2023年高考数学一轮复习（学生版）：第十单元立体几何

§10.1空间几何体的直观图、三视图及其应

用

（对应答案分册第31页）

....................因基础知识,…，夯实基础巩固提升

知识清单

1.简单多面体的结构特征

名称特征

棱柱侧棱都，上、下底面是售的多边形

棱锥底面是任意多边形,侧面是有一个的三角形

棱台由的平面截棱锥得到,其上、下底面是相似多边形

2旋转体的结构特征

名称特征

圆柱由矩形绕旋转一周得到

圆锥由直角三角形绕旋转一周得到

E公由直角梯形绕旋转一周或等腰梯形绕旋转半周

圆台

得到,也可由底面的平面截圆锥得到

球由半圆面绕旋转一周或圆面绕直径旋转半周得到

3.简单几何体的三视图

简单几何体的三视图是用平行投影得到，这种投影下，与投影面平行的平面图

形留下的影子，与平面图形的形状和大小是全等和相等的，三视图包括

图、侧（左）视图、俯视图.

4.简单几何体的直观图

简单几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤如下：

在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴,两轴相交于点画直观图时，把它们画成对应

画几何

的x轴、y轴,两轴相交于点O；且使，已知图形中平行于x轴、y

体的

轴的线段，在直观图中平行于x轴、y轴.已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中长

底面

度，平行于y轴的线段，长度变为

画几何在已知图形中过。点作z轴垂直于X。平面，在直观图中对应的z轴，也垂直于

体的高X'。》平面，已知图形中平行于z轴的线段,在直观图中仍平行于z轴且长度

L按照斜二测画法得到的平面

图形的直观图，其面积与原图形的面

积的关系：

S直观图=—S原图形,S原图形=2或5直观

图・

2.记住旋转体的一些常见结论

（1）球的三视图都是半径相等的圆.

（2）水平放置的圆锥的正（主）视图和

侧（左）视图均为全等的等腰三角形.

（3）水平放置的圆台的正（主）视

图和侧（左）视图均为全等的等腰梯

形.

（4）水平放置的圆柱的正（主）视图和

侧（左）视图均为全等的矩形.

3.正方体的截面情况:三角形,四边形

（有菱形、矩形、梯形等）,五边形，六

边形.

|!工盘册/£击

（1）三视图的长度特征："长对

正,宽相等，高平齐"，即正（主）视图和

侧（左）视图一样高，正（主）视图和俯视

图一样长，侧（左）视图和俯视图一样

宽.若相邻两物体的表面相交，表面的

交线是它们的分界线，在三视图中，要

注意实、虚线的画法.

（2）台体可以看成是由锥体截得的，但

一定要强调截面与底面平行.

（3）注意空间几何体的不同放置对三

视图的影响.

（4）几何体的展开、折叠问题,要抓住

前后两个图形间的联系，找出其中的

量的关系.

夯实基础

【概念辨析】

关于空间几何体的结构特征，判断下面结论是否正确.（对的打"V",错的打

"x"）

Q）棱柱的侧棱长都相等.（）

（2）棱锥的侧棱长都相等.（）

（3）三棱台的上、下底面是相似三角形.（）

（4）有的棱台的侧棱长都相等.（）

【对接教材

下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）.

①正方体②圆锥③三棱台④正四棱锥

、①②B@③Q.①④D.②④

下列说法中正确的是（）.

A.三角形的直观图是三角形

B.平行四边形的直观图不是平行四边形

C.正方形的直观图是正方形

D.菱形的直观图是菱形

【易错自纠】

如图。所示，将一边长为1的正方形力8。沿对角线8。折起，形成三棱锥C-

力8。其正（主）视图与俯视图如图②所示,则其侧（左）视图的面积为（）.

正（主）视图俯视图

图②

B.抬D号

以图。为正视图,在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和

俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次

为.（写出符合要求的一组答案即可）

图④图⑤

考点考向力精研考向锤炼技能

不鎏空间几何体的结构特征【题组过关】

给出下列四个命题：

②有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；

②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；

③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；

@若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱.

其中所有假命题的序号是（）.

