2023学年山东省泰安高三（最后冲刺）数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图，在平行四边形ABC。中，对角线AC与8D交于点O,且通=2前，则丽=（）

91

A.-AD--ABB.-AD+-AB

3333

2—1—1——2—

C.-AD——ABD.-AD+-AB

3333

2.若双曲线。：二一匕=1的焦距为4石，则C的一个焦点到一条渐近线的距离为（）

4m2

A.2B.4c.MD.2M

3.为了进一步提升驾驶人交通安全文明意识，驾考新规要求驾校学员必须到街道路口执勤站岗，协助交警劝导交通.

现有甲、乙等5名驾校学员按要求分配到三个不同的路口站岗，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案

共有（）

A.12种B.24种C.36种D.48种

4.正三棱柱ABC-A4G中，。是的中点，则异面直线AO与AC所成的角为（）

兀C冗71

AA.—71B.—C.-D.一

6432

5.若i为虚数单位，则复数z在复平面上对应的点位于（）

1+2;

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

6.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3,则可输入的实数x值的个数为（）

|开¥]

A.1B.2C.3D.4

7.已知角。的终边经过点wO）,则2sina+cosa的值是（）

2222

A.1或一1B.M或一1C.1或一1D.一1或1

22

8.已知椭圆=+[=l（a＞。＞0）的左、右焦点分别为人、入，过K的直线交椭圆于A，B两点，交y轴于点M,

ab~

若耳、M是线段45的三等分点，则椭圆的离心率为（）

A1n百「2石n石

A.—B.C.---D.——

2255

47r

9.如图，用一边长为0的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为行的鸡蛋（视

为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（）

D,包

A.显B.@C.包

2222

UUUUUU

10.在△ABC中，已知A3.AC=9，sinB=cosAsinC,S^ABC=6,P为线段AB上的一点，且

775CACB11

同叫+7的最小值为（）

7Ji4D.@

A.—+—B.12C.-

1233124

11.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为

fUMfl

12.已知集合0=区，A={y|y20},8="卜=«+1},则An«B=()

A.[0,1)B.(0,+oo)C.(l,+<»)D.[1,+co)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知数列{《,}满足“用=3q,且%+%+4=9,则1。8!(%+。7+%)=.

3

22

14.若正实数k,y,满足x+2y=5,则匚^+马士的最大值是.

x+1y

15.如图是九位评委打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均分为

778

824468

934

16.如图，四面体ABCD的一条棱长为x,其余棱长均为1,记四面体ABCD的体积为尸(幻，则函数F(x)的单调

增区间是—；最大值为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2

17.(12分)已知椭圆W:亍+:/=1的右焦点为尸,过点尸且斜率为刈女。())的直线/与椭圆亚交于48两点,线

段A3的中点为例,。为坐标原点.

(1)证明:点”在y轴的右侧;

(2)设线段A3的垂直平分线与X轴、y轴分别相交于点C,D.若△8C与△CME的面积相等，求直线/的斜率左

18.(12分)新高考，取消文理科，实行“3+3”，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中

学业水平考试等级性考试科目成绩构成.为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人(把年龄在口5,45)称为

中青年，年龄在[45,75)称为中老年)，并把调查结果制成下表:

年龄(岁)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)

频数515101055

了解4126521

(1)分别估计中青年和中老年对新高考了解的概率；

(2)请根据上表完成下面2x2列联表，是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄(中青年、中老年)有关？

了解新高考不了解新高考总计

中青年

中老年

总计

*“2n(ad-bc『

附：A=----------------------.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

(3)若从年龄在[55,65)的被调查者中随机选取3人进行调查，记选中的3人中了解新高考的人数为X,求X的分

布列以及E(X).

19.(12分)某保险公司给年龄在20-70岁的民众提供某种疾病的一年期医疗保险，现从1000()名参保人员中随机抽

取100名作为样本进行分析，按年龄段[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70]分成了五组，其频率分布直方图如

下图所示；参保年龄与每人每年应交纳的保费如下表所示.据统计，该公司每年为这一万名参保人员支出的各种费用

为一百万元.

