4.5 求数列前n项和培优精练（原卷版）

求数列前n项和.TOC\o"14"\h\u求数列前n项和 1一、分类题型 1题型一等差等比公式法 1题型二裂项相消求和法 2题型三错位相减求和法 3题型四分组转化求和法 4二、分层训练：课堂知识巩固 6一、分类题型题型一等差等比公式法一．公式法1.等差数列{an}的前n项和Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1d,2).2.等比数列{an}的前n项和Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)，q≠1.))1．若数列为首项为1，公比为3的等比数列，则.2．已知首项为，公比为的等比数列，设等比数列的前项和为，则.3．已知数列中，.(1)求证：数列是等比数列；并求出数列的通项公式(2)设数列的前项和为，求满足的的最小值.4．已知首项为4的数列的前n项和为，且．(1)求证：数列为等比数列；(2)求数列的前n项和．5．已知为等比数列，其前项和为，，．(1)求的通项公式；(2)若，求的前项和．6．已知数列满足，其前5项和为45；数列是等比数列，且，，，成等差数列.(1)求数列，的通项公式；(2)求数列的前和.7．已知数列的首项，是与的等差中项．(1)求证：数列是等比数列；(2)证明：．8．已知数列是等差数列，其前n项和为，，.(1)求的通项公式；(2)求，并求出的最小值.(3)，求数列{}的前n项和.9．已知等差数列的公差为2，且成等比数列．(1)求数列的前项和；(2)若数列的首项，求数列的通项公式．10．在各项均为正数的等比数列中，为其前项和，且，．(1)求和；(2)设，记，求．11．已知为等差数列的前项和，若，.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.12．已知数列的首项，且满足．(1)求证：数列为等比数列；(2)设，求数列的前项和．13．已知首项为1的正项等比数列，且，，成等差数列．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和为．14．已知等差数列，前项和为，又．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．15．在数列中，，则；的前项和．题型二裂项相消求和法二．裂项相消求和1.通项特征：通项一般是分式，分母为偶数个因式相乘，且满足a是常数，1．数列中，，，则（

）A．77 B．78 C．79 D．802．已知等差数列中，，且成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)，求数列的前项和．3．已知是数列的前项和，且满足，(1)记，求证：数列为等比数列；(2)设，求数列的前项和4．已知数列的前项和为，且与的等差中项为.(1)求数列的通项公式.(2)设，求数列的前项和.5．已知数列的前项和为，且满足，，当时，是4的常数列.(1)求的通项公式；(2)当时，设数列的前项和为，证明：.6．已知数列满足，．(1)设，证明：是等差数列；(2)设数列的前项和为，求．7．在数列中，为数列的前项和，且满足.(1)求数列的通项公式；(2)若.求数列的前项和.8．设数列前n项和为，，.(1)求，及的通项公式；(2)若，证明：.9．设数列的前项和为，且，．(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，求证：．10．已知数列满足.(1)求数列的通项公式(2)若，数列的前n项和为，证明：.11．已知首项为1的数列，其前项利为，且数列是公差为1的等差数列．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和．12．已知数列为非零数列，且满足.(1)求及数列的通项公式；(2)若数列的前项和为，且满足，证明：.13．已知正项数列满足.(1)求的通项公式；(2)记，数列的前项和为，求.14．已知数列的前项的和为，数列是公差为1的等差数列．(1)证明：数列是公差为2的等差数列；(2)设数列的前项的和为，若，证明．15．在数列中，且.(1)求的通项公式；(2)设，若的前项和为，证明：.16．已知数列满足．(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和．17．对数列，记为数列的前n项交替和；(1)若，求的前n项交替和；(2)若数列的前n项交替和为，求的前n项和．18．已知正项数列的前项和，满足：．(1)求数列的通项公式；(2)记，设数列的前项和为，求证．题型三错位相减求和法三、错位相减法通项特征：一次函数*指数型函数解题思路1．数列的前项和为，且满足．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和．2．已知数列满足，.(1)证明：数列是等比数列；(2)若，求数列的前项和.3．已知等差数列的前项和为，，，数列的前项和为，且.(1)求数列和的通项公式；(2)令，证明：数列的前项和.4．记数列的前n项和为，对任意正整数n，有，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前n项和为，求证：.5．已知数列的前n项和为，且，数列为等差数列，，．(1)当时，求n的最小值；(2)求数列的前n项和．6．已知数列的前n项和为，且，数列为等差数列，，.(1)求，的通项公式；(2)求数列的前n项和.7．在数列中，，是的前n项和，且数列是公差为的等差数列．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．8．已知数列的前项和是，且.(1)证明：是等比数列.(2)求数列的前项和.9．在等差数列中，，且，，成等比数列，数列的前项和为．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．10．已知等差数列的前项和为，且满足，．(1)求的通项公式；(2)若数列满足，求的前项和．