②③④B.①②③

C.①②④D.①②③④

给出下列结论:②以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥;②以

直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台;③圆柱、圆锥、圆台的底面

都是圆用一个平面截圆锥彳导到一个圆锥和一个圆台;⑤用任意一个平面截一

个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是球.

其中正确结论的序号是

如图所示的是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形必G"为截面，长方形

力8。为底面，则四边形"G”的形状为（）.

A.梯形

B.平行四边形

C.可能是梯形也可能是平行四边形

D.不确定

解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧

Q）紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建

几何模型，在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元

素，然后再依据题意判定.

（2）通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是假的，只要举出一个

反例即可.

母豆⑥空间几何体的三视图【考向变换】

考向1由几何体的直观图识别三视图

@)0

正视图

在一个正方体中,过顶点力的三条棱的中点分别为

该正方体截去三棱锥力-£五G后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示,

则相应的侧视图是（

由几何体的直观图求三视图，注意正（主）视图、侧（左）视图和俯视图的

观察方向，注意看到的部分用实线，不能看到的部分用虚线表示.

【追踪训练1】

如图，在正方体ABCD-AiBiCiDi中产是上底面481GS内一动点则三棱

锥夕乂比■的正（主）视图与侧（左）视图的面积的比值为.

考向2已知三视图，判断几何体

硼0黑四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数

为（）.

h——2——>1

侧（左）视图

A.lB.2C.3D.4

由几何体的三视图还原几何体的形状，要熟悉柱、锥、台、球体的三

视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为直观图.其步骤如下：

（1）定底面:根据俯视图确定；

⑵定棱及侧面根据正（主）视图、侧（左）视图确定几何体的侧棱与侧面特征，

调整实线、虚线对应棱的位置；

（3）定形状:确定几何体的形状.

【追踪训练2]如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗

实线画出的是某个零件的三视图，则这个零件的体积等于（）.

A.6TTB.8TCC.12TID.14TT

考向3已知几何体的某些视图,判断其他视图

O0

如图所示的是某几何体的正（主）视图和侧（左）视图，则该

几何体的俯视图不可能是（）.

Sill

ABCD

由几何体的部分视图画出剩余的视图，先根据已知的一部分视图，还

原、推测其直观图的可能形式，然后再找其剩下部分视图的可能形式.当然作为选

择题，也可将选项逐项代入,再看看给出的部分视图是否符合.

【追踪训练3】在一个几何体的三视图中，正（主）视图

和俯视图如图所示，则相应的侧（左）视图可以为（）.

正（主）视图

母点血空间几何体的直观图【典例迁移】

创良］已知正三角形/8U的边长为a,那么A/SU的平面直观图的面

积为（）.

A.铝B.含C和D.舒

【变式设问】本例改为“已知"SU的平面直观图”181G是边长为a的

正三角形"，则原△/8U的面积为.

（1）在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段的位置，注意"三变"

与“三不变"；平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系是s直观图4s

原图形•

（2）在原图形中与x轴或y轴平行的线段，在直观图中与x轴或y轴平行，原

图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线,原图中的曲线段可以

通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后,用平滑的曲线连接而画出.

【追踪训练4】

如图所示，一个水平放置的平面图形，其斜二测直观图

是其中。8=/8=4,则该直观图所表示的平面图形的面积为（）.

A.16V2B.8V2C.16D.8

.............宿方法技巧...............................，方法探究分类突破

CS1WC几何体表面上点到点的最短距离

求几何体表面上点到点的最短距离，先将空间图形问题转化为平面图形问题，

再求平面图形上两点之间的最短距离，通过把立体图形转化为平面图形，利用轴对

称、平移或旋转几何图形的变换，运用"两点之间线段最短"来解决.

在窗创

DxG

4/（主）视

一只蚂蚁从正方体ABCD-AxBiCiDi的顶点/出发，经正方体的表面，按最

短路线爬行到顶点G的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路

线的正（主）视图的是（）.

A.①②B.①③G.③④D.②④

求几何体表面上点到点的最短

距离的步骤如下：

⑴将几何体剪开后展开，画出其侧面

展开图；

（2）将所求曲线问题转化为平面上的

线段问题；

（3）结合已知条件求结果.

