立体几何综合测试卷

立体几何一、选择、填空题1、如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为A.87B．16C．32D．642、如图，在正四棱柱中，，点是平面内的一个动点，则三棱锥的正视图与俯视图的面积之比的最大值为（）

A．1B．2C．D．第2题第3题3、若某几何体的三视图(单位：cm)如右上图所示，则此几何体的表面积是()cm2A.12πB.24πC.15π+12D.12π+124、已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是正三角形，则该几何体的体积为(A)(B)2(C)3(D)45、已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P-ABCD的高为A.2B.3C.D.6、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(A)8－2(B)8－(C)8－(D)8－7、已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为．8、若m、n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中为真命题的是

A．若，则 B．，则

C．若，则 D．，则9、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为．4、如图，一个侧棱长为，的直三棱柱ABC-A1B1C1容器中盛有液体（不计容器厚度）．若液面恰好分别过棱AC，BC，B1C1，A1Cl的中点D，E，F，G．(I)求证：平面DEFG∥平面ABB1A；(II)当底面ABC水平放置时，求液面的高．5、在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=2，AC=,ACBC.（I）求点B到平面PAC的距离;（Ⅱ）求异面直线PA与BC所成角的余弦值。6、在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E，G，F分别为MB，PB，PC的中点，且ADPD2MA．（Ⅰ）求证：平面EFG⊥平面PDC；（Ⅱ）求三棱锥PMAB与四棱锥PABCD的体积之比．7、在四棱锥P－ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=2，CD=4．

(1)求证：BC⊥平面PBD；

(2)设E是侧棱PC上一点，且CE=2PE，求四面体P－BDE的体积．8、如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：（Ⅰ）平面PA∥平面BDE；（Ⅱ）平面PAC⊥平面BDE．9、在如图所示的四棱锥中，底面ABCD为矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD＝2，点E为PC的中点，连接DE，BD，BE。（1）证明：PA∥平面DBE；（2）若直线BD与平面PBC所成角的为30°，求点E到平面PDB的距离。10、如图，在三棱锥中，△是正三角形，在△中，,且、分别为、的中点．（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的大小．11、如图，已知长方形中，，，为的中点．将沿折起，使得平面平面．(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)若点是线段上的一动点，问点在何位置时，三棱锥的体积与四棱锥的体积之比为1:3？12、如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱，E是PC的中点。（1）证明：；（2）证明：。参考答案：1、C2、B3、D4、B5、C6、D7、258、D9、10、D11、B12、A13、D14、15、12π1、.解(1)∵⊥面ABCD，BC面ABCD∴⊥BC∵ABCD是正方形，∴AB⊥BC∴BC⊥面∵面∴⊥BC………………2分取中点M连结BM,PM∴PM∥AD,∴PM∥BC∴PMBC四点共面由△ABM≌△，可证得⊥BM………………4分∵BM∩BC=B，∴⊥面PBC……6分（2）在BC边上取一点Q，使PQ//BM，则PQ//面∵PQBM为平行四边形，∴BQ=PM=…………8分∵PM∥平面∴…………12分2、（Ⅰ）当M是线段AE的中点时，AC//平面MDF，证明如下：1分连结CE交DF于N，连结MN，由于M、N分别是AE、CE的中点，所以MN//AC，又MN在平面MDF内，4分所以AC//平面MDF6分（Ⅱ）将几何体ADE－BCF补成三棱柱ADE－，三棱柱ADE－的体积为△ADE·CD=8分则几何体ADE－BCF的体积10分又三棱锥F－DEM的体积11分∴两几何体的体积之比为：（）=12分3、4、5、7、(1)证：∵PD⊥CD，平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD与平面ABCD相交于CD

∴PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC 2分

在△ABD中，∠A=90°，AB=AD=2，∴，∠ADB=45°

在△ABD中，∠BDC=45°，，DC=4

∴

由BD2+BC2=16=DC2知BD⊥BC 4分

∵PD⊥BC，BD、PD相交于D，∴BC⊥平面PBD 6分(2)解：过E作EF∥PD交DC于F，由(1)知EF⊥平面ABCD

由CE=2PE得：，∴ 8分

10分

∴ 12分8、解： 证明：（I）∵O是AC的中点，E是PC的中点，∴OE∥AP，又∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE．∴PA∥平面BDE．…6分（II）∵PO⊥底面ABCD，PO⊥BD，又∵AC⊥BD，且AC∩PO=O∴BD⊥平面PAC，而BD⊂平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE…12分9、（1）证明：连AC，交BD于O，连OE，则PA∥OE，又，∴PA∥平面DBE.………………4分（2）解：∵侧棱底面，∴PD⊥BC．底面是矩形，∴BC⊥DC，且PD∩DC=D，∴BC⊥平面PDC．∴BC⊥DE．PD=DC，E为PC的中点，∴DE⊥PC．又PC∩BC=C，∴DE⊥平面PBC．………………8分故若直线BD与平面PBC所成的角即∠DBE=30°．由已知可求出∴BC=2．………………9分，……11分解得………………12分(注：本小题可直接过点作平面的垂线)10、证明：（I）在△中，平面,平面.........................4分（少一个条件扣1分）平面.........................5分（II）连接，在正△中，为中点，,.........................7分，，，.........................9分与是平面内的两相交直线，平面,.........................10分，故异面直线与所成角为..........................12分（通过平移直线至点后与相交于点，连接，在△内用余弦定理求解亦可）11、(Ⅰ)证明：∵长方形ABCD中，AB=，AD=，M为DC的中点，∴AM=BM=2，∴BM⊥AM.………………2分∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM∴BM⊥平面ADM∵AD⊂平面ADM∴AD⊥BM………………6分(Ⅱ)E为DB的中点．