2023年吉林省长春市德惠市第三中学数学九年级第一学期期末统考模拟试题含解析

2023年吉林省长春市德惠市第三中学数学九年级第一学期期末统考模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题3分,共30分)1．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc＞1；②b2﹣4ac＞1；③9a﹣3b+c=1；④若点（﹣1.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；⑤5a﹣2b+c＜1．其中正确的个数有（）A．2 B．3 C．4 D．52．下列汽车标志中，可以看作是中心对称图形的是A． B． C． D．3．若，相似比为2，且的面积为12，则的面积为（）A．3 B．6 C．24 D．484．若反比例函数的图象经过点（2，-3），则k值是（）A．6 B．-6 C． D．5．将二次函数y＝x2的图象沿y轴向上平移2个单位长度，再沿x轴向左平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为（）A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x﹣3）2+2 C．y＝（x+2）2+3 D．y＝（x﹣2）2+36．正方形ABCD内接于⊙O，若⊙O的半径是，则正方形的边长是（）A．1 B．2 C． D．27．如图，抛物线与直线交于，两点，与直线交于点，将抛物线沿着射线方向平移个单位．在整个平移过程中，点经过的路程为（）A． B． C． D．8．下列图形中一定是相似形的是()A．两个菱形 B．两个等边三角形 C．两个矩形 D．两个直角三角形9．为了估计水塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获30条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼。通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在2.5%左右，则鱼塘中鱼的条数估计为（）A．600条 B．1200条 C．2200条 D．3000条10．若反比例函数y＝的图象经过点(2，－1)，则该反比例函数的图象在（）A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，在中，，为边上一点，已知，，，则____________．12．在△ABC中，tanB＝，BC边上的高AD＝6，AC＝3，则BC长为_____．13．如图，边长为2的正方形，以为直径作，与相切于点，与交于点，则的面积为__________．14．如图，是二次函数和一次函数的图象，观察图象写出时，x的取值范围__________．15．两块大小相同，含有30°角的三角板如图水平放置，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转，当点E的对应点E′恰好落在AB上时，△CDE旋转的角度是______度．16．点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则=________．17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B(3，1)，B′(6，2)，若点A′(5，6)，则A的坐标为______.18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，3）和点B（7，0），则tan∠ABO＝_____．三、解答题(共66分)19．（10分）国家规定，中、小学生每天在校体育活动时间不低于1h．为此，某区就“你每天在校体育活动时间是多少”的问题随机调查了辖区内300名初中学生．根据调查结果绘制成的统计图如图所示，其中A组为t＜0.5h，B组为0.5h≤t＜1h，C组为1h≤t＜1.5h，D组为t≥1.5h．请根据上述信息解答下列问题：（1）本次调查数据的众数落在组内，中位数落在组内；（2）该辖区约有18000名初中学生，请你估计其中达到国家规定体育活动时间的人数．20．（6分）（问题情境）（1）古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》提出了射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．射影定理是数学图形计算的重要定理．其符号语言是：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，则：（1）AC²=AB·AD；(2)BC²=AB·BD；(3)CD²=AD·BD；请你证明定理中的结论（1）AC²=AB·AD．（结论运用）（2）如图2，正方形ABCD的边长为3，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，①求证：△BOF∽△BED；②若，求OF的长．21．（6分）如图，以矩形ABCD的边CD为直径作⊙O，点E是AB的中点，连接CE交⊙O于点F，连接AF并延长交BC于点H．（1）若连接AO，试判断四边形AECO的形状，并说明理由；（2）求证：AH是⊙O的切线；（3）若AB＝6，CH＝2，则AH的长为．22．（8分）已知：抛物线y＝2ax2﹣ax﹣3（a+1）与x轴交于点AB（点A在点B的左侧）．（1）不论a取何值，抛物线总经过第三象限内的一个定点C，请直接写出点C的坐标；（2）如图，当AC⊥BC时，求a的值和AB的长；（3）在（2）的条件下，若点P为抛物线在第四象限内的一个动点，点P的横坐标为h，过点P作PH⊥x轴于点H，交BC于点D，作PE∥AC交BC于点E，设△ADE的面积为S，请求出S与h的函数关系式，并求出S取得最大值时点P的坐标．23．（8分）求值：+2sin30°－tan60°-tan45°24．（8分）如图，已知的三个顶点坐标为，，.（1）将绕坐标原点旋转，画出旋转后的，并写出点的对应点的坐标；（2）将绕坐标原点逆时针旋转，直接写出点的对应点Q的坐标；（3）请直接写出：以、、为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标.25．（10分）如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED＝∠C．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）求证：DE平分∠BEP；（3）若⊙O的半径为10，CF＝2EF，求BE的长．26．（10分）如图是由两个长方体组成的几何体，这两个长方体的底面都是正方形，画出图中几何体的主视图、左视图和俯视图.