【突破训练】已知某几何体的三视图如图所示，点48在正（主）视图中的位

置如图所示（48分别为正（主）视图中等腰梯形的两个顶点）,则在此几何体的侧面

上,从/到8的最短距离为（）.

俯视图

A，2B.3V3

C芋D.3V7

请完成课后作业

链接《精练案》分册P61

§10.2空间几何体的表面积与体积

（对应答案分册第31页）

学基础知识＞夯实基础巩固提升

《知识清单

1.圆柱、圆推、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆台

S圆台侧二

n（r*r）/

2.空间几何体的表面积与体积公式

名

称表面积体积

几何体

柱体S表面积=

|/=

（棱柱和圆柱）Sai+2S底

锥体S表面积=

（棱锥和圆锥）S«|+S底

S表面积=5

台体

M*S上+S

（棱台和圆台）

T

球s=

3拓展知识

1.正方体的内切球

球与正方体的六个面都相切，称球为

正方体的内切球,此时球的半径

n二|,过在一个平面上的四个切点作

截面,如图②所示.

2.球与正方体的各条棱相切

球与正方体的各条棱相切于各棱的

中

点,过球心作正方体的对角面有

优考,如图②^示.

3.长方体的外接球

长方体的八个顶点都在球面上，称球

为长方体的外接球，根据球的定义可

知，长方体的体对角线是球的直径，若

长方体过同一顶点的三条棱的长为

a,6,G则过球心作长方体的对角面有

球的半径riVa2+b2+c2,$D图③

耐.

①②③

4.正方体的外接球

正方体的棱长a与外接球的半径R

的关系为2R=Wa.

5.正四面体的外接球

正四面体的棱长a与外接球的半径

/?的关系为2R4a.

特别提醒

（1）求组合体的表面积时，要注意

各几何体重叠部分的处理.

⑵底面是梯形的四棱柱侧放时溶易

和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义,

以防出错.

一夯实基础

【概念辨析】

判断下面结论是否正确.（正确的打,错误的打"X"）

（1）多面体的表面积等于各个面的面积之和.（）

（2）锥体的体积等于底面积与高之积.（）

（3）球的体积之比等于半径比的平方.（）

（4）简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差.（）

（5）长方体既有外接球又有内切球.（）

【对接教材】

已知圆锥的表面积等于12TTcm2,其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径

为（）.

A.lcmB.2cm

C.3cmD.|cm

1个球体的体积和它的表面积的值相等，则该球的半径为.

【易错自纠】

4.

AB

正六棱柱的底面边长为2,最长的一条对角线长为2而，则它的表面积为（）.

A.4(3V3M)B.l2d2)

C.12(2V3^1)D.3(V3^8)

设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S,S,体积分别为％,若它们的侧面积相

等且51:S=9:4,则H:V1=,

讲考点考向•卜精研考向锤炼技能

空间几何体的表面积【考向变换】

考向1规则几何体的表面积

^90某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的

表面积为（）.

T

I

2

I

X

T

I

2

I

X

俯视图

A.12MV2B.18+&T1

C.28D.20+8V2

工匚空间几何体表面积的求法

（1）以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图，确定几何体

中各元素之间的位置关系及数量关系.

（2）多面体的表面积是各个面的面积之和,组合体的表面积注意衔接部分的处

理.

（3）旋转体的表面积的求法:圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时

需要将曲面展开为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.

【追踪训练1］若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积

之比是（）.

A.V2/IB.2.1

C.l；V2D.1:2

考向2组合体的表面积

倒0某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（）.

m

正（主）视图侧（左）视图

------17

,3

___13

俯视图

A.90cm2B.129cm2

C.132cm2D.138cm2

多面体的表面积的求法:求解有关多面体表面积的问题，关键是找到其

特征几何

图形，如棱柱中的矩形，棱台中的直角梯形，棱锥中的直角三角形，它们是联系高与

斜高、边长等几何元素的桥梁,从而架起侧面积公式中的未知量与条件中已知几

何元素的联系.