11．已知数列满足．(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和．12．已知数列的各项均为正数，其前n项和为，且，．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和．13．已知数列的前n项和为，，.(1)求数列的前n项和；(2)令，求数列的前n项和.14．已知数列的前项和为.(1)求的通项公式；(2)记，求数列的前项和.15．已知数列的前项和为，且．(1)求的通项公式；(2)设，若对任意都有成立，求实数的取值范围．16．已知数列为等差数列，其前项和为，数列为等比数列，其公比大于0，且.(1)求和的通项公式；(2)记，求数列的前项和.17．已知等比数列的各项均为正数，前n项和为，且满足，．(1)求的通项公式；(2)若数列满足，求的前n项和．18．已知数列为等差数列，，公差，数列为等比数列，且，，．(1)求数列、的通项公式；(2)设，数列的前n项和为，求满足的n的最小值．19．已知数列的前项的和为，且，.(1)证明数列是等比数列，并求的通项公式；(2)求数列前项的和.20．已知数列是等比数列，公比，前项和为，若，.(1)求的通项公式；(2)若，试求数列的前项和.21．已知正项等比数列的前项和为，且成等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.22．已知数列的首项，前项和满足.(1)求通项公式；(2)设，求数列的前项为.23．设数列的前n项和为，若．(1)求证：是等比数列，并求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．24．已知数列满足：，，设．(1)求证：是等比数列；(2)求数列的通项公式；(3)求数列的前项和．25．已知等差数列满足，，公比不为的等比数列满足，.(1)求与的通项公式；(2)设，求的前项和.26．设数列的前项和为，且．(1)求的通项公式；(2)设数列满足，求数列的前项利．题型四分组转化求和法四、分组转化求和1.通项特征：或1．在公差大于0的等差数列中，，且，，成等比数列，则数列的前21项和为（

）A．12 B．21 C．11 D．312．已知数列中，，若对任意，则数列的前项和．3．已知数列满足，则数列的前项和为.4．已知等差数列和的前项和分别为，，且，，．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前项和．5．已知等比数列的各项均为正数，且，．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和．6．已知数列满足，且．(1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；(2)若数列，求数列的前项和．7．已知等比数列的各项均为正数，前n项和为，若，．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．8．已知等差数列的前n项和为，且满足(1)求数列的通项公式;(2)若数列满足求数列的前n项和.9．已知等差数列的前项和为，且满足，．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前项和．10．设是等差数列，是等比数列公比大于，已知(1)求数列和数列的通项公式；(2)设数列满足.求.11．已知数列是等比数列，满足，，数列满足，，设，且是等差数列.(1)求数列和的通项公式；(2)求的通项公式和前项和.12．已知是等差数列，是公比大于0的等比数列，的前n项和为，且，，，．(1)求和的通项公式；(2)求数列的前n项和．13．已知递增的等比数列满足，且，，成等差数列.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前20项和.14．已知是等比数列，满足，且成等差数列，数列满足．(1)求和的通项公式；(2)设，求数列的前项和．15．设是公比为正数的等比数列，(1)求的通项公式；(2)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前项和16．已知数列是公差为正的等差数列，其前项和为；各项都为正数的等比数列满足，．(1)求数列，的通项公式；(2)记，求数列的前项和．17．已知各项递增的等比数列，其前n项和为，满足，.(1)求的通项公式；(2)记数列的通项公式为，将数列与中的项按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前50项和.18．已知数列满足，且对任意正整数m，n都有(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和.19．已知递增的等差数列和等比数列满足.(1)求和的通项公式；(2)若，求的前项和.20．已知是等差数列的前项和，且，.(1)求数列的通项公式与前项和；(2)若且数列的前项和为，求.21．等差数列满足：首项为2，公差为是的前项和.(1)求数列的通项公式.(2)求数列的前项和.二、分层训练：课堂知识巩固一．数列的求和（共44小题）1．（2023秋•宁德期中）已知递增的等比数列满足，且，，成等差数列．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前20项和．2．（2023•泉州模拟）设公差不为0的等差数列的前项和为，，．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，，求数列的前项和．3．（2023秋•华安县校级月考）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前项和，，．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．4．（2023秋•蕉城区校级月考）已知等差数列前三项的和为，前三项的积为8．