几类不同增长的函数模型

3.2.1几类不同增长的函数模型第一课时线性函数、指数函数和对数函数模型3.2函数模型及其应用问题提出1.函数来源于实际又服务于实际，客观世界的变化规律，常需要不同的数学模型来描述，这涉及到函数的应用问题.2.所谓“模型”，通俗的解释就是一种固定的模式或类型,在现代社会中，我们经常用函数模型来解决实际问题.那么，面对一个实际问题，我们怎样选择一个恰当的模型来刻画它呢？线性函数、指数函数和对数函数模型知识探究（一）：无条件函数模型的选择考察下列问题：假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下:方案一:

每天回报40元；方案二:

第一天回报10元,以后每天比前 一天多回报10元；方案三:

第一天回报0.4元,以后每天的回 报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？思考1:设第x天所得的回报为y元，那么上述三种投资方案对应的函数模型分别是什么？

思考2:上述三个函数分别是什么类型的函数？其单调性如何？思考3:这三个方案前11天所得的回报如下表,分析这些数据，你如何根据投资天数选择投资方案？…………………818.8409.66601104404011409.2204.85501004004010204.4102.445090360409102.051.23608032040850.825.62807028040725.212.82106024040612.46.4150502004056.03.2100401604042.81.660301204031.20.83020804020.40.4101040401累计回报当天回报累计回报当天回报累计回报当天回报方案三方案二方案一天次思考4:分析上述三个函数的图象，你对指数函数模型与线性函数模型的增长速度有何看法？你对“指数爆炸”的含义有何理解？思考5:到第30天，三个方案所得的回报分别是多少元？x（天）y（元）o知识探究（二）：有条件函数模型的选择

问题:

某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案:在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型:

其中哪个模型能符合公司的要求?思考1:根据问题要求，奖金数y应满足哪几个不等式？思考2:销售人员获得奖励，其销售利润x(单位:万元)的取值范围大致如何？思考3:确定三个奖励模型中哪个能符合公司的要求，其本质是解决一个什么数学问题？思考4:对于模型y=0.25x，符合要求吗？为什么？思考5:对于模型，当y=5时，对应的x的值约是多少？该模型符合要求吗？x≈805.723思考6:对于函数,当x∈[10，1000]时，y的最大值约为多少？思考7:当x∈[10，1000]时，如何判断是否成立？思考8:综上分析，模型符合公司要求.如果某人的销售利润是343万元，则所获奖金为多少？小结作业P98练习：2.P107习题3.2A组：1，2.3.2.1几类不同增长的函数模型第二课时幂、指、对函数模型 增长的差异性问题提出

1.指数函数y=ax(a>1)，对数函数

y=logax(a>1)和幂函数y=xn(n>0)在区间（0，+∞）上的单调性如何？

2.利用这三类函数模型解决实际问题，其增长速度是有差异的，我们怎样认识这种差异呢？

幂、指、对函数模型的差异性探究（一）：特殊幂、指、对函数模型的差异对于函数模型：y=2x,y=x2,y=log2x其中x>0.思考1:观察三个函数的自变量与函数值对应表,

这三个函数增长的快慢情况如何？

…1.7661.5851.3791.1380.8480.4850-0.737-2.322y=log2x…11.5696.764.843.241.9610.360.04y=x2…10.55686.0634.5953.4822.63921.5161.149y=2x…3.43.02.62.21.81.410.60.2xx012345678y=2x1248163264128256y=x201491625364964思考2:对于函数模型y=2x和y=x2，观察下列自变量与函数值对应表：

当x>0时，你估计函数y=2x和y=x2的图象共有几个交点？思考4:在同一坐标系中这三个函数图象的相对位置关系如何？请画出其大致图象.xyo1124y=2xy=x2y=log2x思考3:设函数f(x)=2x