【追踪训练2】

如图所示的几何体是一棱长为4cm的正方体，若在其中一个面的中心位置上，挖

一个直径为2cm、深为1cm的圆柱形的洞，则挖洞后几何体的表面积是

cm2.（n取3.14）

点蚕空间几何体的体积【考向变换】

考向1直接利用公式求体积

@3短（一题多解）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）.

正（主）视图侧（左）视图

『1T

俯视图

A。ClD.1

点拨（1）以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象

原几何体的形状，并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然

后在直观图中求解.

（2）对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式进行求解.

【追踪训练3]已知正四棱锥的底面边长是2,侧棱长

是百，则该正四棱锥的体积为^.

考向2割补法求体积

施JCJ已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为，表面

积为.

正（主）视图侧（左）视图

俯视图

求组合体的体积的方法

⑴分析结构尚正

（2）设计计算方法.根据组成形式,设计计算方法，特别要注意"拼接面"面积

的处理利用"切割""补形"的方法求体积.

（3）计算求值根据设计的计算方法求值.

把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积计算，或者把不规则的几何

体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积.

【追踪训练4】某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（）.

正（主）视图侧（左）视图

T

2

I

X

俯视图

A13C15

D.16

B.14

考向3等体积法求体积

C,

倒疡如图所示，已知三棱柱/8U-481G的所有棱长均为L且底面

/8C则三棱锥81乂8G的体积为（）.

A遗B—C—uD—

M-i264=124

点拨一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的.如果一个几何体的底面

面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解.等体积法也称等积转化或

等积变形，它是

通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特

别是三棱锥的体积.

【追踪训练5】（1）两个半径为1的实心铁球，熔化成一个大球，这个大球的

半径是

X

（2）圆柱形容器内盛有高度为8cm的水,若放入三个相同的球（球的半径与

圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图），则球的半径是（）.

A.V3cmB.2cm

C.3cmD.4cm

Cl点后球的表面积与体积【典例迁移】

硼•一个球的表面积是16TT,那么这个球的体积为（）.

A等B.尊C.16TTD.24TT

33

【变式设问】将"表面积是16TT"改为"体积是16TT",则这个球的表面积

为.

求球的表面积与体积的方法：

（1）确定半径与球心；

（2）熟记球的表面积公式5球=4TT#与球的体积公式1/球=软也

【追踪训练6]已知圆锥的高为3,底面半径为百，若

该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上,则这个球的体积等于

............................以方法技巧.........，方法探究分类突破

05比突破O球的截面问题

一个球被一个平面所截，其截面是一个圆，当这个平面经过球心时，截面圆的

面积最大.

圈初平面。截球。的球面所得圆的半径为1,球心O到平面a的距离为

企则此球的体积为（）.

A.V6nB.4V3TC

C.4V6TTD.6V3n

E方法总结

球的截面问题的解题技巧

⑴有关球的截面问题，常画出过球心

的截面圆，将问题转化为平面中圆的

问题.

(2)解题时要注意借助球半径尺截面

圆半径/；球心到截面的距离〃构成

的直角三角形，即以二印+匕

【突破训练】已知过球面上三点48,U的截面到球心的距离等于球半径的

一半，且/U=8U=6,/8=4,求球的表面积与球的体积.

请完成群后作业

链接《精练案》分册P63

§10.3空间中点、线、面的位置关系

(对应答案分册第31页)

学基础知识一•，夯实基础巩固提升

知识清单

1.平面的基本，性质

(1)公理1：如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线在这个平面

内.

(2)公理2:的三点，有且只有一个平面.

(3)公理3:如果两个不重合的平面有公共点，那么它们有且只有一条过

该点的公共直线.

(4)公理2的三个推论

推论1:经过一条直线和有且只有一个平面.

推论2:经过有且只有一个平面.

推论3:经过有且只有一个平面.

2.空间中两直线的位置关系

(1)空间中两条直线的位置关系

(.(平行

共面直线

相交

、异面直线:不同在任何一个平面内

(2)异面直线所成的角

②定义:设是两条异面直线，经过空间任一点。作直线a'lla,6'li6,把a'

与6所成的锐角(或直角)叫作异面直线a与6所成的角(或夹角).

