地图学：地图投影和比例尺

§3地图投影一、地图投影的基本问题二、简单投影三、复杂投影四、地图投影的选择五、地图投影的变换常见地图投影一、地图投影的基本问题1地图投影的概念地图投影就是在球面与平面之间建立其经纬度与直角坐标函数关系的数学方法2地图投影的变形3地图投影的分类4地图投影的命名1地图投影的概念数学上的投影面1面2几何学－－透视原理承影面灯源物体（投）影物体的形状、灯源的位置、以及承影面的形状都将影响投影的结果。

地图投影地图投影是在几何投影的基础上发展起来的平面球面F（，）＝f（x,y）地图投影的实质就是球面上的经纬网按照一定的数学法则转移到平面图纸上。2地图投影的变形变形是必然的－－球面不可展变形的分类长度变形（主比例尺与局部比例尺）、面积变形、角度变形变形的表示变形椭圆、等变形线变形椭圆3地图投影的分类按承影面的形状分为：方位投影（平面投影）、圆锥投影、园柱投影按变形性质分为：等积投影、等角投影、任意投影按承影面与地轴的关系分为：正轴投影、横轴投影、斜轴投影按承影面与地表的关系分为：切投影、割投影投影分类示意图NSNSNS

正轴切园柱投影

横轴割园柱投影

斜轴切方位投影等积投影、等角投影、等距投影形状不变面积不变特定方向距离不变地图投影几何非几何圆柱方位圆锥伪圆锥伪圆柱伪方位多圆锥横轴斜轴正轴等积等距等角切割地图投影的命名横轴等积方位投影正轴等角割圆锥投影正轴等角切圆柱投影（墨卡托Mercator投影）二、简单投影

所谓简单投影是指继承了几何投影的基本特征，经纬网形状简单、变形规律亦不复杂的投影。1方位投影2圆锥投影3圆柱投影1方位投影

方位投影以平面为投影。特性：从投影中心向各个方向引出的方向线投影后方位不变。平面与球面相切或相割处无变形，故称标准点或标准线。等变形线是以投影中心为圆心的同心圆。常见方位投影及其特征方位（角）的概念从北方起算顺时针方向到某方向线绕过的角度称为该方向线的方位角。（0°－360°）OBA

从北方或南方顺时针或逆时针到某方向线绕过的角度称为该方向线的象限角。（0°－90°）BA

CDNEWSN常见方位投影及其特征（1）经纬网的形状（2）经纬距的变化规律（3）变形规律（4）常见投影及其用途（1）经纬网的形状正轴方位投影横轴方位投影斜轴方位投影纬线为同心圆经线为放射直线中央经线与赤道为互相垂直的直线，其余经线为对称中经的曲线，其余纬线为对称赤道的曲线（2）经纬距的变化规律以正轴为例纬距心射：急剧扩大正射：急剧缩小平射：逐渐扩大等角即平射等积：逐渐缩小等距：相等（3）变形规律切点或割线无变形等变形线以投影中心为圆心呈同心圆分布。（4）常见投影及其用途正轴等积方位投影－－南北两极图横轴等积方位投影－－东西半球图斜轴等积方位投影－－水陆半球图斜轴等距方位投影－－航空图

等距：指从投影中心向各个方向长度变形为零。2圆锥投影（1）经纬网的特征经线为放射直线；纬线为同心圆。等距：纬距相等。等积：纬距从图幅中央向南北逐渐缩小。等角：纬距从图幅中央向南北逐渐扩大。（2）变形规律切线或割线为标准线，无变形。等变形线以投影中心为圆心呈同心圆分布。正轴时等变形线平行与纬线。（3）常见圆锥投影及其用途等积割圆锥投影－－中国政区图。标准纬线分别为25°、45°（47°）等角割圆锥投影－－小比例尺地形图。标准纬线