年龄

[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]

（单位：岁）

保费

X2x3x4x5x

（单位：元）

（1）用样本的频率分布估计总体分布，为使公司不亏本，求X精确到整数时的最小值％;

（2）经调查，年龄在［60,70］之间的老人每50人中有1人患该项疾病（以此频率作为概率）.该病的治疗费为12000元，

如果参保，保险公司补贴治疗费100（X）元.某老人年龄66岁，若购买该项保险（x取（1）中的，％）.针对此疾病所支付的费

用为x元；若没有购买该项保险，针对此疾病所支付的费用为y元.试比较x和y的期望值大小，并判断该老人购买

此项保险是否划算？

20.（12分）如图，在直三棱柱45C-A向G中，ZABC=90°,AB=AAt,M,N分别是AC,BiG的中点.求证：

(1)MTV〃平面A8B1A1；

(2)ANA.AiB.

21.（12分）已知直线x+y=l过椭圆三+菅的右焦点，且交椭圆于A,8两点，线段48的中点是

（1）求椭圆的方程；

（2）过原点的直线/与线段AB相交（不含端点）且交椭圆于C,。两点，求四边形AC8D面积的最大值.

22・（1。分）已知二阶矩阵」=：：，矩阵'属于特征值々="的一个特征向量为%=，/，属于特征值％=4的一个

特征向量为叼=口•求矩阵4

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

画出图形，以丽,而为基底将向量前进行分解后可得结果.

【详解】

画出图形，如下图.

选取血，而为基底，则无后=［不5=；痣=!（4方+4方），

1__0___1

:.ED=AD-AE=Ab一一（AB+AD}=-AD一一AB.

3、>33

故选C.

【点睛】

应用平面向量基本定理应注意的问题

（1）只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，在解决具体问题时，合理选择基底会

给解题带来方便.

（2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算.

2.B

【解析】

根据焦距即可求得参数机，再根据点到直线的距离公式即可求得结果.

【详解】

22

因为双曲线C:土-二=1的焦距为4有，

故可得4+加2=修石），解得加*=16,不妨取出=4；

又焦点尸（2石,0）,其中一条渐近线为y=-2x,

|46|

由点到直线的距离公式即可求的d=J—।=4.

V5

故选：B.

【点睛】

本题考查由双曲线的焦距求方程，以及双曲线的几何性质，属综合基础题.

3.C

【解析】

先将甲、乙两人看作一个整体，当作一个元素，再将这四个元素分成3个部分，每一个部分至少一个，再将这3部分

分配到3个不同的路口，根据分步计数原理可得选项.

【详解】

把甲、乙两名交警看作一个整体，5个人变成了4个元素，再把这4个元素分成3部分，每部分至少有1个人，共有

种方法，再把这3部分分到3个不同的路口，有A；种方法，由分步计数原理，共有C1A；=36种方案。

故选：C.

【点睛】

本题主要考查排列与组合，常常运用捆绑法，插空法，先分组后分配等一些基本思想和方法解决问题，属于中档题.

4.C

【解析】

取4G中点E，连接4E,CE,根据正棱柱的结构性质，得出AE〃A。，则NCAE即为异面直线与4。所

CE

成角，求出tan/CA£=F，即可得出结果.

【详解】

解：如图，取用G中点E,连接4E,CE,

由于正三棱柱ABC-AB©,则J.底面A,

而AEu底面AB|G，所以

由正三棱柱的性质可知，△A4G为等边三角形，

所以AE_L4G，且AEnAG=E,

所以AE，平面84GC，

而ECU平面BB£C,则4E，EC,

则4E〃AO,NAEC=90°,

:.NC4E即为异面直线A£）与4C所成角，

设AB=2，则AA|=2\[2,A^E—#>,CE-3,

CE3r-

则tanNCAE=――=—f=-百,

AEJ3

71

ANCAE=

3

故选：C.

【点睛】

本题考查通过几何法求异面直线的夹角，考查计算能力.

5.D

【解析】

31

根据复数的运算，化简得到2=《一二"再结合复数的表示，即可求解，得到答案.

【详解】

1+z_(1+0(1—2z)_3—z_31.

由题意，根据复数的运算，可得Z1+2?~(l+2z)(l-2z)-^--55Z

所对应的点为位于第四象限.

故选D.

【点睛】

本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何意义，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解

答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

6.C

【解析】

试题分析：根据题意，当xV2时，令V—1=3,得x=±2；当x>2时，令1唯》=3,得

x=9,故输入的实数x值的个数为1.

考点：程序框图.

7.B

【解析】

根据三角函数的定义求得sina,cosa后可得结论.

【详解】

由题意得点P与原点间的距离r=J(—4间2+(3间2=5|m|.