谈围：(0图.

(3)公理4:平行于的两条直线互相平行.

(4)等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角

互补.

3.空间直线与平面、平面与平面的位置关系

(1)直线与平面的位置关系有、、三种情况.

(2)平面与平面的位置关系有、孑交两种情况.

[E特别提醒

i.异面直线判定的一个定理

过平面外一点和平面内一点的直线，

与平面内不过该点的直线是异面直

线.

2.唯一性定理

(1)过直线外一点有且只有一条直线

与已知直线平行.

(2)过直线外一点有且只有一个平面

与已知直线垂直.

(3)过平面外一点有且只有一个平面

与已知平面平行.

(4)过平面外一点有且只有一条直线

与已知平面垂直.

«夯实基础一

【概念辨析】

判断下面结论是否正确.(对的打"V",错的打"X")

Q)平面aS有一个公共点4就说相交于过/点的任意一条直线.

(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.

(3)若两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.

(4)没有公共点的两条直线是异面直线.

【对接教材】

下列命题是真命题的是().

A.空间中的三点确定一个平面

B.一条直线和一个点能确定一个平面

C.圆心和圆上两点可以确定一个平面

D.梯形可以确定一个平面

若直线a不平行于平面a,且直线a不包含于平面a,则下列结论成立的是

().

A.平面a内的所有直线与直线a是异面直线

B.平面a内不存在与直线a平行的直线

C.平面。内存在唯一一条直线与直线a平行

D.平面a内的所有直线与直线a都相交

【易错自纠】

给出下列命题：

②若的三条边所在直线分别交平面a于RQ/?三点，贝ijRQZ?三点共线；

②若直线是异面直线，直线61是异面直线,则直线是异面直线；

③若三条直线a,6(两两平行且分别交直线/于48,0三点,则这四条直线共面;

@对于三条直线a,b,c,若a_Lc,bJLG贝ijallb.

其中所有真命题的序号是().

、①②B.②③C.③④D.②④

如图,G”M/V分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点则表示直线GH,MN是

考点考向•)精研考向锤炼技能

点基平面基本性质的运用【典例迁移】

施J0如图所示，在正方体/8UO-481G。中,£尸分别是28和441的中

点.求证:

(l)£C〃i,尸四点共面；

三线共点.

【变式设问】若本例中平面8814。与4U交于点M求证：8,M2共线.

—(1)证明线共面或点共面的常用方法：

②直接法,证明直线平行或相交，从而证明线共面.

②弓I入平面法，先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内.

③辅助平面法，先由有关的点、线确定平面Q再由其余元素确定平面£最后

证明平面重合.

(2)证明点共线问题的常用方法：

鹿本性质法，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本性

质3证明这些点都在这两个平面的交线上.

朗I入直线法,选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上.

【追踪训练1】已知空间四面体力83如图所示),£尸分别是力8,4?的中

点,G〃分别是上的点，且求证：

(1)££G〃四点共面；

(2)直线FH,EG,AC共息.

家豪判断空间两条直线的位置关系【题组过关】

如图,££G〃分别是菱形的边Z8,8CU。,。力上的点，且

BE=2AE,DH=2HA,CF=2FB,CG=2GD,现将&ABD沿8。折起彳导到空间四边形

/8C。,在折起过程中，下列说法正确的是（).

A.直线用"G有可能平行

B.直线3;"G一定异面

C.直线///G一定相交，且交点一定在直线/U上

D.直线日;HG一定相交,但交点不一定在直线ACh

2.

O.

AFB

如图所示，在正方体/8UO-481GS中工是平面47S4的中心,M/V,尸分别

是8iGCG,/8的中点则下列说法正确的是().

A.MN=EF,且MN与您平行

B.MN当EF,且MN与£尸平行

C.MN=^EF,且MN与£尸异面

D.MN^EFRMN与乐异面

二空间中两直线位置关系的判定,主要是异面、平行的判定，对于异面直

线，可采用直接法或反证法;对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、平

行公理及线面平行与面面平行的性质定理.

求两条异面直线所成的角【典例迁移】

倒口(2021年全国乙卷)在正方体ABCD-AiBiCiDi中,为员4的中点,

则直线PB与所成的角为().