-x2(x>0)，你能用二分法求出函数f(x)的零点吗？思考5:根据图象，不等式log2x<2x<x2和log2x<x2<2x成立的x的取值范围分别如何？思考6:上述不等式表明，这三个函数模型增长的快慢情况如何？xyo1124y=2xy=x2y=log2x探究（二）：一般幂、指、对函数模型的差异思考1:对任意给定的a>1和n>0，在区间(0,+∞)上ax是否恒大于xn?ax是否恒小于xn?思考2:当a>1，n>0时，在区间(0,+∞)上,ax与xn的大小关系应如何阐述？思考3:一般地，指数函数y=ax(a>1)和幂函数y=xn(n>0)在区间(0,+∞)上，其增长的快慢情况是如何变化的？思考4:对任意给定的a>1和n>0，在区间(0,+∞)上,logax是否恒大于xn?logax是否恒小于xn?思考5:随着x的增大,logax增长速度的快慢程度如何变化?xn增长速度的快慢程度如何变化？思考6:当x充分大时,logax(a>1)xn与(n>0)谁的增长速度相对较快？思考7:一般地，对数函数y=logax(a>1)和幂函数y=xn(n>0)在区间(0,+∞)上，其增长的快慢情况如何是如何变化的？xyo1y=logaxy=xn思考8:对于指数函数y=ax(a>1)，对数函数y=logax(a>1)和幂函数y=xn(n>0)，总存在一个x0，使x>x0时,ax,logax,xn三者的大小关系如何？思考9:指数函数y=ax

(0<a<1)，对数函数y=logax(0<a<1)和幂函数y=xn(n<0),在区间(0,+∞)上衰减的快慢情况如何？xyo1y=axy=xny=logax理论迁移

例在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(°C)随着时间t(分钟)的变化情况，由微机处理后显示出如下图象，试对该实验现象作出合理解释.yot510小结作业P101练习：1.P107习题3.2A组：3.3.2.2函数模型的应用实例第一课时函数建构和函数模型问题提出

一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数，不只是理论上的数学问题，它们都与现实世界有着紧密的联系，我们如何利用这些函数模型来解决实际问题？函数建构与函数模型知识探究（一）：函数建构问题思考1:该图中反映的数据，应怎样理解？

思考2:图中5个小矩形的面积之和为多少？它有什么实际含义？问题：一辆汽车在某段路程中的行驶速率与 时间的关系如图所示v/(km·h)5065758090t/h3o1245思考3:假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，那么行驶这段路程时汽车里程表读数s(km)与时间(h)的函数关系如何？思考4:你能画出这个函数的图象吗？

tyo12345知识探究（一）：函数模型问题

问题：人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：，其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.下表是我国1950～1959年的人口数据资料：67207659946456362828614566026658796574825630055196人数1959195819571956195519541953195219511950年份思考1:我国1951年的人口增长率约为多少？思考2:如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.0001)那么1951～1959年期间我国人口的年平均增长率是多少？年份1950195119521953195419551956195719581959人数55196563005748258796602666145662828645636599467207思考4:怎样检验该模型与我国实际人口数据是否相符？

思考5:据此人口增长模型，大约在哪一年我国的人口达到13亿？思考3:用马尔萨斯人口增长模型，我国在1950～1959年期间的人口增长模型是什么？理论迁移

例有甲、乙两家兵乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同.甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元.小王准备下个月从这两家中的一家租用一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时，问小王应选择哪家俱乐部较合算?小结作业P104练习：1，2.3.2.2函数模型的应用实例第二课时函数最值和函数拟合问题提出从实际问题出发，构建相应的函数关系，通过分析函数的有关性质解决实际问题，是函数应用的重点内容.对此类应用问题，我们应如何展开研究？函数最值与函数拟合知识探究（一）：函数最值问题

问题：某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：240280320360400440480日均销售量/桶1211109876销售单价/元思考1:你能看出表中的数据有什么变化规律？思考2:假设每桶水在进价的基础上增加x元,则日均销售量为多少？销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240思考3:假设日均销售利润为y元，那么y与x的关系如何？思考4:上述关系表明，日均销售利润y元是x的函数，那么这个函数的定义域是什么？思考5:这个经营部怎样定价才能获得最大利润？思考6:你能总结一下用函数解决应用性问题中的最值问题的一般思路吗？

选取自变量建立函数式确定定义域回答实际问题求函数最值知识探究（二）：函数拟合问题

问题：某地区不同身高(单位：cm)的未成年男性的体重(单位：kg)平均值如下表：55.0547.2