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【分析】分析：根据二次函数的性质一一判断即可．【详解】详解：∵抛物线对称轴x=-1，经过（1，1），∴-=-1，a+b+c=1，∴b=2a，c=-3a，∵a＞1，∴b＞1，c＜1，∴abc＜1，故①错误，∵抛物线对称轴x=-1，经过（1，1），可知抛物线与x轴还有另外一个交点（-3，1）∴抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞1，故②正确，∵抛物线与x轴交于（-3，1），∴9a-3b+c=1，故③正确，∵点（-1.5，y1），（-2，y2）均在抛物线上，（-1.5，y1）关于对称轴的对称点为（-1.5，y1）（-1.5，y1），（-2，y2）均在抛物线上，且在对称轴左侧，-1.5＞-2，则y1＜y2；故④错误，∵5a-2b+c=5a-4a-3a=-2a＜1，故⑤正确，故选B．【点睛】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．2、A【详解】考点：中心对称图形．分析：根据中心对称图形的性质得出图形旋转180°，与原图形能够完全重合的图形是中心对称图形，分别判断得出即可．解：A．旋转180°，与原图形能够完全重合是中心对称图形；故此选项正确；B．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项错误；C．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项错误；D．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项错误；故选A．3、A【解析】试题分析：∵△ABC∽△DEF，相似比为2，∴△ABC与△DEF的面积比为4，∵△ABC的面积为12，∴△DEF的面积为：12×=1．故选A．考点：相似三角形的性质．4、B【分析】直接把点代入反比例函数解析式即可得出k的值．【详解】∵反比例函数的图象经过点，

∴，解得：．

故选：B．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．5、A【分析】直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．【详解】解：将二次函数y＝x1的图象沿y轴向上平移1个单位长度，得到：y＝x1+1，再沿x轴向左平移3个单位长度得到：y＝（x+3）1+1．故选：A．【点睛】解决本题的关键是得到平移函数解析式的一般规律：上下平移，直接在函数解析式的后面上加，下减平移的单位；左右平移，比例系数不变，在自变量后左加右减平移的单位．6、B【分析】作OE⊥AD于E,连接OD,在Rt△ODE中,根据垂径定理和勾股定理即可求解.【详解】解：作OE⊥AD于E,连接OD,则OD=.在Rt△ODE中,易得∠EDO为45，△ODE为等腰直角三角形，ED=OE,OD===.可得：ED=1，AD=2ED=2，所以B选项是正确的.【点睛】此题主要考查了正多边形和圆,本题需仔细分析图形,利用垂径定理与勾股定理即可解决问题.7、B【分析】根据题意抛物线沿着射线方向平移个单位，点A向右平移4个单位，向上平移2个单位，可得平移后的顶点坐标．设向右平移a个单位，则向上平移a个单位，抛物线的解析式为y=(x+1-a)²-1+a，令x=2,y=(a-)²+,由0≤a≤4,推出y的最大值和最小值,根据点D的纵坐标的变化情形，即可解决问题．【详解】解：由题意，抛物线沿着射线方向平移个单位，点A向右平移4个单位，向上平移2个单位，∵抛物线=(x+1)²-1的顶点坐标为(-1,-1),设抛物线向右平移a个单位，则向上平移a个单位，抛物线的解析式为y=(x+1-a)²-1+a令x=2,y=(3-a)²-1+a,∴y=(a-)²+,∵0≤a≤4∴y的最大值为8，最小值为，∵a=4时，y=2，∴8-2+2(2-)=故选：B【点睛】本题考查的是抛物线上的点在抛物线平移时经过的路程问题，解决问题的关键是在平移过程中点D的移动规律．8、B【分析】如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．【详解】解：∵等边三角形的对应角相等，对应边的比相等，∴两个等边三角形一定是相似形，又∵直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，∴两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形，故选：B．【点睛】本题考查了相似多边形的识别．判定两个图形相似的依据是：对应边成比例，对应角相等，两个条件必须同时具备．9、B【分析】由题意已知鱼塘中有记号的鱼所占的比例，用样本中的鱼除以鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数．【详解】解：30÷2.5%=1．故选：B．【点睛】本题考查统计中用样本估计总体的思想，熟练掌握并利用样本总量除以所求量占样本的比例即可估计总量．10、D【解析】试题分析：反比例函数的图象经过点，求出K=-2，当K>0时反比例函数的图象在第一、三象限，当K〈0时反比例函数的图象在第二、四象限，因为-2〈0，D正确．故选D考点：反比例函数的图象的性质．二、填空题(每小题3分,共24分)11、【分析】由题意直接根据特殊三角函数值，进行分析计算即可得出答案.【详解】解：∵在中，，，，∴，∴，∵，∴,∴.故答案为：.【点睛】本题考查锐角三角函数，熟练掌握三角函数定义以及特殊三角函数值进行分析是解题的关键.12、5或1【分析】分两种情况：AC与AB在AD同侧，AC与AB在AD的两侧，在Rt△ABD中，通过解直角三角形求得BD，用勾股定理求得CD，再由线段和差求BC便可．【详解】解：情况一：当AC与AB在AD同侧时，如图1，

