称为C的内部,另一个是无界区域,称为C的外部,C为它们的公共边界.简单闭曲线的这一性质,其几何直观意义是很清楚的.内部外部C40定义复平面上的一个区域B,如果在其中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属于B,就称为单连通域,一个区域如果不是单连通域,就称为多连通域.单连通域多连通域41§5复变函数421.复变函数的定义定义设G是一个复数z=x+iy的集合,如果有一个确定的法则存在,按照这一法则,对于集合G中的每一个复数z,就有一个或几个复数w=u+iv与之对应,则称复变数w是复变数z的函数(简称复变函数),记作

w=f(z)如果z的一个值对应着w的一个值,则函数f(z)是单值的;否则就是多值的.集合G称为f(z)的定义集合,对应于G中所有z对应的一切w值所成的集合G*,称为函数值集合.43在以后的讨论中,定义集合G常常是一个平面区域,称之为定义域,并且,如无特别声明,所讨论的函数均为单值函数.

由于给定了一个复数z=x+iy就相当于给定了两个实数x和y,而复数w=u+iv亦同样地对应着一对实数u和v,所以复变函数w和自变量z之间的关系w=f(z)相当于两个关系式:

u=u(x,y),v=v(x,y),

它们确定了自变量为x和y的两个二元实变函数.44例如,考察函数

w=z2

令z=x+iy,w=u+iw,则

u+iv=(x+iy)2=x2-y2+2xyi,

因而函数w=z2对应于两个二元函数:

u=x2-y2,v=2xy452.映射的概念如用z平面上的点表示自变量z的值,而用另一个平面w平面上的点表示函数w的值,则函数w=f(z)在几何上就可以看做是把z平面上的一个点集G(定义集合)变到w平面上的一个点集G*(函数值集合)的映射(或变换).这个映射通常简称为由函数w=f(z)所构成的映射.如果G中的点z被映射w=f(z)映射成G*中的点w,则w称为z的象(映象),而z称为w的原象.46设函数w=z,xyOuvOABCz1z2A'B'C'w1w247设函数w=z2,xyOuvOz1z2w1w2z3w3a2a48假定函数w=f(z)的定义集合为z平面上的集合G,函数值集合为w平面上的集合G*,则G*中的每个点w必将对应着G中的一个(或几个)点.按照函数的定义,在G*上就确定了一个单值(或多值)函数z=j(w),它称为函数w=f(z)的反函数,也称为映射w=f(z)的逆映射.

从反函数的定义可知,对任意的w

G*,有

w=f[j(w)],

当反函数为单值函数时,也有

z=j[f(z)],z

G49今后,我们不再区分函数与映射(变换).如果函数(映射)w=f(z)与它的反函数(逆映射)z=j(w)都是单值的,则称函数(映射)w=f(z)是一一的.此时,我们也称集合G与集合G*是一一对应的.50§6复变函数的极限和连续性511.函数的极限

定义设函数w=f(z)定义在z0的去心邻域

0<|z-z0|<r内,如果有一确定的数A存在,对于任意给定的e>0,相应地必有一正数d(e)(0<d

),使得当0<|z-z0|<d时有

|f(z)-A|<e,

则称A为f(z)当z趋向于z0时的极限,记作或记作当z

z0时,f(z)A52这个定义的几何意义是:当变点z一旦进入z0的充分小的d邻域时,它的象点f(z)就落A的预先给定的e邻域中.应当注意,z趋向于z0的方式是任意的,无论以何种方式趋向于z0,f(z)都要趋向于同一常数A.xyOz0dzO