①当加〉0时，r=5m>

.3m3-4m4

/.sintz=——=—,cosa=-----=——

5m55m5

2sin〃+cost?=2x------=—.

555

②当加<0时，r--5m>

.3m3-4m4

:.sma=-----=——，COSQ=-------=—

-5m5-5m5

2

2sin。+cosa=2x

5

22

综上可得2sina+cosa的值是1或-

故选B.

【点睛】

利用三角函数的定义求一个角的三角函数值时需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标”,纵坐标山

该点到原点的距离r,然后再根据三角函数的定义求解即可.

8.D

【解析】

根据题意，求得A例,8的坐标，根据点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程，即可求得结果.

【详解】

由已知可知，/点为中点，K为3河中点，

故可得叼+%=2XM=°,故可得4=c；

R、,2,2,2

代入椭圆方程可得彳+之=1,解得y=±幺，不妨取乃=幺，

ab-aa

（b2]

故可得A点的坐标为G—,

、a>

（b2}（b2}

则M0,—,易知3点坐标-2c,一丁，

Ila）Ila）

将B点坐标代入椭圆方程得/=5C2,所以离心率为*5,

5

故选：D.

【点睛】

本题考查椭圆离心率的求解，难点在于根据题意求得AB,用点的坐标，属中档题.

9.D

【解析】

先求出球心到四个支点所在球的小圆的距离，再加上侧面三角形的高，即可求解.

【详解】

设四个支点所在球的小圆的圆心为。'，球心为。，

由题意，球的体积为——，即一万R2=/可得球。的半径为1,

333

又由边长为血的正方形硬纸，可得圆。的半径为:，

利用球的性质可得O'。？=M-（l）2=与,

又由。'到底面的距离即为侧面三角形的高，其中高为

2

所以球心到底面的距离为且+」=

222

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及球的性质的综合应用，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力,

属于基础题.

10.A

【解析】

在AABC中，设AB=c,BC=a,AC=b,结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求cosC=0,可得

TT

C=-,再由已知条件求得。=4,h=3,c=5,考虑建立以AC所在的直线为X轴，以3C所在的直线为y轴建

2

立直角坐标系，根据已知条件结合向量的坐标运算求得4x+3y=12,然后利用基本不等式可求得L+L的最小值.

龙〉

【详解】

在△ABC中，设AB=c9BC=a,AC=h,

,/sinB=cosAsinC,即sin(A+C)=cosAsinC,即sinAcosC+cosAsinC=cosAsinC,sinAcosC=0,

7t

\*0<A<7r,sinA>0,.\cosC=0,•/0<C<.zr,：.C=—

2

besinA4a

•/A8-AC=9»即mcosA=9,又=5bc、sinA=6,tanA=9

becosA3h

。i-------

1-=—=422

'-"S.AHC=­ab-6,则必=12，所以，\b3，解得｛»:.c=^a+b=5-

2必=12也=3

以AC所在的直线为X轴，以BC所在的直线为y轴建立如下图所示的平面直角坐标系,

则C(0,0)、4(3,0)、3(0,4),

P为线段AB上的一点，则存在实数2使得而=X与=2（-3,4）=（-32,4/1）（0</1<1）,

.-.CP=04+08=(3-3/1,4/1),

一CA

设"网'【卮I，则同=同=1，.・.[=(1,0),[=(0,1)，

x=3—3AxV

・"=、.同+>悯=痣+吊+江：.\一,消去;I得4x+3y=12,—+上=1,

y=4234

所以,」+邛+平+小二+2+工22/Z7+2U+工

%y(xy人34)3y4x12y3y4x12312

当且仅当x=^v时，等号成立,

21

11Ji7

因此，一+一的最小值为火+，.

xy312

故选：A.

【点睛】

本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，

CA

解题的关键是理解同是一个单位向量，从而可用％、表示丽，建立x、y与参数的关系，解决本题的第二个关

键点在于由x=3-34,丁=42发现4%+3丁=12为定值，从而考虑利用基本不等式求解最小值，考查计算能力，属

于难题.

11.A

【解析】

由给定的三视图可知，该几何体表示一个底面为一个直角三角形，

且两直角边分别为1和2,所以底面面积为S='xlx2=l

2

117

高为“=2的三棱锥，所以三棱锥的体积为V=±S/?=±xlx2=W,故选A.