（1）求等差数列的通项公式；（2）若，，成等比数列，求数列的前10项和．5．（2023•蕉城区校级一模）已知数列满足，，是公差为1的等差数列．（1）证明：是等比数列；（2）求的前项和．6．（2023•蕉城区校级二模）已知为等差数列的前项和，，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前15项和．7．（2023春•永春县校级月考）已知数列的前项和，，，．（1）计算的值，求的通项公式；（2）设，求数列的前项和．8．（2023春•思明区校级期中）已知等比数列的前项和为，，且，，成等差数列．（1）求的通项公式；（2）若数列满足，求的前项和．9．（2022秋•泉州期末）设等差数列的前项和为，已知，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．10．（2023秋•闽侯县校级月考）已知数列，．满足．（1）求数列的通项公式；（2）设为数列的前项和，若不等式对任意正整数恒成立，求实数的取值范围．11．（2022秋•芗城区校级期中）设等比数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求．12．（2022秋•华安县校级月考）正项数列的前项和满足：．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．13．（2022秋•仓山区校级月考）在数列中，，，．（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求数列的前项和．14．（2022春•鼓楼区校级期中）已知等差数列中，．（1）求；（2）设，求的前项和．15．（2021秋•福州期末）已知等比数列的首项，公比，在中每相邻两项之间都插入3个正数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）记数列前项的乘积为，试问：是否有最大值？如果是，请求出此时以及最大值；若不是，请说明理由．16．（2022秋•南安市期中）已知等差数列的前项和为，其中，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．17．（2022春•思明区校级月考）数列的前项和为，数列的前项积为，且，！．（1）求和的通项公式；（2）若，求的前项和．18．（2022秋•芗城区校级月考）已知数列为等差数列，且，．（1）求数列的通项公式及前项和；（2）求数列的前项和．19．（2022秋•连城县校级月考）已知各项均为正数且递减的等比数列满足：成等差数列，前5项和．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为．若对任意的，恒有成立，求的取值范围．20．（2021•蕉城区校级开学）已知等比数列的前项和为，若，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．21．（2023秋•永定区校级月考）数列中，，．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明．22．（2023•思明区校级模拟）已知数列满足，．（1）证明：为等差数列；（2）设，求数列的前项和．23．（2023•蕉城区校级开学）已知函数，其中，且．（1）当时，求；（2）设，记数列的前项和为，求使得恒成立的的最小整数．24．（2023春•秀屿区校级月考）已知数列是等差数列，其中，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．25．（2023春•泉州期末）已知正项数列的前项和为，且满足．（1）求，；（2）设，数列的前项和为，求证：．26．（2023•仙游县校级模拟）已知等比数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求证数列的前项和．27．（2021秋•鼓楼区校级期末）已知数列的各项均为正数，表示数列的前项的和，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．28．（2022秋•永泰县校级期中）已知正项数列的前项和为，且和满足：．（1）求的通项公式；（2）设，的前项和为，若对任意都成立，求整数的最大值．29．（2023•莆田模拟）已知正项数列满足．（1）求的通项公式；（2）设，记数列的前项和为，证明：．30．（2023秋•泉州月考）数列中，，且．（1）求的通项公式；（2）令，记数列的前项和为，求．31．（2022秋•漳浦县校级月考）已知为等差数列，前项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0．，，．（1）求和的通项公式；（2）求数列的前项和．32．（2022•三元区校级模拟）设数列的前项和为，若，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．33．（2023•晋江市校级模拟）已知数列满足，．（1）证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式；（2）数列满足：，求数列的前项和．34．（2022秋•鼓楼区校级期末）已知数列的前项和为，，．（1）求证：数列为等差数列；（2）设，求数列的前项和．35．（2022秋•晋安区校级月考）设正项数列的前项和为，等比数列的前项和为，且，．（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和．36．（2022秋•城厢区校级期中）已知数列中，，．数列的前项和为，且是与2的等差中项．（1）求数列，的通项和；（2）设，求数列的前项和．37．（2022春•同安区校级月考）已知为等差数列，为等比数列，的前项和，，．（1）求数列，的通项公式；（2）记，求数列的前项和．38．（2022秋•福清市期中）设数列的前项和为，若，且．（1）求数列的通项公式；（2）