A料qD?

点源求异面直线所成的角的一般步骤：

(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位

线;若异面直线依附于某几何体，且直线对异面直线平移有困难时，可利用该几何

体的特殊点，使异面直线转化为相交直线.

(2)证明——证明所作出的角等于要求的角.

(3)计算——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角.

(4)结论——设由(3)所求得的角的大小为8.若0°90。,则8为所求;若

90°<8<180°,则180。-8为所求.

【追踪训练2]长方体ABCD-AiBiCiDi

中,/8=遥,/。=1,/4=&厕异面直线力4与46所成角的余弦值为（）.

A埠D喀

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................................£口方法技巧……＞方法探究分类突破

05g突破O构造模型判断空间中的位置关系

构造法实质上是结合题意构造符合题意的直观模型，然后将问题利用模型直

观地作出判断，这样减少了抽象性，避免因考虑不全面而导致解题错误.对于线

面、面面位置关系（平行、垂直）的判定，可构造长方体或将正方体化抽象为直观

去判断.

阳健已知是两条不同的直线,为两个不同的平面，有下列四个命题：

②若mA.a,nA,0、ml."厕a±£

②若/77II则

③若则a\\/3\

@若/77_La〃li£°llA则mln.

其中正确的命题是.（填写所有正确命题的序号）

用"模型法”判断空间位置关

系，长方体是一个特殊的图形，当点、

线、面关系比较复

杂时，可以寻找长方体作为载体，将它

们置于其中，立体几何的直线与平面

的位置关系都可以在这个模型中得

到反映.因而人们给它以“百宝箱"

之称.

【突破训练】下列命题正确的个数为（）.

②若直线/上有无数个点不在平面a内厕/IIa

②若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行;

③若直线/与平面a平行，则/与平面a内的任意一条直线都没有公共点.

A.OB.lC.2D.3

--------请完成课后作亚-------

链接《精练案》分册P65

§10.4直线、平面平行的判定与性质

（对应答案分册第31~33页）

学基础知识，夯实基础巩固提升

＜知识清单

1.直线与平面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

若平面外

判

直线与此平面a

定第a,baa,

内的一条直线

定a\\b=>a\\a

平行，则该直线

理

平行于此平面

（续表）

文字语言图形语言符号语言

若一条直线和

一个平面平行,

则过这条直线/Ila,匕舀

的任一个平面aT\/3=b

与此平面的=/ll6

与该直线平

行

2.平面与平面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

若一个平面

判内的两条

bwp,

定与另

aC\b=P,

定一个平面平

aua,

理行，则这两个

bca=^>a\\/3

平面平行

性若两个平面

质平行,则其中an/7,

定一个平面内

理的直线

于另一个平

面

如果两个平

行平面同时御6

和第三个平aT\y=a,

面相交，那么/3T\y=b

它们的^>a\\b

平行

|!既硼题看

平行关系中的三个易错点

1.在证明线面平行时，一定要强调直

线a不在平面内，直线b在平面内，

且all6,否则会出现错误.

2.一条直线平行于一个平面，它可以

与平面内的无数条直线平行，但这条

直线与平面内的任意一条直线可能

平行,也可能异面.

3.alla的判定定理和性质定理使用

的区别:若结论中有allQ则要用判

定定理，在。内找与a平行的直线；

若条件中有alla则要用性质定理，

找(或作)过a且与a相交的平面.

«《夯实基础》》

【概念辨析】

判断下面结论是否正确.(对的打"V",错的打"X")

Q)若直线all平面a直线all直线6,则直线611平面a.()

(2)若直线all平面a,则直线a与平面a内任意一条直线都无公共点.()

(3)若all£,则平面a内有无数条互相平行的直线平行于平面(3.()

(4)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一个平面内的直线异面.

()

【对接教材】

2.

有一正方体木块如图所示，点夕在平面/'8'U'。内，棱8U平行于平面/

若要经过点P和棱6U将木块锯开，锯开的面必须平整，有/V种锯法，则/V为

（）.

A.OB.lC.2D.无数

下面命题中为真命题的是（）.