333

12.A

【解析】

求得集合B中函数的值域，由此求得进而求得AcaB.

【详解】

由y=6+l»l,得3=[1,一)，所以aB=所以AI43=[0,1).

故选：A

【点睛】

本小题主要考查函数值域的求法，考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.-5

【解析】

数列｛%｝满足=3。“知，数列以3为公比的等比数列，再由已知结合等比数列的性质求得bgj%+%+4)的值即

可.

【详解】

«„+i=3”“，

二数列｛q｝是以3为公比的等比数列，

又/+%+。6=9，

坦+%+为=9x33=3、，

logi(%+%+的)=Toga35=-5

3

故答案为：—5.

【点睛】

本题考查了等比数列定义，考查了对数的运算性质，考查了等比数列的通项公式，是中档题.

8

14.-

3

【解析】

分析：将题中的式子进行整理，将工+/当做一个整体，之后应用已知两个正数的整式形式和为定值，求分式形式和的

最值的问题的求解方法，即可求得结果.

详解：

炉・32y-1

----------4--------------

x+1y

白+〃2-2夕+〃-21211211

=---------------------------2y--=x1-2+2y-(----------+J=x+-7--------+-)(x+1+2仞=4--(29

x+7yx+/y6x+1y”6

4yx+71r8

+2+--------7+---------)<4--(4+244)=-

x+1y6j

当且仅当乃=x+l=得号成立，故答案是t

点睛：该题属于应用基本不等式求最值的问题，解决该题的关键是需要对式子进行化简，转化，利用整体思维，最后

注意此类问题的求解方法……相乘，即可得结果.

15.1

【解析】

写出茎叶图对应的所有的数，去掉最高分，最低分，再求平均分.

【详解】

解：所有的数为：77,78,82,84,84,86,88,93,94,共9个数,

去掉最高分，最低分，剩下78,82,84,84,86,88,93,共7个数,

78+82+84+84+86+88+93

平均分为=85

7

故答案为1.

【点睛】

本题考查茎叶图及平均数的计算，属于基础题.

16.(0,逅］(或写成

2

【解析】

试题分析：设=取AB中点则0/，4民0知，48,因此钻_1_面0)",所以

尸3=».5皿］.41吟-V47^7，一0,圆因为—K03在呜)单调递增,

最大值为，所以尸(x)单调增区间是(0,当)，最大值为:

考点：函数最值，函数单调区间

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)证明见解析(2)土注

4

【解析】

(1)设出直线/的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求出点M的横坐标即可证出；

(2)根据线段A3的垂直平分线求出点的坐标，即可求出△ODC的面积，再表示出ACM尸的面积，由AOOC

与△。质的面积相等列式，即可解出直线/的斜率上.

【详解】

(1)由题意，得F(省,0),直线/：y=k(x-也)(ZHO)

设A（X1,yJ,B（x2,y2）,

y=k（X-#＞）,

联立r2消去》,得（4公+1比2-86r》+（12公-4）=0,

—+/=h

I4

显然/>0,x.+x=8中",

1-24k2+1

则点M的横坐标XM=乜产=子等

因为“需

所以点M在y轴的右侧.

（2）由⑴得点加的纵坐标％=以"一6）=成驾

即用（¥异岛・

所以线段A3的垂直平分线方程为：丁+坐-=-L（x-勺磐）.

-4^+1k4Z:2+1

令x=0,得。（o,¥^）；令y=o,得c（竺仁,0）.

4k2+Y4k2+1

1,3y/3k,।3四-27&〈IA|

所以AOOC的面积48

c2'4k2+\'4公+1-2（4公+1）2

CMV的面积4切=；.I6一I•I一^^1=3（下+1）.阳

△

2（4k2+1）2

因为△ODC与△CMF的面积相等,

27pMi3*+1）.伏|唆，，,V2

所以2（4公+1尸一2（花+1）2'解得仁士彳。

所以当△OOC与△的面积相等时，直线/的斜率G=±Y2.

4

【点睛】

本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应用、根与系数的关系应用，以及三角形的面积的计算，意在考查学生的数学

运算能力，属于中档题.

2

18.（1）P=~；（2）见解析，有95%的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联；（3）分布列见解析,

E(X)=］

【解析】

(1)分别求出中青年、中老年对高考了解的频数，即可求出概率;

(2)根据数据列出列联表，求出K?的观测值，对照表格，即可得出结论;

(3)年龄在［55,65)的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人，X可能取值为0,1,2,分别求出概率，列出随

机变量分布列，根据期望公式即可求解.