1＝

N-35´

2＝

S+35´两条边纬与中央纬线长度变形绝对值相等。3、圆柱投影（1）经纬网特征（2）常见投影的特征及其用途墨卡托投影－－正轴等角切圆柱投影经纬网形状：经纬距变化规律：纬距从赤道向两极急剧扩大。特性：等角航线投影为直线用途：制作航海图空间斜轴墨卡托(SOM)投影该投影是美国针对陆地卫星对地面扫描图像的需要设计的一种近似等角性质的投影。Som投影是使圆柱与球面相切于星下线（星下点的连线）而成的。由于地球的自转，以及卫星沿轨道运动，因此该投影不仅是地面点坐标的函数，也是时间的函数。随着时间的变化，圆柱与地球两轴的关系也在发生变化。简单投影小结经纬网形状简单变形规律简单：等变形线分别为平行直线、同心圆弧、同心圆共性明显高斯－－克吕格投影即横轴等角切（椭）圆柱椭圆经纬网形状：中央经线，赤道为直线；其它经纬线均为曲线。经纬距变化规律：中央经线上纬距相等；赤道上经距从中央经线向东西扩大。变形分布规律：中央经线无长度变形，同纬线距中经愈远变形愈大，同经度距赤道愈近变形愈大。分带投影方法：3度或6度分带，使变形限制在一定范围内，6度带边缘最大

长度变形0.138%，最大面积变形0.27%；

3度带最大长度变形0.038%。6度分带：从0度经线起，自西向东，经

度每6度为一投影带，全球分60个带

带号1~60；中国72E~136E，因此6度带包括了13~23共11个带。

3度分带：从东经1度30分起向东，经

差3度为一带，全球120带。用途：我国国家基本比例尺地形图中的大中比例尺图一律采用高斯-克

格投影，1/2.5万~1/50万按经差6

度分带投影，大于等于1/1万按3

度分带。我国GIS规范和标准采用的地图投影是该投影。经纬网形状：经纬距变化规律：等距：投影为直线的经线上纬距相等等积：投影为直线的经线上纬距缩小等角：投影为直线的经线上纬距扩大四、地图投影的选择

一、制图区域的地理位置，形状和范围

1.制图区域地理位置决定了所选择投影的种类。

极地——

赤道附近——

中纬地区——正轴方位投影横轴方位投影正轴圆锥投影或斜轴方位投影中纬度地区:

沿纬线方向延伸的长形区域——

沿经线方向略窄，沿纬线方向略宽的长形区域——

沿经线方向南北延伸的长形区域——

圆形区域——

低纬赤道附近:

沿东西方向长条形区域——圆形区域——

单标准纬线正轴圆锥投影双标准纬线正轴圆锥投影

多圆锥投影

斜轴方位投影正轴圆柱投影

横轴方位投影

2.制图区域形状直接制约地图投影的选择。3.制图区域的范围大小也影响地图投影的选择。

范围小时，无论什么投影方式都无太大变形差异；对于区域广大的地图需要慎重的选择投影。

地理坐标地图（球面坐标表示为平面方式）等积圆柱投影墨卡托投影：正轴等角切圆柱投影编制世界时区图横轴墨卡托投影摩尔维特（Mollweide）投影等面积伪圆柱投影，常用于编制小比例尺世界地图桑逊投影等面积伪圆柱投影正射方位投影斜轴方位投影横轴方位投影斜轴等距方位投影

不同比例尺地图，对精度要求不同，投影选择不同。

以我国为例，大比例地形图，量算及精确定位，选择各方面变形都较小的地图投影，如分带投影的横轴等角椭圆柱投影；中小比例尺的省区图，定位精度相对降低，选择正轴等角、等积、等距圆锥投影。

二、制图比例尺三、地图的内容

表现的主题和内容。

交通图，航海图，航空图——

自然地图和社会经济地图中的分布图，类型图，区划图——

世界时区图——等角投影等积投影经线投影成直线的正轴圆柱投影四、出版方式

单幅图，系列图，地图集。单幅图和系列图投影选择比较简单；地图集应该尽量采用同一系统的投影，再根据个别内容的特殊要求，在变形性质方面予以适当的变化。

地图投影的变换

两曲面和两平面之间存在各种各样的对应关系，其中点对应即使其中的一种。

设x、y是原（地图资料）投影点的直角坐标，X、Y是变换后（新编地图）投影点的直角坐标。则实现一种地图投影点的坐标变换为另一种地图投影的主要方法有以下几种：X、Y为曲面上一点的曲线坐标，x、y为另曲面上对应点的曲线坐标。对于平面来说，此曲线坐标为笛卡儿直角坐标。1、反解变换法