②已知平面和直线m,n,若则ail£

②若一个平面a内的两条不平行的直线都平行于另一个平面以则创£

③平行于同一条直线的两个不同平面平行；

④平行于同一个平面的两个不同平面平行；

⑤一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交.

A.①②④B.②③④

C.③④⑤D.②④⑤

【易错自纠】

下列说法正确的是（）.

A.如果一个平面内有一条直线和另一个平面平行,那么这两个平面平行

B.如果一个平面内有无数条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行

C.如果一个平面内的任何直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行

D.如果两个平面平行于同一条直线，那么这两个平面平行

一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图如图所示,

在正方体中，设8U的中点为MG/V的中点为/V,下列结论正确的是（）.

A.M/VII平面ABEB./WVll平面ADE

C./I4/VII平面8。"D./V//VII平面。回

考点考向一精研考向锤炼技能

语点垂直线与平面平行的判定【考向变换】

考向1直线与平面平行的判定

倒111（2022河南豫东名校联考）如图，在四棱柱ABCDABIQDL中港为线

段上的任意一点（不包括4。两点），平面与平面881。交于FG求

证:尸。1平面/4818.

判断或证明线面平行的常用方法

Q)利用线面平行的定义(无公共点).

(2)利用线面平行的判定定理⑶a,b^a,a\\galla).

(3)利用面面平行的性质定理(all£式aall为

(4)利用面面平行的性质(aila第观

【追踪训练1]如图，在棱长为6的正方体ABCD-

481GS中,£是881的中点，点尸在棱上，且/尸二2厂民设直线相交

于点G.证明:G尸II平面AAiDiD.

考向2直线与平面平行的性质

初■如图，户是平行四边形28。所在平面外一点，股是PU的中点，在DM

上取一点G过点G和/户作平面，交平面BDM于GH求证:/PllGH.

运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的

平面与另一平面相交的交线，然后确定线线平行.证题过程应认真领悟线线平行与

线面平行的相互转化关系.

【追踪训练2】

在边长为2的正方体/8UO-481G5中，例是该正

方体表面及其内部的一动点，且8A分平面/5C则动点例的轨迹所形成区域的

面积是..

口直⑥面面平行的判定与性质【典例迁移】

O0

如图所示，在三棱柱/8U-481G中,分别是/8,/C48L4G的中点,

求证：

(1)8,C〃,G四点共面；

(2)平面£721II平面BCHG.

【变式设问1］在本例条件下，若。为8G的中点，求证:平面481以.

【变式设问2】在本例条件下，若”,。分别为的中点，求证:平面

48优11平面ACiD.

点拨证明面面平行的常用方法

Q)面面平行的定义.

(2)面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平

面，那么这两个平面平行.

(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行.

(4)如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行.

(5)利用"线线平行""线面平行""面面平行"的相互转化进行证明.

【追踪训练3】）22如图，平面平面。8/V例菱形

与菱形DBNM全等，且4MDB=zDAB,G为例C的中点.求证:平面

G6OII平面AMN.

(蜜豆题平行关系的综合运用【典例迁移】

良!如图,四边形ABCD与ADEF为平行四边形,M"G分别是AB,AD,EF

的中点，刀与G/V相交于点。求证：

(1)8片1平面DMF;

(2)平面8。国平面MNG.

解决平行关系的综合问题,需反复利用线面平行和面面平行的判定定

理和性质定理，利用“线线平行""面面平行"的相互转化解题.

【追踪训练4】已知正方体280-4员6。1,如图所示.

(1)求证:平面/815II平面CiBD.

(2)试找出体对角线4U与平面和平面的交点££并证

^■.AiE=EF=FC.

£3方法技巧,方法探究分类突破

包去突破0平行关系中的存在性问题

解决存在性问题,一般先假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个

结论成立的充分条件，若找到了使结论成立的充分条件，则存在;若找不到使结论

成立的充分条件（出现矛盾），则不存在.而对于探求点的问题,一般是先探求点的位

置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明.

圈砌如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中,。是棱UG的中点，问:在棱AB

上是否存在一点£使得。国平面/SG?若存在，请确