∵AD是BC边上的高，AD＝6，tanB＝，AC＝3

∴在Rt△ABD中，，在Rt△ACD中，利用勾股定理得∴BC=BD-CD=8-3=5；

情况二：当AC与AB在AD的两侧，如图2，

∵AD是BC边上的高，AD＝6，tanB＝，AC＝3

∴在Rt△ABD中，，在Rt△ACD中，利用勾股定理得∴BC=BD+CD=8+3=1；

综上，BC=5或1．

故答案为：5或1．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用题，关键是分情况讨论，比较基础，容易出错的地方是漏解．13、【分析】运用切线长定理和勾股定理求出DF，进而完成解答．【详解】解：∵与相切于点，与交于点∴EF=AF,EC=BC=2设EF=AF=x,则CF=2+x,DF=2-x在Rt△CDF中,由勾股定理得:DF2=CF2-CD2,即(2-x)2=(2+x)2-22解得:x=,则DF=∴的面积为=故答案为．【点睛】本题考查了切线长定理和勾股定理等知识点，根据切线长定理得到相等的线段是解答本题的关键．14、．【解析】试题分析：∵y1与y2的两交点横坐标为-2，1，当y2≥y1时，y2的图象应在y1的图象上面，即两图象交点之间的部分，∴此时x的取值范围是-2≤x≤1．考点：1、二次函数的图象；2、一次函数的图象．15、1【分析】根据旋转性质及直角三角形两锐角互余，可得△E′CB是等边三角形，从而得出∠ACE′的度数，再根据∠ACE′+∠ACE´=90°得出△CDE旋转的度数．【详解】解：根据题意和旋转性质可得：CE´=CE=BC，∵三角板是两块大小一样且含有1°的角，∴∠B=60°∴△E′CB是等边三角形，∴∠BCE′＝60°，∴∠ACE′＝90°﹣60°＝1°，故答案为：1．【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定和性质，本题关键是得到△ABC等边三角形．16、．【解析】解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），∴=．故答案为．点睛：本题考查了黄金分割的定义，牢记黄金分割比是解题的关键．17、(2.5，3)【分析】利用点B(3，1)，B′(6，2)即可得出位似比进而得出A的坐标.【详解】解：∵点B(3，1)，B′(6，2)，点A′(5，6)，∴A的坐标为：(2.5，3).故答案为：(2.5，3).【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．18、．【分析】过A作AC⊥OB于点C，由点的坐标求得OC、AC、OB，进而求BC，在Rt△ABC中，由三角函数定义便可求得结果．【详解】解：过A作AC⊥OB于点C，如图，∵A（3，3），点B（7，0），∴AC＝OC＝3，OB＝7，∴BC＝OB﹣OC＝4，∴tan∠ABO＝，故答案为：．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，平面直角坐标系，关键是构造直角三角形．三、解答题(共66分)19、（1）B，C；（2）1．【分析】（1）根据中位数的概念，中位数应是第150、151人时间的平均数，分析可得答案；（2）首先计算样本中达到国家规定体育活动时间的频率，再进一步估计总体达到国家规定体育活动时间的人数．【详解】（1）众数在B组．根据中位数的概念，中位数应是第150、151人时间的平均数，分析可得其均在C组，故本次调查数据的中位数落在C组．故答案为B，C；（2）达国家规定体育活动时间的人数约1800×=1（人）．答：达国家规定体育活动时间的人约有1人．考点：频数（率）分布直方图；用样本估计总体；中位数；众数．20、（1）见解析；（2）①见解析；②【分析】（1）证明△ACD∽△ABC，即可得证；

（2）①BC2=BO•BD，BC2=BF•BE，即BO•BD=BF•BE，即可求解；②在Rt△BCE中，BC=3，BE=，利用△BOF∽△BED，即可求解．【详解】解：（1）证明：如图1，∵CD⊥AB，