通过中间过渡的方法，反解出原投影点的地理坐标，代入新投影中求得新投影之坐标。2、正解变换法

确定地图资料和新编地图上相应的直角坐标系的直接联系。这种方法不要求反解出原投影点的地理坐标，而直接引出两种投影点的直角坐标关系式。它的表达式即为：3、综合变换法

将反解变换法和正解变换法结合在一起的一种变换方法。通常是反解出原投影点的平面坐标之一，然后通过正解变换求出新投影点的坐标X、Y。4、数值变换法

如果原投影点的直角坐标的解析式是不知道的，或不易求出的两种投影点平面直角坐标之间直接联系，这时可用近拟方法分解关系式（1）为多项式。如下：5、数值－解析变换法

在不知道原投影方程式时，可采用逼近多项式的方法，求远投影的坐标，逼近多项式的形式为：

因为矢量数据以离散点坐标的形式存储的，对其进行多次投影变换运算不会改变数据的精度，所以对于矢量数据的GIS来说，第一种方法最简单也最实用。但对栅格结构数据来讲，图像每投影转换一次，都得对其重新采样，因而要损失部分信息。投影之间坐标的差异越大，信息损失越严重。因此遥感图像的纠正一般不转换为地理坐标，而是直接用第四种方法进行多项式拟合运算。地图投影变换方法选择地图投影的选择（归纳）

地图投影选择的主要依据是目标区域的地理位置、轮廓形状、地图用途。世界地图常采用正圆柱、伪圆柱和多圆锥三种类型。大洲图和大的国家图投影选择必须考虑轮廓形状和地理位置。圆形地区一般采用方位投影；制图区域东西向延伸又在中纬度地区时，一般采用正轴圆锥投影。按照用途，行政区划图、人口密度图、经济地图一般要求面积正确，因此选用等积投影；航海图、天气图、地形图，要求有正确的方向，一般采用等角投影；对各种变形要求都不大的，可选用任意投影。我国大中比例尺常用地图投影1、等角横切椭圆柱投影—高斯－克吕格投影（Transvers投影）我国规定从1：1万到1：50万比例尺系列地形图分别采用这种投影。2、等积圆锥投影（Albers投影）中国地图和分省地图多采用这种投影。3、将经纬度刻划的地理坐标也看作一种投影。Arc/Info中地图投影的实现

数字化一幅已知投影名称的地图，因为数字化过程只是对原图以数字的形式“复制”，因而自然保留了原有的坐标系，只是坐标系与原图相比发生了旋转、平移和缩放。通过编辑Tic点坐标，将这些点的坐标按照原图进行投影，再利用Transform即可将其原有的投影坐标系完全恢复。

|Arc/Info中一般采用反解变换法，首先使用Project将一种投影坐标投影为地理坐标，然后再对地理坐标进行新的投影。例1从Albers投影转换到Transvers投影例2不同投影带之间投影转换

上面将两个不同投影带（3度分带）的高斯－克吕格投影图分别投影为地理坐标，实现了无缝拼接，然后再将拼合在一起的图投影为6度分带的高斯－克吕格投影。地图比例尺

——解决大与小的矛盾§4地图比例尺

编制地图时，需要把地球或制图区域按照一定的比率缩小表示，这种缩小的比率就是地图的比例尺-代表地球或制图区域缩小的程度。

1）当制图区域较小，因地图投影变形较小，地图上各向长度变形近似相等，则比例尺指图上长度与相应地面长度之比，即一、地图比例尺的含义P75图上距离d

实地距离D比例尺=

2）当制图区域很大，采用的地