【详解】

2211

(1)由题中数据可知，中青年对新高考了解的概率P===1,

Q7

中老年对新高考了解的概率p=a=』.

205

(2)2x2列联表如图所示

了解新高考不了解新高考总计

中青年22830

老年81220

总计302050

50x(22x12-8x8)2

«5.56>3.841

30x20x20x30

所以有95%的把握判断了解新高考与年龄(中青年、中老年)有关联.

(3)年龄在［55,65)的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人,

则抽取的3人中了解新高考的人数X可能取值为0,1,2,

3

则尸戢=。)=罟4P(x=D=警*

5

C2C'3

P(X=2)=»=士

C；10

所以X的分布列为

X012

133

p

10510

E(X)=Ox—+lx-+2x—=-.

105105

【点睛】

本题考查概率、独立性检验及随机变量分布列和期望，考查计算求解能力，属于基础题.

19.(1)30；(2)E(y)〉E(X),比较划算.

【解析】

(1)由频率和为1求出a=0.032,根据“的值求出保费的平均值3.35x,然后解一元一次不等式3.35x2100即可

求出结果，最后取近似值即可；

(2)分别计算参保与不参保时的期望E(X),£(7),比较大小即可.

【详解】

解：(1)由(0.007+0.016+a+0.025+0.020)xl0=l,

解得。=0.032.

保险公司每年收取的保费为：

10000(0.07%+0.16x2%+0.32x3.x+0.25x4%+0.20x5x)=1(XXX)x3.35x

，要使公司不亏本，贝J10000x3.35x21000000,即3.35x2100

解得xN期a29.85,

3.35

:.—30,

(2)①若该老人购买了此项保险，则X的取值为150,2150.

491

vP(X=150)=,P(X=2150)

50

AE(X)=150x4^9+2150x—1=147+43=190(in).

②若该老人没有购买此项保险，则y的取值为o.12000.

49i

•.•p(y=o)=—,p(y=12000)=—

491

A£(y)=0x—+12000x—=240(%).

5050

E(y)>E(X)

...年龄为66的该老人购买此项保险比较划算.

【点睛】

本题考查学生利用相关统计图表知识处理实际问题的能力，掌握频率分布直方图的基本性质，知道数学期望是平均数

的另一种数学语言，为容易题.

20.(1)详见解析；(2)详见解析.

【解析】

(1)利用平行四边形的方法，证明MN//平面A8A4.

(2)通过证明48,平面,由此证得ABLAN.

【详解】

(D设E是A8中点，连接由于"是AC中点，所以ME〃BC且MN=；BC,而4N//BC且

BtN=~BC,所以ME与8户平行且相等，所以四边形是平行四边形，所以MNI/B、E,由于MN/平

面ABgA，B|Eu平面ABgA，所以MV//平面45片4.

(2)连接AA,由于直三棱柱中BC_L,而BC，A3,cA3=8,所以BC_1平面A5B.A，所以BC_L,

由于8c〃片G,所以4G•由于四边形是矩形且AB=A4一所以四边形A8g4是正方形，所以

43_144,由于44八瓦。1=4,所以48，平面484，所以4台LAN.

【点睛】

本小题主要考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

21.(1)—+y=l(2)—

23

【解析】

(1)由直线x+y=l可得椭圆右焦点的坐标为(1,0),由中点“可得与+9=:4%+%=(2,且由斜率公式可得

日7'由点外在椭圆上，贝毋+A4+A],二者作差,进而代入整理可得〃=2以即可求解;

（2）设直线l:y=kx点A,B到直线/的距离为4,d2，则四边形的面积为S=卜4+寸。卜4=g|CD|（4+4）,将

y=近代入椭圆方程，再利用弦长公式求得|cq,利用点到直线距离求得4,4，根据直线/与线段AB（不含端点）相交,

可得（00-1）生+；<0,即%>-』,进而整理换元，由二次函数性质求解最值即可.

4

【详解】

（1）直线x+y=1与X轴交于点（1,0）,所以椭圆右焦点的坐标为（1,0）,故C=1,

因为线段A8的中点是MO,

设4（玉,%）,8（%2,%）,则%+9=《,y+必=<,且=-1

33X?Xi

又事工=1,写+母=1,作差