∴∠BDC=90°，

而∠A=∠A，∠ACB=90°，

∴△ACD∽△ABC，

∴AC：AB=AD：AC，

∴AC²=AB·AD；

（2）①证明：如图2，

∵四边形ABCD为正方形，

∴OC⊥BO，∠BCD=90°，

∴BC2=BO•BD，

∵CF⊥BE，

∴BC2=BF•BE，

∴BO•BD=BF•BE，

即，而∠OBF=∠EBD，

∴△BOF∽△BED；

②∵在Rt△BCE中，BC=3，BE=，∴CE=，∴DE=BC-CE=2；

在Rt△OBC中，OB=BC=，∵△BOF∽△BED，∴，即，∴OF=.【点睛】本题为三角形相似综合题，涉及到勾股定理运用、正方形基本知识等，难点在于找到相似三角形，此类题目通常难度较大．21、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）【分析】（1）根据矩形的性质得到AE∥OC，AE＝OC即可证明；（2）根据平行四边形的性质得到∠AOD＝∠OCF，∠AOF＝∠OFC，再根据等腰三角形的性质得到∠OCF＝∠OFC．故可得∠AOD＝∠AOF，利用SAS证明△AOD≌△AOF，由ADO＝90°得到AH⊥OF，即可证明；（3）根据切线长定理可得AD=AF,CH=FH=2,设AD=x,则AF=x,AH=x+2,BH=x-2，再利用在Rt△ABH中，AH2=AB2+BH2,代入即可求x,即可得到AH的长.【详解】（1）解：连接AO，四边形AECO是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD．∵E是AB的中点，∴AE＝AB．∵CD是⊙O的直径，∴OC＝CD．∴AE∥OC，AE＝OC．∴四边形AECO为平行四边形．（2）证明：由（1）得，四边形AECO为平行四边形，∴AO∥EC∴∠AOD＝∠OCF，∠AOF＝∠OFC．∵OF＝OC∴∠OCF＝∠OFC．∴∠AOD＝∠AOF．∵在△AOD和△AOF中，AO＝AO，∠AOD＝∠AOF，OD＝OF∴△AOD≌△AOF．∴∠ADO＝∠AFO．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADO＝90°．∴∠AFO＝90°，即AH⊥OF．∵点F在⊙O上，∴AH是⊙O的切线．（3）∵HC、FH为圆O的切线，AD、AF是圆O的切线∴AD=AF,CH=FH=2,设AD=x,则AF=x,AH=x+2,BH=x-2，在Rt△ABH中，AH2=AB2+BH2,即（x+2）2=62+（x-2）2,解得x=∴AH=+2=.【点睛】此题主要考查直线与圆的关系，解题法的关键是熟知切线的判定定理与性质，及勾股定理的运用.22、（1）第三象限内的一个定点C为（﹣1，﹣3）；（2）a＝，AB＝；（3）S＝﹣h2+h﹣，当h＝时，S的最大值为，此时点P（，﹣）．【分析】（1）对抛物线解析式进行变形，使a的系数为0，解出x的值，即可确定点C的坐标；（2）设函数对称轴与x轴交点为M，根据抛物线的对称轴可求出M的坐标，然后利用勾股定理求出CM的长度，再利用直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半求出AB的长度，则A,B两点的坐标可求，再将A,B两点代入解析式中即可求出a的值；（3）过点E作EF⊥PH于点F，先用待定系数法求出直线BC的解析式，然后将P,D的坐标用含h的代数式表示出来，最后利用S＝S△ABE﹣S△ABD＝×AB×（yD﹣yE）求解【详解】（1）y＝2ax2﹣ax﹣3（a+1）＝a（2x2﹣x﹣3）﹣3，令2x2﹣x﹣3＝0，解得：x＝或﹣1，故第三象限内的一个定点C为（﹣1，﹣3）；（2）函数的对称轴为：x＝，设函数对称轴与x轴交点为M，则其坐标为：（，0），则由勾股定理得CM＝，则AB＝2CM＝，∴则点A、B的坐标分别为：（﹣3，0）、（，0）；将点A的坐标代入函数表达式得：18a+3a﹣3a﹣3＝0，解得：a＝，函数的表达式为：y＝（x+3）（x﹣）＝x2﹣x﹣；（3）过点E作EF⊥PH于点F，设：∠ABC＝α，则∠ABC＝∠HPE＝∠DEF＝α，设直线BC的解析式为将点B、C坐标代入一次函数表达式得解得：∴直线BC的表达式